Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа
Проведен анализ условий существования изоконических движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил при условии, что уравнения Кирхгофа допускают три линейных инвариантных соотношения, а инвариантное соотношение изоконичности является следствием интеграла момента количества движ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123788 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа / Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 34-40. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859661750849241088 |
|---|---|
| author | Щетинина, Е.К. |
| author_facet | Щетинина, Е.К. |
| citation_txt | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа / Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 34-40. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Проведен анализ условий существования изоконических движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил при условии, что уравнения Кирхгофа допускают три линейных инвариантных соотношения, а инвариантное соотношение изоконичности является следствием интеграла момента количества движения.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:08:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 531.38
c©2006. Å.Ê. Ùåòèíèíà
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÊËÀÑÑÅ ÈÇÎÊÎÍÈ×ÅÑÊÈÕ ÄÂÈÆÅÍÈÉ ÃÈÐÎÑÒÀÒÀ
 ÑËÓ×ÀÅ ÒÐÅÕ ËÈÍÅÉÍÛÕ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÛÕ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈÉ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÊÈÐÕÃÎÔÀ
Ïðîâåäåí àíàëèç óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ãèðîñòàòà ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöè-
àëüíûõ è ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë ïðè óñëîâèè, ÷òî óðàâíåíèÿ Êèðõãîôà äîïóñêàþò òðè ëèíåéíûõ èíâà-
ðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèÿ, à èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå èçîêîíè÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì èíòåãðàëà
ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.
Ââåäåíèå. Èçîêîíè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé � äâèæåíèÿ,
äëÿ êîòîðûõ ïîäâèæíûé è íåïîäâèæíûé ãîäîãðàôû âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè ñèììåò-
ðè÷íû äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî êàñàòåëüíîé ê íèì ïëîñêîñòè [1, 2]. Ýòè äâèæåíèÿ
âûÿâëåíû â ðåçóëüòàòå ñèñòåìàòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ãîäîãðàôîâ, îñíîâàííîãî
íà óðàâíåíèÿõ Ï.Â. Õàðëàìîâà [3]. Îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â êèíåìàòè÷åñêîì
èñòîëêîâàíèè äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äè-
íàìèêè òâåðäîãî òåëà, èçëîæåí â êíèãå [4]. Ïðåïðèíò [5] ïîñâÿùåí àíàëèçó âñåõ èç-
âåñòíûõ ê òîìó âðåìåíè èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ãèðîñòàòà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Â
ðàáîòàõ [1, 2] èçó÷åíû èçîêîíè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëü-
íûõ è ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë â ñëó÷àå, êîãäà äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ Êèðõãîôà
(ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé äàíû â [6]) äîïóñêàþò òðè ëèíåéíûõ èí-
âàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèÿ, à èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå èçîêîíè÷íîñòè äâèæåíèÿ ïðè
ó÷åòå â íåì ëèíåéíûõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé ïðèâîäèòñÿ ê ãåîìåòðè÷åñêîìó èí-
òåãðàëó. Â äàííîé ñòàòüå ðàññìîòðåí âàðèàíò, äëÿ êîòîðîãî èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå
èçîêîíè÷íîñòè äâèæåíèÿ ëèíåéíî çàâèñèò îò èíòåãðàëà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ãèðîñòàòà ïîä äåéñòâè-
åì ïîòåíöèàëüíûõ è ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè êëàññà Ã. Êèðõãîôà [6, 7]
ẋ = (x+ λ)× ax+ ax×Bν + ν × (Cν − s), (1)
ν̇ = ν × ax, (2)
ãäå x = (x1, x2, x3) − âåêòîð ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà; ν = (ν1, ν2, ν3) −
åäèíè÷íûé âåêòîð îñè ñèììåòðèè ñèëîâîãî ïîëÿ; λ = (λ1, λ2, λ3) − ãèðîñòàòè÷åñêèé
ìîìåíò, õàðàêòåðèçóþùèé äâèæåíèå íîñèìûõ òåë; s = (s1, s2, s3) − âåêòîð, ñîíàïðàâ-
ëåííûé ñ âåêòîðîì îáîáùåííîãî öåíòðà ìàññ; a = diag(a1, a2, a3) − ãèðàöèîííûé òåí-
çîð èíåðöèè, âû÷èñëåííûé â íåïîäâèæíîé òî÷êå; B = (Bij), C = (Cij) − ïîñòîÿííûå
ñèììåòðè÷íûå ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà; òî÷êà íàä ïåðåìåííûìè îáîçíà÷àåò îòíîñè-
òåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t. Óðàâíåíèÿ (1), (2) èìåþò ïåðâûå èíòåãðàëû
(x · ax)− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, (x+ λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k, ν · ν = 1. (3)
Çäåñü E è k − ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
34
Îá îäíîì êëàññå èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ãèðîñòàòà
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ èçîêîíè÷åñêîãî äâèæåíèÿ
ãèðîñòàòà ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå [5]
ω · (ν − e) = 0, (4)
ãäå ω = (a1x1, a2x2, a3x3) − âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè ãèðîñòàòà, e � åäèíè÷íûé âåêòîð,
íåèçìåííî ñâÿçàííûé ñ òåëîì.
