Идентификация возмущений, действующих на гироскоп
Рассматривается вращение твердого тела вокруг неподвижной точки при действии на него неизвестного момента сил относительно оси, фиксированной в теле. Задача определения величины момента внешней возмущающей силы решается по неполной информации о состоянии системы (известны две компоненты вектора угло...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123795 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация возмущений, действующих на гироскоп / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 90-93. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123795 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Щербак, В.Ф. 2017-09-09T17:35:32Z 2017-09-09T17:35:32Z 2006 Идентификация возмущений, действующих на гироскоп / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 90-93. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123795 62-50 Рассматривается вращение твердого тела вокруг неподвижной точки при действии на него неизвестного момента сил относительно оси, фиксированной в теле. Задача определения величины момента внешней возмущающей силы решается по неполной информации о состоянии системы (известны две компоненты вектора угловой скорости из трех). Предлагается способ синтеза динамического расширения исходной системы, путем введения уравнений ее управляемого прототипа. Управления в дополнительной системе выбираются из условия получения инвариантных соотношений, которые выражают вектор состояния и внешнее воздействие через известный выход и решения расширенной системы. При выполнении условий экспоненциального притяжения траекторий к полученным инвариантным многообразиям эти соотношения рассматриваются как дополнительные алгебраические уравнения для определения неизвестных переменных модели объекта. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Идентификация возмущений, действующих на гироскоп Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп |
| spellingShingle |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп Щербак, В.Ф. |
| title_short |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп |
| title_full |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп |
| title_fullStr |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп |
| title_full_unstemmed |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп |
| title_sort |
идентификация возмущений, действующих на гироскоп |
| author |
Щербак, В.Ф. |
| author_facet |
Щербак, В.Ф. |
| publishDate |
2006 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассматривается вращение твердого тела вокруг неподвижной точки при действии на него неизвестного момента сил относительно оси, фиксированной в теле. Задача определения величины момента внешней возмущающей силы решается по неполной информации о состоянии системы (известны две компоненты вектора угловой скорости из трех). Предлагается способ синтеза динамического расширения исходной системы, путем введения уравнений ее управляемого прототипа. Управления в дополнительной системе выбираются из условия получения инвариантных соотношений, которые выражают вектор состояния и внешнее воздействие через известный выход и решения расширенной системы. При выполнении условий экспоненциального притяжения траекторий к полученным инвариантным многообразиям эти соотношения рассматриваются как дополнительные алгебраические уравнения для определения неизвестных переменных модели объекта.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123795 |
| citation_txt |
Идентификация возмущений, действующих на гироскоп / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 90-93. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ŝerbakvf identifikaciâvozmuŝeniideistvuûŝihnagiroskop |
| first_indexed |
2025-11-24T02:27:22Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:27:22Z |
| _version_ |
1850412846110736384 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 62-50
c©2006. Â.Ô. Ùåðáàê
ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈßÂÎÇÌÓÙÅÍÈÉ, ÄÅÉÑÒÂÓÞÙÈÕÍÀ ÃÈÐÎÑÊÎÏ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè ïðè äåéñòâèè íà íåãî íåèçâåñò-
íîãî ìîìåíòà ñèë îòíîñèòåëüíî îñè, ôèêñèðîâàííîé â òåëå. Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû ìîìåíòà
âíåøíåé âîçìóùàþùåé ñèëû ðåøàåòñÿ ïî íåïîëíîé èíôîðìàöèè î ñîñòîÿíèè ñèñòåìû (èçâåñòíû äâå
êîìïîíåíòû âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè èç òðåõ). Ïðåäëàãàåòñÿ ñïîñîá ñèíòåçà äèíàìè÷åñêîãî ðàñøèðå-
íèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû, ïóòåì ââåäåíèÿ óðàâíåíèé åå óïðàâëÿåìîãî ïðîòîòèïà. Óïðàâëåíèÿ â äîïîëíè-
òåëüíîé ñèñòåìå âûáèðàþòñÿ èç óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå âûðàæàþò
âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è âíåøíåå âîçäåéñòâèå ÷åðåç èçâåñòíûé âûõîä è ðåøåíèÿ ðàñøèðåíîé ñèñòåìû. Ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïðèòÿæåíèÿ òðàåêòîðèé ê ïîëó÷åííûì èíâàðèàíòíûì ìíî-
ãîîáðàçèÿì ýòè ñîîòíîøåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äîïîëíèòåëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ
îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ ïåðåìåííûõ ìîäåëè îáúåêòà.
