Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром
Постановки задачи о движении двух связанных тел, ориентированные на цели и методы аналитической динамики, даны в цикле работ [1-16], включенных позже в монографию [17]. Предложено шесть форм уравнений рассматриваемой задачи [17, с. 109-114]. Найдены девять случаев интегрируемости. В этой статье пред...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123789 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 41-50. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860237644534906880 |
|---|---|
| author | Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| author_facet | Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| citation_txt | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 41-50. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Постановки задачи о движении двух связанных тел, ориентированные на цели и методы аналитической динамики, даны в цикле работ [1-16], включенных позже в монографию [17]. Предложено шесть форм уравнений рассматриваемой задачи [17, с. 109-114]. Найдены девять случаев интегрируемости. В этой статье предложена седьмая форма уравнений движения и найдено новое точное решение.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:26:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 531.38
c©2006. Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
ÍÎÂÎÅ ÒÎ×ÍÎÅ ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×È
Î ÄÂÈÆÅÍÈÈ ÄÂÓÕ ÃÈÐÎÑÊÎÏÎÂ ËÀÃÐÀÍÆÀ,
ÑÎ×ËÅÍÅÍÍÛÕ ÓÏÐÓÃÈÌ ÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÈÌ ØÀÐÍÈÐÎÌ
Ïîñòàíîâêè çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ñâÿçàííûõ òåë, îðèåíòèðîâàííûå íà öåëè è ìåòîäû àíàëèòè÷åñêîé
äèíàìèêè, äàíû â öèêëå ðàáîò [1 � 16], âêëþ÷åííûõ ïîçæå â ìîíîãðàôèþ [17]. Ïðåäëîæåíî øåñòü ôîðì
óðàâíåíèé ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è [17, ñ. 109-114]. Íàéäåíû äåâÿòü ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè.  ýòîé
ñòàòüå ïðåäëîæåíà ñåäüìàÿ ôîðìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ è íàéäåíî íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå.
Íîâàÿ ôîðìà óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Áåç îãðàíè÷åíèÿ íà ðàñïðåäåëåíèå ìàññ
òåë óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ðàáîòå [18] ïîëó÷åíû ìåòîäàìè íåãîëîíîìíîé ìåõàíèêè â
âèäå óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ëàãðàíæà. Îäíàêî òî÷íûå ðåøåíèÿ èõ àâòîðû èñêàëè ëèøü
äëÿ îñåñèììåòðè÷íûõ òåë. Ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ ïðîâåäåíà ðåäóêöèÿ ê ñèñòåìå òðåõ
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.  [17, ñ. 110-113] ýòà çàäà÷à ñâåäåíà ê äâóì óðàâíåíèÿì
ïåðâîãî ïîðÿäêà â òðåõ ôîðìàõ.
Ïðèâåäåì óðàâíåíèÿ1 (5.47)*, (5.48)* ìîíîãðàôèè [17]:
Hω̇2 = Nn0Ω1 + (A0n−Hω3)ω1, (1)
HΩ̇2 = Nnω1 + (An0 −HΩ3)Ω1. (2)
Âìåñòî ω1, Ω1 ââîäèì íîâûå ïåðåìåííûå (5.57)*
ω1 = (ξ + 1)κ, Ω1 = (ξ − 1)κ, (3)
òîãäà, âñëåäñòâèå (5.59)*,
θ̇ = −2κ. (4)
Ïåðåìåííûå ω3, Ω3, âõîäÿùèå â (1), (2), çàïèñàíû êîíå÷íûìè ñîîòíîøåíèÿìè â (5.55)*:
ω3 = (Ω2 − ω2 cos θ)/ sin θ, Ω3 = (Ω2 cos θ − ω2)/ sin θ. (5)
Âìåñòî öèêëè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ ââåäåì íîâûå âåëè÷èíû
n = Hk, n0 = Hk0, (6)
ãäå
H = AA0 −N2 > 0, (7)
è ïåðåéäåì â óðàâíåíèÿõ (1), (2) ê äèôôåðåíöèðîâàíèþ ïî θ, ïîäñòàâèâ â íèõ ñîîòíî-
øåíèÿ (3), (4), (6):
2ω′2 = −Nk0(ξ − 1)− (A0k − ω3)(ξ + 1), 2Ω′
2 = −Nk(ξ + 1)− (Ak0 − Ω3)(ξ − 1)
1Ïðè ññûëêå íà ôîðìóëû èç [17] áóäåì ñíàáæàòü èõ íîìåðà çâåçäî÷êîé.