Ïîñòàâèì çàäà÷ó èçó÷åíèÿ óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé (1), (2) èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøåíèÿ (4) ïðè óñëîâèè, ÷òî óðàâíåíèÿ (1), (2) äîïóñ-
êàþò òðè ëèíåéíûõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèÿ
x1 = b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3,
x2 = c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3, (5)
x3 = d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3.
Ñëåäóÿ ðàáîòå [8], ñ÷èòàåì, ÷òî óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé
(5) ó ñèñòåìû (1), (2) ÿâëÿþòñÿ ðàâåíñòâà [8]
a3d0β2 − a2c0β3 = 0, a2c0β13 − a3d0β12 + a3d1β2 − a2c1β3 = 0,
a2c0β23 − a3d0β22 + a3d2β2 − a2c2β3 + γ3 = 0,
a2c0β33 − a3d0β23 + a3d3β2 − a2c2β3 − γ2 = 0,
a2c1β13 − a3d1β12 = 0, a2c2β23 − a3d2β22 + γ23 = 0,
a2c3β33 − a3d3β23 − γ23 = 0, (6)
a2c1β23 + a2c2β13 − a3d2β12 − a3d1β22 + γ13 = 0,
a2c1β33 + a2c3β13 − a3d1β23 − a3d3β12 − γ12 = 0,
a2c2β33 + (a2c3 − a3d2)β23 − a3d3β22 + γ33 − γ22 = 0,
a1b0β3 − a3d0β1 = 0, a3d0β11 − a1b0β13 + a1b1β3 − a3d1β1 − γ3 = 0,
a3d0β12 − a1b0β23 + a1b2β3 − a3d2β1 = 0,
a3d0β13 − a1b0β33 + a1b3β3 − a3d3β1 + γ1 = 0,
a3d1β11 − a1b1β13 − γ13 = 0, a3d2β12 − a1b2β23 = 0, (7)
a3d3β13 − a1b3β33 + γ13 = 0, a3d1β12 + a3d2β11 − a1b1β23 − a1b2β13 − γ23 = 0,
a3d1β13 + a3d3β11 − a1b1β13 − a1b3β13 + γ11 − γ33 = 0,
a3d2β13 + a3d3β12 − a1b2β33 − a1b3β23 + γ12 = 0,
a2c0β1 − a1b0β2 = 0, a1b0β12 − a2c0β2 − a1b1β2 + a2b2β1 + γ2 = 0,
a1b0β22 − a2c0β12 + a2c2β1 − a1b2β2 − γ1 = 0,
a1b0β23 − a2c0β13 + a2c3β1 − a1b3β2 = 0,
35
Å.Ê. Ùåòèíèíà
a1b1β12 − a2c1β11 + γ12 = 0, a1b2β22 − a2c2β12 − γ12 = 0, (8)
a1b3β23 − a2c3β13 = 0, a1b1β22 + (a1b2 − a2c1)β12 − a2c2β11 − γ11 + γ22 = 0,
a1b1β23 + a1b3β12 − a2c1β13 − a2c3β11 + γ23 = 0,
a1b2β23 + a1b3β22 − a2c2β13 − a2c3β12 − γ13 = 0.
