Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы

Получены условия устойчивости верхнего положения равновесия двухзвенного математического маятника с дополнительной степенью свободы (линейный осциллятор с вязким трением). Дана оценка скорости затухания возмущенных движений....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Механика твердого тела
Дата:	2006
Автори:	Савченко, А.Я., Позднякович, А.Е., Пузырев, В.Е.
Формат:	Стаття
Мова:	Російська
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2006
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123797
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы / А.Я. Савченко, А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 104-113. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859828430201159680
author	Савченко, А.Я. Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е.
author_facet	Савченко, А.Я. Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е.
citation_txt	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы / А.Я. Савченко, А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 104-113. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
collection	DSpace DC
container_title	Механика твердого тела
description	Получены условия устойчивости верхнего положения равновесия двухзвенного математического маятника с дополнительной степенью свободы (линейный осциллятор с вязким трением). Дана оценка скорости затухания возмущенных движений.
first_indexed	2025-12-07T15:31:09Z
format	Article
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36 ÓÄÊ 531.36 c©2006. À.ß. Ñàâ÷åíêî, À.Å. Ïîçäíÿêîâè÷, Â.Å. Ïóçûðåâ ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÐÀÂÍÎÂÅÑÈß ÌÀßÒÍÈÊÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÒÐÅÌß ÑÒÅÏÅÍßÌÈ ÑÂÎÁÎÄÛ Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äâóõçâåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìà- ÿòíèêà ñ äîïîëíèòåëüíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ëèíåéíûé îñöèëëÿòîð ñ âÿçêèì òðåíèåì). Äàíà îöåíêà ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ âîçìóùåííûõ äâèæåíèé. 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Â ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà- ÷à î ïàññèâíîé ñòàáèëèçàöèè [1, 2] äâóõçâåííîãî óïðóãîãî ìàÿòíèêà, âåðõíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ êîòîðîãî óñòîé÷èâî, íî íå àñèìïòîòè÷åñêè. Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â äîáàâëåíèè Ðèñ. 1. â ñèñòåìó ñòàáèëèçèðóþùåãî óñòðîé- ñòâà (ÑÓ) ñ òàêèì ðàñ÷åòîì, ÷òîáû äâèæåíèå èñõîäíîé (îñíîâíîé) ñèñòå- ìû ñòàëî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì. Â ñòàòüÿõ [2 � 4] ïîäîáíàÿ çàäà÷à áû- ëà ðåøåíà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî è ôè- çè÷åñêîãî ìàÿòíèêîâ, ïðè ýòîì ÑÓ ìî- äåëèðîâàëîñü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, èìåþùåé îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû (ñè- ñòåìîé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â [4]), à îñü êîëåáàíèé ýòîé òî÷êè ñîâïàäàëà ñ îñüþ ìàÿòíèêà. Áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî çàäà÷à ðåøàåòñÿ äëÿ ëþáûõ çíà- ÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ æåñòêîñòè è òðåíèÿ ÑÓ. Âìåñòå ñ òåì, èññëåäóå- ìàÿ ñèñòåìà áûëà ñóùåñòâåííî íåëè- íåéíîé, à èìåííî � èìåë ìåñòî êðèòè÷åñêèé ñëó÷àé ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ âäîëü íåêîòîðîé, æåñòêî ñâÿçàííîé ñî âòîðûì çâåíîì ìàÿòíèêà ïðÿìîëè- íåéíîé íàïðàâëÿþùåé, íåêîëëèíåàðíîé ýòîìó çâåíó. Õîòÿ, íà ïåðâûé âçãëÿä, òàêîå ðàçìåùåíèå ñîçäàåò àñèììåòðèþ â ñèñòåìå è ìîæåò ñïîñîáñòâîâàòü åå "ðàñêà÷èâàíèþ", îíî ïîçâîëÿåò ðåøèòü çàäà÷ó â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè. Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1, ñîñòîèò èç äâóõ íåâåñîìûõ, íåäå- ôîðìèðóåìûõ ñòåðæíåé OM1 è M1M2 äëèíîé l̃1 è l̃2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñòåðæíè ìîãóò îòêëîíÿòüñÿ îò âåðòèêàëè íà óãëû ϕ1 è ϕ2. Íà êîíöàõ ñòåðæíåé â òî÷êàõ M1 è M2 íàõîäÿòñÿ ãðóçû ñ ìàññàìè m̃1 è m̃2 ñîîòâåòñòâåííî. Â íèæíèõ êîíöàõ O, M1 îáîèõ çâåíüåâ ðàçìåùåíû óïðóãèå øàðíèðû, êîòîðûå ìîäåëèðóþòñÿ ñïèðàëüíûìè ïðóæèíà- ìè ñ æåñòêîñòÿìè κ̃1 è κ̃2; ïðóæèíû ïðè âåðõíåì âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè ìàÿòíèêà íàõîäÿòñÿ â íåäåôîðìèðóåìîì ñîñòîÿíèè. Âäîëü ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O1 çâåíà M1M2 ïîä óãëîì ψ0, ñîâåðøàåò êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà M . 104 Îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêîâîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû Íà ýòó òî÷êó äåéñòâóþò, íàðÿäó ñ ñèëîé òÿæåñòè, ëèíåéíàÿ óïðóãàÿ ñèëà è ñèëà âÿçêîãî òðåíèÿ. Îáîçíà÷èì \|M1O1\| = l̃0, ìàññó òî÷êè M ïðèìåì çà m̃, æåñòêîñòü ïðóæèíû çà κ̃, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ çà h̃. Âûáåðåì â êà÷åñòâå îáîáùåííûõ êîîðäèíàò óãëû ϕ1, ϕ2, à òàêæå êîîðäèíàòó ũ òî÷êè M íà îñè O1M0 (ñ íà÷àëîì îòñ÷åòà â òî÷êå O1). Âûïèøåì êèíåòè÷åñêóþ è ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèè. T = 1 2 m̃1 v 2 M1 + 1 2 m̃2 v 2 M2 + 1 2 m̃ v2 M , Π = 1 2 κ̃1 ϕ 2 1 + 1 2 κ̃2 (ϕ2 − ϕ1) 2 + 1 2 κ̃ (ũ− ũ0) 2 + m̃1 g yM1 + m̃2 g yM2 + m̃ g yM , ãäå rM1 = (l̃1 sin ϕ1, l̃1 cos ϕ1) , rM2 = (l̃1 sin ϕ1 + l̃2 sin ϕ2, l̃1 cos ϕ1 + l̃2 cos ϕ2) , rM = (l̃1 sin ϕ1 + l̃0 sin ϕ2 + ũ sin (ϕ2 − ψ0), l̃1 cos ϕ1 + l̃0 cos ϕ2 + ũ cos (ϕ2 − ψ0)) , ðàäèóñû-âåêòîðû òî÷åê M1, M2, M ñîîòâåòñòâåííî. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äàííîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â ôîðìå Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà d dt ∂L ∂q̇j − ∂L ∂qj = Qj (q̇s, qs) (j, s = 1, 2, 3) , (1) ãäå L = T − Π = 1 2 m̃1 l̃1 2 ϕ̇2 1 + 1 2 m̃2 (l̃1 2 ϕ̇2 1 + l̃2 2 ϕ̇2 2 + 2 l̃1 l̃2 ϕ̇1 ϕ̇2 cos (ϕ1 − ϕ2))+ + 1 2 m̃ (l̃1 2 ϕ̇2 1 + l̃0 2 ϕ̇2 2 + ˙̃u 2 + ũ2ϕ̇2 2 + 2 ũ ϕ̇2 (l̃0 ϕ̇2 cos ψ0 + l̃1 ϕ̇1 cos (ϕ1 − ϕ2 + ψ0))− −2 ˙̃u (l̃0 ϕ̇2 sin ψ0 + l̃1 ϕ̇1 sin (ϕ1 − ϕ2 + ψ0)) + 2 l̃0 l̃1 ϕ̇1 ϕ̇2 cos (ϕ1 − ϕ2))− −1 2 κ̃1 ϕ 2 1 − 1 2 κ̃2 (ϕ2 − ϕ1) 2 − m̃1 g l̃1 cos ϕ1 − m̃2 g (l̃1 cos ϕ1 + l̃2 cos ϕ2)− −m̃ g (l̃1 cos ϕ1 + l̃0 cos ϕ2 + ũ cos (ϕ2 − ψ0))− 1 2 κ̃ (ũ− ũ0) 2 . Åñëè ïðóæèíà çàêðåïëåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî ũ0 = m̃ g cos ψ0/κ̃, òî óðàâíåíèÿ (1) äîïóñêàþò ðåøåíèå ϕ (0) 1 = 0 , ϕ (0) 2 = 0 , ũ(0) = 0 , ϕ̇ (0) 1 = 0 , ϕ̇ (0) 2 = 0 , ˙̃u (0) = 0 , (2) êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. Ââå- äåì áåçðàçìåðíûå âðåìÿ è ïàðàìåòðû ïî ôîðìóëàì τ = √ g/l̃2 t , u = ũ/l̃2 , m = m̃/m̃2 , m1 = m̃1/m̃2 , l0 = l̃0/l̃2 , l1 = l̃1/l̃2 , (3) κ1 = κ̃1/(gm̃2l̃2), κ2 = κ̃2/(gm̃2l̃2), κ = κ̃ l̃2/g m̃, h = √ l̃2/gh̃/m̃. 105 À.ß. Ñàâ÷åíêî, À.Å. Ïîçäíÿêîâè÷, Â.