1. Ñâåäåíèå çàäà÷è âîñcòàíîâëåíèÿ íåîïðåäåëåííûõ ïåðåìåííûõ ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ìîäåëè îáúåêòà ê çàäà÷å ñèíòåçà èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Â
ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à, ñâÿçàííàÿ ñ çàäà÷àìè íàáëþäåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè
íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ïî èìåþùèìñÿ èçìåðåíèÿì âûõîäà ñèñòåìû.  çàäà-
÷àõ íàáëþäåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ ñèñòåì òðàäèöèîííûé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ñîñòîèò
â îïðåäåëåíèè àñèìïòîòè÷åñêîé îöåíêè ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïî èíôîðìà-
öèè î åå âûõîäå.  ëèíåéíîì ñëó÷àå ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîñòðîåíèÿ àñèìï-
òîòè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ Ëóåíáåðãåðà [1]. Äëÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì íå íàéäåíî îáùåãî
ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ íàáëþäàòåëÿ, õîòÿ âûäåëåí ðÿä êëàññîâ íåëèíåéíûõ ñèñòåì, äëÿ êî-
òîðûõ íåëèíåéíûé íàáëþäàòåëü ñóùåñòâóåò. Àäàïòèâíûå àñèìïòîòè÷åñêèå íàáëþäàòå-
ëè ëèíåéíûõ ñèñòåì ïðèìåíÿþòñÿ òàêæå äëÿ èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ. Â íàñòîÿùåé
ðàáîòå èñïîëüçóåòñÿ ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé äëÿ çàäà÷ íàáëþäåíèÿ ñèñòåì, ëèíåéíûõ
ïî íåèçâåñòíûì êîìïîíåíòàì ôàçîâîãî âåêòîðà [4]. Ïðåäëàãàåòñÿ ñïîñîá ñèíòåçà äèíà-
ìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû çà ñ÷åò ââåäåíèÿ óðàâíåíèé åå óïðàâëÿåìîãî
ïðîòîòèïà. Óïðàâëåíèÿ â äîïîëíèòåëüíîé ñèñòåìå âûáèðàþòñÿ èç óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ
èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå âûðàæàþò âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è âíåøíåå âîçäåé-
ñòâèå ÷åðåç èçâåñòíûé âûõîä è ðåøåíèÿ ðàñøèðåííîé ñèñòåìû.
Ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåëåííîñòåé â îïèñàíèè ìîäåëè îáúåêòà ñòàíäàðòíî ðàññìàò-
ðèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ çàäà÷à íàáëþäåíèÿ [2]: òðåáóåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè òî÷íî âîññòàíî-
âèòü (îöåíèòü) ïîëíûé ôàçîâûé âåêòîð x äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
ẋ = f(x, d), x(0) = x0 ∈ Rn (1)
ïî èçìåðåíèÿì åå âûõîäà
y = h(x), y ∈ Rk (2)
ïðè íåèçâåñòíîì âîçìóùåíèè d(t) ∈ Rm, óäîâëåòâîðÿþùåì íåêîòîðûì åñòåñòâåííûì
îãðàíè÷åíèÿì, ãàðàíòèðóþùèì, â ÷àñòíîñòè, ñóùåñòâîâàíèå è áåñêîíå÷íóþ ïðîäîëæè-
ìîñòü ðåøåíèé âïðàâî.
Ðåøåíèå ïðåäïîëàãàåò óêàçàíèå óñëîâèé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è, à òàêæå ñèíòåç
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (íàáëþäàòåëÿ), êîòîðàÿ ïî èçâåñòíîé èíôîðìàöèè ôîðìèðóåò
îöåíêó x̃(t) ôàçîâîãî âåêòîðà x(t) òàêóþ, ÷òî x̃(t)− x(t) → 0, t →∞.
90
Èäåíòèôèêàöèÿ âîçìóùåíèé, äåéñòâóþùèõ íà ãèðîñêîï
 äàííîé ðàáîòå çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ âåëè÷èí â ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäå-
ëè (1) ðåøàåòñÿ ïóòåì ââåäåíèÿ âñïîìîãàòåëüîé ñèñòåìû
ṗ = F (p, h(x), u(p, h(x)), p(0) = x0 ∈ Rn. (3)
Ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (3) ïðè ïîäñòàíîâêå óïðàâëåíèé u(p, h(x)) íå ñîäåðæàò íåîïðå-
äåëåííîñòåé, ïîýòîìó äàëåå ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåìû (3)
ñ ëþáûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì p(t0) = p0 ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíîé ôóíêöèåé âðåìåíè.