41
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
(øòðèõîì îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî θ). Ýòè óðàâíåíèÿ çàïèøåì â âèäå
ξ(A0k + Nk0 − ω3) = −2ω′2 + Nk0 − A0k + ω3, (8)
ξ(Ak0 + Nk − Ω3) = −2Ω′
2 −Nk + Ak0 − ω3. (9)
Âíà÷àëå íåîáõîäèìî âûäåëèòü ñëó÷àè, â êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû ïðè ξ â óðàâíå-
íèÿõ (8), (9) ïîðîçíü èëè âìåñòå îáðàùàþòñÿ â íóëü.
Ïóñòü
A0k + Nk0 − ω3 6= 0, (10)
Ak0 + Nk − Ω3 = 0, (11)
òîãäà
Ω3 = Ak0 + Nk, (12)
ïðè ýòîì èç óðàâíåíèÿ (9) íàõîäèì Ω′
2 = −Nk è
Ω2(θ) = C0 −Nkθ. (13)
Èç êîíå÷íûõ ñîîòíîøåíèé (5) ñ ó÷åòîì (12), (13) ïîëó÷èì
ω2(θ) = (C0 −Nkθ) cos θ − (Ak0 + Nk) sin θ, (14)
ω3(θ) = (C0 −Nkθ) sin θ + (Ak0 + Nk) cos θ. (15)
Ïðè óñëîâèè (10) èç óðàâíåíèÿ (8) îïðåäåëÿåì ξ(θ):
ξ(θ) = −3 + 2
A0k + 2Nk0 + Nk cos θ
A0k + Nk0 − (C0 −Nkθ) sin θ − (Ak0 + Nk) cos θ
. (16)
Ñðàâíèâàÿ (12), (13)�(16) ñ ñîîòíîøåíèÿìè (11.6)*, (11.7)*, (11.3)*, çàìå÷àåì, ÷òî ïðè
óñëîâèÿõ (10), (11) ïîëó÷àåì ðåøåíèå, íàéäåííîå Ì.Å. Ëåñèíîé [17].
Àíàëîãè÷íî, ñ÷èòàÿ ÷òî
A0k0 + Nk − Ω3 6= 0, A0k + Nk0 − ω3 = 0, (17)
ïîëó÷àåì òàêèå âûðàæåíèÿ
ω3 = A0k + Nk0, (18)
ω′2 −Nk0 = 0, (19)
ω2(θ) = C + Nk0θ, (20)
Ω2(θ) = (C + Nk0θ) cos θ + (A0k + Nk0) sin θ, (21)
Ω3(θ) = −(C + Nk0θ) sin θ + (A0k + Nk0) cos θ, (22)
ξ(θ) = 3− 2
Ak0 + 2Nk + Nk0 cos θ
Ak0 + Nk0 + (C + Nk0θ) sin θ − (A0k + Nk0) cos θ
. (23)
Ñîîòíîøåíèÿìè (18)�(23) îïðåäåëåíî ðåøåíèå, àíàëîãè÷íîå óêàçàííîìó âûøå â [17].
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (12), (13) è (18), (20), íî ýòè ÷åòûðå
ïåðåìåííûå ñâÿçàííû ñîîòíîøåíèÿìè (5), èç êîòîðûõ ñ ó÷åòîì (13), (20) ñëåäóåò
ω3 sin θ = C0 −Nkθ − (C + Nk0θ) cos θ, Ω3 sin θ = (C0 −Nkθ) cos θ − (C + Nk0θ).
42
Íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà
Ïîäñòàâèâ â ýòè âûðàæåíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (12), (18), ïîëó÷èì
(A0k + Nk0) sin θ ≡ C0 −Nkθ − (C + Nk0θ) cos θ,
(Ak0 + Nk) sin θ ≡ (C0 −Nkθ) cos θ − C −Nk0θ.
