Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем
Предлагается метод асимптотического интегрирования гамильтоновых систем с помощью параметризации канонических преобразований. Метод применяется к интегрированию гамильтоновых систем общего вида с малым параметром и является модификацией метода инвариантной нормализации, предложенной В.Ф. Журавлевым....
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123784 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем / А.Г. Петров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 84-91. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123784 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1237842025-02-23T18:25:13Z Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем Петров, А.Г. Предлагается метод асимптотического интегрирования гамильтоновых систем с помощью параметризации канонических преобразований. Метод применяется к интегрированию гамильтоновых систем общего вида с малым параметром и является модификацией метода инвариантной нормализации, предложенной В.Ф. Журавлевым. Так же, как и в методе Журавлева, нормальная форма и каноническая замена в каждом приближении сводится к вычислению одной квадратуры. Однако, в данном методе не надо приводить систему к автономному виду. Обсуждается связь метода с известными методами нормальной формы. На примерах демонстрируется эффективность предлагаемых методов. Автор благодарит А.Д. Брюно за полезное обсуждение результатов работы и замечания. 2005 Article Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем / А.Г. Петров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 84-91. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123784 532.5:517.928.7 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предлагается метод асимптотического интегрирования гамильтоновых систем с помощью параметризации канонических преобразований. Метод применяется к интегрированию гамильтоновых систем общего вида с малым параметром и является модификацией метода инвариантной нормализации, предложенной В.Ф. Журавлевым. Так же, как и в методе Журавлева, нормальная форма и каноническая замена в каждом приближении сводится к вычислению одной квадратуры. Однако, в данном методе не надо приводить систему к автономному виду. Обсуждается связь метода с известными методами нормальной формы. На примерах демонстрируется эффективность предлагаемых методов. |
| format |
Article |
| author |
Петров, А.Г. |
| spellingShingle |
Петров, А.Г. Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем Механика твердого тела |
| author_facet |
Петров, А.Г. |
| author_sort |
Петров, А.Г. |
| title |
Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем |
| title_short |
Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем |
| title_full |
Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем |
| title_fullStr |
Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем |
| title_sort |
асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123784 |
| citation_txt |
Асимптотическое интегрирование гамильтоновых систем / А.Г. Петров // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 84-91. — Бібліогр.: 27 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT petrovag asimptotičeskoeintegrirovaniegamilʹtonovyhsistem |
| first_indexed |
2025-11-24T09:09:42Z |
| last_indexed |
2025-11-24T09:09:42Z |
| _version_ |
1849662250874306560 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 532.5:517.928.7
c©2005. À.Ã. Ïåòðîâ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ
ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÛÕ ÑÈÑÒÅÌ
Ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä àñèìïòîòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ ïàðàìåò-
ðèçàöèè êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ìåòîä ïðèìåíÿåòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì
îáùåãî âèäà ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì è ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé ìåòîäà èíâàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè, ïðåä-
ëîæåííîé Â.Ô. Æóðàâëåâûì. Òàê æå, êàê è â ìåòîäå Æóðàâëåâà, íîðìàëüíàÿ ôîðìà è êàíîíè÷åñêàÿ
çàìåíà â êàæäîì ïðèáëèæåíèè ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ îäíîé êâàäðàòóðû. Îäíàêî, â äàííîì ìåòîäå
íå íàäî ïðèâîäèòü ñèñòåìó ê àâòîíîìíîìó âèäó. Îáñóæäàåòñÿ ñâÿçü ìåòîäà ñ èçâåñòíûìè ìåòîäàìè
íîðìàëüíîé ôîðìû. Íà ïðèìåðàõ äåìîíñòðèðóåòñÿ ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëàãàåìûõ ìåòîäîâ.
1. Ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé. Îáùèé ðåçóëü-
òàò ïàðàìåòðèçàöèè êàíîíè÷åñêîé çàìåíû ïåðåìåííûõ â ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìàõ ñôîð-
ìóëèðóåì â âèäå òåîðåìû [1, 2].
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ q,p→ Q,P çàïèñàíî â ïàðàìåòðè-
÷åñêîé ôîðìå
q = x− 1
2
Ψy ,
p = y +
1
2
Ψx ,
Q = x +
1
2
Ψy ,
P = y − 1
2
Ψx .
(1)
Òîãäà ïðè ëþáîé ôóíêöèè Ψ(t,x,y):
1) ÿêîáèàíû äâóõ ïðåîáðàçîâàíèé q = q(t,x,y),p = p(t,x,y) è Q = Q(t,x,y),
P = P(t,x,y) òîæäåñòâåííû
∂(q,p)
∂(x,y)
=
∂(Q,P)
∂(x,y)
= J(t,x,y); (2)
2) â îáëàñòè J > 0 ïðåîáðàçîâàíèå (1) ïåðåìåííûõ q,p → Q,P ïåðåâîäèò ãàìèëü-
òîíîâó ñèñòåìó H = H(t,q,p) â ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó H̃ = H̃(t,Q,P) ïî ñëåäóþùåìó
çàêîíó:
Ψt(t,x,y) + H(t,q,p) = H̃(t,Q,P), (3)
ãäå àðãóìåíòû q,p è Q,P â ãàìèëüòîíèàíàõ H è H̃ âûðàæåíû ÷åðåç ïàðàìåòðû x,y
ïî ôîðìóëàì (1).
