Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющий вертикальную наружную ось подвеса. Относительно оси ротора действует момент, равный алгебраической сумме момента сил трения и вращающего момента электродвигателя синхронного типа. Моме...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123792 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 64-74. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859463913715793920 |
|---|---|
| author | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| author_facet | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| citation_txt | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 64-74. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющий вертикальную наружную ось подвеса. Относительно оси ротора действует момент, равный алгебраической сумме момента сил трения и вращающего момента электродвигателя синхронного типа. Моменты сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса отсутствуют. Уравнения движения такой системы допускают семейство решений, описывающих ее стационарные движения (регулярные прецессии или равномерные вращения ротора). В статье изучаются семейства стационарных движений, для которых выполнено наиболее простое и общее условие устойчивости условие положительности второй производной по внутреннему карданову углу от приведенной потенциальной энергии силы тяжести. Показано, что соответствующие возмущенные движения с течением времени стремятся к стационарным движениям из того же семейства, и дана оценка области притяжения.
|
| first_indexed | 2025-11-24T04:24:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 531.38, 531.36
c©2006. Á.È. Êîíîñåâè÷, Þ.Á. Êîíîñåâè÷
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÏÎÂÅÄÅÍÈÅ
ÂÎÇÌÓÙÅÍÍÛÕ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÄÂÈÆÅÍÈÉ
ÑÈÍÕÐÎÍÍÎÃÎ ÃÈÐÎÑÊÎÏÀ Â ÊÀÐÄÀÍÎÂÎÌ ÏÎÄÂÅÑÅ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèðîñêîï â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, óñòàíîâëåííûé íà íåïîäâèæíîì îñíîâàíèè â ïîëå
ñèëû òÿæåñòè è èìåþùèé âåðòèêàëüíóþ íàðóæíóþ îñü ïîäâåñà. Îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà äåéñòâóåò
ìîìåíò, ðàâíûé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìîìåíòà ñèë òðåíèÿ è âðàùàþùåãî ìîìåíòà ýëåêòðîäâèãàòåëÿ
ñèíõðîííîãî òèïà. Ìîìåíòû ñèë òðåíèÿ è êàêèå-ëèáî óïðàâëÿþùèå ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî îñåé ïîä-
âåñà îòñóòñòâóþò. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òàêîé ñèñòåìû äîïóñêàþò ñåìåéñòâî ðåøåíèé, îïèñûâàþùèõ
åå ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ (ðåãóëÿðíûå ïðåöåññèè èëè ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ðîòîðà).
 ñòàòüå èçó÷àþòñÿ ñåìåéñòâà ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíåíî íàèáîëåå ïðî-
ñòîå è îáùåå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè � óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïî âíóòðåííåìó
êàðäàíîâó óãëó îò ïðèâåäåííîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèëû òÿæåñòè. Ïîêàçàíî, ÷òî ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå âîçìóùåííûå äâèæåíèÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ñòðåìÿòñÿ ê ñòàöèîíàðíûì äâèæåíèÿì èç òîãî æå
ñåìåéñòâà, è äàíà îöåíêà îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ.
1. Ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü. Çàäà÷ó î ãèðîñêîïå â êàðäàíîâîì ïîäâåñå ðàññìîòðèì
â îáîáùåííîé ïîñòàíîâêå, êîãäà "ðàìêè" ïîäâåñà èìåþò ïðîèçâîëüíóþ ôîðìó, âíóò-
ðåííÿÿ îñü ïîäâåñà íåêîëëèíåàðíà íàðóæíîé îñè ïîäâåñà è îñè ðîòîðà, è âñå ýòè îñè,
âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ðîòîð ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷-
íûì îòíîñèòåëüíî ñâîåé îñè âðàùåíèÿ âî âíóòðåííåé ðàìêå. Îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà
äåéñòâóþò ìîìåíò ñèë òðåíèÿ è âðàùàþùèé ìîìåíò ñèíõðîííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ.
Êàêèå-ëèáî äèññèïàòèâíûå èëè óïðàâëÿþùèå ìîìåíòû íà îñÿõ ïîäâåñà ïðåäïîëàãàþò-
ñÿ îòñóòñòâóþùèìè. Íàðóæíàÿ îñü ïîäâåñà íåïîäâèæíà è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî.
Ïîëîæåíèå ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿþò óãëû α, β, ϕ, ãäå α
� óãîë ïîâîðîòà íàðóæíîé ðàìêè îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèÿ, β � óãîë ïîâîðîòà âíóòðåí-
íåé ðàìêè îòíîñèòåëüíî íàðóæíîé, ϕ � óãîë ïîâîðîòà ðîòîðà îòíîñèòåëüíî âíóòðåí-
íåé ðàìêè. Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû âûðàæàåòñÿ
ôîðìóëîé
T =
1
2
[
G(β)α̇2 + Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2N(β)α̇β̇ + 2Q(β)α̇ϕ̇ + 2Rβ̇ϕ̇
]
, (1)
ãäå C � îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè ðîòîðà, êîýôôèöèåíòû H, R çàâèñÿò òîëüêî îò ìåõà-
íè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, êîýôôèöèåíòû G, N, Q, à òàêæå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèëû
òÿæåñòè U çàâèñÿò îò óãëà β è ìåõàíè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ïî ôîðìóëàì âèäà
G(β) = g0 + g1 sin β + g2 cos β + g3 sin 2β + g4 cos 2β, N(β) = n0 + n1 sin β + n2 cos β,
(2)Q(β) = q0 + q1 sin β, U(β) = u0 + u1 sin β + u2 cos β.
Âûðàæåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ôîðìóë (2) è âåëè÷èí H, R ÷åðåç ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû
ñëåäóþò èç ôîðìóë (8)�(15) ñòàòüè [1], åñëè ïîëîæèòü â íèõ θ1 = 0 (íàðóæíàÿ îñü
ïîäâåñà âåðòèêàëüíà), A3
22 = A3
33 = A, A3
11 = C, A3
ij = 0 (i 6= j), c = 0 (ðîòîð
äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷åí). Èç ýòèõ âûðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî q1 6= 0,
n0 = H cos θ2 (H > 0), q0 = C cos θ2 cos θ3, R = C cos θ3. (3)
64
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âîçìóùåííûõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
Çäåñü θ2, θ3 � óãëû, îáðàçîâàííûå âíóòðåííåé îñüþ ïîäâåñà ñ íàðóæíîé îñüþ ïîäâåñà è
ñ îñüþ ðîòîðà (0 < θ2, θ3 ≤ π/2).
Òàê êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé êâàäðàòè÷-
íîé ôîðìîé ñêîðîñòåé α̇, β̇, ϕ̇, òî ïðè ëþáîì β âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà Ñèëüâåñòðà
J(β) > 0, G(β)H −N2(β) > 0, G(β) > 0, (4)
ãäå J(β) � îïðåäåëèòåëü ôîðìû.
2. Ìîäåëü ñèíõðîííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Äëÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîä-
âåñå âíóòðåííÿÿ "ðàìêà" ÿâëÿåòñÿ ñòàòîðîì ýëåêòðîäâèãàòåëÿ, à ðîòîð ãèðîñêîïà � ðî-
òîðîì ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ðîòîð ñî ñòîðîíû ñòàòîðà, ñîçäàþò
îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà ìîìåíò L = L1 + L2, ðàâíûé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå âðàùàþ-
ùåãî ìîìåíòà äâèãàòåëÿ L1 è ìîìåíòà ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ L2.