Å. Ïóçûðåâ Ïåðåõîäÿ â (1) ê âîçìóùåíèÿì ϕ1 = x1 , ϕ2 = x2 , u = y , ϕ̇ (0) 1 = ẋ1 , ϕ̇ (0) 2 = ẋ2 , u̇ = ẏ è îáîçíà÷àÿ øòðèõîì äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî τ , ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ: l21 (m1 + 1 +m)x′′1 + l1 (1 +ml0)x ′′ 2 −ml1 sin ψ0 y ′′ − κ2 x2− −x1 (−κ1 − κ2 + l1 (m1 + 1 +m)) = 0 , l1 (1 +ml0)x ′′ 1 + (1 +ml20)x ′′ 2 −ml0 sin ψ0 y ′′ − κ2 x1− (4) −x2 (−κ2 + 1 +ml0) +m sin ψ0 y = 0 , −ml1 sin ψ0 x ′′ 1 −ml0 sin ψ0 x ′′ 2 +my′′ +m sin ψ0 x2 + κ y = −h y′ . 2. Àíàëèç óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè. Óñëîâèÿìè àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ (2) ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ó õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ c0λ 6 + c1λ 5 + c2λ 4 + c3λ 3 + c4λ 2 + c5λ+ c6 = 0 (5) ñèñòåìû (4) òîëüêî êîðíåé ñ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè. Çäåñü c0 = l21[m1(ml 2 0 cos2 ψ0 + 1) +m(l0 − 1)2 cos2 ψ0], c1 = l21h[m1(ml 2 0 + 1) +m(l0 − 1)2], c2 = κ1(ml 2 0 cos2 ψ0+1)+κ2[m(l0+l1) 2 cos2 ψ0+m1l 2 1+(l1+1)2]+κ[m1l 2 1(ml 2 0+1)+ml21(l0−1)2]− −m1l1(ml 2 0 cos2 ψ0+ml0l1 cos 2ψ0+l1+1)−l1[m2l0(l0+l1) cos2 ψ0+ml0(l0 cos2 ψ0+l1 cos 2ψ0)+ +ml1(1 + sin2 ψ0) +m+ l1 + 1], c3 = h{κ1(ml 2 0 + 1) + κ2[m1l 2 1 +m(l0 + l1) 2 + (l21 + 1)]− −ml0l1(m1 +m)(l0 + l1)−ml1(l 2 0 + l0l1 + l1 + 1)− l1(m1 + 1)(l1 + 1), c4 = κ{κ1(ml 2 0 + 1) + κ2[m1l 2 1 +m(l0 + l1) 2 + (l1 + 1)2]−ml0l1(m1 +m)(l0 + l1)− −l1(m1 + 1)(l1 + 1)−ml1(l 2 0 + l0l1 + l1 + 1)}+ κ1κ2 − κ1(ml0 cos 2ψ0 + 1)− −κ2[m1l1 +m(l0 + l1) cos 2ψ0 + l1 + 1] +m1l1(ml0 cos 2ψ0 −ml1 sin2 ψ0 + 1)+ +l1(m+ 1)[m(l0 cos 2ψ0 − l1 sin2 ψ0) + 1], c5 = h{κ1κ2 − κ1(ml0 + 1)− κ2[ml0 + 1+ +l1(m1 +m+ 1)] + l1(1 +ml0)(m1 +m+ 1)}, c6 = κ{κ1κ2 − κ1(ml0 + 1)− κ2[ml0 + 1+ +l1(m1 +m+ 1)]}+ l1κ(ml0 + 1)(m1 +m)− [m(κ1 + κ2)−ml1(m1 +m+ 1)] sin2 ψ0. Ýòè óñëîâèÿ ïîëó÷èì íà îñíîâå êðèòåðèÿ Ëüåíàðà�Øèïàðà [5]: c1 > 0 , c3 > 0 , c5 > 0 , c6 > 0 , ∆3 = ∣∣∣∣∣∣ c1 c3 c5 c0 c2 c4 0 c1 c3 ∣∣∣∣∣∣ > 0, ∆5 = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ c1 c3 c5 0 0 c0 c2 c4 c6 0 0 c1 c3 c5 0 0 c0 c2 c4 c6 0 0 c1 c3 c5 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0 , (6) 106 Îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêîâîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûðàæåíèé è âû÷èñëåíèé ïðèõîäèì ê ïðåäñòàâ- ëåíèþ ∆3 = l21h 2 sin2 ψ0[(l0−1)2(ml20+1)κ2 1+2(l0−1)s1s2κ1κ2+s 2 1s3κ2 2+2l1(l0−1)2(m1+m+1)κ1− −2l1(l0 − 1)(m1 +m+ 1)s1s2κ2 + l21(l0 − 1)2(m1 +m+ 1)2s3], ∆5 = m4l21h 3 sin4 ψ0{l0(l0 − 1)κ2 1κ2 + (l0 + l1)[m1l0l1 + (l0 − 1)(l1 + 1)]κ1κ2 2− −(l0 − 1)2κ2 1 − 2(l0 − 1)[m1l1(3l0 + l1) +ml1(l0 + l1) + 3l0l1 + 2l0 + l12 − 2l1 − 2]κ1κ2+ +[m2 1l 2 0l 2 1 − 2m1l0l1(l0 − 1)(l1 + 1)− (l0 − 1)2(l1 + 1)2]2κ2 2 + 2l1(m1 +m+ 1)(l0 − 1)2− −2l1(l0 − 1)[m2 1l0l1 +m1(ml0l1 − 2l0l1 + l1 − l0 + 1]κ2 + l21(l0 − 1)2[(m1 +m− 1)2 − 2]}2, ãäå s1 = m1l0l1 +(l0−1)(l1 +1), s2 = ml20 +1+ l1(ml0 +1), s3 = m1l 2 1 +m(l0 + l1) 2 +(l1 +1)2. Ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé âûðàæåíèå äëÿ ∆3 ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê âèäó ∆3 = l21h 2 sin2 ψ0 ml20 + 1 {[(l0 − 1)(ml20 + 1)κ1 + s1s2κ2 − l1(l0 − 1)(m1 +m+ 1)s2] 2+ +l21(l0 − 1)2(m1 +m+ 1)2[m1(ml 2 0 + 1) +m(l0 − 1)2]}, îòêóäà ñëåäóåò åãî ïîëîæèòåëüíîñòü (íàïîìíèì, ÷òî ïî ïðåäïîëîæåíèþ sinψ0 6= 0). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî c1 > 0. Íàéäåì óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ c3, c5, c6. Ñ ýòîé öåëüþ ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ κ∗ 1 = κ1 − l1 (m1 + 1 +m)− 1−ml0 − (1 +m l0) 2 /κ∗ 2 , κ∗ 2 = κ2 − 1−ml0. Òîãäà c3 = h{κ∗ 1(ml 2 0 + 1) + κ∗ 2 [l 2 1(m1 +m+ 1) +ml0(l0 + l1 + 1) + l1 + 2]+ +m2l20(2l0 + l1 + 1) + 2ml0(l0 + l1 + 2) + l1 + 3 + 1 κ∗ 2 (ml20 + 1)(ml0 + 1)2}, c5 = hκ∗ 1κ∗ 2 , c6 = κκ∗ 1κ∗ 2 −m sin2 ψ0[κ∗ 1 + κ∗ 2 + 2(ml0 + 1) + 1 κ∗ 2 (ml0 + 1)2]. Êàê ñëåäóåò èç óñëîâèÿ c5 > 0, äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (6) íåîáõîäèìî ÷òîáû κ∗ 1 > 0, κ∗ 2 > 0 (åñëè îáå ýòè âåëè÷èíû îòðèöàòåëüíû, òî òîãäà íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå c3 > 0 ). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî ïðè κ∗ 1 > 0, κ∗ 2 > 0 âûðàæåíèå äëÿ c3 ïîëîæè- òåëüíî. Êàê ïîêàçûâàåò íåñëîæíûé, õîòÿ è äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêèé àíàëèç, ïðè ýòîì âûðàæåíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ â çàïèñè ∆5 íå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü). Óñëîâèå æå ïîëîæèòåëüíîñòè c6 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ∆κ = κ − κkp > 0 , (7) ãäå κkp = m2 [(κ∗ 2 + 1)2 +ml0 (ml0 + 2 + 2 κ∗ 2) + κ∗ 1 κ∗ 2 ] sin2 ψ0 /(κ∗ 1κ∗ 2 2), 107 À.ß. Ñàâ÷åíêî, À.Å. Ïîçäíÿêîâè÷, Â.Å. Ïóçûðåâ è ðàññìàòðèâàòü åãî êàê îãðàíè÷åíèå íà æåñòêîñòü ÑÓ. Çàìåòèì, ÷òî ïîëîæèòåëüíîñòü âåëè÷èí κ∗ 1 , κ∗ 2 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì [6] óñòîé÷èâîñòè îñíîâ- íîé ñèñòåìû, ò. å. ìàÿòíèêà áåç ÑÓ. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè âåëè÷èí κ∗ 1 , κ∗ 2 è ∆κ ÿâëÿþòñÿ íåîáõî- äèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ (6). Êàê ñëåäóåò èç âûøåïðèâå- äåííûõ ðàññóæäåíèé, ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ äâóçâåííîãî óïðóãîãî ìàÿòíèêà ïàññèâíî ñòàáèëèçèðóåìî ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ h̃ è óãëà ψ0. Â îòëè÷èå îò ðàáîò [1 � 4], èìååì îãðàíè÷åíèå ñíèçó íà æåñòêîñòü ïðóæèíû îñöèëëÿòîðà, êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì (7). Ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì âîïðîñ îá îïòèìàëüíîì âûáîðå ïàðàìåòðîâ ÑÓ � òà- êèõ çíà÷åíèé ìàññû, æåñòêîñòè, êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ è óãëà ψ0, êîòîðûå îáåñïå÷èâàëè áû íàèáîëåå áûñòðîå çàòóõàíèå âîçìóùåííûõ äâèæåíèé. Êàê ïîêàçûâàþò ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû, "õîðîøî" âûáðàííûå ïàðàìåòðû (â ñðàâíåíèè ñî "ñëó÷àéíî" âûáðàííûìè) äàþò ðîñò ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ íà ïîðÿäêè. Åñëè ïûòàòüñÿ äàâàòü çàêëþ÷åíèå, îñíîâû- âàÿñü íà âèäå õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (5) è îáùèõ ìåõàíè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèÿõ, òî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî âåëè÷èíà v, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ, ÿâëÿåòñÿ âîçðàñòàþùåé ôóíêöèåé àðãóìåíòà m. Îòíîñèòåëüíî âëèÿíèÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ íà ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ ìîæíî óòâåðæäàòü òîëüêî, ÷òî v −→ 0 ïðè h −→ 0. ×òî æå êàñàåòñÿ âîçìîæíîñòè íåîãðàíè÷åííîãî âîçðàñòàíèÿ v ïðè âîçðàñòàíèè h, òî, êàê ýòî èìååò ìåñòî è äëÿ ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, v îãðàíè÷åíà ñâåðõó âåëè- ÷èíîé, çàâèñÿùåé îò æåñòêîñòåé øàðíèðîâ è íå çàâèñÿùåé îò h . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè óðàâíåíèå (5) èìååò êîìïëåñíûé êîðåíü λ0, òî îíî òàêæå èìååò è êîðåíü λ0, äðóãèìè ñëîâàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ñèñòåìû (4) ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ (λ2 + a1λ+ b1)(λ 2 + a2λ+ b2)(λ 2 + a3λ+ b3). Ïðè ýòîì âñå âåëè÷èíû aj, bj (j = 1, 2, 3) ïîëîæèòåëüíû (èíà÷å áóäåò õîòÿ áû îäèí êîðåíü ñ íåîòðèöàòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ), à 2v ≤ min(a1, a2, a3). Òàêèì îáðàçîì, èìååì c4 = a1a2 + a1a3 + a2a3 + b1 + b2 + b3 > a1a2 + a1a3 + a2a3 ≥ ≥ 1 2 (a1 + a2 + a3) 2 ≥ 1 2 [3 min(a1, a2, a3)] 2 = 18v2. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê ñëåäóåò èç ÿâíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòà c4, îí íå çàâèñèò îò h. Íèæå ýòîò âîïðîñ èññëåäîâàí áîëåå ïîäðîáíî äëÿ îäíîçâåííîãî ìàÿòíèêà. 3. Îïòèìèçàöèÿ ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé îäíîçâåííîãî ìàÿòíèêà. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ñèñòåìà ñîñòîèò èç îäíîãî çâåíà M1M è ÑÓ. Óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ äëÿ îäíîçâåííîãî ìàÿòíèêà ñîâïàäàþò ñî âòîðûì è òðåòüèì óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû (4), â êîòîðûõ ôîðìàëüíî ñëåäóåò ïîëîæèòü x1 ≡ 0 (òàêæå, ñ öåëüþ èçáåæàòü ïåðåîáîçíà÷åíèé â ôîðìóëàõ (3), ïðèìåì ìàññó, äëèíó è æåñòêîñòü øàðíèðà ìàÿòíèêà ñîîòâåòñâåííî çà l̃2, m̃2, κ̃2). Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò ïðè ýòîì âèä λ̃4 + c̃1λ̃ 3 + c̃2λ̃ 2 + c̃3λ̃+ c̃4 = 0, (8) ãäå c̃1 = 1 + µ 1 + µδ h1, c̃2 = ν + κ(1 + µ) + (1− 2δ)µ 1 + µδ , c̃3 = ν − µ 1 + µδ h1, c̃4 = κ(ν − µ)− µ(1− δ) 1 + µδ , 108 Îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêîâîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû µ = ml20, ν = l0(κ2 − 1), λ̃ = √ l0λ, h1 = √ l0h, κ = l0κ, δ = cos2 ψ0. (9) Íèæå â öåëÿõ óäîáñòâà çàïèñè çíàê "∼ " íàä êîýôôèöèåíòàìè c̃j (j = 1; 4) îïóñêà- åì. Óðàâíåíèå (8) çíà÷èòåëüíî ëåã÷å äëÿ àíàëèçà, ÷åì (4), ïðè÷åì íå ñòîëüêî çà ñ÷åò ìåíüøåé ñòåïåíè, ñêîëüêî ïî ïðè÷èíå îòñóòñòâèÿ ÷åòûðåõ ïàðàìåòðîâ: κ1, m1, l0, l1. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Ëåììà. Ïóñòü d − ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâó- åò λ-ìàòðèöà D(λ) = ( (1 + α2)(λ2 + β2) α(λ2 − 1) α(λ2 − 1) λ2 + hλ+ κ ) , ãäå α, β, h, κ − ïàðàìåòðû, ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòè G α > 0, β > 0, h > 0, κ > α2 β2(1 + α2) (10) ïðîñòðàíñòâà R4. Îáîçíà÷èì âåùåñòâåííûå ÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îïåðàòîðà d ÷åðåç −σj (j = 1, 2) è ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ p (α, β, h,κ) = min(σ1, σ2). Òîãäà â îáëàñòè α < 2β2 1 + β2 (11) òî÷íîé âåðõíåé ãðàíüþ äëÿ p ïî âñåâîçìîæíûì íàáîðàì àðãóìåíòîâ èç (10) ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå σ = α(1 + β2)/2β, êîòîðîå äîñòèãàåòñÿ òîëüêî íà ãèïåðïîâåðõíîñòè κ = α2 + β4 β2(1 + α2) , h = 2α(1 + β2) β(1 + α2) . (12) Íà ãðàíèöå îáëàñòè (11) σ ïðèíèìàåò ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå β, åñëè æå íåðàâåíñòâî (11) èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çíàê, òî p < σ. Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì âíà÷àëå, ÷òî óðàâíåíèå detD(λ) ≡ λ4 + c01λ 3 + c02λ 2 + c03λ+ c04 = 0, ãäå c01 = (1 + α2)h, c02 = (1 + α2)(β2 + κ) + 2α2, c03 = (1 + α2)β2h, c04 = (1 + α2)β2κ − α2, èìååò òîëüêî êîðíè ñ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè, ïîñêîëüêó äëÿ íåãî âû- ïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ êðèòåðèÿ Ëüåíàðà�Øèïàðà (èëè êðèòåðèÿ Ãóðâèöà). Â ñàìîì äåëå, óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè êîýôôèöèåíòîâ ýòîãî óðàâíåíèÿ îïèñûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà- ìè (10), à â ïîëîæèòåëüíîñòè âûðàæåíèÿ ∆ = c01c 0 2c 0 3 − (c01) 2 c04 − (c03) 2 ëåãêî óáåäèòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî. Ñäåëàåì çàìåíó λ = λ̆− σ è ïîêàæåì, ÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ λ̆4 + c̆01 λ̆ 3 + c̆02 λ̆ 2 + c̆03 λ̆+ c̆04 = 0 ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè c̆01 = (1 + α2)h− 4σ, c̆02 = (1 + α2)(β2 + κ) + 2α2 − 3(1 + α2)hσ + 6σ2, c̆03 = (1 + α2)β2h− 2[(1 + α2)(β2 + κ) + 2α2]σ + 3(1 + α2)hσ2 − 4σ3, 109 À.