Ôóíêöèÿ Ψ òåñíî ñâÿçàíà ñ ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèåé, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ äèô-
ôåðåíöèàëüíîé ôîðìîé
dΦ =
1
2
n∑
i=1
∣∣∣∣∣ Qi − qi Pi − pi
dQi + dqi dPi + dpi
∣∣∣∣∣ + (H̃ −H)dt. (4)
Ïðè dt = 0 îíà ââåäåíà Ïóàíêàðå (ñì. [3] ñòð. 191, [4], ñòð. 337).
Îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ Ïóàíêàðå è ôóíêöèÿ Ψ î÷åíü ïðîñòî âûðà-
æàþòñÿ äðóã ÷åðåç äðóãà
Ψ(x,y) = Ψ
(
q + Q(q,p)
2
,
p + P(q,p)
2
)
= Φ(q,p).
84
Àñèìïòîòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì
 ñâîþ î÷åðåäü ôóíêöèÿ Ïóàíêàðå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèè ßêîáè
S1(t,q,P) è S2(t,p,Q)
dS1 = pdq + QdP + (H̃ −H)dt, det S1qP 6= 0,
dS2 = −qdp−PdQ + (H̃ −H)dt, det S2pQ 6= 0
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Φ =
1
2
[S1(t,q,P)− qP + S2(t,Q,p) + Qp] . (5)
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ∆ ìàòðèöû E+∂(Q,P)/∂(q,p) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç J
ñëåäóþùèì îáðàçîì: ∆ = 22n/J . Ïîýòîìó ïàðàìåòðèçàöèÿ (1) â îáëàñòè Ω ñóùåñòâóåò,
åñëè â îáëàñòè (q,p) ∈ Ω ïðåîáðàçîâàíèå Q(q,p),P(q,p) � êàíîíè÷åñêîå, è íè îäíî èç
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû ßêîáè A íå ðàâíî −1.
 ìîíîãðàôèè [4] îáðàùàåòñÿ âíèìàíèå íà "óäðó÷àþùóþ íåèíâàðèàíòíîñòü" ïðî-
èçâîäÿùèõ ôóíêöèé S1 è S2 ïî îòíîøåíèþ ê âûáîðó áàçèñà êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîð-
äèíàò è èíâàðèàíòíîñòü äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìû Ïóàíêàðå (4). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
è ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ Ψ(x,y) òàêæå èìååò èíâàðèàíòíûé õàðàêòåð. Óñëîâèå ñó-
ùåñòâîâàíèÿ ïàðàìåòðèçàöèè J 6= 0 èíâàðèàíòíî ïî îòíîøåíèþ ê âûáîðó êàíîíè÷åñêèõ
ïåðåìåííûõ, òîãäà êàê óñëîâèå det S1qP 6= 0 çàâèñèò îò âûáîðà êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåí-
íûõ. Óñëîâèå det S1qP 6= 0 ìîæåò íàðóøèòüñÿ ïðè êàíîíè÷åñêîé çàìåíå ïåðåìåííûõ.
Êðîìå òîãî, êëàññ ïàðàìåòðèçóåìûõ êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ñóùåñòâåííî øèðå
êëàññà êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÷åðåç ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ. Òàê, ïîâîðîò íà
90◦ : q = −P, p = Q íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü ÷åðåç ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ S(q, P ), à ÷åðåç
ïàðàìåòðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ìîæíî: Ψ = x2 + y2. Ýòè è äðóãèå ïðåèìóùåñòâà ïàðàìåò-
ðèçàöèè ïåðåä ìåòîäîì ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé óæå îòìå÷àëèñü [1].
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (3) ïðèâîäèò ê ðàçâèòîìó ðàíåå [6, 7] ìåòîäó èí-
âàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè ãàìèëüòîíèàíîâ.
2. Îá èíâàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè ãàìèëüòîíèàíîâ. Ïîñòðîåíèþ íîðìàëü-
íîé ôîðìû ãàìèëüòîíèàíà â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè ïîñâÿùåíû ðàáîòû [8 �
13], (ñì. òàêæå ìîíîãðàôèè [4, 14]). Ïðè îòñóòñòâèè ðåçîíàíñîâ íîðìàëüíàÿ ôîðìà
íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ôîðìîé Áèðêãîôà [8]. Îáîáùåíèå íà ðåçîíàíñíûå ñèñòåìû, â
êîòîðûõ âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà ðàçëè÷íû, ïîëó÷åíî â ðàáîòå [9].  êíèãå [10] (ñì. òàê-
æå [13, ï. 6]) ïðåäëîæåíà íîðìàëüíàÿ ôîðìà, â êîòîðîé æîðäàíîâû êëåòêè ìàòðèöû
ëèíåéíîé ñèñòåìû èñïîëüçóþòñÿ äëÿ äàëüíåéøåãî ñîêðàùåíèÿ ÷èñëà íåëèíåéíûõ ÷ëå-
íîâ. Ñàìîå îáùåå îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîé ôîðìû, ïðèãîäíîå äëÿ êâàäðàòè÷íîé ÷àñòè
ãàìèëüòîíèàíîâ ëþáîãî âèäà, äàíî â ðàáîòàõ â [11, 12].