Âûïîëíåíèå ýòèõ òîæäåñòâ âîçìîæíî ëèøü ïðè óñëîâèÿõ
A0k + Nk0 = 0, Ak0 + Nk = 0, C = 0, C0 = 0, Nk0 = 0, Nk = 0
èëè ñëåäóþùèõ èç íèõ òàêèõ
C = C0 = 0, k = k0 = 0. (24)
Çàïèøåì ðåøåíèå çàäà÷è ïðè ïîëó÷åííûõ óñëîâèÿõ. Êàê ñëåäóåò èç (12), (13), (18), (20)
ω2 = 0, Ω2 = 0, (25)
ω3 = 0, Ω3 = 0. (26)
À èç öèêëè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ (5.11)*
ω3 + ϕ̇ =
n
J
= ñ, Ω3 + Φ̇ =
n0
J0
= ñ0 (27)
è óñëîâèé (24), (6), (26) èìååì ϕ̇ = 0, Φ̇ = 0, ò. å. óãëîâûå ñêîðîñòè ñîáñòâåííûõ
âðàùåíèé òåë ðàâíû íóëþ. Òîãäà óãëîâûå ñêîðîñòè òåë S, S0 òàêîâû
ω∗ = ω1e1 = (ξ + 1)κe1, (28)
Ω∗ = Ω1e1 = (ξ − 1)κe1. (29)
Ïåðåìåííûå ξ è κ íàéäåì èç èíòåãðàëîâ (5.18)*, (5.14)*:
G2
1 + G2
2 + G2
3 = g2, (30)
ãäå
G1 = (A−N cos θ)ω1 + (A0 −N cos θ)Ω1,
G2 = (A−N cos θ)ω2 + (A0 cos θ −N)Ω2 − n0 sin θ,
G3 = (A0Ω2 −Nω2) sin θ + n + n0 cos θ,
(31)
A(ω2
1 + ω2
2) + A0(Ω
2
1 + Ω2
2)− 2N(Ω1ω1 cos θ + Ω2ω2) + 2Π(θ) = 2h. (32)
Ïðè óñëîâèÿõ (25), (26), (28), (29) èç (30), (32) íàõîäèì
κ(θ) =
g
(A + A0 − 2N cos θ)ξ + A− A0
, (33)
(A + A0 − 2N cos θ)ξ + (A− A0) = 2g
√
AA0 −N2 cos2 θ
(A + A0 − 2N cos θ)[2h− 2Π(θ)]− g2
.
43
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
Èñêëþ÷àÿ ξ èç ñîîòíîøåíèÿ (33), íàõîäèì
2κ(θ) =
√
(A + A0 − 2N cos θ)[2h− 2Π(θ)]− g2
AA0 −N2 cos2 θ
. (34)
Îòìåòèì, ÷òî, âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà (7), AA0 −N2 cos2 θ > 0. Ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæå-
íèå äëÿ κ(θ) â (4), ïîëó÷èì óðàâíåíèå
dθ
dt
= −
√
(A + A0 − 2N cos θ)[2h− 2Π(θ)]− g2
AA0 −N2 cos2 θ
,
èç êîòîðîãî îïðåäåëèì çàâèñèìîñòü t îò óãëà θ:
t− t0 = −
∫ √
AA0 −N2 cos2 θ
(A + A0 − 2N cos θ)[2h− 2Π(θ)]− g2
dθ. (35)
Êîíêðåòèçèðóÿ âçàèìîäåéñòâèÿ òåë, ïðèìåì
Π(θ) = −C2
∗ cos θ (36)
è, ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â ïðàâóþ ÷àñòü (35), íàõîäèì
t− t0 = −
∫ √
AA0 −N2 cos2 θ
(A + A0 − 2N cos θ)[2h + 2C2∗ cos θ]− g2
dθ. (37)
Âìåñòî óãëà θ ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ
u = cos θ (38)
è çàïèøåì ñîîòíîøåíèå (37) â âèäå
t− t0 = −
∫
AA0 −N2u2
√
(AA0 −N2u2)(1− u2)[(A + A0 − 2Nu)(2h + 2C2∗u)− g2]
du.
Îòìåòèì, ÷òî ñòîÿùèé ñïðàâà èíòåãðàë � ãèïåðýëëèïòè÷åñêèé.
Èòàê, â ýòîì ðåøåíèè
g = ge1, (39)
ω∗ =
g + 2(A0 −N cos θ)
A + A0 − 2N cos θ
κ(θ)e1, Ω∗ =
g − 2(A−N cos θ)
A + A0 − 2N cos θ
κ(θ)e1,
à κ(θ) îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåì (34) ñ ó÷åòîì (36).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå (8) îïðåäåëÿåò ïåðåìåííóþ ξ
ξ =
−2ω′2 + Nk0 − A0k + ω3
A0k + Nk0 − ω3
, (40)
à èñêëþ÷àÿ ξ èç (9), ïðèõîäèì ê òàêîìó óðàâíåíèþ
(−2Ω′
2+Ak0−Nk−Ω3)(A0k+Nk0−ω3)+(2ω′2+A0k+Nk0−ω3)(Ak0+Nk−Ω3) = 0. (41)
44
Íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà
Ïîäñòàâèâ â (40), (41) ñîîòíîøåíèå (5), íàõîäèì
ξ =
−2ω′2 sin θ + Nk0 sin θ − A0k sin θ + Ω2 − ω2 cos θ
(A0k + Nk0) sin θ − Ω2 + ω2 cos θ
, (42)
[2Ω′
2 sin θ + Ω2 cos θ − ω2 − (Ak0 −Nk) sin θ][−Ω2 + ω2 cos θ+
+(A0k + Nk0) sin θ] + [−Ω2 + ω2 cos θ + 2ω′2 sin θ+ (43)
+(A0k −Nk0) sin θ][Ω2 cos θ − ω2 − (Ak0 + Nk) sin θ] = 0.
