Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора
Рассмотрена задача Штурма-Лиувилля для модели гибкого манипулятора в виде балки С.П. 'Тимошенко. к которой прикреплено твердое тело. Доказаны утверждения о расположении собственных значений этой задачи. При дополнительных предположениях на механические параметры получено асимтотическое представ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2006 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123798 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 114-122. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859625933097402368 |
|---|---|
| author | Зуев, А.Л. |
| author_facet | Зуев, А.Л. |
| citation_txt | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 114-122. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена задача Штурма-Лиувилля для модели гибкого манипулятора в виде балки С.П. 'Тимошенко. к которой прикреплено твердое тело. Доказаны утверждения о расположении собственных значений этой задачи. При дополнительных предположениях на механические параметры получено асимтотическое представление собственных частот.
|
| first_indexed | 2025-11-29T10:37:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 531.391, 517.927.25, 517.984.5
c©2006. À.Ë. Çóåâ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÑÎÁÑÒÂÅÍÍÛÕ ÇÍÀ×ÅÍÈÉ
 ÇÀÄÀ×Å Î ÊÎËÅÁÀÍÈÈ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÌÀÍÈÏÓËßÒÎÐÀ
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à Øòóðìà�Ëèóâèëëÿ äëÿ ìîäåëè ãèáêîãî ìàíèïóëÿòîðà â âèäå áàëêè Ñ.Ï. Òèìî-
øåíêî, ê êîòîðîé ïðèêðåïëåíî òâåðäîå òåëî. Äîêàçàíû óòâåðæäåíèÿ î ðàñïîëîæåíèè ñîáñòâåííûõ
çíà÷åíèé ýòîé çàäà÷è. Ïðè äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ íà ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû ïîëó÷åíî
àñèìòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò.
1. Ââåäåíèå. Äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ðîáîòîâ-ìàíèïóëÿòîðîâ ñ óïðóãèìè çâå-
íüÿìè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ìîäåëü áàëêè Ñ.Ï. Òèìîøåíêî, êîòîðàÿ ó÷èòûâàåò èíåð-
öèþ âðàùåíèÿ è ïðîãèáû, îáóñëîâëåííûå ïîïåðå÷íûì ñäâèãîì [1, ñ. 389].  öèòèðóå-
ìîé ìîíîãðàôèè ïðîâåäåí ïðèáëèæåííûé àíàëèç ÷àñòîò êîëåáàíèé ñâîáîäíî îïåðòîãî
ñòåðæíÿ íà îñíîâå ýòîé ìîäåëè. Ïðè ÷àñòíîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðîâ áàëêè Ñ.Ï. Òèìî-
øåíêî ñî ñâîáîäíûì êîíöîì, â ñòàòüå [2] ïîëó÷åíû îöåíêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λn
çàäà÷è Øòóðìà�Ëèóâèëëÿ â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà n. Îòìåòèì, ÷òî ïðè áîëåå îáùèõ
ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ìåõàíè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìîãóò âîçíèêàòü êðàòíûå ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ [3]. Äîñòàòî÷íî ïîëíûé àíàëèç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé äëÿ ìîäåëè
Ñ.Ï. Òèìîøåíêî ïðè íàëè÷èè äåìïôèðóþùåé ñèëû è ìîìåíòà íà êîíöå áàëêè ïðîâåäåí
â ðàáîòå [4].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò â çàäà÷å î êîëåáàíè-
ÿõ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû â âèäå óïðóãîé áàëêè, ê êîíöó êîòîðîé ïðèêðåïëåíî òâåðäîå
òåëî (íàãðóçêà).
2. Çàäà÷à Øòóðìà�Ëèóâèëëÿ.  ðàáîòå [5] ïðåäëîæåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìîãî ìàíèïóëÿòîðà â âèäå áàëêè Ñ.Ï. Òèìîøåíêî ñ íàãðóçêîé â ïîëå
ñèëû òÿæåñòè. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ôîðìû êîëåáàíèé òàêîé ìîäåëè óäîâëåòâîðÿþò
çàäà÷å Øòóðìà�Ëèóâèëëÿ [5, ñ. 110]:
ζ(τ)
ζ ′(τ)
θ(τ)
θ′(τ)
′
=
0 1 0 0
−λp1 0 0 1
0 0 0 1
0 −p2 p2 − λp3 0
×
ζ(τ)
ζ ′(τ)
θ(τ)
θ′(τ)
, τ ∈ (0, 1), (1)
ζ(0) = θ(0) = 0, ζ ′(1)− θ(1) = λp4ζ(1), θ′(1) = λp5θ(1). (2)
Ôóíêöèè ζ(τ) è θ(τ) îïèñûâàþò îòêëîíåíèå öåíòðàëüíîé ëèíèè áàëêè è óãîë ïîâîðî-
òà ñå÷åíèÿ áàëêè â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé τ (ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ìàñøòàáèðîâàíèè).
Ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû çàäà÷è (1), (2) çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé
p1 =
ρl2
K
, p2 =
Kl2
EI
, p3 =
Iρl
2
EI
, p4 =
ml
K
, p5 =
Jcl
EI
.
Çäåñü ρ � ìàññà íà åäèíèöó äëèíû áàëêè; l � äëèíà áàëêè; K = γGA; γ � ãåîìåòðè÷åñêàÿ
êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìîé ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ; G � ìîäóëü ñäâèãà; A � ïëîùàäü
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè; E � ìîäóëüÞíãà; I � ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ;
114
Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
Iρ � ìàññîâûé ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ áàëêè; m � ìàññà òâåðäîãî òåëà-íàãðóçêè, ïðè-
êðåïëåííîãî ê êîíöó áàëêè; Jc � öåíòðàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî òåëà-íàãðóçêè.
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî òâåðäîå òåëî ïðèêðåïëåíî ê áàëêå â ñâîåì öåíòðå ìàññ (c = 0 â
îáîçíà÷åíèÿõ ðàáîòû [5]). Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äëÿ áàëêè ñ ïîñòîÿííîé îáúåìíîé ïëîòíîñòüþ
ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Iρ = ρI/A, ïîëó÷èì ôîðìóëó
p3
p1
=
γG
E
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íà ïðàêòèêå âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî p3 < p1, èáî G/E ≈ 0, 37 äëÿ
èñïîëüçóåìûõ â ìàíèïóëÿòîðàõ ìåòàëëîâ, γ < 1 (ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîýôôè-
öåíòà γ ïðèâåäåíû â [6]).
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ çàäà÷è (1), (2) â ñòàòüå [5] ïîëó÷åíî
õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñëåäóþùåãî âèäà:
∆(λ) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
e−iσ1 eiσ1 e−iσ3 eiσ3
σ1β1e
−iσ1 −σ1β1e
iσ1 σ3β3e
−iσ3 −σ3β3e
iσ3
β1(p1 + ip4σ1) β1(p1 − ip4σ1) β3(p1 + ip4σ3) β3(p1 − ip4σ3)
iσ1 − λp5 iσ1 + λp5 iσ3 − λp5 iσ3 + λp5
∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0, (3)
ãäå β1 = σ2
1 − λp3, β3 = σ2
3 − λp3, à
σ1 =
√
2
2
√
(p1 + p3)λ−
√
(p1 − p3)2λ2 + 4p1p2λ ,
σ3 =
√
2
2
√
(p1 + p3)λ +
√
(p1 − p3)2λ2 + 4p1p2λ .
(4)
 ñòàòüå [5] ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðè p4 = 0,
p5 = 0.
 äàííîé ðàáîòå èññëåäóþòñÿ ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ çàäà÷è (1), (2) â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû p1, p2, p3, p4, p5 ÿâëÿþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè
êîíñòàíòàìè.
3. Ðàñïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ðàññìîòðèì ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàí-
ñòâî
X = {(ζ, θ, y, z) : ζ, θ ∈ L2[0, 1], y, z ∈ C}
íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Îïðåäåëèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ
ξ1 = (ζ1, θ1, y1, z1) ∈ X è ξ2 = (ζ2, θ2, y2, z2) ∈ X ñëåäóþùèì îáðàçîì:
〈ξ1, ξ2〉 =
∫ 1
0
(
p1p2ζ1(τ)ζ̄2(τ) + p3θ1(τ)θ̄2(τ)
)
dτ + p2p4y1ȳ2 + p5z1z̄2. (5)
Çàäàäèì ëèíåéíûé îïåðàòîð A ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ D(A) ⊂ X è çíà÷åíèÿìè â X:
D(A) = {(ζ, θ, y, z) : ζ, θ ∈ H2(0, 1), ζ(0) = θ(0) = 0, y = ζ(1), z = θ(1)},
A(ζ, θ, y, z) =
(
θ′ − ζ ′′
p1
,
p2(θ − ζ ′)− θ′′
p3
,
ζ ′(1)− θ(1)
p4
,
θ′(1)
p5
)
,
ãäå H2(0, 1) � ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà.