Âî âñåõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àÿõ ïîðîæäàþùèé ãàìèëüòîíèàí âûáèðàåòñÿ â
âèäå ïðîñòåéøåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû äëÿ ëèíåéíîé ñèñòåìû, à îïðåäåëåíèå íîðìàëü-
íîé ôîðìû ïðèâÿçûâàåòñÿ ê âûáîðó ïîðîæäàþùåãî ãàìèëüòîíèàíà.
 ëèòåðàòóðå íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíû äâà ñïîñîáà ïîñòðîåíèÿ êàíîíè÷åñêèõ çà-
ìåí, ïðèâîäÿùèõ ñèñòåìó ê íîðìàëüíîé ôîðìå. Îäèí ñïîñîá îñíîâàí íà èñïîëüçîâàíèè
ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé. Òàê ïîñòóïàë Áèðêãîô [8]. Â äðóãîì ñïîñîáå âìåñòî ïðîèçâî-
äÿùèõ ôóíêöèé ïðèìåíÿþòñÿ ãåíåðàòîðû Ëè, ÷òî óäîáíåå, ïîñêîëüêó íå òðåáóåò îáðà-
ùåíèÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ, íåîáõîäèìîãî â ñëó÷àå ïðîèçâîäÿùèõ ôóíêöèé.
85
À.Ã. Ïåòðîâ
Â.Ô. Æóðàâëåâûì [6, 7] ïðåäëîæåíî íîâîå îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîé ôîðìû Áèðê-
ãîôà äëÿ âîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà:
H̄(t,q,p, ε) = H0(t,q,p) + F̄ (t,q,p, ε),
F̄ (t,q,p, ε) = εF̄1(t,q,p) + ε2F̄2(t,q,p) + . . . .
(6)
Îïðåäåëåíèå. Âîçìóùåííûé ãàìèëüòîíèàí èìååò íîðìàëüíóþ ôîðìó òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà âîçìóùåíèå ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì íåâîçìóùåííîé ÷àñòè
∂F̄
∂t
+
+{H0, F̄} = 0, ãäå {f, g} = fpgq − fqgp � ñêîáêè Ïóàññîíà.
Ïðåèìóùåñòâî òàêîãî îïðåäåëåíèÿ ïåðåä èçâåñòíûìè îáóñëîâëåíî òðåìÿ ïðè÷èíà-
ìè.
1◦. Ðåøåíèå ïîëíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñ ãàìèëü-
òîíèàíîì â íîðìàëüíîé ôîðìå ïîëó÷àåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé ðåøåíèé íåâîçìóùåííîé ñè-
ñòåìû è ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñ àâòîíîìíûì ãàìèëüòîíèàíîì, ðàâíûì F (0,q,p, ε). Ýòîò
ðåçóëüòàò áûë ñôîðìóëèðîâàí â âèäå òåîðåìû [7].
Òåîðåìà Â.Ô. Æóðàâëåâà. Åñëè ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîì H̄ óäîâëåòâîðÿåò óñëî-
âèþ íîðìàëüíîé ôîðìû, òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíå-
íèé Ãàìèëüòîíà äîñòàòî÷íî:
À) íàéòè îáùåå ðåøåíèå ïîðîæäàþùåé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0(t,q,p);
Á) íàéòè îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîé òîëüêî âîçìóùåíèåì F̄ (0,q,p, ε),
ïðè óñëîâèè, ÷òî â ýòîé ñèñòåìå ÿâíî âõîäÿùåå â ãàìèëüòîíèàí âðåìÿ ïîëîæåíî ðàâíûì
íóëþ.
Òîãäà îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîé íåàâòîíîìíîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîìïîçèöè-
åé â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé (âìåñòî ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ â
ðåøåíèè âòîðîé ñèñòåìû ïîäñòàâëÿþòñÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé èëè íàîáîðîò).
2◦. Èíâàðèàíòíûé õàðàêòåð êðèòåðèÿ ïîçâîëÿåò îñóùåñòâëÿòü íîðìàëèçàöèþ áåç
ïðåäâàðèòåëüíîãî óïðîùåíèÿ íåâîçìóùåííîé ÷àñòè è áåç ðàçäåëåíèÿ íà ñëó÷àè àâòî-
íîìíûé � íåàâòîíîìíûé, ðåçîíàíñíûé � íåðåçîíàíñíûé. Ìîæíî äàæå ìåíÿòü ìåñòà-
ìè íåâîçìóùåííóþ ÷àñòü è âîçìóùåíèå, òàê êàê ýòè ñëàãàåìûå ðàâíîïðàâíû. (Ýòîò
íåîáû÷íûé äëÿ êëàññè÷åññêîãî ìåòîäà íîðìàëüíîé ôîðìû ôàêò èñïîëüçóåòñÿ â òðå-
òüåì ïðèìåðå.)
3◦. Àñèìïòîòèêè íîðìàëüíîé ôîðìû è çàìåíû ïåðåìåííûõ, ïðèâîäÿùåé ãàìèëüòî-
íèàí ê íîðìàëüíîé ôîðìå, íàõîäÿòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè êâàäðàòóðàìè îò èçâåñòíûõ
íà êàæäîì øàãå ôóíêöèé.
