Замкнутые системы связанных твердых тел
Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, позволяющая изучать системы с большим прогибом. Применен общий подход записи уравнений движения замкнутой системы п тел, исходя из законов об изменении количества движения и момента количества движения тела Sk. Получено выражение для упру...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123796 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Замкнутые системы связанных твердых тел / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 94-103. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859808365549453312 |
|---|---|
| author | Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. |
| author_facet | Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. |
| citation_txt | Замкнутые системы связанных твердых тел / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 94-103. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, позволяющая изучать системы с большим прогибом. Применен общий подход записи уравнений движения замкнутой системы п тел, исходя из законов об изменении количества движения и момента количества движения тела Sk. Получено выражение для упругого момента, которое при n → ∞ совпадает с моментом, вводимым в теории упругих стержней. Исследованы положения равновесия изучаемой системы. Подробно изучен случай плоской осевой линии стержня. В явном виде найдены два решения: в одном из них моделируемая ось стержня представляет кольцо, а во втором - восьмерку.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:18:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 531.38
c©2006. È.À. Áîëãðàáñêàÿ, À.ß. Ñàâ÷åíêî, Í.Í. Ùåïèí
ÇÀÌÊÍÓÒÛÅ ÑÈÑÒÅÌÛ ÑÂßÇÀÍÍÛÕ ÒÂÅÐÄÛÕ ÒÅË
Ðàññìîòðåíà êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ, ïîçâîëÿþùàÿ èçó÷àòü ñèñòåìû ñ
áîëüøèì ïðîãèáîì. Ïðèìåíåí îáùèé ïîäõîä çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû n òåë,
èñõîäÿ èç çàêîíîâ îá èçìåíåíèè êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òåëà Sk. Ïîëó-
÷åíî âûðàæåíèå äëÿ óïðóãîãî ìîìåíòà, êîòîðîå ïðè n→∞ ñîâïàäàåò ñ ìîìåíòîì, ââîäèìûì â òåîðèè
óïðóãèõ ñòåðæíåé. Èññëåäîâàíû ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Ïîäðîáíî èçó÷åí ñëó÷àé
ïëîñêîé îñåâîé ëèíèè ñòåðæíÿ. Â ÿâíîì âèäå íàéäåíû äâà ðåøåíèÿ: â îäíîì èç íèõ ìîäåëèðóåìàÿ îñü
ñòåðæíÿ ïðåäñòàâëÿåò êîëüöî, à âî âòîðîì � âîñüìåðêó.
Ââåäåíèå.  ðàáîòå [1] ïðåäñòàâëåíà êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü óïðóãîãî ñòåðæíÿ,
ïîçâîëÿþùàÿ èçó÷àòü ñèñòåìû ñ áîëüøèì ïðîãèáîì. Ïðè çàïèñè ïîòåíöèàëüíîé ýíåð-
ãèè ñèñòåìû ïîëàãàëîñü, ÷òî óãëû Êðûëîâà ψk, θk, ϕk (k = 1, n), îïðåäåëÿþùèå ïîëî-
æåíèå ñâÿçíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïî îòíîøåíèþ ê èíåðöèàëüíîé, ìîãóò ïðèíèìàòü
ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, îäíàêî èõ ðàçíîñòè ψk+1 − ψk, θk+1 − θk, ϕk+1 − ϕk ìàëû. Çàïè-
ñàííûå â [1] óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà ëèíåéíû ïî ðàçíîñòè óãëîâ.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðåäëîæåí îáùèé ïîäõîä çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ çàìêíó-
òîé ñèñòåìû, ïîäîáíî [2], èñõîäÿ èç çàêîíîâ îá èçìåíåíèè êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ è ìîìåí-
òà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òåëà Sk. Ïîëó÷åíî âûðàæåíèå äëÿ óïðóãîãî ìîìåíòà, êîòîðîå
ïðè n → ∞ ñîâïàäàåò ñ ìîìåíòîì, ââîäèìûì â òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé [3]. Èññëå-
äîâàíèå ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû ïîçâîëèëî íàéòè â ÿâíîì âèäå íå
òîëüêî ðåøåíèÿ, íàéäåííûå â [1], íî è ðåøåíèÿ òèïà "âîñüìåðêè". Èìåííî ýòè ðåøåíèÿ
îòìå÷åíû êàê òî÷íûå ðåøåíèÿ â ðàáîòàõ [4�7] äëÿ çàìêíóòîé óïðóãîé îñè ñòåðæíÿ, â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îíà ïëîñêàÿ.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü ãèðî-
ñêîïîâ Ëàãðàíæà Sk (k = 1, n), ñâÿçàííûõ â òî÷êàõ Ok ïåðåñå÷åíèÿ èõ îñåé ñèììåòðèè
óïðóãèìè ñôåðè÷åñêèìè øàðíèðàìè. Ïîëàãàåì, ÷òî íà ñèñòåìó íå äåéñòâóþò âíåøíèå
ñèëû è ìîìåíòû, âñëåäñòâèå ÷åãî åå öåíòð ìàññ C íåïîäâèæåí. Ñâÿæåì ñ íèì èíåðöè-
àëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò CXY Z (îðòû ex, ey, ez), à ñ êàæäûì òåëîì Sk− ñâÿçàííóþ
ñèñòåìó êîîîðäèíàò CkXkYkZk (îðòû e1
k, e
2
k, e
3
k), ãäå Ck � öåíòð ìàññ òåëà Sk, à îñü CkZk
íàïðàâëåíà âäîëü îñè ñèììåòðèè òåëà Sk.
Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ïî îòíîøåíèþ ê èíåðöèàëü-
íîé óãëàìè Êðûëîâà ψk, θk, ϕk. Ïîëàãàÿ, êàê è â [1], ÷òî èçó÷àåìàÿ ñèñòåìà çàìêíóòà
(ò.å. O1 = On+1), ïîëó÷àåì, ÷òî ýòè óãëû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèÿì
n∑
k=1
hk sinψk cos θk = 0;
n∑
k=1
hk sin θk = 0;
n∑
k=1
hk cosψk cos θk = 0, (1)
ãäå hk = OkOk+1.
Äåéñòâèå òåëà Sk−1 íà Sk õàðàêòåðèçóåò ñèëà Rk è ìîìåíò Lk, ïðèëîæåííûå â
òî÷êå Ok, à äåéñòâèå òåëà Sk+1 íà Sk ñîîòâåòñòâåííî ñèëà −Rk+1 è ìîìåíò −Lk+1,
ïðèëîæåííûå â òî÷êå Ok+1.
Êàê è â [2], óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ òåëà Sk è óðàâíåíèÿ èçìåíåíèÿ ìî-
94
Çàìêíóòûå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë
ìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òåëà Sk îòíîñèòåëüíî Ok ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå:
mkv̇
c
k = Rk −Rk+1; (2)
(Âkωk)
• +mkck × v̇k = Lk − Lk+1 − hk ×Rk+1. (3)
Çäåñü k = 1, n; Âk− òåíçîð èíåðöèè òåëà Sk â òî÷êå Ok; mk− ìàññà òåëà Sk; ωk−
åãî óãëîâàÿ ñêîðîñòü; vc
k è vk− ñîîòâåòñòâåííî ñêîðîñòè òî÷åê Ck è Ok; ck = OkCk.
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà çàìêíóòà (O1 = On+1), òî Rn+1 = R1, Ln+1 = L1.
Ñêîðîñòè vk è vc
k ðàâíû [2]
vk =
k−1∑
i=1
ωi × hi, vc
k = vk + ωk × ck, (4)
à êîìïîíåíòû pk, qk, rk àáñîëþòíîé óãëîâîé ñêîðîñòè ωk íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êî-
îðäèíàò èìåþò âèä
pk = ψ̇k cos θk sinϕk + θ̇k cosϕk, qk = ψ̇k cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk, rk = ϕ̇k − ψ̇k sin θk. (5)
Çàâèñèìîñòü æå óïðóãèõ ìîìåíòîâ Lk îò îáîáùåííûõ êîîðäèíàò ïîëó÷èì, èñõîäÿ
èç ïîëîæåíèé òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé.
2. Ìîìåíò â óïðóãîì øàðíèðå. Â òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé ñâÿçü ìåæäó ãåîìåò-
ðè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè è ñèëàìè, äåéñòâóþùèìè â ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè ñòåðæ-
íÿ, îïðåäåëÿåòñÿ èç çàêîíà Êèðõãîôà�Êëåáøà [3].  ñëó÷àå, êîãäà ãëàâíûå îñè èçãèáà
è êðó÷åíèÿ ñîâïàäàþò ñ ãëàâíûìè îñÿìè èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ è ìàòåðèàë
ñòåðæíÿ èçîòðîïåí (èìåííî òàêèå ñèììåòðè÷íûå îáúåêòû çäåñü è ðàññìàòðèâàþòñÿ),
åãî óïðóãèé ìîìåíò ðàâåí
M = c21(κ1e1 + κ2e2) + c22κ3e3, (6)
ãäå c21, c
2
2 � ñîîòâåòñòâåííî èçãèáíàÿ è êðóòèëüíàÿ æåñòêîñòè, e1, e2, e3− îðòîãîíàëüíûé
áàçèñ, â êîòîðîì âåêòîð e3 íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê îñåâîé ëèíèè ñòåðæíÿ, à âåêòîðû
e1, e2− ïî ãëàâíûì öåíòðàëüíûì îñÿì èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ (ei = ei(s), ãäå s−
äóãîâàÿ êîîðäèíàòà), κi− êîìïîíåíòû âåêòîðà Äàðáó â ïðîåêöèÿõ íà îñè ei.
 (6) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè îñü ñòåðæíÿ ïðÿìîëè-
íåéíà. Âåêòîð Äàðáó κ îïðåäåëÿåòñÿ êàê âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ áàçèñà
e1e2e3 ïðè åãî äâèæåíèè ïî îñè ñòåðæíÿ.