Îòìåòèì, ÷òî êàæäàÿ èç ñèñòåì (6) � (8) ñîäåðæèò ïî äåñÿòü óðàâíåíèé.
 (6)�(8) ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
β1 = b0 + λ1, β2 = c0 + λ2, β3 = d0 + λ3, β11 = B11 − b1 + c2 + d3,
β12 = B12 − b2 − c1, β13 = B13 − b3 − d1, β23 = B23 − c3 − d2,
β22 = B22 + b1 − c2 + d3, β33 = B33 + b1 + c2 − d3,
γ1 = a1b0b1 + a2c0c1 + a3d0d1 − s1, γ2 = a1b0b2 + a2c0c2 + a3d0d2 − s2,
γ3 = a1b0b3 + a2c0c3 + a3d0d3 − s3, γ11 = C11 + a1b
2
1 + a2c
2
1 + a3d
2
1,
γ12 = C12 + a1b1b2 + a2c1c2 + a3d1d2, γ13 = C13 + a1b1b3 + a2c1c3 + a3d1d3,
γ22 = C22 + a1b
2
2 + a2c
2
2 + a3d
2
2, γ23 = C23 + a1b2b3 + a2c2c3 + a3d2d3,
γ33 = C33 + a1b
2
3 + a2c
2
3 + a3d
2
3.
(9)
Ïåðâûå èíòåãðàëû (3) íà èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèÿõ (5) ïðèìóò âèä
2γ1ν1 + 2γ2ν1 + 2γ3ν3 + γ11ν
2
1 + γ22ν
2
2 + γ33ν
2
3 + 2γ12ν1ν2 + 2γ13ν1ν3 + 2γ23ν2ν3 = 2E∗, (10)
2β1ν1 + 2β2ν2 + 2β3ν3 − (β11ν
2
1 + β22ν
2
2 + β33ν
2
3 + 2β12ν1ν2+
+2β13ν1ν3 + 2β23ν2ν3) = 2k∗,
(11)
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1. (12)
Çäåñü E∗ è k∗ � íîâûå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, 2E∗ = 2E − a1b
2
0 − a2c
2
0 − a3d
2
0, 2k∗ =
= 2k − (b1 + c2 + d3). Çâåçäî÷êó â äàëüíåéøåì îïóñêàåì.
Ðàñïèøåì óñëîâèå èçîêîíè÷íîñòè (4) ïðè íàëè÷èè èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé (5)
(a1b0 − a1b1e1 − a2c1e2 − a3d1e3)ν1 + (a2c0 − a1b2e1 − a2c2e2−
−a3d2e3)ν2 + (a3d0 − a1b3e1 − a2c3e2 − a3d3e3)ν3 + a1b1ν
2
1 + a2c2ν
2
2+
+a3d3ν
2
3 + (a1b2 + a2c1)ν1ν2 + (a1b3 + a3d1)ν1ν3 + (a2c3 + a3d2)ν2ν3−
−(a1b0e1 + a2c0e2 + a3d0e3) = 0.
(13)
Ïîñêîëüêó äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ (1) ðàññìîòðåíû, òî íåîáõîäèìî èçó÷èòü óñëî-
âèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (2) ïðè íàëè÷èè ñîîòíîøåíèé (5), (13).
Çàïèøåì óðàâíåíèå (2) ñ ó÷åòîì (5), (13):
ν̇ = m× ν + ν ×Gcν + ν ×Gacν, (14)
ãäå
m = −(a1b0, a2c0, a3d0), (15)
Gc =
g11 g12 g13
g12 g22 g23
g13 g23 g33
, Gac =
0 g1 g2
−g1 0 g3
−g2 −g3 0
, (16)
36
Îá îäíîì êëàññå èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ãèðîñòàòà
g11 = a1b1, g22 = a2c2, g33 = a3d3,
g12 =
a1b2 + a2c1
2
, g13 =
a1b3 + a3d1
2
, g23 =
a2c3 + a3d2
2
,
g1 =
a1b2 − a2c1
2
, g2 =
a1b3 − a3d1
2
, g3 =
a2c3 − a3d2
2
.
