О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат
Исследованы деформации упругого тела эллипсоидальной формы, вызванные равномерным вращением вокруг главной оси. Предполагается, что модуль Юнга задан квадратичной функцией координат....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2006 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2006
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123799 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 123-126. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860153090918842368 |
|---|---|
| author | Судаков, С.Н. |
| author_facet | Судаков, С.Н. |
| citation_txt | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 123-126. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследованы деформации упругого тела эллипсоидальной формы, вызванные равномерным вращением вокруг главной оси. Предполагается, что модуль Юнга задан квадратичной функцией координат.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:52:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2006. Âûï. 36
ÓÄÊ 531.38; 539.3
c©2006. Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Î ÂÐÀÙÅÍÈÈ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÝËËÈÏÑÎÈÄÀ Ñ ÌÎÄÓËÅÌ ÞÍÃÀ,
ÇÀÄÀÍÍÛÌ ÊÂÀÄÐÀÒÈ×ÍÎÉ ÔÓÍÊÖÈÅÉ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ
Èññëåäîâàíû äåôîðìàöèè óïðóãîãî òåëà ýëëèïñîèäàëüíîé ôîðìû, âûçâàííûå ðàâíîìåðíûì âðàùåíè-
åì âîêðóã ãëàâíîé îñè. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ìîäóëü Þíãà çàäàí êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé êîîðäèíàò.
Ïóñòü äàíî óïðóãîå ýëëèïñîèäàëüíîå òåëî, ãðàíèöà êîòîðîãî â ïðÿìîóãîëüíîé äå-
êàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Ox1x2x3 îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
x2
1/c
2
1 + x2
2/c
2
2 + x2
3/c
2
3 = 1, (1)
ãäå c1, c2, c3 � êîíñòàíòû. Ïëîòíîñòü ρ è êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà ν � êîíñòàíòû, à ìî-
äóëü Þíãà E ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåé ôóíêöèåé êîîðäèíàò:
E = E0(1− x2
1/c
2
1 − x2
2/c
2
2 − x2
3/c
2
3), (2)
ãäå E0 � êîíñòàíòà.
Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïåðåìåùåíèÿ, êîòîðûå ñîâåðøàò òî÷êè òåëà îòíîñèòåëüíî
îñåé Ox1x2x3, åñëè òåëî âìåñòå ñ ñèñòåìîé êîîðäèíàò Ox1x2x3 áóäåò ïðèâåäåíî âî âðà-
ùåíèå ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã îñè Ox3.
Óðàâíåíèÿ òåîðèè óïðóãîñòè, îïèñûâàþùèå ðàâíîâåñèå ïðèâåäåííîãî âî âðàùåíèå
óïðóãîãî òåëà, èìåþò âèä [1, 2]
divΠ− ρ ω × (ω × r) = 0, (3)
ãäå u = (u1, u2, u3) � âåêòîð ïåðåìåùåíèé òî÷åê òåëà îòíîñèòåëüíî îñåé Ox1x2x3;
r = x + u; x � êîîðäèíàòíûé âåêòîð, îïèñûâàþùèé ïîëîæåíèå òî÷åê òåëà îòíîñè-
òåëüíî îñåé Ox1x2x3 ïðè îòñóòñòâèè âðàùåíèÿ; ω = (0, 0, ω); Π � òåíçîð íàïðÿæåíèé ñ
êîìïîíåíòàìè
pii = 2µ
∂ui
∂xi
+ λθ, pij = µ
(
∂ui
∂xj
+
∂uj
∂xi
)
, i 6= j , (4)
θ = divu,
2µ =
E
1 + ν
, λ =
νE
(1 + ν)(1− 2ν)
.
Èç âûðàæåíèé (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé pij îáðàùà-
þòñÿ â íóëü íà ãðàíèöå ýëëèïñîèäà. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ãðàíèöå íå áóäóò äåéñòâîâàòü
âíåøíèå ïîâåðõíîñòíûå ñèëû.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (4) â óðàâíåíèÿ (3) è ó÷èòûâàÿ (2), ïîëó÷àåì
µ∆u1 + (µ + λ)
∂θ
∂x1
+ 2
∂µ
∂x1
∂u1
∂x1
+
∂µ
∂x2
(
∂u1
∂x2
+
∂u2
∂x1
)
+
(5)
+
∂µ
∂x3
(
∂u1
∂x3
+
∂u3
∂x1
)
+
∂λ
∂x1
θ + ρ f1 = 0 (123),
123
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
ãäå f1 = ω2(x1 + u1), f2 = ω2(x2 + u2), f3 = 0. Ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (5) èùåì
â âèäå
ui = qi1x1 + qi2x2 + qi3x3, i = 1, 2, 3, (6)
ãäå qij � êîíñòàíòû.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (6) â óðàâíåíèÿ (5), íàõîäèì
−2µ0
[
2x1
c2
1
q11 +
x2
c2
2
(q12 + q21) +
x3
c2
3
(q13 + q31)
]
−
−λ0(q11 + q22 + q33)
2x1
c2
1
+ ρω2[(1 + q11)x1 + q12x2 + q13x3] = 0,
−2µ0
[
2x2
c2
2
q22 +
x3
c2
3
(q23 + q32) +
x1
c2
1
(q21 + q12)
]
−
−λ0(q11 + q22 + q33)
2x2
c2
2
+ ρω2[(1 + q22)x2 + q23x3 + q21x1] = 0,
−2µ0
[
2x3
c2
3
q33 +
x1
c2
1
(q31 + q13) +
x2
c2
2
(q32 + q23)
]
− λ0(q11 + q22 + q33)
2x3
c2
3
= 0,
ãäå
µ0 =
E0
2(1 + ν)
, λ0 =
νE0
(1 + ν)(1− 2ν)
.
Ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ x1, x2, x3. Ïîýòîìó
óðàâíåíèÿ äëÿ qij áóäóò èìåòü âèä
[2(λ0 + 2µ0)− ρc2
1ω
2]q11 + 2λ0q22 + 2λ0q33 = ρc2
1ω
2,
2λ0q11 + [2(λ0 + 2µ0)− ρc2
2ω
2]q22 + 2λ0q33 = ρc2
2ω
2, (7)
λ0q11 + λ0q22 + (λ0 + 2µ0)q33 = 0,
(2µ0 − ρc2
2ω
2)q12 + 2µ0q21 = 0, 2µ0q12 + (2µ0 − ρc2
1ω
2)q21 = 0, (8)
(2µ0 − ρc2
3ω
2)q23 + 2µ0q32 = 0, q23 + q32 = 0, (9)
(2µ0 − ρc2
3ω
2)q13 + 2µ0q31 = 0, q13 + q31 = 0. (10)
Ñèñòåìû (7)�(10) ðåøàþòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Ðåøåíèå ñèñòåìû (7) èìååò âèä
qii =
∆ii
∆
, i = 1, 2, 3, (11)
ãäå
∆ = ρ2ω4c2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)− 8ρω2µ0(λ0 + µ0)(c
2
1 + c2
2) + 16µ2
0(3λ0 + 2µ0),
∆11 = ρω2[a1 − ρω2c2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)],
∆22 = ρω2[a2 − ρω2c2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)], (12)
∆33 = 2ρω2λ0[−2µ0(c
2
1 + c2
2) + ρω2c2
1c
2
2],
a1 = 2c2
1(λ0 + µ0)− c2
2λ0, a2 = 2c2
2(λ0 + µ0)− c2
1λ0.
124
Î âðàùåíèè óïðóãîãî ýëëèïñîèäà ñ ìîäóëåì Þíãà
Çíà÷åíèÿ ω2, ïðè êîòîðûõ ∆ = 0, îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
ω2
1,2 = 4µ0
(λ0 + µ0)(c
2
1 + c2
2)±
√
(λ0 + µ0)2(c2
1 + c2
2)
2 − c2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)(3λ0 + 2µ0)
ρc2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)
.
Î÷åâèäíî, ÷òî â ÷èñëèòåëå ýòîé ôîðìóëû êâàäðàò ïåðâîãî ñëàãàåìîãî áîëüøå ïîäêî-
ðåííîãî âûðàæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàâ ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ê âèäó
(c2
1 − c2
2)
2(λ0 + µ0)
2 + c2
1c
2
2λ
2
0,
óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíî ïîëîæèòåëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ∆ îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè äâóõ
ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ âåëè÷èíû |ω|.
Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (8) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
∆∗ = ρω2[ρω2c2
1c
2
2 − 2µ0(c
2
1 + c2
2)].
Îí îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ω:
ω = 0, ω = ω∗ = ±
√
2µ0(c2
1 + c2
2)
ρc2
1c
2
2
.
Ïðè ω = 0 âðàùåíèÿ íåò è, ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïåðåìåùåíèÿ äîëæíû ðàâíÿòüñÿ íóëþ.
Ïðè ω 6= ω∗ áóäåì èìåòü
q12 = q21 = 0. (13)
Ñèñòåìû (9) è (10) èìåþò îäèíàêîâûå îïðåäåëèòåëè, êîòîðûå ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó
∆∗∗ = −ρc2
3ω
2 è âñåãäà áóäóò îòëè÷íû îò íóëÿ ïðè ω 6= 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
q23 = q32 = q13 = q31 = 0 (14)
ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ω.