Íàäî îáðàòèòü âíèìàíèå íà ñëåäóþùèå îñîáåííîñòè ìåòîäà èíâàðèàíòíîé íîðìàëè-
çàöèè. Íîðìàëèçàöèÿ ïî Æóðàâëåâó áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî óïðîùåíèÿ íåâîçìóùåííîé
÷àñòè äàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, äâà èíòåãðàëà. Ïîýòîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ èí-
òåãðàëîâ ñëåäóåò êâàäðàòè÷íóþ ÷àñòü ïðèâåñòè ê ïðîñòåéøåìó âèäó òàê æå, êàê è ïðè
îáû÷íîé íîðìàëèçàöèè. Òîãäà, åñëè â ëèíåéíîé ñèñòåìå íåò êðàòíûõ êîðíåé, íîðìàëü-
íàÿ ôîðìà ïî Æóðàâëåâó ñîâïàäåò ñ îáû÷íîé íîðìàëüíîé ôîðìîé.
Êðîìå òîãî, îáû÷íàÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà ñòðîèòñÿ âñåãäà â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæ-
íîé òî÷êè, òîãäà êàê íîðìàëüíàÿ ôîðìà ïî Æóðàâëåâó ñòðîèòñÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè,
êîòîðàÿ èíîãäà ìîæåò è íå ïðèìûêàòü ê íåïîäâèæíîé òî÷êå.
3. Àëãîðèòì èíâàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðè÷åñêîé
çàìåíû. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ (3) òåîðåìû 1 ïîëó÷åí àíàëîã ìåòîäà íîðìàëèçàöèè
86
Àñèìïòîòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì
Â.Ô. Æóðàâëåâà.  íåì âìåñòî ãåíåðàòîðà Ëè èñïîëüçóåòñÿ êàíîíè÷åñêàÿ çàìåíà ïå-
ðåìåííûõ â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå (1). Ýòîò àëãîðèòì ïîñòðîåí â ðàáîòàõ [15, 16] è
ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü äàí ãàìèëüòîíèàí
H(t,q,p) = H0(t,q,p) + F (t,q,p, ε), F (t,q,p, ε) = εF1(t,q,p) + ε2F2(t,q,p) + . . . ,
ãäå F � âîçìóùåíèå, ε � ìàëûé ïàðàìåòð. Òîãäà ôóíêöèÿ Ψ â (1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàç-
ëîæåíèåì Ψ(t,x,y, ε) = εΨ1(t,x,y) + ε2Ψ2(t,x,y) + . . . , êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî è êî-
ýôôèöèåíòû íîðìàëüíîé ôîðìû íàõîäÿòñÿ íà êàæäîé i-òîé èòåðàöèè (i = 1, 2, . . . ) èç
îäíîé êâàäðàòóðû∫ t
t0
Ri(t)dt = (t− t0)F̄i(t0,x0,y0) + Ψi(t0,x0,y0)−Ψi(t,x,y), (7)
ãäå ôóíêöèè Ri âû÷èñëÿþòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ïî ôîðìóëàì
R1 = F1, R2 = F2 +
1
2
{F1 + F̄1, Ψ1}, ... (8)
è ïîäñòàíîâêîé â íèõ ðåøåíèÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû. Åñëè ôóíêöèÿ Ri ïîñëå ïîä-
ñòàíîâêè â íåå ðåøåíèÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû îêàæåòñÿ êâàçèïåðèîäè÷åñêîé (ñóììîé
ïåðèîäè÷åñêèõ ïî t ôóíêöèé), èíòåãðàë îò Ri ðàâåí ëèíåéíîé ôóíêöèè è êâàçèïåðè-
îäè÷åñêîé f(t). Èç f(t) ìîæíî âû÷åñòü íå çàâèñÿùóþ îò âðåìåíè ñðåäíþþ ÷àñòü f̄(t)
è îòíåñòè åå êî âòîðîìó ñëàãàåìîìó ïðàâîé ÷àñòè (7). Ïðåäñòàâëåíèå (7) òîãäà áó-
äåò åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿòü F̄i(t0,x0,y0) è ôóíêöèþ Ψi(t0,x0,y0) ñ íóëåâûì
ñðåäíåâðåìåííûì çíà÷åíèåì: Ψi(t,x(t),y(t)) = 0. Óñëîâèå êâàçèïåðèîäè÷íîñòè Ri íà-
êëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íîðìàëüíàÿ ôîðìà.
4. Ïðèìåðû àñèìïòîòè÷åñêèõ ðåøåíèé. Âåñüìà ïîó÷èòåëüíûå ïðèìåðû â [6, 7]
äåìîíñòðèðóþò ñóùåñòâåííûå óïðîùåíèÿ ïîñòðîåíèÿ è àíàëèçà àñèìïòîòè÷åñêîãî ðå-
øåíèÿ ïåðåä âñåìè èçâåñòíûìè ðàíåå ìåòîäàìè. Äàííûé ìåòîä ïî ïðîñòîòå ýêâèâàëåí-
òåí ìåòîäó [6, 7], íî îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî öåïî÷êà óðàâíåíèé äëÿ àñèìïòîòèê çàïèñû-
âàåòñÿ â èñõîäíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå íåçàâèñèìî îò òîãî, àâòîíîìíàÿ ñèñòåìà èëè
íåàâòîíîìíàÿ. Â ìåòîäå [6, 7] íåàâòîíîìíóþ ñèñòåìó íàäî ñâåñòè ê àâòîíîìíîé ñ ïîâû-
øåíèåì ïîðÿäêà ñèñòåìû è ïîòîì äëÿ íåå ïèñàòü öåïî÷êó óðàâíåíèé äëÿ àñèìïòîòèê.