(17)
Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé. Ïåðâûå èíòåãðàëû (10),
(11) óðàâíåíèé (14) çàâèñèìû, ÷òî âûòåêàåò èç óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ (6)�(8). Â ðà-
áîòàõ [1, 2] èçó÷åí ñëó÷àé, êîãäà ñîîòíîøåíèå (13) ÿâëÿåòñÿ ëèáî òîæäåñòâîì ïî νi ,
ëèáî ñëåäñòâèåì èíòåãðàëà (12).  äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðèì ñëó÷àé, äëÿ êîòîðîãî âû-
ïîëíÿåòñÿ óñëîâèå çàâèñèìîñòè ñîîòíîøåíèé (11), (13). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâèæåíèå
ãèðîñòàòà íå ÿâëÿåòñÿ ïðåöåññèîííûì è ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (11),
(13) ëèíåéíî çàâèñèìû.
Èñêëþ÷èì â ñèñòåìàõ (6)�(8) ïàðàìåòðû γi, γij. Òîãäà ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó
ðàâåíñòâ
a3d0β2 − a2c0β3 = 0, a1b0β3 − a3d0β1 = 0, a2c0β1 − a1b0β2 = 0, (18)
a2c1β13 − a3d1β12 = 0, a3d2β12 − a1b2β23 = 0, a1b3β23 − a2c3β13 = 0, (19)
a2c0β13 − a3d0β12 = a2c1β3 − a3d1β2, a3d0β12 − a1b0β23 = a3d2β1 − a1b2β3,
a1b0β23 − a2c0β13 = a1b3β2 − a2c3β1, (20)
a1b0(β33 − β22)− a3d0β13 + a2c0β12 + (a3d3 − a2c2)β1 + a1(b2β2 − b3β3) = 0,
a2c0(β33 − β11)− a3d0β23 + a1b0β12 + (a3d3 − a1b1)β2 + a2(c1β1 − c3β3) = 0, (21)
a3d0(β22 − β11)− a2c0β23 + a1b0β13 + (a2c2 − a1b1)β3 + a3(d1β1 − d2β2) = 0,
a2c1(β33 − β11) + (a1b3 − a3d1)β23 + (a1b1 − a3d3)β12 = 0,
a1b2(β33 − β22) + (a2c3 − a3d2)β13 + (a2c2 − a3d3)β12 = 0,
a3d2(β11 − β22) + (a2c1 − a1b2)β13 + (a3c3 − a1b1)β23 = 0, (22)
a2c3(β11 − β33) + (a3b1 − a1b3)β12 + (a3d3 − a1b1)β23 = 0,
a3d1(β22 − β11) + (a1b2 − a2c1)β23 + (a1b1 − a2c2)β13 = 0,
a1b3(β22 − β33) + (a3d2 − a2c3)β12 + (a3d3 − a2c2)β13 = 0,
(a3d2 − a2c3)β11 + a1(b3β12 − b2β13) = 0,
(a1b3 − a3d1)β22 + a2(c1β23 − c3β12) = 0, (23)
(a2c1 − a1b2)β33 + a3(d2β13 − d1β23) = 0,
a1b1(β22 − β33) + a2c2(β33 − β11) + a3d3(β11 − β22) + (a1b2 − a2c1)β12+
+(a3d1 − a1b3)β13 + (a2c3 − a3d2)β23 = 0. (24)
37
Å.Ê. Ùåòèíèíà
Çàïèøåì óñëîâèÿ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ñîîòíîøåíèé (11), (13)
(a1b0 − a1b1e1 − a2c1e2 − a3d1e3)χ0 = 2β1,
(a2c0 − a1b2e1 − a2c2e2 − a3d2e3)χ0 = 2β2,
(a3d0 − a1b3e1 − a2c3e2 − a3d3e3)χ0 = 2β3,
(25)
(a1b2 + a2c1)χ0 = −2β12, (a1b3 + a3d1)χ0 = −2β13,
(a2c3 + a3d2)χ0 = −2β23,
(26)
a1b1χ0 = −β11, a2c2χ0 = −β22, a3d3χ0 = −β33, (27)
(a1b0e1 + a2c0e2 + a3d0e3)χ0 = 2k,
ãäå χ0 � íåêîòîðûé ïàðàìåòð, ïîäëåæàùèé îïðåäåëåíèþ.