Ó÷èòûâàÿ ðàâåíñòâà (6), (13), (14), ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ïåðå-
ìåùåíèé
ui = qii xi, i = 1, 2, 3, (15)
ãäå qii îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (11). Èç âûðàæåíèé (12) äëÿ ∆ è ∆33 è (25) ñëåäóåò, ÷òî
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ω2 ≤ ω2
∗, ãäå
ω2
∗ = min
(
2µ0(3λ0 + 2µ0)
ρ(λ0 + µ0)(c2
1 + c2
2)
,
2µ0(c
2
1 + c2
2)
ρc2
1c
2
2
)
,
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî q33 < 0. Òîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (15) äëÿ u3, çàêëþ÷àåì, ÷òî
ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ýëëèïñîèäà âîêðóã ãëàâíîé îñè ïðèâîäÿò ê åãî ñæàòèþ âäîëü
ýòîé îñè.
Ðàññìîòðèì êàê áóäåò ïðîèñõîäèòü äåôîðìàöèÿ âäîëü îñåé Ox1 è Ox2.  ñëó÷àå
c1 = c2, êîãäà íåäåôîðìèðîâàííûé ýëëèïñîèä ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ, èç äâóõ
ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ (12) ïîëó÷àåì a1 = a2 = c2
1(λ0 + 2µ0) > 0. Òîãäà èç (11) ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèé (12), ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ω2 < ω2
0, ãäå
ω2
0 = min
(
µ0(3λ0 + 2µ0)
ρc2
1(λ0 + µ0)
,
2µ0
ρc2
1(λ0 + 2µ0)
)
,
125
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
áóäåì èìåòü q11 = q22 > 0. Èñïîëüçóÿ äàëåå ôîðìóëó (15) äëÿ u1 è u2, ïðèõîäèì ê
âûâîäó, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýëëèïñîèä áóäåò ðàñòÿãèâàòüñÿ âäîëü îñåé Ox1
è Ox2, ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì îñåâóþ ñèììåòðèþ.
Ïðè óñëîâèè c1 > c2 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî a1 > 0. Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
1) Ñëó÷àé c2
1/c
2
2 < 2(1 + µ0/λ0).  ýòîì ñëó÷àå a2 > 0. Òîãäà èç âûðàæåíèé (12) äëÿ
∆, ∆1, ∆2 è (11) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ω2 < ω2
1, ãäå
ω2
1 = min
(
2µ0(3λ0 + 2µ0)
ρ(λ0 + µ0)(c2
1 + c2
2)
,
a2
ρc2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)
)
,
âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà q11 > 0, q22 > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, êàê ñëåäóåò èç (15), ýëëèï-
ñîèä ïîëó÷èò ðàñòÿæåíèÿ âäîëü îñåé Ox1 è Ox2.
2) Ñëó÷àé c2
1/c
2
2 < 2(1 + µ0/λ0). Òåïåðü a2 ≤ 0. Èç âûðàæåíèé (12) äëÿ ∆, ∆1, ∆2
è (11) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ω2 < ω2
1, ãäå
ω2
1 = min
(
2µ0(3λ0 + 2µ0)
ρ(λ0 + µ0)(c2
1 + c2
2)
,
a1
ρc2
1c
2
2(λ0 + 2µ0)
)
,
âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà q11 > 0, q22 < 0. Òîãäà èç (15) ñëåäóåò, ÷òî ýëëèïñîèä ïîëó÷èò
ðàñòÿæåíèå âäîëü îñè Ox1 è ñæàòèå âäîëü îñè Ox2.
Ñëó÷àé c1 < c2 èññëåäóåòñÿ àíàëîãè÷íî.
1. Ëÿâ À. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óïðóãîñòè. � Ì.; Ë.: Îáúåäèíåí. íàó÷.-òåõí. èçä-âî ÍÊÒÏ ÑÑÑÐ,
1935. � 675 ñ.
2. ×åðíîóñüêî Ô.Ë. Î äâèæåíèè âÿçêîóïðóãîãî òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ // Èçâ. ÀÍ
ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1980. � � 1. � Ñ. 22�26.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
sudakov@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 17.02.06
126
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123799 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:52:33Z |
| publishDate | 2006 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Судаков, С.Н. 2017-09-09T17:41:18Z 2017-09-09T17:41:18Z 2006 О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2006. — Вип. 36. — С. 123-126. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123799 531.38; 539.3 Исследованы деформации упругого тела эллипсоидальной формы, вызванные равномерным вращением вокруг главной оси. Предполагается, что модуль Юнга задан квадратичной функцией координат. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат Article published earlier |
| spellingShingle | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат Судаков, С.Н. |
| title | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_full | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_fullStr | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_full_unstemmed | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_short | О вращении упругого эллипсоида с модулем Юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| title_sort | о вращении упругого эллипсоида с модулем юнга, заданным квадратичной функцией координат |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123799 |
| work_keys_str_mv | AT sudakovsn ovraŝeniiuprugogoéllipsoidasmodulemûngazadannymkvadratičnoifunkcieikoordinat |