115
À.Ë. Çóåâ
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ÷èñëî λ ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è Øòóðìà�
Ëèóâèëëÿ (1), (2) òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò ξ ∈ X, óäîâëåòâîðÿþ-
ùèé óñëîâèÿì
Aξ = λξ, ξ 6= 0, ξ ∈ D(A). (6)
Åñëè λ è ξ = (ζ, θ, y, z) óäîâëåòâîðÿþò (6), òî ôóíêöèè ζ(τ), θ(τ), τ ∈ [0, 1], îïðåäåëÿþò
ñîáñòâåííóþ ôîðìó êîëåáàíèé áàëêè, ñîîòâåòñòâóþùóþ ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ.
Óñòàíîâèì âàæíîå ñâîéñòâî îïåðàòîðà A. Ïóñòü ξ1, ξ2 ∈ D(A). Èíòåãðèðóÿ ïî ÷à-
ñòÿì ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé èç D(A), ïîëó÷èì:
〈Aξ1, ξ2〉 =
∫ 1
0
(
p2(θ
′
1 − ζ ′′1 )ζ̄2 + (p2(θ1 − ζ ′1)− θ′′1)θ̄2
)
dτ+p2(ζ
′
1(1)−θ1(1))ζ̄2(1)+θ′1(1)θ̄2(1) =
=
∫ 1
0
(
p2θ1θ̄2 + p2(ζ
′
1 − θ1)ζ̄
′
2 + (p2ζ1 + θ′1)θ̄
′
2
)
dτ +
(
p2(θ1 − ζ ′1)ζ̄2 − (p2ζ1 + θ′1)θ̄2
)∣∣1
τ=0
+
+p2(ζ
′
1(1)− θ1(1))ζ̄2(1) + θ′1(1)θ̄2(1) =
=
∫ 1
0
(
p2(θ1θ̄2 − θ1ζ̄
′
2 + ζ1θ̄
′
2 − ζ1ζ̄
′′
2 )− θ1θ̄
′′
2
)
dτ +
(
p2ζ1ζ̄
′
2 + θ1θ̄
′
2
)∣∣1
τ=0
− p2ζ1(1)θ̄2(1) =
=
∫ 1
0
(
p2ζ1(θ̄
′
2 − ζ̄ ′′2 ) + θ1(p2(θ̄2 − ζ̄ ′2)− θ̄′′2)
)
dτ + p2ζ1(1)
(
ζ̄ ′2(1)− θ̄2(1)
)
+ θ1(1)θ̄′2(1) =
= 〈ξ1, Aξ2〉 .
Òàêèì îáðàçîì, A îáëàäàåò ñâîéñòâàìè ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà [7, ñ. 330]:
1. âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ âåùåñòâåííû;
2. ñîáñòâåííûå âåêòîðû ξ1, ξ2 ∈ D(A), îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîáñòâåííûì çíà÷å-
íèÿì λ1, λ2, îðòîãîíàëüíû â X.
Ââèäó âåùåñòâåííîñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ, ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ζ(τ) è θ(τ)
çàäà÷è (1), (2) òàêæå ìîãóò áûòü âûáðàíû âåùåñòâåííûìè. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì
áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà X ñ âåùåñòâåííûìè êîìïîíåíòàìè
è îïóñêàòü çíàê êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ â ñêàëÿðíîì ïðîèçâåäåíèè (5). Èìååò ìåñòî
ëåììà î ðàñïîëîæåíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.