Èñêëþ÷àÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (26) ïàðàìåòð χ0 è èñïîëüçóÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (19),
(23), ïîëó÷èì óñëîâèÿ
(a3d2 − a2c3)β11 = 0, (a3d1 − a1b3)β22 = 0, (a2c1 − a1b2)β33 = 0. (28)
Ñîîòíîøåíèÿì (28) óäîâëåòâîðèì, ïîëîæèâ
a2c1 − a1b2 = 0, a3d1 − a1b3 = 0, a3d2 − a2c3 = 0. (29)
Òîãäà èç (16), (17) âûòåêàåò, ÷òî Gac = 0. Èç óðàâíåíèÿ (14) ñëåäóåò
ν̇ = m× ν + ν ×Gcν. (30)
Öåëåñîîáðàçíîñòü èçó÷åíèÿ ñëó÷àÿ (29) ñîñòîèò â òîì, ÷òî îí ïðèíöèïèàëüíî îòëè-
÷àåòñÿ îò ñëó÷àåâ [1, 2], äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Gac 6= 0 è Gc � äèàãîíàëüíàÿ
ìàòðèöà.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâà (27), (29), èç ñèñòåì (18)�(24) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå
ðåøåíèå
β1 = a1b0χ0, β2 = a2c0χ0, β3 = a3d0χ0,
β12 = −a1b2χ0, β13 = −a1b3χ0, β23 = −a2c3χ0,
β11 = −a1b1χ0, β22 = −a2c2χ0, β33 = −a3d3χ0.
(31)
Íà îñíîâàíèè îáîçíà÷åíèé (9) èç óñëîâèé (29) è ñèñòåìû (31) âûòåêàþò ñëåäóþùèå
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé (5):
b1 =
1
∆
[χ0(a2a3χ0 − a2 − a3)B11 + (2− a3χ0)B22 + (2− a2χ0)B33],
b2 =
a2B12
a1 + a2 − a1a2χ0
, b3 =
a3B13
a1 + a3 − a1a3χ0
, b0 =
−λ1
1− a1χ0
, c0 =
−λ2
1− a2χ0
,
c1 =
a1b2
a2
, c2 =
1
∆
[(2− a3χ0)B11 + χ0(a1a3χ0 − a1 − a3)B22 + (2− a1χ0)B33], (32)
c3 =
a3B23
a2 + a3 − a2a3χ0
, d1 =
a1b3
a3
, d2 =
a2c3
a3
, d0 =
−λ3
1− a3χ0
,
d3 =
1
∆
[(2− a2χ0)B11 + (2− a1χ0)B22 + χ0(a1a2χ0 − a1 − a2)B33],
38
Îá îäíîì êëàññå èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ãèðîñòàòà
ãäå
∆ = −a1a2a3χ
3
0 + (a1a2 + a1a3 + a2a3)χ
2
0 − 4. (33)
 ñèëó (27) è òðåõ ïåðâûõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (31) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò e1, e2, e3
èç ñèñòåìû (25) èìååì óñëîâèÿ
a1b1e1 + a1b2e2 + a1b3e3 = −a1b0,
a1b2e1 + a2c2e2 + a2c3e3 = −a2c0,
a1b3e1 + a2c3e2 + a3d3e3 = −a3d0.