Ïðè óñëîâèÿõ (10), (17) ñ÷èòàåì, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ óïðóãîãî ýëåìåíòà â èíòå-
ãðàëå (5.14)* íå êîíêðåòèçèðîâàíà, ïåðåíåñåì ïðîèçâîë â åå îïðåäåëåíèè íà ïåðåìåííóþ
ω2(θ), òîãäà óðàâíåíèå (43) ïðåäñòàâèò ñîáîé óðàâíåíèå Àáåëÿ âòîðîãî ðîäà
Ω′
2[Ω2 + f3(θ)] = f2(θ)Ω
2
2 + f1(θ)Ω2 + f0(θ), (44)
ãäå
f3(θ) = −ω2 cos θ − (A0k + Nk0) sin θ, f2(θ) = −ctgθ,
f1(θ) = ω′2 cos θ + Ak0 + A0k cos θ + ω2(sin θ + 2 cos θctgθ), (45)
f0(θ) = [−ω2 − (Ak0 + Nk) sin θ]ω′2 − [ω2ctgθ + A0k + Ak0 cos θ]ω2 −Hkk0 sin θ.
Ââåäåì íîâóþ ôóíêöèþ
η(θ) = (Ω2 + f3(θ)) sin θ, (46)
èëè
η(θ) = [Ω2 − ω2 cos θ − (A0k + Nk0) sin θ] sin θ;
âñëåäñòâèå óñëîâèé (10), (5) η îòëè÷íà îò íóëÿ è
Ω2(θ) =
η
sin θ
+ ω2 cos θ + (A0k + Nk0) sin θ. (47)
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (47) â óðàâíåíèå (44) ïîëó÷èì
ηη′ = F1(θ)η + F0(θ), (48)
ãäå
F1(θ) = [2ω2 sin θ − 2(A0k + Nk0) cos θ + Ak0 −Nk0 cos θ] sin θ,
F0(θ) = (ω′2 −Nk0)[−ω2 sin θ + (A0k + Nk0) cos θ − (Ak0 + Nk)] sin3 θ.
Ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè. Êàê èçâåñòíî, óðàâíåíèå Àáåëÿ (48) ïðè ïðîèçâîëü-
íûõ ôóíêöèÿõ F1(θ), F0(θ) íåëüçÿ ïðîèíòåãðèðîâàòü â êâàäðàòóðàõ.
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû
F0(θ) = 0. (49)
Òàê êàê ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (44) (à, ñëåäîâàòåëüíî, è (48)) ïðåäïîëàãàëè, ÷òî
ω′2 −Nk0 6= 0,
òî âìåñòî óñëîâèÿ (49) èìååì òàêîå
ω2 sin θ = (A0k + Nk0) cos θ − Ak0 −Nk, (50)
45
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
à
F1(θ) = −(Ak0 + 2Nk + Nk0 cos θ) sin θ. (51)
Âñëåäñòâèå (49) óðàâíåíèå (48) ïðèìåò âèä
η(η′ − F1(θ)) = 0. (52)
Êàê ñëåäóåò èç (46), (45), (5), óñëîâèå η = 0 ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ (18), êîòîðîå óæå
ðàññìîòðåíî. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü η 6= 0, òîãäà èç (52), (51) íàõîäèì
η(θ) = η0 + (Ak0 + 2Nk) cos θ +
1
2
Nk0 cos2 θ,
à çàòåì èç (47) ñëåäóåò
Ω2 sin θ = η0 + A0k + Nk0 + Nk cos θ +
1
2
Nk0 cos2 θ. (53)
Èç ñîîòíîøåíèé (5), ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íèõ (50), (53), èìååì
ω3 sin2 θ = η0 + (2Nk + Ak0) cos θ + (A0k + Nk0) sin2 θ +
1
2
Nk0 cos2 θ, (54)
Ω3 sin2 θ = Ak0 + Nk + η0 cos θ + Nk cos2 θ +
1
2
Nk0 cos3 θ. (55)
Èç (42) ñ ó÷åòîì (50), (53) îïðåäåëÿåì
ξ(θ) = −2(A0k + Nk0)− 2(Ak0 + Nk) cos θ + 2Nk0 sin2 θ
η0 + (Ak0 + 2Nk) cos θ +
1
2
Nk0 cos2 θ
− 1. (56)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ω1(θ), Ω1(θ) èñïîëüçóåì èíòåãðàëû (30), (32).
