Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда
Для описания движения артиллерийского снаряда в воздухе широко используется система дифференциальных уравнений, которая получается из исходной “точной” системы путем линеаризации аэродинамических сил и моментов по углу атаки и путем дополнительной линеаризациипоуглумежду вектором скорости центрамасс...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123804 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 11-25. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123804 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. 2017-09-10T07:42:17Z 2017-09-10T07:42:17Z 2015 Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 11-25. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123804 531.35 Для описания движения артиллерийского снаряда в воздухе широко используется система дифференциальных уравнений, которая получается из исходной “точной” системы путем линеаризации аэродинамических сил и моментов по углу атаки и путем дополнительной линеаризациипоуглумежду вектором скорости центрамасс снарядаивертикальной плос костью (l-система). Усреднение уравнений поступательного движения и продольного вращения в l-системе по обеим фазам собственных угловых колебаний оси симметрии снаряда приводит к системе дифференциальных уравнений, которая описывает модифицированую модель материальной точки (m-система). При помощи методов малого параметра получена оценка погрешности решения m-системы по сравнению с решением l-системы при одинаковых начальных условиях для переменных поступательного движения и продольного вращения. Установлена малость этой погрешности, что и является обоснованием корректности модифицированной модели материальной точки. As the starting point, the system of differential equations of motion of the shell is taken, which is obtained from the original “accurate” system by holding the linear terms of series expansions of aerodynamic forces and moments in powers of the total angle of attack, and by additional linearization with respect to the angle between the velosity of the centre of mass and the vertical plane (l -system). It consists of the subsystem of equations of translational motion and axial rotation, and of the subsystem of equations of angular motion of the symmetry axis of the shell. Averaging the first subsystem in both natural phases of angular oscillatios leads to the approximate system of differential equations of the translational motion and axial rotation of the shell, which describes its modified point-mass model as applied to l-system (m-system). With use of small-parameter methods, an estimate is obtained for the difference between the solution of l -system with given initial conditions and the solution of m-system with the same initial conditions for the variables of translational motion and axial rotation. This analytical evaluation is built in such a way that it corresponds with certain numerical estimates for components of the translational motion and axial rotation. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда Correctness of the modified point-mass model in the flight theory of the shell Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда |
| spellingShingle |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| title_short |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда |
| title_full |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда |
| title_fullStr |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда |
| title_full_unstemmed |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда |
| title_sort |
корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда |
| author |
Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| author_facet |
Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Correctness of the modified point-mass model in the flight theory of the shell |
| description |
Для описания движения артиллерийского снаряда в воздухе широко используется система дифференциальных уравнений, которая получается из исходной “точной” системы путем линеаризации аэродинамических сил и моментов по углу атаки и путем дополнительной линеаризациипоуглумежду вектором скорости центрамасс снарядаивертикальной плос костью (l-система). Усреднение уравнений поступательного движения и продольного вращения в l-системе по обеим фазам собственных угловых колебаний оси симметрии снаряда приводит к системе дифференциальных уравнений, которая описывает модифицированую модель материальной точки (m-система). При помощи методов малого параметра получена оценка погрешности решения m-системы по сравнению с решением l-системы при одинаковых начальных условиях для переменных поступательного движения и продольного вращения. Установлена малость этой погрешности, что и является обоснованием корректности модифицированной модели материальной точки.