Âðàùàþùèé ìîìåíò L1 ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ ôîðìèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
 ñòàòîðå äâèãàòåëÿ ñîçäàåòñÿ ìàãíèòíîå ïîëå, ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð íàïðÿæåííîñòè
êîòîðîãî H∗ ïîñòîÿíåí ïî ìîäóëþ, îðòîãîíàëåí îñè ðîòîðà è ðàâíîìåðíî âðàùàåòñÿ âî-
êðóã íåå, ñîñòàâëÿÿ óãîë ω∗t + ϕ∗ ñ íàïðàâëåíèåì îòñ÷åòà óãëà ϕ. Ðîòîð ñèíõðîííîãî
äâèãàòåëÿ èìååò ñîáñòâåííîå ïîñòîÿííîå ìàãíèòíîå ïîëå, ðåçóëüòèðóþùèé âåêòîð íà-
ïðÿæåííîñòè êîòîðîãî H îðòîãîíàëåí îñè ðîòîðà. Â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ ýòèõ
äâóõ ïîëåé âîçíèêàåò âðàùàþùèé ìîìåíò L1, êîòîðûé ñòðåìèòñÿ ñîâìåñòèòü íàïðàâ-
ëåíèå −H ñ H∗. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç γ óãîë ìåæäó âåêòîðàìè H∗ è
−H , òî L1 = L1(γ), ïðè÷åì ïðè 0 < |γ| < π çíàê L1(γ) ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó γ. Ïðè
γ = 0,±π áóäåò L1(0) = 0. Óãîë γ = ϕ− ω∗t− ϕ∗ íàçûâàåòñÿ óãëîì ìîùíîñòè [2].
Åñëè óãîë γ ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå, êðàòíîå 2π,
Ðèñ. 1. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè L1(γ) è
ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ óãëà γ
òî âçàèìíîå ïîëîæåíèå âåêòîðîâ H∗ è −H íå èç-
ìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó íå èçìåíÿåòñÿ è âðàùàþùèé ìî-
ìåíò L1(γ). Ñëåäîâàòåëüíî, ìîìåíò L1(γ) ÿâëÿåòñÿ
2π-ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé óãëà γ.  äàëüíåéøåì
ýòà ôóíêöèÿ ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåí-
öèðóåìîé. Åå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå L1max ïîëîæè-
òåëüíî, à ìèíèìàëüíîå � îòðèöàòåëüíî, òàê êàê ïðè
íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ óãëà γ ìîìåíò L1 ÿâëÿåòñÿ âðà-
ùàþùèì, à ïðè íåêîòîðûõ � òîðìîçÿùèì. Òàêèì îá-
ðàçîì, â ðàìêàõ ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ãðàôèê çà-
âèñèìîñòè L1 = L1(γ) èçîáðàæàåòñÿ â âèäå ñèíóñîè-
äàëüíîé êðèâîé (ðèñ. 1).
Ìîìåíò L2(ϕ̇) ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîé ìîíîòîííî óáûâàþùåé
ôóíêöèåé ϕ̇.
Ðåæèì ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ ðîòîðà íåïîäâèæíîãî ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ ϕ =
= ωt + ϕ0 ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî ïðè ω = ω∗, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â
äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè âðàùåíèÿ ðîòîðà Cϕ̈ = L1 + L2 ïðàâàÿ ÷àñòü íå ðàâíà
òîæäåñòâåííî íóëþ, è ñëåäîâàòåëüíî, ϕ̈ 6≡ 0.
Ðåæèì ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ ϕ = ω∗t + ϕ0 ñóùåñòâóåò ïðè óñëîâèè L1max+
+L2(ω∗) ≥ 0. Òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò çíà÷åíèå óãëà γ, ïðè êîòîðîì âðàùà-
þùèé ìîìåíò ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ óðàâíîâåøèâàåò ìîìåíò ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè
ϕ̇ = ω∗, ò. å. ðàçðåøèìî óðàâíåíèå
L1(γ) + L2(ω∗) = 0. (5)
65
Á.È. Êîíîñåâè÷, Þ.Á. Êîíîñåâè÷
Âîçìîæíû ÷åòûðå òèïà ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ñèíõðîííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ, êî-
òîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðåøåíèÿì óðàâíåíèÿ (5), ëåæàùèì íà ó÷àñòêå óáûâàíèÿ âðàùàþ-
ùåãî ìîìåíòà L1(γ), íà ó÷àñòêå åãî âîçðàñòàíèÿ, â òî÷êå åãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà èëè
ìèíèìóìà. Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ ïåðâûõ äâóõ òèïîâ ýòî óðàâíåíèå èìååò ïðè óñëîâèè
L1max + L2(ω∗) > 0. Ïîëüçóÿñü òåîðåìàìè Áàðáàøèíà�Êðàñîâñêîãî ([3], òåîðåìû 1.5.2
è 1.6.3; [4], òåîðåìà 2.1.3), íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ðåæèì ïåðâîãî òèïà àñèìïòîòè÷åñêè
óñòîé÷èâ, à îñòàëüíûå ðåæèìû íåóñòîé÷èâû, è ñëåäîâàòåëüíî, íåðåàëèçóåìû. Ïîýòî-
ìó äàëåå ðàññìàòðèâàåòñÿ ðåøåíèå γ0 óðàâíåíèÿ (5), ëåæàùåå íà ó÷àñòêå óáûâàíèÿ
ìîìåíòà L1(γ). Ñäâèãàÿ íà÷àëî îòñ÷åòà óãëà γ â òî÷êó γ0, èìååì γ0 = 0.
Ïðåäñòàâèì ìîìåíò L = L1(γ) + L2(ϕ̇) â âèäå ñóììû L = Lp(γ) + Ld(γ̇) ïîòåíöè-
àëüíîãî è äèññèïàòèâíîãî ìîìåíòîâ
Lp(γ) = L1(γ) + L2(ω∗), Ld(γ̇) = L2(ϕ̇)− L2(ω∗). (6)
Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ L2(ϕ̇) � ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ïî ϕ̇, òî ìîìåíò Ld(γ̇) � ìîíî-
òîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ γ̇, îáðàùàþùàÿñÿ â íóëü ïðè γ̇ = ϕ̇− ω∗ = 0. Ïîýòîìó
γ̇Ld(γ̇) < 0 (γ̇ 6= 0), Ld(0) = 0. (7)
Ìîìåíò Lp(γ) ìîæíî âûðàçèòü ïî ôîðìóëàì
Lp(γ) = − d
dγ
U1(γ), U1(γ) = −
γ∫
0
Lp(σ) dσ. (8)
Òàê êàê Lp(γ) � ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ γ, òî îíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
Lp(γ) = Lp + L̃p(γ), ãäå Lp � ñðåäíåå çíà÷åíèå Lp(γ) çà ïåðèîä, à L̃p(γ) = Lp(γ) − Lp �
ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì. Ïîýòîìó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
U1(γ) ðàâíà ñóììå U1(γ) = −γLp + Ũ1(γ) ëèíåéíîé ôóíêöèè −γLp è ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèè Ũ1(γ) = −
∫ γ
0
L̃p(σ) dσ.