Ïîäñòàâèâ â (31) âûðàæåíèÿ (3), (50), (53), íàõîäèì
G1(θ) =
κ
B
{3N2k0 cos3 θ−A0Nk0 cos2 θ−2[A2k0+4N2k0+Nη̃] cos θ+4(A+A0)Nk0+2A0η̃},
2B = −[Nk0 cos2 θ + (2Ak0 + 4Nk) cos θ − 2(A + A0)k + 2η̃], η̃ = η0 + (A + A0)k,
G2 sin θ =
1
2
A0Nk0 cos3 θ +
(
AA0 − 5
2
N2
)
k0 cos2 θ+
+(2A + A0)Nk0 cos θ − A(A + A0)k0 + (A0 cos θ −N)η̃,
G3(θ) =
[
1
2
A0N cos2 θ + (AA0 − 2N2) cos θ + (A + A0)N
]
k0 + A0η̃.
Ïîñëå ýòîãî èç èíòåãðàëà (30) îïðåäåëÿåì
2κ(u) =
= − [Nk0u
2 + 2(Ak0 + 2Nk)u− 2(A + A0)k + 2η̃]
√
P5(u)
3N2k0u3 − A0Nk0u2 − 2(A2k0 + 4N2k0 + Nη̃)u + 4(A + A0)Nk0 + 2A0η̃)
√
1− u2
,
(57)
46
Íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà
ãäå
P5(u) = M0u
5 + M1u
4 + M2u
3 + M3u
2 + M4u + M5,
M0 = 1
2
A0N
3k2
0,
M1 = −1
4
(A2
0 + 9N2)N2k2
0,
M2 = 2A0N
2η̃k0 + [−A2A0 + 3(2A + A0)N
2]Nk2
0, (58)
M3 = −g2 − (A2
0 + 5N2)Nη̃k0 + A2A0(2A + A0)k
2
0 − (8A2 + 4AA0 + A2
0)N
2k2
0 − 4N4k2
0,
M4 = 2A0η̃
2N + 2[A2A0 + (2A + 3A0)N
2]η̃k0 + 4(A + A0)(A
2 + N2)Nk2
0,
M5 = g2 − (A2
0 + N2)η̃2 − 2(A + A0)
2Nη̃k0 − (A + A0)
2(A2 + N2)k2
0.
Çàâèñèìîñòü âðåìåíè t îò ïåðåìåííîé u íàõîäèì èç (4), ïîäñòàâèâ â íåãî (57),
t− t0 =
∫
3N2k0u
3 − A0Nk0u
2 − 2(Nη̃ + A2k0 + 4N2k0)u + 4(A + A0)Nk0 + 2A0η̃
[−Nk0u2 − 2(Ak0 + 2Nk)u + 2(A + A0)k − 2η̃]
√
P5(u)
du.
(59)
Çàòåì îáðàùåíèåì ãèïåðýëëèïòè÷åñêîãî èíòåãðàëà ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü u îò âðåìå-
íè t.
Çàïèøåì èíòåãðàëû (30), (32) ñ ó÷åòîì (3)
κ2
[
A(ξ + 1)2 + A0(ξ − 1)2 − 2N cos θ(ξ2 − 1)
]
= 2h− 2Π(θ) + 2NΩ2ω2 − Aω2
2 − A0Ω
2
2,
[(A−N cos θ)(ξ + 1) + (A0 −N cos θ)(ξ − 1)]2κ2 = g2 −G2
2 −G2
3.