As the starting point, the system of differential equations of motion of the shell is taken, which is obtained from the original “accurate” system by holding the linear terms of series expansions of aerodynamic forces and moments in powers of the total angle of attack, and by additional linearization with respect to the angle between the velosity of the centre of mass and the vertical plane (l -system). It consists of the subsystem of equations of translational motion and axial rotation, and of the subsystem of equations of angular motion of the symmetry axis of the shell. Averaging the first subsystem in both natural phases of angular oscillatios leads to the approximate system of differential equations of the translational motion and axial rotation of the shell, which describes its modified point-mass model as applied to l-system (m-system). With use of small-parameter methods, an estimate is obtained for the difference between the solution of l -system with given initial conditions and the solution of m-system with the same initial conditions for the variables of translational motion and axial rotation. This analytical evaluation is built in such a way that it corresponds with certain numerical estimates for components of the translational motion and axial rotation.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123804 |
| citation_txt |
Корректность модифицированной модели материальной точки в теории полета снаряда / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 11-25. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT konosevičbi korrektnostʹmodificirovannoimodelimaterialʹnoitočkivteoriipoletasnarâda AT konosevičûb korrektnostʹmodificirovannoimodelimaterialʹnoitočkivteoriipoletasnarâda AT konosevičbi correctnessofthemodifiedpointmassmodelintheflighttheoryoftheshell AT konosevičûb correctnessofthemodifiedpointmassmodelintheflighttheoryoftheshell |
| first_indexed |
2025-11-25T20:30:59Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:30:59Z |
| _version_ |
1850523749909004288 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2015. Вып. 45
УДК 531.35
c©2015. Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
КОРРЕКТНОСТЬ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ТЕОРИИ ПОЛЕТА СНАРЯДА
Для описания движения артиллерийского снаряда в воздухе широко используется система
дифференциальных уравнений, которая получается из исходной “точной” системы путем
линеаризации аэродинамических сил и моментов по углу атаки и путем дополнительной
линеаризации по углу между вектором скорости центра масс снаряда и вертикальной плос-
костью (l-система). Усреднение уравнений поступательного движения и продольного вра-
щения в l-системе по обеим фазам собственных угловых колебаний оси симметрии снаряда
приводит к системе дифференциальных уравнений, которая описывает модифицирован-
ную модель материальной точки (m-система). При помощи методов малого параметра
получена оценка погрешности решения m-системы по сравнению с решением l-системы
при одинаковых начальных условиях для переменных поступательного движения и про-
дольного вращения. Установлена малость этой погрешности, что и является обоснованием
корректности модифицированной модели материальной точки.
Ключевые слова: артиллерийский снаряд, асимптотические методы, внешняя бал-
листика, динамика полета, модифицированная модель траектории материальной точки.
Введение. Угловое движение оси симметрии снаряда может быть пред-
ставлено в виде быстрых двухчастотных колебаний относительно медленно
изменяющегося среднего положения. Дифференциальные уравнения посту-
пательного движения снаряда содержат две переменные, определяющие на-
правление его оси симметрии. Предполагая, что амплитуды колебаний оси
симметрии малы, Р.Ф. Лиеске и М. Л. Рейтер [1] заменили эти переменные их
приближенными средними значениями и получили приближенную систему
дифференциальных уравнений, описывающую поступательное движение и
продольное вращение снаряда. Модель снаряда, описываемая этой системой,
называется модифицированной моделью траектории материальной точки
[1, 2]. Эта модель получена в [1, 2] при некоторых физически мотивированных
предположениях без каких-либо математических оценок погрешности.
В настоящей статье приближенная система дифференциальных урав-
нений, описывающая модифицированную модель траектории материальной
точки применительно к l-системе, названа m-системой, и для этой m-системы
выведена оценка ее погрешности, а именно, найден порядок по малому па-
раметру разности решений l-системы и m-системы при одинаковых началь-
ных условиях для переменных, описывающих поступательное движение и
продольное вращение снаряда. Благодаря специальной процедуре введения
малого параметра, этой аналитической оценке соответствуют определенные
числовые оценки. Оценка погрешности решения m-системы была дана ранее
в работе [3] без детального доказательства и при грубых исходных предполо-
жениях. В настоящей работе приняты уточненные исходные предположения
[4] и дан подробный вывод оценки погрешности.
11
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
Из полученных оценок на основании результатов статьи [5] следует, чтоm-
система и l-система обеспечивают одинаковую (по порядку погрешности) точ-
ность вычисления траектории снаряда по сравнению с исходной полностью
нелинейной системой уравнений движения снаряда. Но из-за отсутствия в
m-системе быстроколеблющихся переменных вычислительные затраты на ее
численное интегрирование сопоставимы с затратами на численное интегри-
рование уравнений движения снаряда, как материальной точки.