Ïðîèçâîäíûå âåêòîðîâ áàçèñà èìåþò âèä
dei
ds
= κ × ei, i = 1, 2, 3. (7)
Óìíîæàÿ âåêòîðíî îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (7) íà ei ïîëó÷èì
ei ×
dei
ds
= ei × (κ × ei) = κ − κiei,
îòêóäà, ñóììèðóÿ, íàõîäèì
3∑
i=1
ei ×
dei
ds
= 2κ.
95
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, À.ß. Ñàâ÷åíêî, Í.Í. Ùåïèí
Âåêòîð κ ìîæåò áûòü âûðàæåí êàê
κ =
1
2
3∑
i=1
ei ×
dei
ds
. (8)
Ââåäåííàÿ âûøå ñèñòåìà n ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëüþ
óïðóãîãî ñòåðæíÿ. Òîãäà òî÷êàì Ok (øàðíèðíûì ñîåäèíåíèÿì òåë), ðàñïîëîæåííûì íà
îñåâîé ëèíèè, ñîîòâåòñòâóþò äóãîâûå êîîðäèíàòû s =
k∑
i=1
hi, ãäå hi = OkOk+1, k = 1, n.
Ïðîèçâîäíàÿ
dei
ds
, îòðàæàþùàÿ èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ áàçèñíîãî âåêòîðà ei âäîëü
îñè ñòåðæíÿ â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òàê
dei
ds
≈
ei
k − ei
k−1
h
, (9)
ãäå ïîëàãàëîñü ds = h = min
k
hk (â ñëó÷àå îäèíàêîâûõ òåë hk = h).
Èç (8) ñ ó÷åòîì (9) ïîëó÷èì
κk =
1
2h
3∑
i=1
(ei
k−1 × ei
k), (10)
ãäå κk− äèñêðåòíûé àíàëîã âåêòîðà Äàðáó κ â òî÷êå Ok .
Ïî àíàëîãèè ñ (6), îáîçíà÷èì êîìïîíåíòû κk íà îñè ñâÿçàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
κi
k (i = 1, 2, 3). Òîãäà óïðóãèé ìîìåíò Lk ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê
Lk = c21(κ1
ke
1
k + κ2
ke
2
k) + c22κ3
ke
3
k. (11)
Êàê è â [1, 4 � 7], íèæå áóäåò èçó÷åí ñëó÷àé, êîãäà îñåâàÿ ëèíèÿ ïëîñêàÿ. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî äëÿ âñåõ òåë ψk = 0 (k = 1, n), ïðè ýòîì îñåâàÿ ëèíèÿ è êàñàòåëüíûå ê íåé îðòû e3
k
íàõîäÿòñÿ â ïëîñêîñòè Oyz. Ó÷èòûâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ óãëîâ
Êðûëîâà θk, ϕk [2], îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå ñâÿçàííûõ ñèñòåì êîîðäèíàò Oykzk ïî
îòíîøåíèþ ê èíåðöèàëüíîé Oyz, èç (10) íàõîäèì
κ1
k =
1
2h
sin(θk − θk−1)(cosϕk + cosϕk−1),
κ2
k =
1
2h
sin(θk − θk−1)(sinϕk + sinϕk−1), (12)
κ3
k =
1
2h
sin(ϕk − ϕk−1)[1 + cos(θk − θk−1)].
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè h → 0 èç (7), (9) ñëåäóåò lim
h→0
κi
k = κi (i = 1, 2, 3). Ôîðìóëà
(12) äàåò âûðàæåíèå êîìïîíåíò âåêòîðà Äàðáó äëÿ ïëîñêîé êðèâîé â ñëó÷àå ó÷åòà
ãåîìåòðè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè.
3. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ â ñèñòåìå. Ïîëàãàåì â (2)�(5) ñêîðîñòè îáîáùåííûõ
êîîðäèíàò ðàâíûìè íóëþ, ïðè ýòîì vk = vc
k = ωk = 0. Òîãäà ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ
òåëà Sk (θk = θ0
k, ϕk = ϕ0
k) ìîæåò áûòü íàéäåíî èç óðàâíåíèé
Rk = Rk+1 = R, (13)
96
Çàìêíóòûå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë
Lk − Lk+1 − hk ×Rk+1 = 0. (14)
Ïîñêîëüêó äâèæåíèå ïðîèñõîäèò â ïëîñêîñòè Oyz, èìååì
R = Ryey +Rzez. (15)
Òàê êàê h = hk(− sin θkey + cos θkez), òî èç (13)�(15) ïîëó÷àåì
Lx
k − Lx
k+1 + hk(Rz sin θk +Ry cos θk) = 0, (16)
Ly
k = Ly
k+1, Lz
k = Lz
k+1. (17)
Çäåñü âåðõíèå èíäåêñû x, y, z îçíà÷àþò ïðîåêöèè ìîìåíòîâ Lk è Lk+1 ñîîòâåòñòâåííî
íà îñè ex, ey, ez.