Ëåììà 1.Ïóñòü p2 < 2, òîãäà âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λ çàäà÷è (1), (2) ïðè-
íàäëåæàò ïîëóèíòåðâàëó [λ0, +∞), ãäå
λ0 = min
{
1
p1 + 2p4
,
2− p2
p3 + 2p5
}
> 0. (7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ξ ∈ D(A). Âû÷èñëèì 〈Aξ, ξ〉, èñïîëüçóÿ ïðèåì èíòåãðèðî-
âàíèÿ ïî ÷àñòÿì:
〈Aξ, ξ〉 =
∫ 1
0
(p2ζ(θ′ − ζ ′′) + p2θ(θ − ζ ′)− θθ′′)dτ + p2(ζ
′(1)− θ(1))ζ(1) + θ(1)θ′(1) =
=
∫ 1
0
(p2(ζ
′2 + θ2) + θ′2 − 2p2θζ
′)dτ =
∫ 1
0
(p2(ζ
′ − θ)2 + θ′2)dτ =
116
Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
=
∫ 1
0
(p2
2
ζ ′2 + θ′2 − p2θ
2
)
dτ +
p2
2
∫ 1
0
(ζ ′ − 2θ)2dτ ≥
∫ 1
0
(p2
2
ζ ′2 + θ′2 − p2θ
2
)
dτ. (8)
Ïîñêîëüêó ζ(0) = 0 è θ(0) = 0, òî ôóíêöèè ζ(τ) è θ(τ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì
Ôðèäðèõñà ñëåäóþùåãî âèäà [2, p. 440]:
∫ 1
0
ζ ′2(τ)dτ ≥ 2
∫ 1
0
ζ2(τ)dτ,
∫ 1
0
θ′2(τ)dτ ≥ 2
∫ 1
0
θ2(τ)dτ. (9)
Êðîìå òîãî,
ζ2(1) =
(∫ 1
0
1 · ζ ′(τ)dτ
)2
≤
∫ 1
0
dτ ·
∫ 1
0
ζ ′2(τ)dτ =
∫ 1
0
ζ ′2(τ)dτ, θ2(1) ≤
∫ 1
0
θ′2(τ)dτ (10)
íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà Êîøè�Áóíÿêîâñêîãî.
Ïóñòü λ0 � ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íåðàâåíñòâà (8) è (10),
ïîëó÷èì
〈Aξ, ξ〉−λ0 〈ξ, ξ〉 ≥
∫ 1
0
(p2
2
ζ ′2 + θ′2 − p2θ
2 − λ0(p1p2ζ
2 + p3θ
2)
)
dτ−λ0(p2p4ζ
2(1)+p5θ
2(1)) ≥
≥
∫ 1
0
(
p2
(
1
2
− λ0p4
)
ζ ′2 + (1− λ0p5)θ
′2 − (p2 + λ0p3)θ
2 − λ0p1p2ζ
2
)
dτ. (11)
Ïîëàãàÿ, ÷òî
1
2
− λ0p4 ≥ 0, 1− λ0p5 ≥ 0,
ïðîäîëæèì îöåíêó âûðàæåíèÿ (11) ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâ (9). Èìååì
〈Aξ, ξ〉 − λ0 〈ξ, ξ〉 ≥
∫ 1
0
(
p2(1− λ0(p1 + 2p4))ζ
2(τ) + (2− p2 − λ0(p3 + 2p5))θ
2(τ)
)
dτ.
Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî
〈Aξ, ξ〉 ≥ λ0 〈ξ, ξ〉 (12)
äëÿ âñåõ ξ ∈ D(A), åñëè λ0 îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (7) è p2 < 2.
Òåïåðü ëåãêî âèäåòü, ÷òî âñÿêîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ îïåðàòîðà A óäîâëåòâîðÿåò
íåðàâåíñòâó λ ≥ λ0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè Aξ = λξ äëÿ íåêîòîðîãî ξ ∈ D(A), ξ 6= 0, òî
〈Aξ, ξ〉 = λ 〈ξ, ξ〉. Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (12) ïîëó÷èì
(λ− λ0) 〈ξ, ξ〉 ≥ 0,
îòêóäà ñëåäóåò λ− λ0 ≥ 0 ïðè ξ 6= 0. Ëåììà 1 äîêàçàíà.
Ïîñêîëüêó âûðàæåíèå (3) îïðåäåëÿåò íå ðàâíóþ òîæäåñòâåííî íóëþ àíàëèòè÷å-
ñêóþ ôóíêöèþ ∆(λ), òî ó çàäà÷è (1), (2) ñóùåñòâóåò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî
ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðîå ïðè ýòîì íå èìååò êîíå÷íîé ïðåäåëüíîé òî÷êè è êðàò-
íîñòü êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ êîíå÷íà (ñì. [8, ñ. 22]). Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâî
ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 2. Åñëè p1 6= p3, òî ìíîæåñòâî êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíå-
íèÿ (3) íå îãðàíè÷åíî ñâåðõó.
117
À.Ë. Çóåâ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàñêðûâàÿ îïðåäåëèòåëü â ôîðìóëå (3)1, ïîëó÷èì àñèìïòîòè-
÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ∆(λ):
∆(λ)
λ4
= −4p1p4p5(p1 − p3)
2 (cos σ1 sin σ3 + R(λ)) , (13)
ãäå
R(λ) =
(√
p1
p4
cos σ1 cos σ3 −
√
p3
p5
sin σ1 sin σ3
)
1√
λ
+ O
(
1
λ
)
ïðè λ → +∞.
Ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ φ(λ) = cos σ1 sin σ3 èìååò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî íóëåé â ëþáîì
ïîëóèíòåðâàëå âèäà λ ≥ M (âåëè÷èíû σ1 = σ1(λ) è σ3 = σ3(λ) çàâèñÿò îò λ ñîãëàñíî
ôîðìóëàì (4)). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ φ(λ) = 0 ìîæíî çàäàòü â
âèäå λ = λ∗k (k � öåëî÷èñëåííûé èíäåêñ), ãäå λ∗k îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèé
σ1(λ
∗
k) =
πk
2
ïðè íå÷åòíîì k, (14)
σ3(λ
∗
k) =
πk
2
ïðè ÷åòíîì k. (15)
Îòñþäà ìîæíî íàéòè λ∗k ÿâíûì îáðàçîì, ðàçðåøèâ ôîðìóëû (4) îòíîñèòåëüíî λ:
λ =
p1p2 + (p1 + p3)σ1
2 +
√
((p1 − p3)σ1
2 + p1p2)
2 + 4p1p2p3σ1
2
2p1p3
, (16)
λ =
p1p2 + (p1 + p3)σ3
2 −
√
((p1 − p3)σ3
2 + p1p2)
2 + 4p1p2p3σ3
2
2p1p3
. (17)
Ðàñêëàäûâàÿ ôîðìóëû (16) è (17) â ðÿä Ìàêëîðåíà ïî ñòåïåíÿì 1/σ1, 1/σ3, ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå àñèìïòîòè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ:
λ =
p1p2
(p1 − p3)p3
+
σ1
2
p3
+ O(σ1
−2) ïðè σ1 →∞,
λ =
p2
p3 − p1
+
σ3
2
p1
+ O(σ3
−2) ïðè σ3 →∞. (18)
Ïîäñòàâèâ â ýòè ôîðìóëû âûðàæåíèÿ (14), (15), ïîëó÷èì àñèìïòîòè÷åñêîå ïðåäñòàâëå-
íèå êîðíåé óðàâíåíèÿ φ(λ) = 0 ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ k:
λ∗k =
p1p2
(p1 − p3)p3
+
π2k2
4p3
+ O(1/k2) ïðè íå÷åòíîì k,
p2
p3 − p1
+
π2k2
4p1
+ O(1/k2) ïðè ÷åòíîì k.
(19)
1Âñïîìîãàòåëüíûå âûêëàäêè ïðîâåäåíû ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû.
118
Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
Òàêèì îáðàçîì, λ∗k → +∞ ïðè k → ∞. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âîçìóùåííîå óðàâíåíèå
φ(λ) + R(λ) = 0 òàêæå èìååò íåîãðàíè÷åííîå ñâåðõó ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Äåéñòâèòåëü-
íî, ýòîò ôàêò âûòåêàåò èç íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé φ(λ), R(λ) è ñâîéñòâ
lim
λ→+∞
φ(λ) > 0, lim
λ→+∞
φ(λ) < 0.
Îòñþäà íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (13) çàêëþ÷àåì, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèÿ
∆(λ) = 0 èìååò êîðíè â ëþáîì ïîëóèíòåðâàëå âèäà λ ≥ M . Ëåììà 2 äîêàçàíà.
Èòàê, ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé çàäà÷è (1), (2) ñ÷åòíî ïðè p1 6= p3. Ðàñïî-
ëîæèì ýòè çíà÷åíèÿ â íåóáûâàþùåì ïîðÿäêå ñ ó÷åòîì èõ êðàòíîñòè:
λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn ≤ ... , λn → +∞ ïðè n →∞.
Èç Ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî λ1 ≥ λ0 > 0 ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ p2 < 2. Ó÷èòûâàÿ
ïðåäñòàâëåíèå (13), åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî çíà÷åíèÿ λn ïðè áîëüøèõ n áóäóò
�áëèçêè� ê ñîîòâåòñòâóþùèì ÷èñëàì λ∗k, îïðåäåëÿåìûì ôîðìóëîé (19). Äëÿ îáîñíîâà-
íèÿ òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ äîêàæåì òåîðåìó îá àñèìïòîòè÷åñêîì ðàñïðåäåëåíèè ñîá-
ñòâåííûõ ÷àñòîò ïðè äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ íà ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü
√
p3/p1 = r/q, ãäå r < q � íàòóðàëüíûå ÷èñëà, q � íå÷åòíî.