ß. Ñàâ÷åíêî, À.Å. Ïîçäíÿêîâè÷, Â.Å. Ïóçûðåâ c̆04 = (1 + α2)β2κ − α2 − (1 + α2)β2hσ + (1 + α2)(β2 + κ) + 2α2σ2 − (1 + α2)hσ3 + σ4 íàðóøàåòñÿ óñëîâèå ∆̆ = c̆01 c̆ 0 2 c̆ 0 3 − (c̆01) 2 c̆04 − (c̆03) 2 > 0. Ïîäñòàâèì â ∆̆ âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ c̆j è ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ∆̆ = 2σ[2σ − h(1 + α2)][κ(1 + α2) + α2(3β2 + 6 + 2 β2 )− 2hσ(α2 + 1)− β2]2− −[h(1 + α2)− 4σ]2{α2(1 + β2)2 + 2β2σ[h(1 + α2)− 4σ]}. Åñëè, ñîãëàñíî ïðåäïîëîæåíèþ, c̆1 > 0, òî ìíîæèòåëü [2σ−h(1 +α2)] îòðèöàòåëåí, à âûðàæåíèå â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî � êàê ñëåäñòâèå èìååì ∆̆ < 0. Çàìåòèì, ÷òî è ïðè c̆1 ≤ 0 óñëîâèÿ êðèòåðèÿ òàêæå íå âûïîëíÿþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, min(σ1, σ2) ≤ σ. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà (12). Òîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ïðåäñòàâèì â âèäå detD(λ) = [λ2 + α(1 + β2) β λ+ β2]2 è, åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (11), òî îïåðàòîð d èìååò äâå ïàðû îäèíàêîâûõ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè, ðàâíûìè −σ. Åñëè α = 2β2/(1 + β2), òî äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â ïîñëåäíåé çàïèñè ðàâåí íóëþ, è d èìååò ÷åòûðåõêðàòíîå ñîáñòâåííîå çíà- ÷åíèå −β. Åñëè α > 2β2/(1 + β2), òî ýòîò äèñêðèìèíàíò ïîëîæèòåëåí, à ïîñêîëüêó σ1 + σ2 = 2σ (σ1 6= σ2), òî, p < σ. Ïðèìåíèòåëüíî ê èçó÷àåìîé â íàñòîÿùåì ïóíêòå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, èìååì α2 = µ(1− δ) 1 + µδ , β2 = ν − µ 1 + µ , è íåðàâåíñòâî (11) çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì (4− µ)ν2 − 10µν + µ(4µ− 1) + µδ[5ν2 + 2(1− 4µ)ν + 1 + 4µ2] > 0. Âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ, î÷åâèäíî, ïîëîæèòåëüíî ïðè ëþáûõ µ è ν, à ãðóïïà ñëàãàåìûõ, íå ñîäåðæàùèõ ìíîæèòåëÿ δ, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ [2ν − 2µ−√µ(ν + 1)][2ν − 2µ+ √ µ(ν + 1)]. Ïîñêîëüêó, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ν > µ, òî ýòî ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ν > √ µ(1 + 2 √ µ) 2−√µ . (13) Åñëè èñõîäèòü èç ïðèêëàäíûõ ñîîáðàæåíèé, òî âåëè÷èíà m � îòíîøåíèå ìàññû ÑÓ ê ìàññå ìàÿòíèêà � ÿâëÿåòñÿ ìàëîé ïîðÿäêà 10−1, âåëè÷èíà l0 èìååò ïîðÿäîê åäèíè- öû. Ïîýòîìó íåðàâåíñòâî (13) çàâåäîìî âûïîëíÿåòñÿ (èñêëþ÷àÿ ñëó÷àé "ìåäëåííûõ" êîëåáàíèé îñíîâíîé ñèñòåìû, êîãäà âåëè÷èíà ν òàêæå ìàëà), ÷òî îáåñïå÷èâàåò âûïîë- íèìîñòü óñëîâèÿ (11). 110 Îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêîâîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû Òàêèì îáðàçîì, ñ÷èòàÿ ïàðàìåòðû îñíîâíîé ñèñòåìû m̃2, l̃2, κ̃2 çàäàííûìè, ñ ó÷åòîì ôîðìóë (9) ïîëó÷àåì çàäà÷ó î íàõîæäåíèè íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ(δ,m, l0) = m(1− δ)[l0(κ2 − 1) + 1]2 (1 +ml20δ)(1 +ml20)(κ2 − 1−ml0) . Ïîñëåäíÿÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûðàæåíèå σ2, îòíåñåííîå ê l0, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ èç- ìåíåíèåì ìàñøòàáà âðåìåíè � ïåðåõîäîì îò λ̃ íàçàä ê λ. Ïåðåìåííàÿ δ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ïîëóîòêðûòîãî èíòåðâàëà [0, 1). Â ñèëó êîíñòðóêòèâíûõ ñîîáðàæåíèé, ïå- ðåìåííûå m, l0 îãðàíè÷åíû ñâåðõó íåêîòîðûìè ôèêñèðîâàííûìè çíà÷åíèÿìè m∗, l∗0. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ Φ íå èìååò òî÷åê ýêñòðåìóìà âíóòðè îáëàñòè èçìåíåíèÿ ñâîèõ àðãóìåíòîâ è ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïðè δ = 0, m = m∗, l0 = l∗0. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòîâ èç îáëàñòè 0 ≤ δ < 0, 0 < m ≤ m∗, 0 < l0 ≤ l∗0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî Φ(δ,m, l0) = m(1− δ)[l0(κ2 − 1) + 1]2 (1 +ml20δ)(1 +ml20)(κ2 − 1−ml0) ≤ m∗[l∗0(κ2 − 1) + 1]2 (1 +m∗l∗0 2)(κ2 − 1−m∗l∗0) . Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ îæèäàåìûì ñ ìåõàíè÷åñêîé òî÷êè çðå- íèÿ � ÷åì áîëüøå ìàññà è "ïëå÷î" ÑÓ, òåì áûñòðåå ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé. ×òî æå êàñàåòñÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ è æåñòêîñòè ÑÓ, òî èõ îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ â ñîîòâåòñâèè ñ ôîðìóëàìè (11), (9), (3) ðàâíû hîïò = 2 √ m̃m̃2(m̃2l̃22 +ml20) m2[κ2 − g(m̃2l̃2 + m̃l̃0)] l̃2[l̃0κ̃2 + m̃2gl̃2(l̃2 − l̃0)] (m̃2l̃22 + m̃l̃20) 2 , (14) κîïò = m̃2l̃2l̃0[κ̃2 − g(m̃2l̃2 + m̃l̃0)] g(m̃2l̃22 + m̃l̃20) 2 + m̃gl̃0 κ̃2 − g(m̃2l̃2 + m̃l̃0) . Íà ðèñ. 2, 3 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî àíàëèçà. Òàê, íà ðèñ. 2 èçîáðà- æåíà ïîâåðõíîñòü p(h,κ) (ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ m = 0, 1, κ2 = 2). 111 À.ß. Ñàâ÷åíêî, À.Å. Ïîçäíÿêîâè÷, Â.Å. Ïóçûðåâ Ìîæíî âèäåòü, ÷òî çíà÷åíèå p = σ â âåðøèíå êîíóñîîáðàçíîé ÷àñòè ïîâåðõíî- ñòè, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèÿì hîïò, κîïò, îïðåäåëÿåìûì ïî ôîðìóëàì (14), ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì äëÿ ëþáîé äðóãîé ïàðû (h,κ), äàæå äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê (hîïò, κîïò). Ðèñ. 3. Íà ðèñ. 3 äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé âåëè÷èí h, κ ïðåäñòàâëåíû òðàåêòîðèè â ôàçî- âîé ïëîñêîñòè x, x′ (ïî îñíîâíîé ïåðåìåííîé), õàðàêòåðèçóþùèå ïîâåäåíèå âîçìóùåí- íîãî äâèæåíèÿ äëÿ ïîëíîé íåëèíåéíîé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì çàôèêñèðîâàíû ïàðàìåòðû: κ2 − ïðèâåäåííàÿ æåñòêîñòü îñíîâíîé ñèñòåìû, m è l0 (κ2 = 1, m = 10−1, l0 = 0, 9). Êðåñòèêîì îòìå÷åí ìîìåíò âðåìåíè τ = 10. Çíà÷åíèÿì hîïò, κîïò ñîîòâåòñòâóåò òðàåêòîðèÿ â ñëó÷àå ê). Òðàåêòîðèè, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå òî÷êè M, âûãëÿäÿò àíàëîãè÷íî è íà ðèñóíêå íå ïðåäñòàâëåíû. 112 Îá óñòîé÷èâîñòè ðàâíîâåñèÿ ìàÿòíèêîâîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû Çàìå÷àíèå. Êàê ìîæíî âèäåòü íà ðèñ. 3, â ñëó÷àå ì) òðàåêòîðèÿ ïðèòÿãèâàåòñÿ ê íà÷àëó äàæå íåñêîëüêî áûñòðåå, ÷åì äëÿ ïàðû çíà÷åíèé (hîïò, κîïò). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáñòîÿòåëüñòâîì. Õîòÿ íàèìåíüøåå õàðàêòåðèñòè÷íîå ÷èñëî óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ â ñëó÷àå ê) áîëüøå íàèìåíüøåãî õàðàêòåðèñòè÷íîãî ÷èñëà äëÿ ñëó÷àÿ ì), íî ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïðè ýòîì êðàòíûå. Ïîýòîìó èìååì äâå ôóíêöèè f1(τ) = τe−στ , f2(τ) = e−(σ−ε)τ , è â òå÷åíèå íåêîòîðîãî "ïåðåõîäíîãî" ïðîìåæóòêà âðåìåíè [0, τ∗] ôóíêöèÿ f2 ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ìåíüøèå, ÷åì f1. Çäåñü τ∗ ≈ 36, ÷òî ïðè ïîðÿäêå âåëè÷èíû l̃2 ∼ 1 ñîîòâåòñòâóåò âðåìåííîìó èíòåðâàëó ïîðÿäêà 10 ñ. Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî èçó÷åííàÿ â äàííîì ðàçäåëå â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñûâàåò ñèòóàöèþ è äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû. Íà ðèñ. 4 Ðèñ. 4. ïðåäñòàâëåíà òðàåêòîðèÿ x(τ) è åå îãèáàþùàÿ f(τ). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî êðèâàÿ ln f(τ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé "ïî÷òè" ïðÿìóþ � â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå åé ñîîò- âåòñòâóåò ïðÿìàÿ f = −στ + const. 1. Pei�er K., Savchenko A.Ya. On passive stabilization in critical cases // J. of Math. Analysis and Applications. � 2000. � 244. � P. 106-119. 2. Pei�er K., Savchenko A.Ya. On the some asymptotic behavior of a passively stabilized system with one critical variable // Rend. Acc. Sc. �s. mat. Napoli. � 2000 � LXVII. � P. 157-168. 3. Ïîçäíÿêîâè÷ À.Å., Ñàâ÷åíêî À.ß. Ïàññèâíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿò- íèêà îòíîñèòåëüíî íàêëîííîé îñè // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 97-100. 4. Ñàâ÷åíêî À.ß., Êðàâ÷åíêî Â.Â. Î ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà â îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ åãî ðàâíîâåñèÿ â ðåæèìå ïàññèâíîé ñòàáèëèçàöèè // Òàì æå. � 2004. � Âûï. 34. � Ñ. 106-111. 5. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. � M.: Íàóêà, 1966. � 576 ñ. 6. Ìåðêèí Ä.Ð. Ââåäåíèå â òåîðèþ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1976. � 320 ñ. Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê *Äîíáàñcêàÿ íàöèîíàëüíàÿ àêàä. ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, Ìàêååâêà Ïîëó÷åíî 01.03.06 113
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123797
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	0321-1975
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T15:31:09Z
publishDate	2006
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Савченко, А.Я. Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. 2017-09-09T17:38:40Z 2017-09-09T17:38:40Z 2006 Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы / А.Я. Савченко, А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 104-113. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123797 531.36 Получены условия устойчивости верхнего положения равновесия двухзвенного математического маятника с дополнительной степенью свободы (линейный осциллятор с вязким трением). Дана оценка скорости затухания возмущенных движений. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы Article published earlier
spellingShingle	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы Савченко, А.Я. Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е.
title	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы
title_full	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы
title_fullStr	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы
title_full_unstemmed	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы
title_short	Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы
title_sort	об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123797
work_keys_str_mv	AT savčenkoaâ obustoičivostiravnovesiâmaâtnikovoimehaničeskoisistemystremâstepenâmisvobody AT pozdnâkovičae obustoičivostiravnovesiâmaâtnikovoimehaničeskoisistemystremâstepenâmisvobody AT puzyrevve obustoičivostiravnovesiâmaâtnikovoimehaničeskoisistemystremâstepenâmisvobody

Об устойчивости равновесия маятниковой механической системы с тремя степенями свободы

Репозитарії

Схожі ресурси