Ïðîåêòèðóÿ (11) ñ ó÷åòîì (12) íà ex, ey, ez, ïîëó÷èì
Lx
k =
c21
2h
sin(θk − θk−1)[1 + cos(ϕk − ϕk−1)], (18)
L3
k = −Ly
k sin θk + Lz
k cos θk =
c22
2h
sin(ϕk − ϕk−1)[1 + cos(θk − θk−1)], (19)
ãäå L3
k = Lk·e3
k.
 ñëó÷àå, êîãäà îòñóòñòâóåò êðóòêà (ϕk = ϕk−1), âûðàæåíèå äëÿ óïðóãîãî ìîìåíòà
ñîâïàäàåò ñî ââåäåííûì â [8] äëÿ óïðóãîãî óíèâåðñàëüíîãî øàðíèðà.
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàçíîñòü ϕk − ϕk−1 ìàëà, è ëèíåàðèçîâàòü (18), (19) ïî
ìàëûì âåëè÷èíàì ϕk−ϕk−1, òî ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè èìååì
Lx
k =
c21
h
sin(θk − θk−1); (20)
L3
k =
c22
2h
(ϕk − ϕk−1)[1 + cos(θk − θk−1)]. (21)
Ïîäñòàâëÿÿ (20), (21) â (16), (17), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå
sin(θk+1 − θk)− sin(θk − θk−1) = ak(Rz sin θk +Ry cos θk); (22)
bkϕk−1 − (bk + bk+1)ϕk + bk+1ϕk+1 = 0, (23)
ãäå
ak =
hkh
c21
, bk =
c22
2h
[1 + cos(θk − θk−1)], k = 1, n.
Ïîñêîëüêó ñèñòåìà çàìêíóòà (O1 = On+1), â (23) ïîëàãàëîñü
ϕ0 = ϕn; ϕn+1 = ϕ1; θ0 = θn; θn+1 = θ1.
Ê ñèñòåìå (22) ñëåäóåò äîáàâèòü óðàâíåíèÿ ñâÿçè (1), êîòîðûå â ñëó÷àå ψk = 0
ïðèíèìàþò âèä
n∑
k=1
hk cos θk = 0;
n∑
k=1
hk sin θk = 0. (24)
97
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, À.ß. Ñàâ÷åíêî, Í.Í. Ùåïèí
Ñèñòåìà (22)�(24) çàìêíóòà îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí ϕk, θk (k = 1, n), Ry, Rz. Ïåðåìåí-
íûå, îïèñûâàþùèå ôîðìó óïðóãîé ëèíèè, îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé (22),(24), à óãëû
êðó÷åíèÿ ϕk íàõîäÿòñÿ èç ëèíåéíîé ñèñòåìû (23). Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ñóììà ýëå-
ìåíòîâ âñåõ ñòðîê (èëè ñòîëáöîâ) îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (23) ðàâíà íóëþ,
òî îí ðàâåí íóëþ, è ñèñòåìà èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå.
4. Òî÷íîå ðåøåíèå â ñëó÷àå êðóãîâîé îñè ñòåðæíÿ.  ðàáîòàõ [4�7] óñòàíîâ-
ëåíî, ÷òî îäíà èç âîçìîæíûõ ïëîñêèõ ôîðì ðàâíîâåñíîé îñè � êðóãîâàÿ. Ïðè ýòîì
θ(s) =
2kπs
L
+ δ, ϕ(s) =
2kπs
L
+ δ1, k = 1, 2, 3, ..., (25)
ãäå L − äëèíà êðèâîé, δ, δ1 − ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
 ðàáîòå [1] ïðè èçó÷åíèè óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè çàìêíóòî-
ãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ, çàïèñàííîé â ïðåäïîëîæåíèè ìàëîñòè ðàçíîñòè óãëîâ θk − θk−1,
ϕk − ϕk−1 (k = 1, n), áûëî íàéäåíî ðåøåíèå
ϕk = 2kπ/n+ α1, (26)
θk = 2kπ/n+ α, (27)
ãäå α, α1 − ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Ïîëàãàÿ, ÷òî äëèíà êðèâîé L â (25) ðàâíà 2π,
(s = 2π/n), íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðåøåíèå (26), (27) ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì (25),
ïîëó÷åííûì äëÿ íåïðåðûâíîé ñòåðæíåâîé ìîäåëè.
Ýòî ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (24), è, êðîìå òîãî, èç (26), (27) ñëåäóåò
ϕk − ϕk−1 = θk − θk−1 = 2π/n = const, îòêóäà ïîëó÷èì
bk = c22
[
1 + cos
2π
n
]
/(2h) = const, (28)
è ñèñòåìà (23) ïðèíèìàåò âèä
ϕk−1 − 2ϕk + ϕk+1 = 0 (k = 1, n). (29)
Ñèñòåìà (29) ñîâïàäàåò ñ ïîëó÷åííîé â ðàáîòå [1] è èìååò ðåøåíèå (26) ïðè óñëîâèè
ϕ0 = 2π + ϕn, ϕn+1 = ϕ1 − 2π.
Åñëè Ry = Rz = 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ λ = 0 â óïðóãèõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåìàõ
[4�7], òî ðåøåíèå (27) óäîâëåòâîðÿåò è ñèñòåìå óðàâíåíèé (22).