Èñêëþ÷àÿ κ2 èç ýòèõ èíòåãðàëîâ, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â
âèäå
[2h− 2Π(θ)](A + A0 − 2N cos θ)(Aω2
2 + A0Ω
2
2 − 2NΩ2ω2)−
−(G2
2 + G2
3) + g2 +
4(AA0 −N2 cos2 θ)(g2 −G2
2 −G2
3)
[(A + A0 − 2N cos θ)ξ + A− A0]2
, (60)
ãäå
G2
2 + G2
3 = (A + A0 − 2N cos θ)(Aω2
2 + A0Ω
2
2 − 2NΩ2ω2)−H(ω2
2 + Ω2
2 − 2ω2Ω2 cos θ)+
+2H[−(Ak0 + Nk)ω2 + (A0k + Nk0)Ω2] sin θ + H2(k2 + k2
0 + 2kk0 cos θ). (61)
Èç öèêëè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ (27) ñ ó÷åòîì (54), (55), (4) íàõîäèì
ϕ = ϕ0 +
(
Hk
J
− 2A0k + Nk0
2
)
t +
∫
2η0 + Nk0 + 2(Ak0 + 2Nk) cos θ
4κ sin2 θ
dθ, (62)
Φ = Φ0 +
(
Hk0
J0
+ Nk
)
t +
∫
2(Ak0 + 2Nk) + 2η0 cos θ + Nk0 cos3 θ
4κ sin2 θ
dθ, (63)
ãäå κ(θ) îïðåäåëåíî ñîîòíîøåíèåì (57). Òàêèì îáðàçîì ïîñòðîåíî ðåøåíèå, îïðåäåëÿ-
åìîå ñîîòíîøåíèÿìè (3), (50), (53)�(56), (57), (62), (63), (60).
Êàê ñëåäóåò èç (61), (50),(53), (56), âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðåä-
ñòàâèò ñîáîé ðàöèîíàëüíóþ ôóíêöèþ sin θ, cos θ.
47
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
×àñòíûå ñëó÷àè ðåøåíèÿ. Èç ñîîòíîøåíèé (58) çàìå÷àåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû
M0,M1, M2 ìíîãî÷ëåíà P5(u) îáðàùàþòñÿ â íóëü ïðè Nk0 = 0.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àè
N = 0, k0 = 0; (64)
N 6= 0, k0 = 0; (65)
N = 0, k0 6= 0. (66)
Ïðè óñëîâèè (66) îäíî èç òåë ñèñòåìû çàêðåïëåíî â öåíòðå ìàññ, à ïðè óñëîâèè (65)
çíà÷åíèå öèêëè÷åñêîé ïîñòîÿííîé k0 = 0.
Ïðè óñëîâèÿõ (64) ðåøåíèå (50), (53), (56) èìååò âèä
ω2 sin θ = A0k cos θ, (67)
Ω2 sin θ = η̃ − Ak, (68)
ξ =
(A0 − A)k + η̃
(A0 + A)k − η̃
, (69)
2κ sin θ =
[(A + A0)k − η̃]
√
−g2 cos2 θ + g2 − A2
0η̃
2
A0η̃
.
Ââåäåì ïàðàìåòðû
b =
gη0
A0[(A + A0)k + η0]
, sin γ1 =
[(A + A0)k + η0]A0
g
.
Îòìåòèì, ÷òî η0 = b sin γ1. Òåïåðü ñîîòíîøåíèå (59) ïðèíèìàåò âèä
b(t− t0) = −
∫
du√
cos2 γ1 − u2
.
Îòêóäà óñòàíàâëèâàåì çàâèñèìîñòü ìåæäó θ è âðåìåíåì t
cos θ = cos γ1 cos[b(t− t0)]. (70)
Äëÿ κ(t) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
κ(t) = − b cos γ1 sin[b(t− t0)]
2
√
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
. (71)
Ïîäñòàâèâ (71), (69) â (3), íàõîäèì
ω1(t) =
A0k
sin γ1
cos γ1 sin[b(t− t0)]√
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
, (72)
Ω1(t) =
(b sin γ1 + A0k) cos γ1 sin[b(t− t0)]
sin γ1
√
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
. (73)
Ó÷èòûâàÿ (70), èç (67), (68) ïîëó÷èì
ω2(t) =
A0k cos γ1 cos[b(t− t0)]√
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
, (74)
48
Íîâîå òî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà
Ω2(t) =
A0k + b sin γ1√
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
. (75)
Âíåñåì (74), (75), (70) â (5) è îïðåäåëèì
ω3(t) = A0k +
b sin γ1
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
, Ω3(t) =
b sin γ1 cos γ1 cos[b(t− t0)]
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
,
à ïîñëå ýòîãî èç öèêëè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ (27) íàõîäèì çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè óãëîâ
ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ òåë
ϕ(t) = ϕ0 + b1t + arctg[sin γ1ctg[b(t− t0)]], (76)
Φ(t) = Φ0 − arctg[ctgγ1 sin[b(t− t0)]], (77)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
b1 = A0
(
A
J
− 1
)
k.