Òîãäà äëÿ âñÿêîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λn çàäà÷è (1) íàéäóòñÿ ÷èñëà k = k(n) è
ω∗k =
πk
2p3
ïðè íå÷åòíîì k,
πk
2p1
ïðè ÷åòíîì k,
(20)
îáëàäàþùèå ñâîéñòâàìè
√
λn = ω∗k + O( 1
k
), k →∞ ïðè n →∞.
Äîêàçàòåëüñòâî.  õàðàêòåðèñòè÷åñêîì óðàâíåíèè ∆(λ) = 0 âûðàçèì λ è σ1 ÷åðåç
σ3 ïî ôîðìóëàì (4), (18).  ðåçóëüòàòå ñ ó÷åòîì (13) ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
îòíîñèòåëüíî σ3:
cos
(√
p3
p1
σ3 −
√
p1p2(p1 + p3)
2
√
p3(p1 − p3)σ3
)(
sin σ3 +
√
p1p3
p4σ3
cos σ3
)
=
=
p3
p5σ3
sin
(√
p3
p1
σ3 −
√
p1p2(p1 + p3)
2
√
p3(p1 − p3)σ3
)
sin σ3 + O
(
1
σ2
3
)
. (21)
Îòáðîñèâ ÷ëåíû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (21) â âèäå
cos (ασ) sin σ = ε(σ), (α =
√
p3/p1, σ = σ3), (22)
ãäå ε(σ) = O(1/σ) ïðè σ →∞. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ε(σ) äîïóñêàåò îöåíêó
|ε(σ)| ≤ M1
σ
ïðè σ ≥ σ̃ (23)
ñ íåêîòîðûìè ïîëîæèòåëüíûìè êîíñòàíòàìè σ̃, M1. Ôóíêöèÿ f(σ) = sin σ cos(ασ) îáðà-
ùàåòñÿ â íóëü ïðè σ = σ∗k, ãäå
σ∗k =
πk
2
ïðè ÷åòíîì k,
πk
2α
ïðè íå÷åòíîì k.
(24)
119
À.Ë. Çóåâ
Äëÿ ëîêàëèçàöèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (22) ïðèìåíèì ôîðìóëó Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì
÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà ê ôóíêöèè f :
f(σ∗k + d) = f ′(σ∗k)d +
f ′′(η)
2
d2, |η − σ∗k| ≤ |d|, (25)
f ′(σ∗k) =
(−1)k/2 cos
(
πkα
2
)
ïðè ÷åòíîì k,
(−1)(k+1)/2α sin
(
πk
2α
)
ïðè íå÷åòíîì k,
(26)
f ′′(η) = −(1 + α2) sin η cos(αη)− 2α cos η sin(αη).
Èç óñëîâèÿ òåîðåìû α = r/q (q � íå÷åòíîå ÷èñëî) ñëåäóåò ïåðèîäè÷íîñòü f(σ) è ñâîéñòâî
f ′(σ∗k) 6= 0 ïðè âñåõ öåëûõ k. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ñâîéñòâà âîñïîëüçóåìñÿ ðàññóæ-
äåíèåì îò ïðîòèâíîãî. Åñëè f ′(σ∗k) = 0 ïðè íåêîòîðîì k, òî ñîãëàñíî ôîðìóëàì (26)
âûïîëíåíà îäíà èç äâóõ àëüòåðíàòèâ:
1) k � ÷åòíî, kr/q � íå÷åòíîå öåëîå ÷èñëî;
2) k � íå÷åòíî, kq/r � ÷åòíîå öåëîå ÷èñëî.
Íè îäíà èç ýòèõ àëüòåðíàòèâ íåâîçìîæíà ïðè íå÷åòíîì q. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîë-
íåíèè óñëîâèé òåîðåìû çíà÷åíèÿ |f ′(σ∗k)| îòäåëåíû îò íóëÿ2:
M2 = inf
k∈Z
|f ′(σ∗k)| > 0.