Çàìå÷àíèå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå (26), (27) ñóùåñòâóåò ó ñèñòåìû è â îá-
ùåì ñëó÷àå, áåç ïðåäïîëîæåíèÿ ìàëîñòè êðóòêè (ϕk−ϕk−1), ïîñêîëüêó èç (28),(18),(19)
ñëåäóåò L3
k = const, Lx
k = const, è ïðè óñëîâèè Ry = Rz = 0 ñèñòåìà (16), (17) óäîâëå-
òâîðåíà.
5. Ðåøåíèå òèïà "âîñüìåðêè". Â ðàáîòàõ [4�7] äëÿ ïëîñêîé îñåâîé ëèíèè óïðó-
ãîãî ñòåðæíÿ áûëî íàéäåíî åùå îäíî òî÷íîå ðåøåíèå, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò êîíôèãó-
ðàöèè óïðóãîé ëèíèè âèäà "âîñüìåðêè". Ýòî ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî â ýëëèïòè÷åñêèõ
ôóíêöèÿõ. Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùèé åìó àíàëîã â êîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå.
Ïîñêîëüêó ìîäåëèðóåìàÿ îñü ñòåðæíÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè OY , ïîëàãà-
åì íàëè÷èå ñèììåòðèè è â åå êîíå÷íîìåðíîì àíàëîãå. Ïðè ýòîì ñ÷èòàåì, ÷òî ÷èñëî òåë
â ñèñòåìå ÷åòíîå (ò. å. n = 2N) è, êðîìå òîãî,
hN+l = hl; θN+l = π − θl (l = 1, N). (30)
98
Çàìêíóòûå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë
Òîãäà èç (22), (30) ñëåäóåò, ÷òî Rz = 0, è ñèñòåìà óðàâíåíèé (22), (24), ïîçâîëÿþùàÿ
îïðåäåëèòü ôîðìó óïðóãîé îñè, ïðèíèìàåò âèä
Ðèñ. 1. Ñèñòåìà ÷åòûðåõ òåë.
sin(θk+1−θk)−sin(θk−θk−1) = akRy cos θk,
(31)
k = 1, N,
2N∑
k=1
hk sin θk = 0. (32)
Íàéäåì ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â ñëó÷à-
ÿõ, êîãäà îíà ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ è øåñòè
òåë.
6. Ñëó÷àé ÷åòûðåõ òåë.  ñëó÷àå ÷åòûðåõ òåë âîçìîæíà ëèøü îäíà êîíôèãóðà-
öèÿ ñèñòåìû òåë, ìîäåëèðóþùàÿ óïðóãóþ îñü, òèïà "âîñüìåðêè"(ðèñ. 1).
Ñîãëàñíî (30), äëèíû îñåé ñèììåòðèé òâåðäûõ òåë Sk, k = 1, 4, äîëæíû óäîâëå-
òâîðÿòü ðàâåíñòâàì: h1 = h3; h2 = h4. Ðåøåíèå èùåì â âèäå
θ1 = −θ, θ2 =
π
2
, θ3 = π + θ, θ4 =
π
2
. (33)
Ïîäñòàâëÿÿ (33) â (31), (32), ïîëó÷èì
Ry =
2
a1
, sin θ =
h2
h1
. (34)
Èòàê, ïðè óñëîâèè, ÷òî ñèëà ðåàêöèè è óãîë θ óäîâëåòâîðÿò ñîîòíîøåíèÿì (34), ñèñòåìà
(31), (32) äîïóñêàåò ðåøåíèå (33).
Òåïåðü íàéäåì óãëû ϕk èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (23), â êîòîðîé êîýôôèöèåíòû bk
çàâèñÿò îò θk. Ïîäñòàâëÿÿ (33) â âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ bk, ïîëó÷àåì
bk =
c22
2h
[1− sin θ] = b,
ò. å. â ñëó÷àå ÷åòûðåõ òåë âñå bk ðàâíû è ñèñòåìà (23) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (29), à ϕk
îïðåäåëÿþòñÿ èç (26).
7. Ñëó÷àé øåñòè òåë.  ñëó÷àå øåñòè òåë âîçìîæíî äâà âàðèàíòà ìîäåëèðîâàíèÿ
îñè ñòåðæíÿ òèïà "âîñüìåðêè".
 ïåðâîì ñëó÷àå îñè O2O3 è O5O6 ïåðåñåêàþòñÿ íå â øàðíèðíîé òî÷êå (ðèñ. 2), à âî
âòîðîì (ðèñ. 3) � â øàðíèðå (ïðè ýòîì òî÷êè O2 è O5 ñîâïàäàþò). Íàçîâåì ïîñëåäíèé
âàðèàíò ñëó÷àåì øàðíèðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ îñåé.