 ñëó÷àå, êîãäà ðàçëîæåíèå L1(γ) â ðÿä Ôóðüå
Ðèñ. 2. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè U1(γ)
ñîäåðæèò òîëüêî îäíó ãàðìîíèêó (êàê íà ðèñ. 1), ãðà-
ôèê çàâèñèìîñòè U1(γ) èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà
ðèñ. 2.  îáùåì ñëó÷àå íà íèçøóþ ãàðìîíèêó íàëàãà-
þòñÿ áîëåå âûñîêèå è ãðàôèê U1(γ) èìååò áîëåå ñëîæ-
íûé âèä. Íî è ýòîì ñëó÷àå ïîâåäåíèå êðèâîé U1(γ) â
îêðåñòíîñòè òî÷êè γ = 0 îñòàåòñÿ òàêèì æå, êàê íà
ðèñ. 2, à èìåííî, ïðè γ = 0 ôóíêöèÿ U1(γ) èìååò èçî-
ëèðîâàííûé ìèíèìóì, ðàâíûé íóëþ.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü γ1 è γ2 � áëèæàéøèå ê
γ0 = 0 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5), ïðè÷åì γ1 < 0 < γ2 (ñì. ðèñ. 1). Òàê êàê ôóíêöèÿ
L1(γ) óáûâàåò â îêðåñòíîñòè òî÷êè γ0 = 0, òî â åå ëåâîé ïîëóîêðåñòíîñòè L1(γ) >
L1(γ0) = −L2(ω∗), à â ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè L1(γ) < L1(γ0) = −L2(ω∗). Ïåðâîå èç
ýòèõ íåðàâåíñòâ îáðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ïðè γ = γ1, à âòîðîå � ïðè γ = γ2. Îòñþäà â
ñîîòâåòñòâèè ñ (6) ïîëó÷àåì
dU1(γ)
dγ
= −Lp(γ)
< 0, γ ∈ (γ1; 0);
= 0, γ = γ1, 0, γ2;
> 0, γ ∈ (0; γ2).
66
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âîçìóùåííûõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
Ñëåäîâàòåëüíî, íà èíòåðâàëàõ (γ1; 0), (0; γ2) ïîäûíòåãðàëüíûé äèôôåðåíöèàë â (8) îò-
ðèöàòåëåí è ïîýòîìó U1(γ) > 0 (γ ∈ (γ1; γ2), γ 6= 0), U1(0) = 0.
Èòàê, ïóñòü çà íà÷àëî îòñ÷åòà óãëà γ = ϕ − ω∗t âûáðàí êîðåíü óðàâíåíèÿ (5),
ëåæàùèé íà ó÷àñòêå óáûâàíèÿ âðàùàþøåãî ìîìåíòà L1(γ), à γ1 è γ2 � áëèæàéøèå ê
γ = 0 êîðíè óðàâíåíèÿ (5), ëåæàùèå ñëåâà è ñïðàâà îò òî÷êè γ = 0 (ñì. ðèñ. 1). Òîãäà
íà îòðåçêå [γ1; γ2] ãðàôèê çàâèñèìîñòè U1(γ) èìååò òàêîé æå âèä, êàê íà ðèñ. 2, òàê ÷òî
ôóíêöèÿ U1(γ) èìååò â òî÷êå γ = 0 èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì, ìîíîòîííî óáûâàåò íà
[γ1; 0], ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà [0; γ2], è dU1(γk)/dγ = 0, k = 1, 2.
3. Ñòàöèîíàðíûå ðåæèìû è óñëîâèÿ èõ óñòîé÷èâîñòè. Ïðè ñäåëàííûõ ïðåä-
ïîëîæåíèÿõ îáîáùåííûå ñèëû äëÿ ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàò α, β, ϕ ðàâíû 0, −U ′, L.
Çäåñü è äàëåå øòðèõîì îáîçíà÷àåòñÿ äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî β. Ëàãðàíæåâû óðàâíå-
íèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû, çàïèñàííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (1) äëÿ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè, èìåþò ñåìåéñòâî ðåøåíèé âèäà
α̇ = Ω0, β = β0, ϕ = ωt + ϕ0, (9)
ãäå ω = ω∗, à ïîñòîÿííûå Ω0, β0 ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
−Ω0
[
1
2
Ω0G′(β0) + ωQ′(β0)
]
+ U ′(β0) = 0. (10)
Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ñèñòåìû íîðìàëüíîãî âèäà ñ ôàçîâûì âåêòîðîì
(α̇, β̇, ϕ̇, β, ϕ). Îíè äîïóñêàþò èíòåãðàë
G(β)α̇ + N(β)β̇ + Q(β)ϕ̇ = p (p = const). (11)
Ââåäåì âìåñòî α̇ ïåðåìåííóþ p ïî ôîðìóëå (11), à âìåñòî ϕ ââåäåì óãëîâóþ ïåðå-
ìåííóþ γ = ϕ− ωt− ϕ0. Òîãäà ïîëó÷èì ïðåîáðàçîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé
d
dt
(p− ωQ)N + β̇(GH −N2) + γ̇(GR−QN)
G
+
∂
∂β
[
(p− ωQ− β̇N − γ̇Q)2
2G
+ U
]
= 0,
(12)
d
dt
(p− ωQ)Q + β̇(GR−QN) + γ̇(GC −Q2)
G
= L,
dp
dt
= 0,
îïðåäåëÿþùóþ (p, β̇, γ̇, β, γ). Àðãóìåíòû (γ̇, γ) ó ôóíêöèè L è àðãóìåíò β ó ôóíêöèé
G, N, Q, U çäåñü äëÿ êðàòêîñòè îïóùåíû. Ïðè ôèêñèðîâàííîì p ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ
(12) îáðàçóþò ïðèâåäåííóþ ñèñòåìó S(p), ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîìó p.
Òàê êàê G(β) > 0 ïðè ëþáîì β ñîãëàñíî (4), òî çàìåíà ïåðåìåííûõ (α̇, β̇, ϕ̇, β, ϕ)
ïåðåìåííûìè (p, β̇, γ̇, β, γ) âçàèìíî îäíîçíà÷íà è íåïðåðûâíà â îáå ñòîðîíû. Ïîýòîìó
óñòîé÷èâîñòü ëþáîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû ýêâèâàëåíòíà óñòîé÷è-
âîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû (12).
Ðåøåíèþ (9) ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå
p = p0, β = β0, γ = 0 (13)
ñèñòåìû (12). Îíî ñóùåñòâóåò, åñëè âûïîëíåíî ýêâèâàëåíòíîå (10) óñëîâèå
−p0 − ωQ(β0)
G(β0)
[
G′(β0)
2G(β0)
(
p0 − ωQ(β0)
)
+ ωQ′(β0)
]
+ U ′(β0) = 0. (14)
67
Á.È. Êîíîñåâè÷, Þ.Á. Êîíîñåâè÷
Îïðåäåëèì ïðèâåäåííóþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñèëû òÿæåñòè ôîðìóëîé
f(p, β) =
[p− ωQ(β)]2
2G(β)
+ U(β) (15)
è ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
K1(β) = G(β)R−N(β)Q(β),
K2(p, β) =
[
p− ωQ(β)
][
G′(β)Q(β)−G(β)Q′(β)
]
+ ωG(β)Q′(β)Q(β).
(16)
Òîãäà óñëîâèå (14) ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ (13) ó ñèñòåìû (12) ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó
f ′(p0, β0) = 0, à äîñòàòî÷íîå óñëîâèå åãî óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷åííîå ïóòåì èññëåäîâàíèÿ
ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, ñîñòîèò â âûïîëíåíèè äâóõ íåðàâåíñòâ [5]
f ′′(p0, β0) > 0, (17)
|K1(β
0)|+ |K2(p
0, β0)| 6= 0. (18)
Îíè âûðàæàþò óñëîâèå îòðèöàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé âñåõ êîðíåé õàðàêòå-
ðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëèíåàðèçîâàííîé ïðèâåäåííîé ñèñòåìû S(p0).
Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ íåðàâåíñòâ óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (13) óðàâ-
íåíèé (12) âûâîäèòñÿ â [5] ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âî-ïåðâûõ, ïðè f ′′(p0, β0) > 0 è çíà-
÷åíèÿõ p, áëèçêèõ ê p0, ïðèâåäåííàÿ ñèñòåìà S(p) èìååò èçîëèðîâàííóþ ñòàöèîíàðíóþ
òî÷êó (β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, β∗(p), 0), ãäå β∗(p) � íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, íåÿâíî îïðåäåëåí-
íàÿ ñîîòíîøåíèåì f ′(p, β) = 0 (β0 = β∗(p0)). Âî-âòîðûõ, èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé
(15), (16) â ëåâûõ ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâ (17), (18) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ìàëûõ íà÷àëüíûõ âîç-
ìóùåíèÿõ äëÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè (0, 0, β∗(p), 0) ñèñòåìû S(p) ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâî
îòðèöàòåëüíîñòè äåéñòâèòåëüíûõ ÷àñòåé âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
Òîãäà, ïî òåîðåìå Ëÿïóíîâà, äàííàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé äëÿ
ïðèâåäåííîé ñèñòåìû S(p), òàê ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ äëÿ
âîçìóùåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû èìåþò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ
β̇(t), γ̇(t), β(t)− β∗(p), γ(t) → 0 (t →∞). (19)
Ñ ó÷åòîì íåïðåðûâíîñòè β∗(p) îòñþäà ñëåäóåò óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ (13) ñèñòåìû (12)
ïî p, β è åãî àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî β̇, γ̇, γ.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïîëó÷åííîé â
[6] îöåíêîé (13.1.4), ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè â (19) ýêñïîíåíöèàëüíàÿ.
Ïðè íàðóøåíèè óñëîâèÿ (18), òî åñòü ïðè f ′′(p0, β0) > 0 è K1(β
0) = K2(p
0, β0) = 0,
õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè (0, 0, β0, 0) ïðèâåäåííîé ñèñòå-
ìû S(p0) èìååò êîðåíü ñ íóëåâîé äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ, è ïîýòîìó óñòîé÷èâîñòü ðå-
øåíèÿ (13) â [5] óæå íå ãàðàíòèðóåòñÿ.
 ñòàòüå [7] ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà óñòàíîâëåí áîëåå îáùèé êðèòå-
ðèé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, ÷åì (17), (18), à èìåííî, ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ
óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé äîñòàòî÷íî è, êàê ïðàâèëî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû
ôóíêöèÿ f(p0, β) èìåëà ïðè β = β0 èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì ïî β. Îòñþäà, â ÷àñòíî-
ñòè, ñëåäóåò, ÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ (13) ñèñòåìû (12) äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ
îäíîãî ëèøü íåðàâåíñòâà (17), à óñëîâèå (18) ìîæåò íàðóøàòüñÿ. Òàêîé âûâîä íå ïðî-
òèâîðå÷èò ðåçóëüòàòó ðàáîòû [5], òàê êàê èñïîëüçîâàííûé â ýòîé ðàáîòå ìåòîä ëèíåàðè-
çàöèè ôàêòè÷åñêè íàïðàâëåí íà óñòàíîâëåíèå óñëîâèé ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè
68
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âîçìóùåííûõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ïðèâåäåííîé ñèñòåìû, òîãäà êàê ïðèíÿòûé â [7] ìåòîä ôóíêöèé
Ëÿïóíîâà îáåñïå÷èâàåò "ïðîñòóþ", íåàñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü, òàê ÷òî ñâîéñòâà
(19) çäåñü óæå ìîãóò íå âûïîëíÿòüñÿ.
Íèæå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïðè f ′′(p0, β0) > 0 àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà (19) âûïîë-
íÿþòñÿ, åñëè ïðåäïîëîæåíèå (18) çàìåíèòü áîëåå ñëàáûì ïðåäïîëîæåíèåì
|K1(β)|+ |K2(p
0, β)|
β
6≡ 0, (20)
êîòîðîå âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ ïðè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ. Áóäåò òàêæå äàíà
îöåíêà îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè ñèñòåìû S(p).
4. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ïðè f ′′(p0, β0) > 0.
Âìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (20) óäîáíåå ïðîâåðÿòü åãî îòðèöàíèå.
Ëåììà 1. Ïîñòîÿííàÿ p̂ òàêàÿ, ÷òî
K1(β)
β
≡ 0, K2(p̂, β)
β
≡ 0 (21)
ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (ñì. îáîçíà÷åíèÿ â (2)):
g2 = 0, g3 = 0, g4 6= 0, q0(2q0g4 + q1g1)− q1
2(g0 + g4) = 0,
g0R− q0n0 − q1n1/2 = 0, g1R− q0n1 − q1n0 = 0, n2 = 0, g4R + q1n1/2 = 0.
(22)
Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ ñîîòíîøåíèé p̂ = 2ωq0 + ωq1g1/2g4.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â [8] âûâåäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ
K1(β) ≡ 0, [p̂− ωQ(β)]Q(β)/G(β) ≡ const. (23)
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïîñëåäíåå òîæäåñòâî ïî β, ïîëó÷èì K2(p̂, β) ≡ 0. Ïîýòîìó óñëî-
âèÿ âûïîëíåíèÿ òîæäåñòâ (21) ýêâèâàëåíòíû âûâåäåííûì â [8] óñëîâèÿì âûïîëíåíèÿ
òîæäåñòâ (23). À ýòè óñëîâèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå (22) è p̂ = 2ωq0 + ωq1g1/2g4. �
Ëåììà 2. Êîíñòðóêöèè ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, óäîâëåòâîðÿþùåé óñëî-
âèÿì (22), íå ñóùåñòâóåò.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (22) âûïîëíåíû. Çàïèøåì ôîð-
ìóëû (2) äëÿ G(β), N(β) ñ ó÷åòîì ïåðâîãî, âòîðîãî è ñåäüìîãî ñîîòíîøåíèé (22):
G(β) = g0 + g1 sin β + g4 cos 2β, N(β) = n0 + n1 sin β.
Îòñþäà, ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì (3) äëÿ n0, èìååì G(0) = g0 + g4, N(0) = n0 = H cos θ2.
Òîãäà íåðàâåíñòâî G(0)H − N2(0) > 0, âûòåêàþùåå èç (4), çàïèñûâàåòñÿ â âèäå (g0+
+g4)H −H2 cos2 θ2 > 0. Ðàçäåëèì íà H > 0 è îïÿòü âîñïîëüçóåìñÿ (3). Ïîëó÷àåì
g0 + g4 > n0 cos θ2. (24)
Ñêëàäûâàÿ ïÿòîå èç ñîîòíîøåíèé (22) ñ âîñüìûì, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (g0+g4)R−
−q0n0 = 0. Ïîêàæåì, ÷òî îíî íåâûïîëíèìî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâèâ â åãî ëåâóþ ÷àñòü
âûðàæåíèÿ (3) äëÿ R, q0 è âîñïîëüçîâàâøèñü íåðàâåíñòâîì (24), ïîëó÷àåì (g0 + g4)R−
−q0n0 > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòíîøåíèÿ (22) íåñîâìåñòíû. �
69
Á.È. Êîíîñåâè÷, Þ.Á. Êîíîñåâè÷
Òåïåðü, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (13) ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòå-
ìû (12) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî (17): f ′′(p0, β0) > 0, èçó÷èì àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå
âîçìóùåííûõ ðåøåíèé.
Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî ðåøåíèå (13) ïðèíàäëåæèò ê îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåé-
ñòâó ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé, êîòîðûå ñóùåñòâóþò ïðè çíà÷åíèÿõ p èç íåêîòîðîãî èí-
òåðâàëà (p1; p2), ñîäåðæàùåãî p0. Êàê îòìå÷åíî âûøå, óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöè-
îíàðíîãî ðåøåíèÿ ïðè äàííûõ p, β ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ′(p, β) = 0. Â ñîîòâåòñòâèè
ñ òåîðåìîé î íåÿâíîé ôóíêöèè, ïðè âûïîëíåíèè íåðàâåíñòâà (17) íà ïëîñêîñòè (p, β)
ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ îáëàñòü
X0 =
{
(p, β) : |p− p0| < a0, |β − β0| < b0
}
,
â êîòîðîé f ′′(p, β) > 0, è óðàâíåíèå f ′(p, β) = 0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåïðåðûâíóþ
ôóíêöèþ β = β∗(p), ïðè÷åì β0 = β∗(p0).
Èíòåðâàë (p0 − a0; p0 + a0), íà êîòîðîì îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ β = β∗(p), è îáëàñòü
X0 ìîæíî ðàñøèðèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü â òî÷êå (p1, β1) êðèâîé β = β∗(p),
ñîîòâåòñòâóþùåé ïðàâîìó êîíöó èíòåðâàëà (p0 − a0; p0 + a0), âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
f ′′(p1, β1) > 0, àíàëîãè÷íîå (17). Òîãäà íà ïëîñêîñòè (p, β) ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíèê
X1 =
{
(p, β) : |p− p1| < a1, |β − β1| < b1
}
,
â êîòîðîì óðàâíåíèå f ′(p, β) = 0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò β êàê íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ
p. Äëÿ çíà÷åíèé p òàêèõ, ÷òî îäíîâðåìåííî |p − p0| < a0, |p − p1| < a1, ýòà ôóíê-
öèÿ, î÷åâèäíî, ñîâïàäàåò ñ èñõîäíîé ôóíêöèåé β = β∗(p). Ñëåäîâàòåëüíî, îíà ÿâëÿåòñÿ
íåïðåðûâíûì ïðîäîëæåíèåì èñõîäíîé ôóíêöèè íà èíòåðâàë (p1; p1 + a1).
Ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ïðîäîëæàòü êàê â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ, òàê è â ñòîðîíó óìåíü-
øåíèÿ p äî òåõ ïîð, ïîêà ñîõðàíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f ′′(p, β∗(p)) > 0. Â ðåçóëüòàòå ïîëó-
÷èì ïðîìåæóòîê (p1; p2) (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íûé), íà êîòîðîì ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíàÿ
âåòâü êðèâîé β = β∗(p), îïðåäåëåííîé íà ïëîñêîñòè (p, β) óðàâíåíèåì f ′(p, β) = 0.
 ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìû (12), ò. å. â ïðîñòðàíñòâå (p, β̇, γ̇, β, γ), òî÷êè âèäà
(p, 0, 0, β∗(p), 0) ÿâëÿþòñÿ ïðè p ∈ (p1; p2) ñòàöèîíàðíûìè òî÷êàìè ýòîé ñèñòåìû. Îíè
ëåæàò íà êðèâîé β = β∗(p), ðàñïîëîæåííîé â ïëîñêîñòè (p, β) ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ïî ïîñòðîåíèþ, ïðè êàæäîì p ∈ (p1; p2) çíà-
Ðèñ. 3. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè
f(p, β)− f(p, β∗(p)) îò β.
÷åíèå β∗(p) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé èçîëèðîâàííîãî ìèíè-
ìóìà f(p, β) êàê ôóíêöèè β. Òàê êàê ïðè äàííîì
p ôóíêöèÿ f(p, β) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé 2π-ïåðèî-
äè÷åñêîé ïî β, òî âñåãäà ñóùåñòâóþò îòëè÷íûå îò
β∗(p) çíà÷åíèÿ β, ãäå f ′(p, β) = 0. Îíè ñîîòâåòñòâó-
þò òî÷êàì èçîëèðîâàííîãî ìàêñèìóìà f(p, β). Êðî-
ìå òîãî, ìîãóò ñóùåñòâîâàòü òî÷êè ïåðåãèáà f(p, β)
êàê ôóíêöèè β, â íèõ òàêæå f ′(p, β) = 0. Îáîçíà÷èì
÷åðåç β1(p), β2(p) áëèæàéøèå ê β∗(p) çíà÷åíèÿ β, ãäå
f ′(p, β) = 0 (β1(p) < β∗(p) < β2(p)). Òàê êàê f ′′(p, β∗(p)) > 0, òî ïðè β ∈ (β1(p); β∗(p))
èìååì f ′(p, β) < 0, ïðè β ∈ (β∗(p); β2(p)) áóäåò f ′(p, β) > 0, è íàêîíåö, f ′(p, β) = 0 ïðè
β = β∗(p) è β = βj(p), j = 1, 2.
Èòàê, ïðè ëþáîì p ∈ (p1; p2) çíà÷åíèå β∗(p) åñòü òî÷êà ìèíèìóìà f(p, β) êàê ôóíê-
öèè β íà ïðîìåæóòêå (β1(p); β2(p)). Ñëåâà îò òî÷êè β∗(p) ôóíêöèÿ f(p, β) ìîíîòîííî
70
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âîçìóùåííûõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
óáûâàåò, à ñïðàâà � ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ýòèìè æå ñâîéñòâàìè îáëàäàåò è ðàçíîñòü
f(p, β)− f(p, β∗(p)) ñ òåì îòëè÷èåì, ÷òî îíà ïðèíèìàåò â òî÷êå ñâîåãî ìèíèìóìà β∗(p)
íóëåâîå çíà÷åíèå (ðèñ. 3). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ôèêñèðîâàííîì p ∈ (p1; p2) ýòà ðàçíîñòü
ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé âîçìóùåíèÿ β − β∗(p).
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ êàæäîãî p ∈ (p1; p2) ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (0, 0, β∗(p), 0) ïðèâå-
äåííîé ñèñòåìû S(p) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Ïðè âûáðàííîì p ∈ (p1; p2) ðàññìîò-
ðèì â îáëàñòè
Dp = {(β̇, γ̇, β, γ) : β ∈ (β1(p); β2(p)), γ ∈ (γ1; γ2)}
ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû S(p) ôóíêöèþ
Vp(β̇, γ̇, β, γ) = T∗(β̇, γ̇, β) + f(p, β)− f(p, β∗(p)) + U1(γ), (25)
ãäå
T∗(β̇, γ̇, β) =
β̇2[G(β)H −N2(β)] + 2β̇γ̇[G(β)R−Q(β)N(β)] + γ̇2[G(β)C −Q2(β)]
2G(β)
, (26)
f(p, β) îïðåäåëåíà â (15), à U1(γ) � â (8). Åå ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó ñèñòåìû S(p) ðàâíà
V̇p(β̇, γ̇, β, γ) = γ̇Ld(γ̇) (27)
è â ñîîòâåòñòâèè ñ (7) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé çíàêîïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé.