Ïðîäåìîíñòðèðóåì ïðåäëàãàåìûå ìåòîäû íà ïðèìåðàõ.
Ïðèì å ð 1. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ q̈ = ε2 cos t cos q c òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ
ïîðÿäêà ε6.
Ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò ðàçíûå çàäà÷è ìåõàíèêè è ôèçèêè. Áëèçêîå ïî õàðàê-
òåðó óðàâíåíèå îïèñûâàåò âèáðàöèîííîå äâèæåíèå ñôåðè÷åñêîé ÷àñòèöû â æèäêîñòè,
â êîòîðîé ñîçäàåòñÿ ïëîñêàÿ ñòîÿ÷àÿ àêóñòè÷åñêàÿ âîëíà [17, 18]. Äëÿ êà÷åñòâåííî-
ãî èññëåäîâàíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ îáû÷íûì ìåòîäîì óñðåäíåíèÿ ([19]) òðåáóåòñÿ òðè
ïðèáëèæåíèÿ ïî ïàðìåòðó ε. Ïîêàæåì, êàê ïîëó÷èòü ðåøåíèå ïðåäëàãàåìûì ìåòîäîì.
Ðàçëîæåíèå áóäåì âåñòè ïî ïàðàìåòðó δ = ε2, ïîýòîìó äëÿ äîñòèæåíèÿ ñóùåñòâåííî
áîëüøåé òî÷íîñòè (ïîðÿäêà ε6) ïîòðåáóåòñÿ âñåãî äâà ïðèáëèæåíèÿ ñ ãîðàçäî ìåíüøè-
ìè âûêëàäêàìè.
Ð åø å í è å. Ê óðàâíåíèþ ïðèìåðà ñâîäèòñÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà c ôóíê-
öèåé Ãàìèëüòîíà H =
1
2
p2 + δF1(t, q, p), F1 = − cos t sin q.
87
À.Ã. Ïåòðîâ
Íàõîäèì ðåøåíèå íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû q = q0 + p0(t− t0), p = p0.
Íà ïåðâîé èòåðàöèè íàõîäèì R1 = F1 è êâàäðàòóðó
∫ t
t0
R1dt = −cos (t0 + q0)
2 + 2p0
+
+
cos (−t0 + q0)
2− 2p0
+ f1(t). Îòñþäà ñëåäóåò
F̄1 = 0, Ψ̄1(t, q, p) = −cos(t + q)
2 + 2p
+
cos(−t + q)
2− 2p
. (9)
Íà âòîðîé èòåðàöèè R2 = −1
2
∂F1
∂q
∂Ψ̄1
∂p
=
1
4
cos t cos q
(
cos (t + q)
(1 + p)2 +
cos (t− q)
(1− p)2
)
.
Èç èíòåãðàëà (7) íàõîäèì ëèíåéíóþ F2 è íå çàâèñÿùóþ îò âðåìåíè Ψ2 ÷àñòè. Îêîí-
÷àòåëüíûé âèä íîðìàëüíîé ôîðìû è ôóíêöèè, îïðåäåëÿþùåé ïàðàìåòðè÷åñêóþ çàìå-
íó, òàêîâ
H̄ =
1
2
P 2 +
δ2
16
[
1
(1 + P )2
+
1
(1− P )2
]
+ O(δ3),
Ψ(0, x, y) =
δy
1− y2
cos x− δ2(1− 3y2 − 2y4)
16y(1− y2)3
sin 2x + O(δ3).
Ñèñòåìà íîðìàëüíîé ôîðìû â ïåðåìåííûõ Q,P ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ. ×òîáû ïîëó÷èòü
ðåøåíèå â èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ q, p â ìîìåíòû âðåìåíè, êðàòíûå ïåðèîäó t = 2kπ,
k = 0, 1, . . . , íóæíî âûðàçèòü èõ ÷åðåç Q,P ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðè÷åñêîé çàìåíû (1) è
íàéäåííîé ôóíêöèè Ψ. Ñëåäóåò, îäíàêî, çàìåòèòü, ÷òî ïîëó÷åííîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðå-
øåíèå íå ïðèãîäíî â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè ñ íóëåâûì èìïóëüñîì. Îíî ïðèìå-
íèìî è ïðèáëèæàåò ðåøåíèå ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì èìïóëüñå P
òàì, ãäå íå ïðèìåíèìî îáû÷íîå àñèìïòîòè÷åñêîå ðåøåíèå, â îêðåñòíîñòè íåïîäâèæíîé
òî÷êè. Ðàâíîìåðíîå ïðèãîäíîå ïðèáëèæåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü ñ ïîìîùüþ èíâàðèàíòíîé
íîðìàëèçàöèè ñ äðóãèì ïîðîæäàþùèì ãàìèëüòîíèàíîì (ñì. [16]).
Ï ð èì å ð 2. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ êà÷àþùåéñÿ ïðóæèíû.