Îáîçíà÷èì
h =
M2
2(α + 1)2
> 0
è ïîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f(σ) ñòðîãî ìîíîòîííà íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ âèäà
Ik = (σ∗k − h, σ∗k + h). Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ f ′(σ) íåïðåðûâíà è íå îáðàùàåò-
ñÿ â íóëü ïðè σ ∈ Ik:
|f ′(σ)| = |f ′(σ∗k) + f ′′(η)(σ − σ∗k)| ≥ |f ′(σ∗k)| − h sup
η∈R
|f ′′(η)| ≥ M2 − h(1 + α)2 =
M2
2
> 0.
Ïîñêîëüêó σ∗k ðàñïîëîæåíû â èíòåðâàëàõ Ik, à ôóíêöèÿ f(σ) íåïðåðûâíà è ïåðèîäè÷íà,
òî çíà÷åíèÿ f(σ) îòäåëåíû îò íóëÿ íà ìíîæåñòâå S = R \⋃
k∈Z Ik:
M3 = inf
σ∈S
|f(σ)| > 0.
Çàäàäèìñÿ ÷èñëîì
σmin = max
{
σ̃,
M1
M3
,
√
2M1
M2
}
. (27)
2Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî â ñëó÷àå α = r/q, (r, q) = 1, q � ÷åòíî, à òàêæå â ñëó÷àå èððàöèîíàëüíîãî
α, íèæíÿÿ ãðàíèöà çíà÷åíèé |f ′(σ∗k)| ðàâíà íóëþ.
120
Àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé
Ïðè òàêîì âûáîðå σmin óðàâíåíèå (22) íå èìååò ðåøåíèé â èíòåðâàëå σ ∈ (σmin, +∞),
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ σ ∈ S. Äåéñòâèòåëüíî,
|f(σ)| ≥ M3 ≥ M1
σmin
>
M1
σ
≥ |ε(σ)| ïðè σ ∈ S, σ > σmin.
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22) èç èíòåðâàëà σ > σmin íàõîäèòñÿ â
íåêîòîðîì Ik. È íàîáîðîò, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k êàæäûé èíòåðâàë Ik ⊂ (σmin, +∞)
ñîäåðæèò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà ðàññìîòðèì ïðî-
èçâîëüíîå çíà÷åíèå σ∗k, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó σ∗k > σmin + d. Ïîñòðîèì òàêîé
îòðåçîê [σ∗k − d, σ∗k + d], ÷òîáû íà åãî êîíöàõ ôóíêöèÿ f(σ) − ε(σ) ïðèíèìàëà çíà÷å-
íèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, ëèáî îáðàùàëàñü â íóëü. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûáðàòü ÷èñëî d èç
óñëîâèé
|f(σ∗k − d)| ≥ |ε(σ∗k − d)|, |f(σ∗k + d)| ≥ |ε(σ∗k + d)|, 0 < d < h, (28)
ïîñêîëüêó f(σ) ìåíÿåò çíàê ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç σ∗k. Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (25), óñëîâèÿ (28)
áóäóò âûïîëíåíû, åñëè
|f(σ∗k ± d)| ≥ |f ′(σ∗k)|d−
d2
2
sup
η∈R
|f ′′(η)| ≥ M2d− (α + 1)2
2
d2 ≥ M1
σ∗k − d
. (29)
Èç ôîðìóëû êîíå÷íûõ ïðèðàùåíèé âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
1
σ∗k − d
<
1
σ∗k
+
d
σ2
min
, (0 < d < σ∗k − σmin). (30)
Ïîýòîìó óñëîâèå (29) âûïîëíåíî ïðè
d2 − 2bd + c ≤ 0, 0 < d < h, (31)
ãäå
b =
M2 −M1/σ
2
min
(α + 1)2
, c =
2M1
(α + 1)2σ∗k
> 0.
Îòìåòèì, ÷òî b > 0 âñëåäñòâèå íåðàâåíñòâà σ2
min ≥ 2M1/M2, êîòîðîå ñëåäóåò èç ôîð-
ìóëû (27). Ðåøèâ íåðàâåíñòâî (31), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî îòðåçîê [σ∗k − d, σ∗k − d]
ñîäåðæèò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (22), åñëè d = d∗k:
d∗k = b−
√
b2 − c =
M1
(M2 −M1/σ2
min)σ∗k
+ O
(
1
(σ∗k)
2
)
, σ∗k >
2M1
b2(α + 1)2
. (32)
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî ïðè òàêîì d = d∗k ìíîæåñòâî Ik \ [σ∗k − d, σ∗k − d] íå ñîäåðæèò
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (22). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îöåí-
êó (23), ÷òî
|f(σ∗k ± δ)| > M1
σ∗k − δ
(33)
ïðè âñåõ δ ∈ (d∗k, h]. Âñëåäñòâèå ôîðìóë (25), (30), íåðàâåíñòâî (33) âûïîëíÿåòñÿ â
ñëó÷àå P (δ) = δ2 − 2bδ + c < 0. Ïîñêîëüêó êîðíÿìè êâàäðàòíîãî ìíîãî÷ëåíà P (δ)
ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà δ = d∗k è δ = b +
√
b2 − c > b ≥ h, òî P (δ) ñîõðàíÿåò (îòðèöàòåëüíûé)
çíàê ïðè âñåõ δ ∈ (d∗k, h].