Òàê êàê f(p, β)−f(p, β∗(p)) åñòü îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ âîçìóùåíèÿ
β−β∗(p), à T∗(β̇, γ̇, β) è U1(γ) îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíû ïî β̇, γ̇ è γ, òî Vp åñòü îïðåäå-
ëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ âñåõ âîçìóùåíèé β̇, γ̇, β−β∗(p), γ ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ
ñèñòåìû S(p) â îáëàñòè Dp.
×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Áàðáàøèíà-Êðàñîâñêîãî, íàéäåì çíà÷åíèÿ p̃ ïî-
ñòîÿííîé p, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ïîëîæèòåëüíûå ïîëóòðàåêòîðèè, ãäå V̇p ≡ 0. Äëÿ
ôóíêöèè Vp̃ âåðíà ëåììà èç [7], ñîãëàñíî êîòîðîé íà òåõ òðàåêòîðèÿõ β̇(t), γ̇(t), β(t), γ(t)
ñèñòåìû S(p̃), ãäå V̇p̃ ≡ 0, äîëæíî áûòü γ̇(t) = 0, γ(t) = 0 ïðè âñåõ t ≥ t0. Ïîýòîìó
ôóíêöèè β̇(t), β(t) òîæäåñòâåííî ïî t ≥ t0 óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
β̇2(t)
G(β(t))H −N2(β(t))
G(β(t))
+ f(p̃, β(t))− f(p̃, β∗(p̃)) = e, (28)
[p̃− ωQ(β(t))]Q(β(t))
G(β(t))
+ β̇(t)
G(β(t))R−Q(β(t))N(β(t))
G(β(t))
= k, (29)
ãäå e ≥ 0, k � ïîñòîÿííûå. Ïåðâîå èç íèõ ïðè γ̇ ≡ 0, γ ≡ 0 ñëåäóåò èç (25)�(27), à âòîðîå
âûòåêàåò èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (12).
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ òðàåêòîðèÿ íå ñîâïàäàåò ñî ñòàöèîíàðíîé òî÷-
êîé (0, 0, β∗(p̃), 0), èìååì e > 0. À òàê êàê β∗(p̃) åñòü òî÷êà ìèíèìóìà f(p̃, β)−f(p̃, β∗(p̃)),
òî ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ e > 0 ñîîòíîøåíèå (28) îïðåäåëÿåò íà ïëîñêîñòè (β̇, β) çàìêíó-
òûå ôàçîâûå òðàåêòîðèè, îõâàòûâàþùèå ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó. Äëÿ òàêèõ òðàåêòîðèé
β(t) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé t.
Íî åñëè êîýôôèöèåíò ïðè β̇ â (29) îòëè÷åí îò òîæäåñòâåííîãî íóëÿ, òî ñîîòíîøå-
íèå (29) îïðåäåëÿåò β̇ êàê îäíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ β, è ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
71
Á.È. Êîíîñåâè÷, Þ.Á. Êîíîñåâè÷
òðàåêòîðèÿ íå áóäåò çàìêíóòîé. Çíà÷èò, äàííûé êîýôôèöèåíò òîæäåñòâåííî ðàâåí íó-
ëþ, òî åñòü, ñ ó÷åòîì ïåðâîãî îáîçíà÷åíèÿ (22), K1(β(t)) ≡ 0.  òàêîì ñëó÷àå ñîîò-
íîøåíèå (29) ïðèíèìàåò âèä [p̃ − ωQ(β(t))]Q(β(t))/G(β(t)) ≡ k, ãäå k � ïîñòîÿííàÿ.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ýòî òîæäåñòâî ïî t. Íà èíòåðâàëàõ, ãäå β̇(t) 6= 0, ñ ó÷åòîì âòîðîãî
îáîçíà÷åíèÿ (16) èìååì K2(p̃, β(t)) ≡ 0.
Òàê êàê ïðè ïåðèîäè÷åñêîé çàâèñèìîñòè β îò t âåëè÷èíà β íå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé,
òî ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà K1(β(t)) ≡ 0, K2(p̃, β(t)) ≡ 0 äîëæíû áûòü òîæäåñòâàìè íå
òîëüêî ïî t, íî è ïî β, òî åñòü äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ òîæäåñòâà (21). Òàêèì îáðàçîì,
ïðèâåäåííàÿ ñèñòåìà S(p) èìååò ïðè íåêîòîðîì p = p̃ îòëè÷íîå îò (0, 0, β∗(p̃), 0) ðåøå-
íèå, íà êîòîðîì V̇p̃ ≡ 0, òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ïðè äàííîì p̃ âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâà
(21). Íî èç ëåìì 1, 2 ñëåäóåò, ÷òî òàêèõ çíà÷åíèé p̃ íå ñóùåñòâóåò.
Èòàê, ïðè ëþáîì p ∈ (p1; p2) ñèñòåìà S(p) íå èìååò â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé
òî÷êè (0, 0, β∗(p), 0) îòëè÷íûõ îò ýòîé òî÷êè öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ïîëóòðàåêòîðèé,
íà êîòîðûõ V̇p ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì p ∈ (p1; p2) äëÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷-
êè (0, 0, β∗(p), 0) ïðèâåäåííîé ñèñòåìû S(p) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Áàðáàøèíà�
Êðàñîâñêîãî (ñì. òåîðåìó 1.5.2 â [3] è òåîðåìó 2.1.3 â [4]). Ïîýòîìó ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà
(0, 0, β∗(p), 0) ñèñòåìû S(p) ïðè p ∈ (p1; p2) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà, òàê ÷òî äëÿ âîç-
ìóùåííîãî ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû âûïîëíÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ (19).
5. Îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ äëÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè. Ïðè p ∈ (p1; p2) ïîëàãàåì
e0(p) = min
j=1,2
[f(p, βj(p))− f(p, β∗(p))], e1 = min
k=1,2
U1(γk), e(p) = min{e0(p), e1}. (30)
Ñðåäè çíà÷åíèé β èç îòðåçêà [β1(p); β2(p)] íåðàâåíñòâó f(p, βj(p)) − f(p, β∗(p)) < e0(p)
óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè ïðèíàäëåæàùåãî ýòîìó îòðåçêó îòêðûòîãî èíòåðâàëà (β0
1(p); β0
2(p))
(ñì. ðèñ. 3), à ñðåäè çíà÷åíèé γ èç îòðåçêà [γ1, γ2] íåðàâåíñòâó U1(γ) < e1 óäîâëåòâîðÿþò
òî÷êè ïðèíàäëåæàùåãî ýòîìó îòðåçêó îòêðûòîãî èíòåðâàëà (γ0
1 , γ
0
2) (ñì. ðèñ. 2).
Ïîêàæåì, ÷òî ïðè êàæäîì p ∈ (p1; p2) ìíîæåñòâî
V −1
p = {(β̇, γ̇, β, γ) ∈ Dp : Vp(β̇, γ̇, β, γ) < e(p)}, (31)
ãäå
Dp = {(β̇, γ̇, β, γ) : β ∈ [β1(p); β2(p)], γ ∈ [γ1; γ2]}, (32)
ñîäåðæèòñÿ â îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êè (0, 0, β∗(p), 0)) ñèñòåìû S(p).