Ïîíàäîáÿòñÿ âûðàæåíèÿ, sin ϕ, cos ϕ, sin Φ, cos Φ, êîòîðûå îïðåäåëèì èç (76),(77):
sin ϕ =
sin γ1 cos β cos b(t− t0) + sin β sin b(t− t0)√
1− cos2 γ1 cos2[b(t− t0)]
,
(78)
cos ϕ =
− sin γ1 sin β cos b(t− t0) + cos β sin b(t− t0)√
1− cos2 γ1 cos2 b(t− t0)
,
cos Φ =
1√
1− cos2 γ1 cos2 b(t− t0)
[sin γ1 cos Φ0 + cos γ1 sin Φ0 sin b(t− t0)],
(79)
sin Φ =
1√
1− cos2 γ1 cos2 b(t− t0)
[sin γ1 sin Φ0 − cos γ1 cos Φ0 sin b(t− t0)],
ãäå β = ϕ0 + b1(t − t0). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâ óãëîâûõ ñêîðîñòåé òåë
S è S0 â áàçèñàõ, íåèçìåííî ñâÿçàííûõ ñ ýòèìè òåëàìè, èñïîëüçóåì ôîðìóëû (5.32)*,
(5.37)*
ω∗ = ω∗1e∗1 + ω∗2e∗2 +
n
J
e3, Ω∗ = Ω∗
1e0∗
1 + Ω∗
2e0∗
2 +
n0
J0
e0
3, (80)
ω∗1 = ω1 cos ϕ + ω2 sin ϕ, ω∗2 = −ω1 sin ϕ + ω2 cos ϕ, (81)
Ω∗
1 = Ω1 cos Φ + Ω2 sin Φ, Ω∗
2 = −Ω1 sin ϕ + ω2 cos ϕ. (82)
Ïîäñòàâèâ (72)�(75), (78), (79) â (81), (82), ïîëó÷èì
ω∗1 = A0kctgγ1 cos β, ω∗2 = −A0kctgγ1 sin β, (83)
Ω∗
1 =
A0k + b sin γ1
sin γ1
sin Φ0, Ω∗
2 =
A0k + b sin γ1
sin γ1
cos Φ0, Ω∗
3 = 0. (84)
Èç ñîîòíîøåíèé (84) çàêëþ÷àåì, ÷òî êîìïîíåíòû òåëà S0 â íåèçìåííî ñâÿçàííîì ñ
íèì áàçèñå ïîñòîÿííû, à ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð Ω∗ èìååò íåèçìåííîå íàïðàâëåíèå è â
íåïîäâèæíîì ïðîñòðàíñòâå.
49
Ì.Å. Ëåñèíà, ß.Â. Çèíîâüåâà
1. Ëåñèíà Ì.Å. Î êîëåáàíèÿõ îñè ìàõîâèêà â òåëå-íîñèòåëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1979. �
Âûï. 11. � Ñ. 32�37.
2. Ëåñèíà Ì.Å. Îá óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ òî÷íûõ ðåøåíèé çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ãèðîñêîïîâ
Ëàãðàíæà, ñîåäèíåííûõ ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Òàì æå. � 1984. � Âûï. 16. �Ñ. 32�36.
3. Ëåñèíà Ì.Å. Óðàâíåíèå àêñîèäîâ â îäíîì èç ðåøåíèé çàäà÷è äâèæåíèÿ äâóõ òåë, ñîåäèíåííûõ
ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Òàì æå. � 1984. � Âûï. 16. � Ñ. 36�42.
4. Ëåñèíà Ì.Å. Îäèí êëàññ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ñâÿçàííûõ òåë //
Òàì æå. � 1986. � Âûï. 18. � Ñ. 47�53.
5. Ëåñèíà Ì.Å. Ê ïîñòðîåíèþ ïîëíîãî ðåøåíèÿ â îäíîì ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è î äâèæåíèè
äâóõ ñâÿçàííûõ òåë // Òàì æå. � 1987. � Âûï. 19. � Ñ. 54�57.
6. Ëåñèíà Ì.Å. Ê ïîñòðîåíèþ ïîëíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è îá îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè ñèñòåìû äâóõ
òåë // Òàì æå. � 1987. � Âûï. 19. � Ñ. 58�68.
7. Ëåñèíà Ì.Å. Òðè íîâûõ ñëó÷àÿ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñèñòåìû äâóõ ñâÿçàííûõ
òâåðäûõ òåë // Òàì æå. � 1989. � Âûï. 21. � Ñ. 24�30.