Ïîñòàíîâêà ýòîé çàäà÷è äàíà, íàïðèìåð, â êíèãàõ [20�22]. Óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ
â âèäå óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà
dx
dt
=
∂H
∂u
,
du
dt
= −∂H
∂x
,
dy
dt
=
∂H
∂v
,
dv
dt
= −∂H
∂y
.
Áóäåì èçó÷àòü äâèæåíèå âáëèçè ïîëîæåíèÿ ïîêîÿ íà áîëüøèõ âðåìåíàõ t. Äëÿ ýòîãî
ðàçëîæèì Ãàìèëüòîíèàí âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
H0 =
1
2
(u2 + v2 + µ2x2 + y2), F1 =
1
2
(µ2 − 1)xy2, F2 =
1
2
(µ2 − 1)(y4/4− x2y2),
ãäå µ � îòíîøåíèå ÷àñòîòû êîëåáàíèé ãðóçà ïðè íåîòêëîíåííîé ïðóæèíå ê ÷àñòîòå
ãîðèçîíòàëüíûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ðåçîíàíñà µ = 2.  ïðåäëàãà-
åìîì ìåòîäå íîðìàëüíàÿ ôîðìà íàõîäèòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ íåðåçîíàíñíîãî ñëó÷àÿ, è
ñîâïàäàåò ñ íîðìàëüíîé ôîðìîé Ãóñòàâñîíà. Îäíàêî çäåñü äëÿ ãëàâíîãî ïðèáëèæåíèÿ
íóæíà âñåãî îäíà êâàäðàòóðà.
Ïðèìåíÿåì îïèñàííûé âûøå àëãîðèòì. Âíà÷àëå íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå íåâîçìó-
ùåííîé ñèñòåìû ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0
x(t) = X cos 2t +
U
2
sin 2t, y(t) = Y cos t + V sin t,
u(t) = U cos 2t− 2X sin 2t, v(t) = V cos t− Y sin t.
(10)
88
Àñèìïòîòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì
 ôóíêöèþ R1 = F1 =
3
2
x(t)y2(t) ïîäñòàâëÿåì ðåøåíèå íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû. Â
ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì êâàçèïåðèîäè÷åñêóþ ïî âðåìåíè ôóíêöèþ R1(t,X, Y, U, V ) è èç
èíòåãðàëà (7) íàéäåì íîðìàëüíóþ ôîðìó F̄1 è ôóíêöèþ Ψ1 ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (ñì.
[23])
F̄1 =
3
8
(
−V 2 X + U V Y + X Y 2
)
,
Ψ1 =
3
64
(4 X Y V + 3 U V 2 + 5 Y 2 U).
(11)
Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ñ ãàìèëüòîíèàíîì H0 + F̄1 ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü òî÷íî è ïîë-
íîñòüþ èññëåäîâàòü íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà [23].
Ï ð èì å ð 3. Íàéòè ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå è èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü êîëåáà-
íèé ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ ïðîèçâîëüíîé òðåõìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé âèáðàöèåé òî÷-
êè ïîäâåñà.
 ñèñòåìå êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ òî÷êîé ïîäâåñà, ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèä
H =
p2
θ
2ml2
+
p2
ϕ
2ml2 sin2 θ
− l cos θ (mg −mẍ3) + l sin θ ((mẍ1) cos ϕ + (mẍ2) sin ϕ) ,
ãäå xi, i = 1, 2, 3 � äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè ïîäâåñà, θ, φ � ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, l � äëèíà ìàÿòíèêà.
Ìåòîä íîðìàëüíîé ôîðìû Áèðêãîôà èñïîëüçîâàëñÿ â ðàáîòå [24] äëÿ ÷àñòíîãî ñëó-
÷àÿ îñåñèììåòðè÷íûõ êîëåáàíèé ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ âåðòèêàëüíîé òî÷êîé ïîä-
âåñà. Â ýòîé æå ðàáîòå ïðèâåäåíà ïîäðîáíàÿ áèáëèîãðàôèÿ ïî ýòîé ïðîáëåìå. Äëÿ
îïðåäåëåíèÿ óñòîé÷èâûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ïîòðåáîâàëîñü
íàéòè íîðìàëüíóþ ôîðìó Áèðêãîôà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Íèæå ïðèâîäèòñÿ ðåøåíèå
îáùåé çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé è èõ óñòîé÷èâîñòè â ñëó÷àå ïðîèç-
âîëüíîé òðåõìåðíîé âèáðàöèè ïîäâåñà ìàÿòíèêà ìåòîäîì èíâàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè
[27]. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòà òîé æå òî÷íîñòè òðåáóåòñÿ âñåãî îäíà êâàäðàòóðà îò
ïðîñòûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ïðèâåäåì ãàìèëüòîíèàí ê áåçðàçìåðíîìó âèäó H(θ, ϕ, u, v) = H0 + Φ, ãäå u è v �
èìïóëüñû, ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòàì θ è ϕ.
Çà íåâîçìóùåííóþ ÷àñòü ãàìèëüòîíèàíà H0 ïðèíèìàåì ýíåðãèþ èíåðöèîííûõ ñèë
âèáðàöèè, à îñòàëüíûå ñëàãàåìûå îòíîñèì ê âîçìóùåíèþ:
H0 = Wt′t′ , Φ = ε
(
1
2
u2 +
v2
2 sin2 θ
− cos θ
)
, ε =
√
g
lω2
,
W = a3 cos θ + sin θ(a1 cos ϕ + a2 sin ϕ), ai(t
′) =
ωxi√
gl
, t′ = ωt,
(12)
ãäå ω � ÷àñòîòà êîëåáàíèé òî÷êè ïîäâåñà, ÷åðåç Wt′t′ îáîçíà÷åíà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèè W ïî áåçðàçìåðíîìó âðåìåíè t′.