121
À.Ë. Çóåâ
Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå σ, óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ (22),
ðàñïîëîæåíî â çàìêíóòîé îêðåñòíîñòè íåêîòîðîãî ÷èñëà σ∗k ñ ðàäèóñîì d∗k. Èç ôîðìó-
ëû (32) âûòåêàåò îöåíêà σ = σ∗k +O(1/k) äëÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (22) ïðè k →∞. Ïîä-
ñòàâëÿÿ ýòó îöåíêó â ôîðìóëó (17) è èçâëåêàÿ êîðåíü, ïîëó÷èì îöåíêó âèäà√
λn = ω∗k + O(1/k), ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â äàëüíåéøåì ïðè èññëåäîâà-
íèè ñâîéñòâ òðàåêòîðèé óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìàíèïóëÿòîðà ñ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîì ñòå-
ïåíåé ñâîáîäû. Ïðåäñòàâëåíèå (20) èìååò òàêæå âîçìîæíîå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå
äëÿ îöåíêè ìåõàíè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìàíèïóëÿòîðà â ñëó÷àå, åñëè èçâåñòíû ÷àñòîòû
êîëåáàíèé.
1. Òèìîøåíêî Ñ.Ï., ßíã Ä.Õ., Óèâåð Ó. Êîëåáàíèÿ â èíæåíåðíîì äåëå. � Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985.
� 472 ñ.
2. Krabs W., Sklyar G.M. On the Controllability of a Slowly Rotating Timoshenko Beam // J. for Analysis
and Applications. � 1999. � 18, No. 2. � P. 437-448.
3. Geist B., McLaughlin J.R. Double Eigenvalues for the Uniform Timoshenko Beam // Appl. Math. Lett.
� 1997. � 10, No. 3. � P. 129-134.
4. Xu G.Q., Yung S.P. Exponential Decay Rate for a Timoshenko Beam with Boundary Damping // J. of
Optimization Theory and Applications. � 2004. � 123, No. 3. � P. 669-693.
5. Çóåâ À.Ë. Óïðàâëåíèå ìîäåëüþ óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà â âèäå áàëêè â ðàìêàõ òåîðèè Òèìîøåíêî
// Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 2005. � � 12. � Ñ. 107-115.
6. Cowper G.R. The shear coe�cient in Timoshenko's beam theory // Transactions of ASME. Ser. E. �
1966. � 88. � P. 335-340.
7. Êàíòîðîâè÷ Ë.Â., Àêèëîâ Ã.Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. � Ì.: Íàóêà, 1984. � 752 ñ.
8. Êîñòþ÷åíêî À.Ã., Ñàðãñÿí È.Ñ. Ðàñïåðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ñàìîñîïðÿæåííûå îáûêíî-
âåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû). � Ì.: Íàóêà, 1979. � 400 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
al zv@mail.ru
Ïîëó÷åíî 27.06.2006
122
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123798 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T10:37:26Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зуев, А.Л. 2017-09-09T17:39:57Z 2017-09-09T17:39:57Z 2006 Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 114-122. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123798 531.391, 517.927.25, 517.984.5 Рассмотрена задача Штурма-Лиувилля для модели гибкого манипулятора в виде балки С.П. 'Тимошенко. к которой прикреплено твердое тело. Доказаны утверждения о расположении собственных значений этой задачи. При дополнительных предположениях на механические параметры получено асимтотическое представление собственных частот. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора Зуев, А.Л. |
| title | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора |
| title_full | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора |
| title_fullStr | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора |
| title_full_unstemmed | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора |
| title_short | Асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора |
| title_sort | асимптотические свойства собственных значений в задаче о колебании упругого манипулятора |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123798 |
| work_keys_str_mv | AT zueval asimptotičeskiesvoistvasobstvennyhznačeniivzadačeokolebaniiuprugogomanipulâtora |