8. Ëåñèíà Ì.Å. Àêñîèäû â îäíîì ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ òåë, ñâÿçàííûõ
ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Òàì æå. � 1991. � Âûï. 23. � Ñ. 43�50.
9. Ëåñèíà Ì.Å. Ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è îá îäíîì êëàññå ðàâíîàêñîèäíûõ äâèæåíèé ïî èíåðöèè äâóõ
òåë, ñîåäèíåííûõ ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Òàì æå. � 1991. � Âûï. 23. � Ñ. 93�101.
10. Ëåñèíà Ì.Å. Ãàìèëüòîíîâà ôîðìà óðàâíåíèé çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ñâÿçàííûõ òåë // Òàì æå.
� 1993. � Âûï. 25. � Ñ. 42�44.
11. Ëåñèíà Ì.Å. Ñâåäåíèå ê êâàäðàòóðàì îáùåãî ñëó÷àÿ çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàí-
æà, ñî÷ëåíåííûõ óïðóãèì ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Òàì æå. � 1996. � Âûï. 26. � Ñ.
12. Ëåñèíà Ì.Å. Î ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ãèðîñôåðû. � Äîíåöê: ÄîíÃÒÓ,1996. � 104 ñ.
13. Ëåñèíà Ì.Å., Õàðëàìîâ À.Ï. Íîâûé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ àêñîèäîâ â çàäà÷å î äâèæåíèè ñèñòåìû
äâóõ ñâÿçàííûõ òåë // Òàì æå. � 1993. � Âûï. 25. � Ñ. 30�42.
14. Ëåñèíà Ì.Å., Õàðëàìîâ Ï.Â. Ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïî èíåðöèè äâóõ òåë,
ñîåäèíåííûõ ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. � Ñåð. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1983.
� � 4. � Ñ. 26�31.
15. Ëåñèíà Ì.Å., Øåâ÷åíêî Ò.Ï. Ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè äâóõ ñâÿçàííûõ òåë â îäíîì
ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòè // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1988. � Âûï. 20. � Ñ. 71�76.
16. Ëåñèíà Ì.Å., Øåâ÷åíêî Ò.Ï. Îá îäíîì ñëó÷àå äâèæåíèÿ äâóõ òåë, ñâÿçàííûõ ñôåðè÷åñêèì øàð-
íèðîì, ïðè íóëåâîì ìîìåíòå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ // Òàì æå. � 1990. � Âûï. 22. � Ñ. 48�54.
17. Ëåñèíà Ì.Å. Òî÷íûå ðåøåíèÿ äâóõ íîâûõ çàäà÷ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè ñèñòåì ñî÷ëåíåííûõ òåë.
� Äîíåöê: ÄîíÃÒÓ, 1996. � 238 ñ.
18. Õàðëàìîâ Ì.Ï., Êîíîíûõèí À.Ã. Î äâèæåíèè ïî èíåðöèè ñèñòåìû äâóõ òâåðäûõ òåë, ñâÿçàííûõ
ñôåðè÷åñêèì øàðíèðîì // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1980. � Âûï. 12. � Ñ. 52�63.
Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé òåõí. óí-ò Ïîëó÷åíî 18.04.2006
50
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123789 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:26:48Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. 2017-09-09T17:19:11Z 2017-09-09T17:19:11Z 2006 Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром / М.Е. Лесина, Я.В. Зиновьева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 41-50. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123789 531.38 Постановки задачи о движении двух связанных тел, ориентированные на цели и методы аналитической динамики, даны в цикле работ [1-16], включенных позже в монографию [17]. Предложено шесть форм уравнений рассматриваемой задачи [17, с. 109-114]. Найдены девять случаев интегрируемости. В этой статье предложена седьмая форма уравнений движения и найдено новое точное решение. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром Article published earlier |
| spellingShingle | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром Лесина, М.Е. Зиновьева, Я.В. |
| title | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром |
| title_full | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром |
| title_fullStr | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром |
| title_full_unstemmed | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром |
| title_short | Новое точное решение задачи о движении двух гироскопов Лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром |
| title_sort | новое точное решение задачи о движении двух гироскопов лагранжа, сочлененных упругим сферическим шарниром |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123789 |
| work_keys_str_mv | AT lesiname novoetočnoerešeniezadačiodviženiidvuhgiroskopovlagranžasočlenennyhuprugimsferičeskimšarnirom AT zinovʹevaâv novoetočnoerešeniezadačiodviženiidvuhgiroskopovlagranžasočlenennyhuprugimsferičeskimšarnirom |