Ñíà÷àëà óñòàíîâèì îãðàíè÷åííîñòü V −1
p . Ñîãëàñíî (25) ôóíêöèÿ Vp(β̇, γ̇, β, γ) ÿâ-
ëÿåòñÿ ñóììîé òðåõ ñëàãàåìûõ: T∗(β̇, γ̇, β), f(p, β) − f(p, β∗(p)), U1(γ). Âñëåäñòâèå (4),
ïåðâîå èç íèõ íåîòðèöàòåëüíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ (β̇, γ̇) íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ β,
âòîðîå íåîòðèöàòåëüíî ïðè β ∈ [β1(p); β2(p)] (ñì. ðèñ. 3), à òðåòüå íåîòðèöàòåëüíî ïðè
γ ∈ [γ1; γ2] (ñì. ðèñ. 2). Òàêèì îáðàçîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ìíîæåñòâà V −1
p ,
íà ýòîì ìíîæåñòâå ôóíêöèÿ Vp(β̇, γ̇, β, γ) ðàâíà ñóììå òðåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàå-
ìûõ è ìåíüøå ÷èñëà e(p) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ òî÷åê ìíîæåñòâà V −1
p âûïîëíÿþòñÿ
íåðàâåíñòâà
0 ≤ T∗(β̇, γ̇, β) < e(p), 0 ≤ f(p, β)− f(p, β∗(p)) < e(p), 0 ≤ U1(γ) < e(p). (33)
Ïîêàæåì, ÷òî ïåðâîìó íåðàâåíñòâó (33) óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî çíà÷åíèÿ (β̇, γ̇) èç
êðóãà êîíå÷íîãî ðàäèóñà. Èç (4) ñëåäóåò, ÷òî ïðè êàæäîì β ôóíêöèÿ T∗(β̇, γ̇, β) åñòü
72
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå âîçìóùåííûõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé
îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïåðåìåííûõ β̇, γ̇ ñ íåïðåðûâíûìè
2π-ïåðèîäè÷åñêèìè ïî β êîýôôèöèåíòàìè. Ïîýòîìó ïðè β ∈ [0; 2π] ñóùåñòâóåò íåïðå-
ðûâíàÿ ôóíêöèÿ δ(β) òàêàÿ, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå ïîâîðîòà êîîðäèíàò β̇, γ̇ íà óãîë δ(β)
ïðèâîäèò T∗ ê âèäó T∗ = a1(β)x2
1 + a2(β)x2
2, ãäå a1(β), a2(β) > 0 � íåïðåðûâíûå, è ñëå-
äîâàòåëüíî, îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè β íà îòðåçêå [0; 2π]. Ïîëàãàÿ a(β) = minj=1,2 aj(β),
a = minβ∈[0;2π] a(β), èìååì 0 < a < +∞, T∗ ≥ a(β)(x2
1 + x2
2) ≥ a(x2
1 + x2
2) = a(β̇2 + γ̇2).
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîìó íåðàâåíñòâó (33) óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî òå çíà÷åíèÿ β̇, γ̇, äëÿ
êîòîðûõ β̇2 + γ̇2 < e(p)/a. Äâà äðóãèõ íåðàâåíñòâà (33) íå íàëàãàþò îãðàíè÷åíèé íà
ïåðåìåííûå β̇, γ̇. Îòñþäà ñëåäóåò îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà V −1
p ïî β̇, γ̇.
Äàëåå èç (30) ñëåäóåò, ÷òî âòîðîìó íåðàâåíñòâó (33) óäîâëåòâîðÿþò ëèøü òå òî÷êè
(β̇, γ̇, β, γ) ∈ Dp, äëÿ êîòîðûõ f(p, β) − f(p, β∗(p)) < e0(p) ïðè β ∈ [β1(p); β2(p)], ò. å.
òî÷êè îïðåäåëåííîãî âûøå èíòåðâàëà (β0
1(p); β0
2(p)) (ñì. ðèñ. 3), ëåæàùåãî â [β1(p); β2(p)]
è ïîýòîìó êîíå÷íîãî.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ñðåäè òî÷åê (β̇, γ̇, β, γ) ∈ Dp òðåòüåìó íåðàâåíñòâó (30) óäî-
âëåòâîðÿþò ëèøü òå, äëÿ êîòîðûõ U1(γ) < e1 ïðè γ ∈ [γ1; γ2], ò. å. òîëüêî òî÷êè îïðåäå-
ëåííîãî âûøå èíòåðâàëà (γ0
1 ; γ
0
2), ëåæàùåãî â [γ1; γ2] (ñì. ðèñ. 2).
Èòàê, îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà V −1
p äîêàçàíà.
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáóþ òî÷êó x = (β̇, γ̇, β, γ) ∈ V −1
p ìîæíî ñîåäèíèòü ñî ñòà-
öèîíàðíîé òî÷êîé x0 = (0, 0, β∗(p), 0) ëåæàùåé â V −1
p äâóçâåííîé ëîìàíîé, ñîñòàâëåííîé
èç îòðåçêîâ [x0; x1] è [x1; x], ãäå x1 = (0, 0, β, γ). Ïîýòîìó V −1
p � îáëàñòü.
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (41), V −1
p ⊂ Dp. Ïîêàæåì, ÷òî V −1
p ⊂ Dp. Òî÷êè îáëàñòè
V −1
p , ëåæàùèå íà ãðàíèöå Dp, óäîâëåòâîðÿþò õîòÿ áû îäíîìó èç óñëîâèé:
1) Vp(β̇, γ̇, β, γ) < e(p), β = β1(p) èëè β = β2(p), γ ∈ [γ1; γ2];
2) Vp(β̇, γ̇, β, γ) < e(p), β ∈ [β1(p); β2(p)], γ = γ1 èëè γ = γ2.
Ðàññìîòðèì òî÷êè òèïà 1. Èç (30) ñëåäóåò, ÷òî f(p, β) − f(p, β∗(p)) ≥ e0(p) ïðè
β = βj(p), j = 1, 2. Ïîýòîìó äëÿ òî÷åê òèïà 1 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
Vp(β̇, γ̇, β, γ) ≥ f(p, β)− f(p, β∗(p)) ≥ e0(p). (34)
Åñëè e0(p) ≤ e1, òî e(p) = e0(p) ñîãëàñíî (30), è èç (34) ñëåäóåò, ÷òî Vp(β̇, γ̇, β, γ) ≥ e(p).
Ýòî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ òî÷åê òèïà 1. Åñëè æå e0(p) > e1, òî e(p) = e1 ñîãëàñíî
(30), è èç (34) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî Vp(β̇, γ̇, β, γ) > e1 = e(p), òàêæå íåâûïîëíèìîå äëÿ
ãðàíè÷íûõ òî÷åê òèïà 1. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèõ òî÷åê íå ñóùåñòâóåò. Òî÷íî òàê æå
óñòàíàâëèâàåì íåñóùåñòâîâàíèå ãðàíè÷íûõ òî÷åê òèïà 2. Òàê êàê òî÷åê òèïîâ 1, 2 íå
ñóùåñòâóåò, òî V −1
p ⊂ Dp.
Òåïåðü, ñëåäóÿ äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 1.5.2 èç [3], ðàññìîòðèì âîçìóùåííóþ òðà-
åêòîðèþ (β̇(t), γ̇(t), β(t), γ(t)) ïðèâåäåííîé ñèñòåìû S(p), ïðîõîäÿùóþ â íà÷àëüíûé ìî-
ìåíò t0 ÷åðåç òî÷êó (β̇0, γ̇0, β0, γ0) îáëàñòè V −1
p . Èç (27), (7) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âñåõ t ≥ t0
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
Vp(β̇(t), γ̇(t), β(t), γ(t)) ≤ Vp(β̇0, γ̇0, β0, γ0) < e(p).