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ïåðâûé âàðèàíò (ðèñ. 2). Ïîëàãàåì, ÷òî äëèíû îñåé ñèììåòðèè
òåë è óãëû óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì
O1O2 = O3O4 = h1, O2O3 = h2; (35)
θ1 = θ, θ2 = −ψ, θ3 = θ. (36)
 (36) óãëû θ, ψ ñòðîãî áîëüøå íóëÿ è ìåíüøå π/2. Îñòàëüíûå óãëû è äëèíû ñ ó÷åòîì
(35), (36) íàõîäÿòñÿ èç (30).
99
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, À.ß. Ñàâ÷åíêî, Í.Í. Ùåïèí
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (35), (36) â (31), (32) ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå ñóùåñòâóåò,
åñëè óãëû θ, ψ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì
sin 2θ − sin(θ + ψ)
2 sin(θ + ψ)
= a
cos θ
cosψ
, (37)
2a sin θ = sinψ, (38)
ãäå a = h1/h2.
Äîïóñòèì, ÷òî
Ðèñ. 2. Ñèñòåìà øåñòè òåë.
cosψ = p cos θ. (39)
Î÷åâèäíî, ÷òî ââåäåííûé â (39) äîïîëíè-
òåëüíûé ïàðàìåòð p áîëüøå íóëÿ, òàê êàê
óãëû θ è ψ îñòðûå.
Èç (38), (39) ïîëó÷àåì
4a2 sin2 θ+p2 cos2 θ = 1 ⇒ sin2 θ =
1− p2
4a2 − p2
,
îòêóäà ñëåäóåò
0 <
1− p2
4a2 − p2
< 1. (40)
Ïîäñòàâëÿÿ (38), (39) â (37) è ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin θ cos θ 6= 0, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
p2 + 2p(2a− 1) + 4a2 = 0. (41)
Êîðíè óðàâíåíèÿ (41) äåéñòâèòåëüíû ïðè óñëîâèè
a ≤ 1
4
(42)
è ïðè ýòîì óðàâíåíèå (41) èìååò äâà ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ.
Èç àíàëèçà íåðàâåíñòâà (40) ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ (42) ñëåäóåò, ÷òî
4a2 < 1, p2 > 1. (43)
Òðåáîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ó óðàâíåíèÿ (41) êîðíÿ p > 1 âûïîëíÿåòñÿ ïðè óñëîâèè
0 < a <
√
2− 1
2
. (44)
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå (36) ñóùåñòâóåò äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû øåñòè òåë, åñëè
óãëû θ è ψ îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé
sin θ =
√
1− p2
4a2 − p2
, sinψ = 2a
√
1− p2
4a2 − p2
,
ãäå p = −2a+ 1 +
√
1− 4a, à a ∈ (0, (
√
2− 1)/2).
100
Çàìêíóòûå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë
Òåïåðü îïðåäåëèì êðóòêó ϕk − ϕk−1. Äëÿ ðåøåíèÿ (30), (36) ïîëó÷àåì
b1 = b4 = b7 =
c22
2h
[1− cos 2θ]; b2 = b3 = b5 = b6 =
c22
2h
[1 + cos(θ + ψ)].
Îáîçíà÷èì
c =
1 + cos(θ + ψ)
1− cos2θ
> 0 (45)
è, ïîäñòàâëÿÿ bk ñ ó÷åòîì (45) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (23), ïðèâîäèì åå ê ñèñòåìå ëèíåé-
íûõ îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé
D̂ϕ = 0, (46)
ãäå
D̂ =
−c− 1 c 0 0 0 1
1 −2 1 0 0 0
0 c −c− 1 1 0 0
0 0 1 −c− 1 c 0
0 0 0 1 −2 1
1 0 0 0 c −c− 1
, ϕ =
ϕ1
ϕ2
ϕ3
ϕ4
ϕ5
ϕ6
.
Ââîäÿ â (46) çàìåíó ïåðåìåííûõ
uk =
1
2
(ϕk + ϕn−k+1), vk =
1
2
(ϕk − ϕn−k+1) (k = 1, 2, 3; n = 6), (47)
ïîëó÷àåì
u2 − u1 = 0,
u1 − 2u2 − u3 = 0,
u2 − u3 = 0;
cv2 − (c+ 2)v1 = 0,
v1 − 2v2 − v3 = 0,
cv2 − (c+ 2)v3 = 0.
(48)
Îïðåäåëèòåëü ïåðâîé ñèñòåìû (48) ðàâåí íóëþ è åå ðåøåíèå
u3 = u2 = u1 = u/2. (49)
Çäåñü u − ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Îïðåäåëèòåëü æå âòîðîé ñèñòåìû ðàâåí íóëþ òîëüêî ïðè óñëîâèè
c = −2, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê èç (45) ñëåäóåò c > 0. Ïîýòîìó
v3 = v2 = v1 = 0. (50)
Ïîäñòàâëÿÿ (49), (50) â (47), ïîëó÷àåì ϕk = u, k = 1, 6, òîãäà ϕk − ϕk−1 = 0. Òà-
êèì îáðàçîì, â èçó÷àåìîì ñëó÷àå ϕk 6= 0, íî ðàçíîñòü ϕk − ϕk−1 ðàâíà íóëþ, ò. å. â
ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå êðóòêà îòñóòñòâóåò.