Çàìåòèì, ÷òî ôîðìà íåâîçìóùåííîãî ãàìèëüòîíèàíà ìîæåò áûòü ñîâåðøåííî ïðî-
èçâîëüíà, è â äàííîì ñëó÷àå âîçìóùåííàÿ è íåâîçìóùåííàÿ ÷àñòè ãàìèëüòîíèàíà ïå-
ðåñòàâëåíû ìåñòàìè. Ýòîò, íåîáû÷íûé äëÿ êëàññè÷åñêîãî ìåòîäà Áèðêãîôà, ïðèåì è
ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü âû÷èñëåíèå íîðìàëüíîé ôîðìû è ïðîâåñòè èíòåãðè-
ðîâàíèå. Ïåðâûé øàã ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ðåøåíèè óðàâíåíèé íåâîçìóùåííîé ñè-
ñòåìû θ̇ = 0, ϕ̇ = 0, u̇ = −Wt′t′θ, v̇ = −Wt′t′ϕ, ãäå èíäåêñû t′, θ è ϕ îçíà÷àþò
äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ýòèì ïåðåìåííûì.
89
À.Ã. Ïåòðîâ
Ðåøåíèå íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû èìååò âèä
θ = θ0, ϕ = ϕ0, u = u0 −Wt′θ, v = v0 −Wt′ϕ.
Èç êâàäðàòóðû (7)
ε
2
t∫
t0
[
(u−Wt′θ)
2 +
(v −Wt′ϕ)2
sin2 θ0
− 2 cos θ0
]
dt = (13)
= (t− t0)Φ̄(t0, θ0, ϕ0, u0, v0) + Ψ(t0, θ0, ϕ0, u0, v0) + f(t)
íàõîäèòñÿ íîðìàëüíàÿ ôîðìà
2Φ̄(t0, θ0, ϕ0, u0, v0) = ε
(
u2
0 +
v2
0
sin2 θ0
+ 2U(θ0, ϕ0)
)
,
2U(θ0, ϕ0) =< W 2
t′θ > +
< W 2
t′ϕ >
sin2 θ0
− 2 cos θ0, < f >=
1
T
T∫
0
f(t)dt. (14)
Âûðàæåíèå U(θ0, ϕ0) ñîâïàäàåò ñ íàéäåííûì â ðàáîòàõ [1] è [15] ìåòîäîì îòîáðàæåíèé
Ïóàíêàðå â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Òî÷êà ìèíèìóìà θ0, ϕ0 ôóíêöèè U(θ0, ϕ0) ñîîòâåò-
ñòâóåò óñòîé÷èâîìó ïåðèîäè÷åñêîìó ðåøåíèþ. Ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå èìååò âèä
θ = θ0 −Ψu + O(ε2), ϕ = ϕ0 −Ψv + O(ε2). (15)
Èç êâàäðàòóðû (13) âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ Ψ ëèíåéíà ïî u è v. Êîýôôèöèåíòû ëè-
íåéíîé ôîðìû èìåþò âèä
Ψu = εWθ(t, θ0, ϕ0), Ψv =
ε
sin2 θ
Wϕ(t, θ0, ϕ0). (16)
Ôîðìóëû (12), (15) è (16) îïðåäåëÿþò ïåðèîäè÷åñêóþ òðàåêòîðèþ ñ òî÷íîñòüþ äî ìà-
ëûõ ε2. Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ εai = xi/l óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ìîæíî çàïèñàòü â
ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ
θ = θ0 −
1
l
[−x3(t) sin θ0 + (x1(t) cos ϕ0 + x2(t) sin ϕ0) cos θ0] ,
ϕ = ϕ0 −
1
l sin θ0
(−x1(t) sin ϕ0 + x2(t) cos ϕ0).
(17)
Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû ñîãëàñóþòñÿ ñî âñåìè èçâåñòíûìè ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè, à òàê-
æå ñ îáùèì ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì ìåòîäîì óñðåäíåíèÿ [25, 26].
Àâòîð áëàãîäàðèò À.Ä. Áðþíî çà ïîëåçíîå îáñóæäåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû è çàìå-
÷àíèÿ.
1. Ïåòðîâ À. Ã. Ïàðàìåòðè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îòîáðàæåíèé Ïóàíêàðå â ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåìàõ // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2002. � 66, âûï. 6. � Ñ. 948-967.
2. Ïåòðîâ À.Ã. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñ ïîìîùüþ ïàðàìåòðèçàöèè
êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé // Äèô. óðàâíåíèÿ. � 2004. � 40, � 5. � Ñ. 626-638.
3. Ïóàíêàðå Àíðè. Èçáðàííûå òðóäû: Â 3-õ ò. � Ì.: Íàóêà, 1972. � Òîì II. � 999 ñ.
90
Àñèìïòîòè÷åñêîå èíòåãðèðîâàíèå ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì
4. Àðíîëüä Â. È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. � Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2000. �
408 ñ.