(34)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (31) â ñîîòíîøåíèÿ (6)�(8), ïîëó÷èì ðàâåíñòâà γ3 = γ2 = γ1 =
= 0, γij = 0 (i 6= j), γ33 = γ22 = γ11, ò. å. â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èçîêîíè÷åñêèõ
äâèæåíèé èíòåãðàë ýíåðãèè (10) âûðîæäàåòñÿ â ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë (12). Íà îñ-
íîâàíèè îáîçíà÷åíèé (9) äëÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è èìååì
s1 = a1b0b1 + a2c0c1 + a3d0d1, s2 = a1b0b2 + a2c0c2 + a3d0d2,
s3 = a1b0b3 + a2c0c3 + a3d0d3, C12 = −(a1b1b2 + a2c1c2 + a3d1d2),
C13 = −(a1b1b3 + a2c1c3 + a3d1d3), C23 = −(a1b2b3 + a2c2c3 + a3d2d3),
(35)
C22−C11 = a1(b
2
1−b2
2)+a2(c
2
1−c2
2)+a3(d
2
1−d2
2), C33−C22 = a1(b
2
2−b2
3)+a2(c
2
2−c2
3)+a3(d
2
2−d2
3).
Óñëîâèÿ (35) ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (32), (33) ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ èçîêî-
íè÷åñêèõ äâèæåíèé ãèðîñòàòà, îïèñûâàåìûõ óðàâíåíèÿìè (1), (2). Çàïèøåì óðàâíåíèÿ
(34) â âèäå
Gce = m. (36)
Èç óðàâíåíèÿ (36) ìîæíî íàéòè âåêòîð e : e = G−1
c m. Çäåñü, åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãà-
åòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû Gc: detGc 6= 0.
Óñëîâèå |e| = 1 ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ïàðàìåòð χ0, âõîäÿùèé â âûðàæåíèÿ ïàðà-
ìåòðîâ ëèíåéíûõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé (32). Ïîñêîëüêó ïîëó÷àåòñÿ àëãåáðàè÷å-
ñêîå óðàâíåíèå íà χ0 18-é ñòåïåíè, ïîýòîìó ïðåäñòàâèì ýòî óñëîâèå â âèäå
3∑
i,j=1
ϕij(ai, χ0, Bij)λiλj = 1, (37)
ãäå ôóíêöèè ϕij(ai, χ0, Bij) íå âûïèñûâàåì èç-çà èõ ãðîìîçäêîñòè. Åñëè â óðàâíåíèè (37)
ñ÷èòàòü ïàðàìåòðû ai, χ0, Bij ôèêñèðîâàííûìè, òî â ñèëó òîãî, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòî-
ðà λ ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î ðàçðåøèìîñòè
óñëîâèÿ (37).
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ðàññìàòðèâà-
åìîãî êëàññà ÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿ (32), (33), (35) è (37).
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (30). Ýòî âåêòîðíîå óðàâíåíèå èìååò äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà
(11), (12) è ïîýòîìó åãî èíòåãðèðîâàíèå ñâîäèòñÿ ê êâàäðàòóðàì.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (5), (10), (12), à òàêæå ðàâåíñòâàìè ωi = aixi,
òî èç íèõ ìîæíî ïîëó÷èòü äâà óðàâíåíèÿ íà êîìïîíåíòû âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè
[G−1
c (ω +m)]2 = 1, 2[β ·G−1
c (ω +m)]−DG−1
c (ω +m) ·G−1
c (ω +m) = 2k,
39
Å.Ê. Ùåòèíèíà
ãäå β = (β1, β2, β3), D = (βij) (i, j = 1, 3). Èç ñòðóêòóðû ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé ñëåäó-
åò, ÷òî ïîäâèæíûé ãîäîãðàô ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî
ïîðÿäêà.
Òàê, íàïðèìåð, â ÷àñòíîì ñëó÷àå B11 = B22 = B33 = b1, B12 = B13 = B23 = 0,
λ1 = λ2 = 0, χ0 =
a2 + a3
a2a3
, a1 > a2, a1 > a3, ïðè ýòîì λ3 = − bµ0
a2(a2 − a3)
, ãåîìåò-
ðè÷åñêèé èíòåãðàë (12) è èíòåãðàë ìîìåíòîâ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (11) îïðåäåëÿþò â
ïðîñòðàíñòâå äâå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà
ω2
1
(a1b)2
+
ω2
2(
µ0b
a2 − a3
)2 +
[(a2 − a3)ω3 + µ0b]
2
(µ0b)2
= 1,
ω2
1µ0 + a1(a2 − a3)ω
2
2 + a1(a3 − a2)ω
2
3 = 0,
ãäå µ0 = a1a2 + a1a3 − 2a2a3. Ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ïîâåðõíîñòåé è îïðåäåëÿåò ïîäâèæíûé
ãîäîãðàô.