Ðàññìàòðèâàÿ ñîâìåñòíî óðàâíåíèÿ (1), (3), ïîëó÷àåì ñèñòåìó 2n äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé, çàâèñÿùèõ îò óïðàâëåíèé u óêàçàííîé ñòðóêòóðû. Äàëåå áóäåì ïðåä-
ïîëîãàòü âûïîëíåííûìè ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
à) óïðàâëåíèÿ u ìîãóò çàâèñåòü ëèøü îò èçâåñòíûõ âåëè÷èí h(x(t)) è ôàçîâîãî
âåêòîðà ñèñòåìû (3) � p(t);
á) äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû (3), ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå ïîäñòàíîâêè ôóíêöèé u,
âûïîëíåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè ∀p(0) ∈
Rn, t > 0. Áóäåì íàçûâàòü òàêèå óïðàâëåíèÿ äîïóñòèìûìè.
Öåëüþ ñèíòåçà ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ, îïèñûâàåìîãî
ðàâåíñòâàìè Ψ(x, p) = 0. Ïðè íàëè÷èè ó ýòîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñâîéñòâà ãëîáàëüíîãî ïðè-
òÿæåíèÿ äëÿ âñåõ òðàåêòîðèé ñèñòåìû (1), (3) ýòè ñîîòíîøåíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê
äîïîëíèòåëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ ïåðåìåííûõ
îáúåêòà.
2. Îïðåäåëåíèå óãëîâîé ñêîðîñòè ãèðîñêîïà ïðè íàëè÷èè âîçìóùàþùåãî
ìîìåíòà ñèë. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå âðàùåíèå ïî èíåðöèè îñåñèììåò-
ðè÷íîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè, ñîâïàäàþùåé ñ öåíòðîì òÿæåñòè
òåëà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1, A2, A3 ìîìåíòû èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ îñåé. Ñ
ó÷åòîì A1 = A2, èíåðöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà îïðåäåëÿþòñÿ
âåëè÷èíîé a = (A1−A3)/A1. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè, ïîëîæèì a = 1. Ïðåäïîëàãàåò-
ñÿ, ÷òî íà òåëî äåéñòâóåò âíåøíÿÿ ñèëà, ìîìåíò êîòîðîé ðàñïîëîæåí â ýêâàòîðèàëüíîé
ïëîñêîñòè è îïðåäåëåí åäèíè÷íûì âåêòîðîì d = (α1, α2, 0), α2
1 + α2
2 = 1, ôèêñèðî-
âàííûì â òåëå. Âåëè÷èíû α1, α2 èçâåñòíû, ìîäóëü âåêòîðà ìîìåíòà d(t) íåîïðåäåëåí è
äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü åãî íåêîòîðîé ôóíêöèåé âðåìåíè. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà â ýòîì ñëó÷àå
èìåþò âèä
ẋ1 = x2x3 + α1d, ẋ2 = −x1x3 + α2d, ẋ3 = 0, (4)
ãäå x(t) = (x1, x2, x3)
T � âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðâûå äâå êîìïîíåíòû x1(t), x2(t) âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè
x(t) èçâåñòíû. Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïî ýòîé èíôîðìàöèè çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé
x3 è ôóíêöèè d(t).
Ðàñøèðèì èñõîäíóþ ñèñòåìó, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì âñïîìîãàòåëüíóþ ñèñòåìó, ïðà-
âûå ÷àñòè êîòîðîé íå çàâèñÿò îò âîçìóùåíèé, íî ñîäåðæàò äîïîëíèòåëüíîå óïðàâëå-
íèå u. Óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì, ò.å. ìîæåò çàâèñåòü îò èçâåñòíûõ êîìïî-
íåíò âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè x1(t), x2(t) è ôàçîâîãî âåêòîðà âñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû
p = (p1, p2, p3)
T : u(x1, x2, p).