5. Àðíîëüä Â. È. Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. � Ì. :
Íàóêà, 1978. � 304 ñ.
6. Æóðàâëåâ Â. Ô. Îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. � Ì.: Íàóêà, 1997. � 320 ñ.
7. Æóðàâëåâ Â. Ô. Èíâàðèàíòíàÿ íîðìàëèçàöèÿ íåàâòîíîìíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // Ïðèêë.
ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2002. � 66, âûï. 3. � Ñ. 356�365.
8. Áèðêãîô Ä. Ä. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû. � Ì.; Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1941. � 320 ñ.
9. Gustavson F.G. On constructing formal integrals of a Hamiltonian system near of equilibrium point //
Aston. J. � 1966. � 71. � Ð. 670-686.
10. Áåëèöêèé Ã. Ð. Íîðìàëüíûå ôîðìû, èíâàðèàíòû è ëîêàëüíûå îòîáðàæåíèÿ. Îãðàíè÷åííàÿ çàäà÷à
òðåõ òåë. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1979. � 174 ñ. (ãë. 2, �7, ï. 7.4).
11. Áðþíî À. Ä. Àíàëèòè÷åñêàÿ ôîðìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òð. Ìîñê. ìàòåìàòè÷åñêîãî
îá-âà. � 1972. � 26. � C. 199-238.
12. Áðþíî À. Ä. Îãðàíè÷åííàÿ çàäà÷à òðåõ òåë. � Ì.: Íàóêà, 1990. � 296 ñ.
13. Áðþíî À. Ä. Ñèñòåìà, ïîäîáíàÿ íîðìàëüíîé ôîðìå // Ìàò. çàìåòêè. � 1990. � 48, âûï. 3. � C. 20-30.
14. Àðíîëüä Â. È., Êîçëîâ Â. Â., Íåéøòàäò À. È. Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû êëàññè÷åñêîé è íåáåñíîé
ìåõàíèêè // Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñåð. Cîâðåì. ïðîáë. ìàòåìàòèêè. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû /
ÂÈÍÈÒÈ. � 1985. � 3. � 304 ñ.
15. Ïåòðîâ À.Ã. Ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà èíâàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè ãàìèëüòîíèàíîâ ñ ïîìîùüþ ïàðà-
ìåòðèçàöèè êàíîíè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé // Äîêë. ÐÀÍ. � 2002. � 386, � 4. � Ñ. 482-486.
16. Ïåòðîâ À.Ã. Îá èíâàðèàíòíîé íîðìàëèçàöèè íåàâòîíîìíûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // Ïðèêë. ìà-
òåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2004. � 68, âûï. 6. � Ñ. 402-413.
17. Ãàíèåâ Ð. Ô., Óêðàèíñêèé Ë. Å. Äèíàìèêà ÷àñòèö ïðè âîçäåéñòâèè âèáðàöèé. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà,
1975. � 168 ñ.
18. Íèãìàòóëèí Ð. È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. � Ì.: Íàóêà, 1987. � Ò.1. � 464 ñ.
19. Áîãîëþáîâ Í. Í., Ìèòðîïîëüñêèé Þ. À. Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè íåëèíåéíûõ êîëåáà-
íèé. � Ì.: Íàóêà, 1974. � 503 ñ.
20. Íàéôå À.Õ. Ìåòîäû âîçìóùåíèé. � Ì.: Ìèð, 1976. � 455 ñ. (Nayfeh A.H. Perturbation Methods. �
New York: J. Wiley, 1973).
21. Ñòàðæèíñêèé Â.Ì. Ïðèêëàäíûå ìåòîäû íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé. � Ì.: Íàóêà, 1977. � 256 ñ.
22. Áîãàåâñêèé Â.Í., Ïîâçíåð À.ß. Àëãåáðàè÷åñêèå ìåòîäû â íåëèíåéíîé òåîðèè âîçìóùåíèé. � Ì.:
Íàóêà, 1987. � 255 ñ.
23. Çàðèïîâ Ì.Í., Ïåòðîâ À.Ã. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ êà÷àþùåéñÿ ïðóæèíû // Äîêë. ÐÀÍ. � 2004.
� 399, � 3. � Ñ. 347-352.
24. Ìàðêååâ À.Ï. Î äèíàìèêå ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ âèáðèðóþùèì ïîäâåñîì // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà
è ìåõàíèêà. � 1999. � 63, âûï. 2. � Ñ. 213-219.
25. Ïåòðîâ À.Ã. Îá óñðåäíåíèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ ïåðèîäè÷åñêèì ïî âðåìåíè ãàìèëüòîíèàíîì
// Äîêë. ÐÀÍ. � 1999. � 368, � 4. � Ñ. 483-488.
26. Ïåòðîâ À.Ã. Îá óñðåäíåíèè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì // Èçâ. ÐÀÍ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001.
� � 3. � Ñ. 19-32.
27. Ïåòðîâ À.Ã. Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ êîëåáëþùåéñÿ òî÷êîé ïîäâåñà //
Äîêë. ÐÀÍ. � 2005. � 405, � 1. � Ñ. 51-55.
Èí-ò ïðîáëåì ìåõàíèêè ÐÀÍ, Ìîñêâà
petrov@ipmnet.ru
Ïîëó÷åíî 16.10.05
91
|