Ýòèì ñâîéñòâîì â ñèëó èçîêîíè÷íîñòè îáëàäàåò è íåïîäâèæíûé ãîäîãðàô âåêòîðà
óãëîâîé ñêîðîñòè. Ïîëó÷åííûé â äàííîé ðàáîòå ðåçóëüòàò ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò
ðåçóëüòàòîâ [1, 2], òàê êàê ïîäâèæíûé è íåïîäâèæíûé ãîäîãðàôû íå ÿâëÿþòñÿ ïëîñêèìè
êðèâûìè.
1. Ãîðð Ã.Â., Ñàðêèñüÿíö Å.Â., Ñêðûïíèê Ñ.Â. Îá èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèÿõ òåëà â ñëó÷àå òðåõ ëè-
íåéíûõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2000. � Âûï.30. � Ñ.93-99.
2. Ãîðð Ã.Â. Îá îäíîì êëàññå ïðåöåññèîííî-èçîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé òåëà ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëü-
íûõ è ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë // Òàì æå. � 2001. � Âûï.31. � Ñ.30-35.
3. Õàðëàìîâ Ï.Â. Êèíåìàòè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå äâèæåíèÿ òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó //
Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1964. � 28, âûï. 3. � Ñ. 502-507.
4. Ãîðð Ã.Â., Êóäðÿøîâà Ë.Â., Ñòåïàíîâà Ë.À. Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ðàçâè-
òèå è ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. � 296ñ.
5. Ãîðð Ã.Â., Ñàðêèñüÿíö Å.Â., Óçáåê Å.Ê. Èçîêîíè÷åñêèå äâèæåíèÿ â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà ñ íåïî-
äâèæíîé òî÷êîé. � Äîíåöê, 2001. � 30 ñ. � (Ïðåïðèíò / ÍÀÍ Óêðàèíû Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è
ìåõàíèêè; � 03.01).
6. Õàðëàìîâ Ï.Â., Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â., Ëåñèíà Ì.Å. Î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ óðàâíåíèé Êèðõãîôà
//Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001. � Âûï. 31. � Ñ. 3-17.
7. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces // J. Teor. and
Appl. Ìech. � 1986. � 5, � 5. � P. 755-762.
8. Ãîðð Ã.Â., Óçáåê Å.Ê. Äðîáíî-ëèíåéíûé èíòåãðàë óðàâíåíèé Ïóàññîíà â ñëó÷àå òðåõ ëèíåéíûõ
èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé // Ìåæäóíàð. ÈÔÍÀ-ÀÍÍ æ. Ïðîáëåìû íåëèíåéíîãî àíàëèçà â èí-
æåíåðíûõ ñèñòåìàõ. � 2004. � 10, � 2(21). � Ñ. 54-71.
Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé óí-ò ýêîíîìèêè è òîðãîâëè
èì. M. Òóãàí-Áàðàíîâñêîãî
Ïîëó÷åíî 05.06.06
40
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123788 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:08:20Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Щетинина, Е.К. 2017-09-09T17:17:43Z 2017-09-09T17:17:43Z 2006 Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа / Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 34-40. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123788 531.38 Проведен анализ условий существования изоконических движений гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил при условии, что уравнения Кирхгофа допускают три линейных инвариантных соотношения, а инвариантное соотношение изоконичности является следствием интеграла момента количества движения. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа Щетинина, Е.К. |
| title | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа |
| title_full | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа |
| title_fullStr | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа |
| title_full_unstemmed | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа |
| title_short | Об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений Кирхгофа |
| title_sort | об одном классе изоконических движений гиростата в случае трех линейных инвариантных соотношений уравнений кирхгофа |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123788 |
| work_keys_str_mv | AT ŝetininaek obodnomklasseizokoničeskihdviženiigirostatavslučaetrehlineinyhinvariantnyhsootnošeniiuravneniikirhgofa |