Ïîýòîìó ìíîæåñòâî Ωp âñåõ ω-ïðåäåëüíûõ òî÷åê äàííîé òðàåêòîðèè íå ïóñòî è ëåæèò
âíóòðè V −1
p , ò. å. Ωp ⊂ V −1
p .
73
Á.È. Êîíîñåâè÷, Þ.Á. Êîíîñåâè÷
 ñëó÷àå, êîãäà Ωp ñîâïàäàåò ñî ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé (0, 0, β∗(p), 0), âîçìóùåííàÿ
òðàåêòîðèÿ ñòðåìèòñÿ ïðè t → ∞ ê äàííîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå.  ñëó÷àå, êîãäà ìíî-
æåñòâî Ωp íå ñîâïàäàåò ñî ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé (0, 0, β∗(p), 0), ýòî ìíîæåñòâî äîëæíî
ñîäåðæàòü îòëè÷íûå îò (0, 0, β∗(p), 0) öåëûå ïîëóòðàåêòîðèè, íà êîòîðûõ V̇p ≡ 0 [4]. Íî
Ωp ⊂ V −1
p , è ïðè ýòîì, êàê ïîêàçàíî âûøå, V −1
p ⊂ Dp, ãäå Dp íå ñîäåðæèò îòëè÷íûõ
îò (0, 0, β∗(p), 0) öåëûõ ïîëóòðàåêòîðèé, äëÿ êîòîðûõ V̇p ≡ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ñëó÷àé,
êîãäà ìíîæåñòâî Ωp íå ñîâïàäàåò ñî ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé (0, 0, β∗(p), 0), íåâîçìîæåí.
Ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì â V −1
p îñòàåòñÿ â V −1
p ïðè âñåõ t ≥ t0 è
ñòðåìèòñÿ ê ñòàöèîíàðíîé òî÷êå (0, 0, β∗(p), 0) ïðè t →∞.
Îáúåäèíÿÿ ðåçóëüòàòû äâóõ ïðåäûäóùèõ ïóíêòîâ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Òåîðåìà. Ïóñòü äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (13) ñèñòåìû (12) âûïîëíåíî íåðàâåí-
ñòâî (17): f ′′(p0, β0) > 0, ãäå ôóíêöèÿ f(p, β) îïðåäåëåíà ôîðìóëîé (15). Ñ ïîìîùüþ
òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ïîñòðîèì èíòåðâàë (p1; p2) è òðè îïðåäåëåííûå íà íåì
ôóíêöèè: β1(p), β2(p), β∗(p), óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ f ′(p, β) = 0, ïðè÷åì ôóíê-
öèÿ β∗(p) íåïðåðûâíà, à çíà÷åíèå β∗(p) ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà f(p, β) íà èíòåðâàëå
(β1(p); β2(p)). Ïðè êàæäîì p ∈ (p1; p2) ââåäåì ÷èñëî e(p) ïî ôîðìóëàì (30) è îïðåäåëèì
ìíîæåñòâî V −1
p ïî ôîðìóëàì (31), (32). Òîãäà äëÿ ëþáîãî p ∈ (p1; p2):
1) ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, β∗(p), 0) ïðèâåäåííîé ñèñòåìû S(p)
àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî;
2) ëþáîå ðåøåíèå ñèñòåìû S(p), ïðèíàäëåæàùåå V −1
p â íà÷àëüíûé ìîìåíò t0, îñòà-
åòñÿ â V −1
p ïðè âñåõ t > t0 è ñòðåìèòñÿ ê (0, 0, β∗(p), 0) ïðè t →∞.
Óòâåðæäåíèå òåîðåìû îñòàíåòñÿ ñïðàâåäëèâûì, åñëè âêëþ÷èòü â èíòåðâàë (p1; p2)
çíà÷åíèÿ p, äëÿ êîòîðûõ ïðè β = β∗(p) âûïîëíåíî îáùåå óñëîâèå ìèíèìóìà f(p, β) ïî
β, à èìåííî
f ′(p, β∗(p)) = 0, f ′′(p, β∗(p)) = 0, ..., f (n−1)(p, β∗(p)) = 0, f (n)(p, β∗(p)) > 0,
ãäå n > 0 � ÷åòíîå. Äëÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå n ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé
2, 4, 6 [7].
1. Êîíîñåâè÷ Á.È. Ñêîðîñòü óõîäà îñè ðîòîðà â îáîáùåííîé çàäà÷å î ãèðîñêîïå â êàðäàíîâîì ïîäâåñå
// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1972. � Âûï. 4. � Ñ. 82�92.
2. Ëèùåíêî À.È. Ñèíõðîííûå äâèãàòåëè ñ àâòîìàòè÷åñêèì ðåãóëèðîâàíèåì âîçáóæäåíèÿ. � Ê.: Òåõ-
íèêà, 1969. � 192 ñ.
3. Áàðáàøèí Å.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ óñòîé÷èâîñòè � Ì.: Íàóêà, 1967. � 224 ñ.
4. Ðóø Í., Àáåòñ Ï., Ëàëóà Ì. Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà â òåîðèè óñòîé÷èâîñòè � Ì.: Ìèð, 1980. �
302 ñ.
5. Êîíîñåâè÷ Þ.Á. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ðåæèìîâ äâèæåíèÿ ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà
â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 90�96.
6. Êîääèíãòîí Ý.À., Ëåâèíñîí Í. Òåîðèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé � Ì.: Èçä-âî
èíîñòð. ëèò., 1958. � 475 ñ.
7. Êîíîñåâè÷ Þ.Á. Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàð-
äàíîâîì ïîäâåñå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2005. � Âûï. 35. � Ñ. 115�123.
8. Êîíîñåâè÷ Á.È. Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà íåêîòîðûõ äâèæåíèé àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäà-
íîâîì ïîäâåñå // Òàì æå. � 1982. � Âûï. 14. � Ñ. 87�92.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
konos@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 15.06.06
74
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123792 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T04:24:24Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. 2017-09-09T17:24:27Z 2017-09-09T17:24:27Z 2006 Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 64-74. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123792 531.38, 531.36 Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющий вертикальную наружную ось подвеса. Относительно оси ротора действует момент, равный алгебраической сумме момента сил трения и вращающего момента электродвигателя синхронного типа. Моменты сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса отсутствуют. Уравнения движения такой системы допускают семейство решений, описывающих ее стационарные движения (регулярные прецессии или равномерные вращения ротора). В статье изучаются семейства стационарных движений, для которых выполнено наиболее простое и общее условие устойчивости условие положительности второй производной по внутреннему карданову углу от приведенной потенциальной энергии силы тяжести. Показано, что соответствующие возмущенные движения с течением времени стремятся к стационарным движениям из того же семейства, и дана оценка области притяжения. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| title | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_fullStr | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_full_unstemmed | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_short | Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| title_sort | асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123792 |
| work_keys_str_mv | AT konosevičbi asimptotičeskoepovedenievozmuŝennyhstacionarnyhdviženiisinhronnogogiroskopavkardanovompodvese AT konosevičûb asimptotičeskoepovedenievozmuŝennyhstacionarnyhdviženiisinhronnogogiroskopavkardanovompodvese |