Îòìåòèì îäèí èíòåðåñíûé ñëó÷àé, êîãäà c = 1. Ïðè ýòîì ñèñòåìà óðàâíåíèé (46)
ïðèâîäèòñÿ ê âèäó (29) è èìååò ðåøåíèå (26).
Ïîëàãàÿ â (45) c = 1, ïîëó÷àåì, ÷òî ýòî âîçìîæíî, åñëè cos(θ + ψ) = cos 2θ. Èç
àíàëèçà ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî óãëû θ è ψ áîëüøå íóëÿ è ìåíüøå π/2,
ïîëó÷àåì
π
6
< θ <
π
3
, 0 < ψ <
π
2
, 3θ + ψ = π.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðàññìàòðèåìîé êîíôèãóðàöèè òåë âîçìîæåí ñëó÷àé, êîãäà êðóòêà
îòëè÷íà îò íóëÿ.
101
È.À. Áîëãðàáñêàÿ, À.ß. Ñàâ÷åíêî, Í.Í. Ùåïèí
Çàìå÷àíèå. Åñëè ïîëàãàòü, êàê è â [1], ÷òî ϕ0 = 2π + ϕn, ϕn+1 = ϕ1 − 2π, òî
àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êðóòêà áóäåò îòëè÷íà îò íóëÿ ïðè ïðîèçâîëüíîì c > 0.
8. Ñëó÷àé øàðíèðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ îñåé. Ïðè òàêîé êîíôèãóðàöèè òåë â òî÷-
êå O2, ñîâïàäàþùåé ñ òî÷êîé O5, ðàñïîëîæåí óïðóãèé øàðíèð, ÿâëÿþùèéñÿ îáùèì äëÿ
òåë S1, S2, S4, S5.
Äëÿ çàïèñè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â âè-
Ðèñ. 3. Øàðíèðíîå ïåðåñå÷åíèå.
äå (2), (3) ââåäåì äîïîëíèòåëüíî áåçìàññî-
âîå òåëî S7, ïîçâîëÿþùåå âûäåëèòü, êàê è
â (2), ðåàêöèè Rk. Òîãäà, êàê è â ï.1, áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà ðåàêöèè ïðåäøåñòâóþ-
ùåãî òåëà íà ïîñëåäóþùåå ðàâíà Rk, à äåé-
ñòâèå ïîñëåäóþùåãî íà ïðåäøåñòâóþùåå �
(−Rk+1).
Îáîçíà÷èì äîïîëíèòåëüíûå ðåàêöèè
R17,R27,R47,R57 è áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äåé-
ñòâèå òåë S1 è S4 íà S7 îïðåäåëÿþò ñîîò-
âåòñòâåííî ðåàêöèè R17 è R47, à äåéñòâèå S2 è S5 íà S7 � ñîîòâåòñòâåííî −R27 è −R57.
Ðåàêöèè æå R1, R3, R4, R6 ââîäÿòñÿ êàê è ïðåæäå. Òîãäà, äîáàâëÿÿ ê óðàâíåíèÿì (13)
óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äëÿ òåëà S7, ïîëó÷àåì
R17 = R57 = R6 = R1,
R27 = R47 = R4 = R3.
Òàêèì îáðàçîì, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ, ìû èìååì äâå îòëè÷íûå îò íóëÿ
ñèëû ðåàêöèè, îäíàêî, êàê è â ï. 5, ó÷èòûâàÿ ñèììåòðèþ ìîäåëèðóåìîé îñè ñòåðæíÿ
îòíîñèòåëüíî OY , ïîëó÷àåì R1z = R3z = 0.
Äîïóñòèì äàëåå, ÷òî äëèíû îñåé ñèììåòðèé òåë ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
O1O2 = O2O3 = O4O5 = O5O6 = h1,
(51)
O3O4 = O6O1 = h2.
Äëÿ êðèâîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3, ðàçûñêèâàåìîå ðåøåíèå èìååò âèä
θ1 = −θ, θ2 = θ, θ3 = −π
2
,
(52)
θ4 = π − θ, θ5 = π + θ, θ6 =
π
2
.
Ïðè ïîäñòàíîâêå åãî â (22), (24) ñ ó÷åòîì (51) íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ ñèë ðåàêöèé.
Îíè ðàâíû
R1y = −R3y =
2 sin θ + 1
a1
.
Çäåñü çíà÷åíèå óãëà θ çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèé ìåæäó äëèíàìè h1è h2 (sin θ = h2/(2h1)),
è â ñëó÷àå îäèíàêîâûõ òåë (h1 = h2 = h) ïîëó÷àåì θ = π/6.
Ïîäñòàâëÿÿ (52) â (23), íàõîäèì bk è äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà îáùèé
ìíîæèòåëü ýòè êîýôôèöèåíòû ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè
b1 = b3 = b4 = b6 = b7 = 1; b2 = b5 = k1,
102
Çàìêíóòûå ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë
ãäå k1 = (1 + cos 2θ)/(1− sin θ).
 îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ñëó÷àÿ, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè óñëîâèè îñòðûõ
óãëîâ θ è ψ, âåëè÷èíà k1 íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå è ñèñòåìà (23) íå ïðèâîäèòñÿ ê
âèäó (29). Îäíàêî, åå îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ, è îíà èìååò ðåøåíèå ϕk = u, k = 1, 6.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àåâ ðåøåíèå òèïà "âîñüìåðêè"ñóùå-
ñòâóåò è ïðè ýòîì óãëû êðó÷åíèÿ íå ðàâíû íóëþ, îäíàêî êðóòêà (ϕk−ϕk−1) ìîæåò áûòü
êàê íóëåâîé, òàê è îòëè÷íîé îò íóëÿ.
Çàìå÷àíèå. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ êîíôèãóðàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ.3, ñóùåñòâóåò
åùå îäíî ðåøåíèå (äëÿ ýòîãî íà ðèñ. 3 íåîáõîäèìî ïîìåíÿòü ìåñòàìè òî÷êè O3 è O4):
θ1 = θ2 = −θ, θ3 = θ6 = π/2, θ4 = θ5 = π + θ.
Ïðè ïîäñòàíîâêå åãî â (22), (24) ñ ó÷åòîì (51) íàõîäèì R1y = R3y = 1/a1. Êàê è â
ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, çíà÷åíèå óãëà θ çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèé ìåæäó äëèíàìè h1 è h2,
è â ñëó÷àå îäèíàêîâûõ òåë θ = π/6.
1. Áîëãðàáñêàÿ È.À., Ùåïèí Í.Í. Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ // Ìåõàíèêà
òâåðäîãî òåëà. � 2005. � Âûï. 35. � Ñ.33�39.
2. Ñàâ÷åíêî À.ß., Áîëãðàáñêàÿ È.À., Êîíîíûõèí Ã.À. Óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ ñèñòåì ñâÿçàííûõ òâåð-
äûõ òåë. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1991. � 168 c.
3. Èëþõèí.À.À. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è íåëèíåéíîé òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé. � Êèåâ.: Íàóê. äóì-
êà, 1979. � 216 ñ.
4. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. � 1986. � 21D. � P. 213�226.
5. Áåíõýì Äæ. Ìåõàíèêà è ðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ ñâåðõñïèðàëèçîâàííîé ÄÍÊ // Â êí.: Ìàòåìàòè-
÷åñêèå ìåòîäû äëÿ àíàëèçà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ. � Ì.: Ìèð, 1999. � Ñ. 308�338.
6. Starostin E.L. Three-dimensional shapes of looped DNA// Colloquium EVROMECH 325 (19-22 September,
1994, L`Aquila, Italy). � 1994. � 23 p.
7. Êóãóøåâ Å.È., Ïèðîãîâà Å.Å., Ñòàðîñòèí Å.Ë. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü îáðàçîâàíèÿ òðåõìåðíîé
ñòðóêòóðû ÄÍÊ. � 1997. � 24 ñ. � (Ïðåïðèíò / ÐÀÍ Èí-ò ïðîáëåì ìåõàíèêè èì. Ì.Â. Êåëäûøà;
� 77).
8. Ñàâ÷åíêî À.ß., Áîëãðàáñêàÿ È.À. Ñèñòåìà òâåðäûõ òåë, îáðàçóþùèõ ïîëóçàìêíóòóþ öåïü // Ìå-
õàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1994. � Âûï.26(I). � Ñ.33�39.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
bolg@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 10.04.06
103
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123796 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:18:19Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. 2017-09-09T17:37:07Z 2017-09-09T17:37:07Z 2006 Замкнутые системы связанных твердых тел / И.А. Болграбская, А.Я. Савченко, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 94-103. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123796 531.38 Рассмотрена конечномерная модель замкнутого упругого стержня, позволяющая изучать системы с большим прогибом. Применен общий подход записи уравнений движения замкнутой системы п тел, исходя из законов об изменении количества движения и момента количества движения тела Sk. Получено выражение для упругого момента, которое при n → ∞ совпадает с моментом, вводимым в теории упругих стержней. Исследованы положения равновесия изучаемой системы. Подробно изучен случай плоской осевой линии стержня. В явном виде найдены два решения: в одном из них моделируемая ось стержня представляет кольцо, а во втором - восьмерку. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Замкнутые системы связанных твердых тел Article published earlier |
| spellingShingle | Замкнутые системы связанных твердых тел Болграбская, И.А. Савченко, А.Я. Щепин, Н.Н. |
| title | Замкнутые системы связанных твердых тел |
| title_full | Замкнутые системы связанных твердых тел |
| title_fullStr | Замкнутые системы связанных твердых тел |
| title_full_unstemmed | Замкнутые системы связанных твердых тел |
| title_short | Замкнутые системы связанных твердых тел |
| title_sort | замкнутые системы связанных твердых тел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123796 |
| work_keys_str_mv | AT bolgrabskaâia zamknutyesistemysvâzannyhtverdyhtel AT savčenkoaâ zamknutyesistemysvâzannyhtverdyhtel AT ŝepinnn zamknutyesistemysvâzannyhtverdyhtel |