ṗ1 = ax2p3, ṗ2 = −ax1p3, ṗ3 = u. (5)
Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ìåòîä ñâÿçàí ñ ïîëó÷åíèåì äîïîëíèòåëüíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
ñîîòíîøåíèé, êîòîðûå îïèñûâàþò èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå äëÿ ðàñøèðåííîé ñèñòå-
91
Â.Ô. Ùåðáàê
ìû (4), (5).  ÷àñòíîñòè, áóäåì èñêàòü óïðàâëåíèå u(x1, x2, p) òàêèì, ÷òîáû ëþáîå ñî-
îòíîøåíèå âèäà
p3 = x3 + Φ(x1, x2, p), (6)
îïðåäåëÿåìîå äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé Φ(x1, x2, p), ÿâëÿëîñü èíâàðèàíòíûì ñî-
îòíîøåíèåì, ò.å. îïèñûâàëî èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå. Îáîçíà÷èâ e(t) = p3(t) − x3,
ïîëó÷àåì, ÷òî ýòà âåëè÷èíà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
ė = u(x1, x2, p). (7)
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé e ïî ôîðìóëå e = Φ(x1, x2) + η, ãäå η õàðàêòåðèçóåò îòêëî-
íåíèå îò èñêîìîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Íà ïåðâîì øàãå êîíñòðóèðîâàíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé
ñèñòåìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû óïðàâëåíèå u óäîâëåòâîðÿëî ðàâåíñòâó
u = (x2Φx1 − x1Φx2)(p3 − Φ). (8)
Ïðàâàÿ ÷àñòü (8) íå çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ x3, e, η, à çíà÷èòü òàêîå óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ
äîïóñòèìûì.  íîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèå (7), ñ ó÷åòîì (8), áóäåò èìåòü âèä
η̇ = (x2Φx1 − x1Φx2)η − (α1Φx1 + α2Φx2)d, (9)
Äëÿ íåâîçìóùåííîé ñèñòåìû (4) (d(t) ≡ 0) óðàâíåíèå (9) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòíî-
ñèòåëüíî η. À òàê êàê η = 0 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì, òî ëþáîå ìíîãîîáðàçèå, îïðåäåëÿåìîå
ðàâåíñòâîì x3 = p3−Φ(x1, x2, p), ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì äëÿ ñèñòåìû (3), (4) ñ óïðàâ-
ëåíèå (8).
Óðàâíåíèå (9) ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îòíîñèòåëüíî îòêëîíåíèÿ η. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îíî
îáåñïå÷èâàëî ïîñòîÿííóþ ñòåïåíü çàòóõàíèÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà ïîòðåáóåì âûïîëíå-
íèå óñëîâèÿ
x2Φx1 − x1Φx2 = −λ, (10)
ãäå λ ïîëîæèòåëüíàÿ êîíñòàíòà.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà (10) èìååò âèä
Φ(x1, x2) = −λ arctg(x1/x2) + F (x2
1 + x2
2), (11)
ãäå F (x2
1 + x2
2) � ïðîèçâîëüíàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ. Â îòñóòñòâèè âîçìóùåíèé
η̇(t) = −λη(t) è η(t) ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ê íóëþ ñ ïîêàçàòåëåì çàòóõàíèÿ λ. Ñëå-
äîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ëþáîå ðåøåíèå ñèñòåìû (5) ñ óïðàâëåíèåì (8) ïî ôîðìóëå
(6) îïðåäåëÿåò ýêñïîíåíöèàëüíóþ îöåíêó ïåðåìåííîé x3.
Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ âëèÿíèÿ âîçìóùåíèé íà îöåíêó x3 äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìíîæèòåëü
ïðè d â óðàâíåíèè (9) áûë ðàâåí íóëþ. Ñ ýòîé öåëüþ âîñïîëüçóåìñÿ èìåþùåéñÿ âîç-
ìîæíîñòüþ âûáîðà ôóíêöèè F (x2
1 + x2
2). Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííûõ x1, x2:
x1 =
√
z sin θ, x2 =
√
z cos θ. (12)
Òîãäà Φ(z, θ) = −λθ + F (z), à óðàâíåíèå α1Φx1 + α2Φx2 = 0 ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
2
dF (z)
dz
(tgθ + α) +
λ(α− tgθ)
z
= 0, (13)
92
Èäåíòèôèêàöèÿ âîçìóùåíèé, äåéñòâóþùèõ íà ãèðîñêîï
ãäå α = α1/α2. Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (13), ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ ñîîòíîøåíèé, îïðå-
äåëÿþùèõ èñêîìîå èíâàðèàíòíîå ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå îáëàäàåò ñâîéñòâîì ãëîáàëü-
íîãî ïðèòÿæåíèÿ äëÿ âñåõ òðàåêòîðèé ðàñøèðåííîé ñèñòåìû.  ÷àñòíîñòè, äëÿ α = 1
îíà èìååò âèä
Φ(z, θ) = −λ θ +
λ ln (z) (− cos θ + sin θ)
2(sin θ + cos θ)
. (14)
3. Îöåíêà ìîäóëÿ ìîìåíòà ñèë. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïîëó÷åííîå âûøå ðàâåíñòâî
x3 = p3(t)− Φ(z, θ) + (x3
0 − p3
0)e−λt (15)
íå ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ñîîòíîøåíèåì ìåæäó ïåðåìíûìè ñèñòåìû (4), (5), ïîñêîëü-
êó îòëè÷àåòñÿ îò íåãî íà âåëè÷èíó (p3(0) − x3) exp(−λt). Íî òàê êàê ðàññîãëàñîâàíèå
óáûâàåò ñî âðåìåíåì ïî ýêñïîíåíöèàëüíîìó çàêîíó, òî åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ ýêñïîíåíöèàëüíóþ îöåíêó íåèçâåñòíîé êîìïîíåíòû óãëîâîé
ñêîðîñòè x3. Ìåòîä èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé â îáðàòíûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ [3] îñ-
íîâàí íà ïîñòðîåíèè ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ ñâÿçåé ìåæäó ïåðåìåííûìè ñèñòåìû, ïî-
ëó÷àåìûõ â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â ñèëó ðàññìàòðèâàå-
ìîé ñèñòåìû óðàâíåíèé îäíîãî èç íèõ. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî (15) îòëè÷àåòñÿ îò èñêîìîãî
ñîîòíîøåíèÿ íà âåëè÷íó Ce−λt ãäå C � êîíñòàíòà, ýòèì ñâîéñòâîì áóäåò îáëàäàòü è
âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (15) â ñèëó ñèñòåìû (4), (5).
Åñëè ïðè ýòîì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå áóäåò ÿâíî çàâèñåòü îò âåëè÷èíû âîçìóùàþùå-
ãî ìîìåíòà, òî òåì ñàìûì îíî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ýòîé
âåëè÷èíû.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ îò (15) ñîäåðæèò íåèçâåñòíóþ âåëè÷èíó ìîìåíòà
âîçìóùàþùåé ñèëû d(t).  ÷àñòíîñòè, ïðè α = 1 ïðîèçâîäíàÿ (15) â ñèëó ñèñòåìû (4),
(5) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
d (t) (sin θ − sin 3 θ − cos θ − cos 3 θ) = 2 p3 (t)
√
z (1− sin 2 θ + ln (z)) (16)
Êàê è ôîðìóëà (15), ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îòëè÷àåòñÿ îò òîæäåñòâåííîãî ðàâåíñòâà
íà âåëè÷èíó ïîðÿäêà O(e−λt). Ñëåäîâàòåëüíî, (16) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ïîëó-
÷åíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõ îöåíîê ìîäóëÿ âåêòîðà âíåøíèõ âîçìóùåíèé d(t).
1. Luenberger D. Introduction to observers //IEEE Trans. Aut. Contr. � 1977. � 3. � P. 47-52.
2. Èëüèí À.Â., Êîðîâèí Ñ.Ê., Ôîìè÷åâ Â.Â., Õëàâåíêà À. Íàáëþäàòåëè äëÿ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. � 2005. � 41, � 11. � Ñ. 1443-1457.
3. Êîâàëåâ À. Ì., Ùåðáàê Â. Ô. Óïðàâëÿåìîñòü, íàáëþäàåìîñòü, èäåíòèôèöèðóåìîñòü äèíàìè÷åñêèõ
ñèñòåì. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1993. � 285 ñ.
4. Ùåðáàê Â.Ô. Ñèíòåç äîïîëíèòåëüíûõ ñîîòíîøåíèé â çàäà÷å íàáëþäåíèÿ // Ìåõàíèêà òâåäîãî òåëà.
� 2004. � 33, � Ñ. 197 -216.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
shvf@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 11.04.06
93
|