1. Уравнения движения снаряда. Для описания движения артилле-
рийского снаряда в воздухе используются следующие переменные: x, y, z —
координаты центра масс снаряда в стартовой правой системе декартовых ко-
ординат Oxyz (ось Ox направлена горизонтально в сторону стрельбы, а ось
Oy — вертикально вверх); v, θ, ψ — компоненты вектора v скорости центра
масс (v — его модуль, θ — угол между осью Ox и проекцией v на плоскость
Oxy, ψ — угол между вектором v и плоскостью Oxy); α и β — проекции
единичного вектора оси симметрии на вторую и третью оси полускоростной
системы координат (ее первая ось направлена вдоль v, а вторая ось лежит в
плоскости Oxy); p, q, r — проекции вектора угловой скорости снаряда на оси
полусвязанной (невращающейся) системы координат (ее первая ось направ-
лена вдоль оси симметрии). Через I1, I2,m обозначаются осевой и экватори-
альный центральные моменты инерции снаряда и его масса, g — ускорение
свободного падения.
Для аэродинамических сил и моментов, действующих на снаряд, исполь-
зуются такие обозначения: Rx — сила лобового сопротивления, Ry — подъем-
ная сила, Rz — сила Магнуса, My — момент Магнуса, Mz — опрокидываю-
щий момент. Проекция вектора демпфирующего момента на ось симметрии
представляется в виде Mpp, а его проекции на поперечные оси полусвязанной
системы координат равны MΩq,MΩr. Как известно, величины Rx,Mp,MΩ яв-
ляются четными, а Ry, Rz ,My,Mz — нечетными функциями пространствен-
ного угла атаки δ между вектором v и осью симметрии. Все они зависят от
y, v, а Rz и My зависят еще и от p. Эти силы и моменты входят в уравнения
движения снаряда через аэродинамические функции
Kx =
Rx
m
, Ky =
Ry
mv sin δ
, Kz =
Rz
mv sin δ
, Kp =
Mp
I1
,
AΩ =
MΩ
I2
, By =
My
I2 sin δ
, Bz =
Mz
I2 sin δ
,
(1)
которые являются четными по δ и непрерывно дифференцируемы по всем
аргументам в предположении, что аэродинамические силы и моменты яв-
ляются дважды непрерывно дифференцируемыми. Их значения при δ = 0
отмечаются верхним индексом (0).
В настоящей работе используется система уравнений движения снаряда,
которая получается из исходной нелинейной системы [6] в результате замены
функций (1) их значениями при δ = 0 и дополнительной линеаризации по
углу ψ (l-система). Эта l-система линейна относительно q, r, α, β, ψ.
12
Корректность модифицированной модели материальной точки
Чтобы применить асимптотические методы к l-системе, в нее вводится
малый параметр при помощи числовой нормализации с использованием де-
сятичной числовой шкалы [4]. В табл. 1 приведены новые масштабы фазо-
вых переменных, а в табл. 2 — новые масштабы аэродинамических функций
K
(0)
x ,K
(0)
y ,K
(0)
z , K
(0)
p , A
(0)
Ω , B
(0)
y , B
(0)
z и функции A
(0)
g = pI (I = I1/I2). Но-
вые масштабы отмечены звездочкой. За единицу времени принята величи-
на t∗ = 0.01 с, имеющая порядок периода высокочастотных колебаний оси
симметрии. При стрельбе на максимальную дальность время полета снаря-
да составляет десятки секунд, и поэтому после перехода к новому масштабу
времени время полета достигает значений порядка 103. Ускорение g отнесено
к 10 мс−2.
Таблица 1
Масштаб x∗, y∗ z∗ v∗ θ∗ ψ∗ p∗ α∗, β∗ q∗, r∗ t∗
Значение 104 102 103 1 0,12 103 0,12 1 0,12
Ед. измер. м м мс−1 – – с−1 – с−1 с
Таблица 2
Масштаб Kx∗ Ky∗,Kz∗ Kp∗ AΩ∗ Ag∗ By∗ Bz∗
Значение 102 1 0,12 1 102 102 104
Ед. измер. мс−2 с−1 с−1 с−1 с−1 с−2 с−2
Нормализованные переменные и функции будем отмечать чертой свер-
ху. В соответствии с выбором масштабов, все нормализованные функции в
уравнениях движения снаряда во время полета снаряда принимают значе-
ния, которые по модулю близки к 1 либо меньше 1. Изменение этих функций
связано, в основном, с изменением скорости v. С учетом этого представим их
в виде произведений множителей вида v n на новые функции, причем степени
n таких представлений выберем так, чтобы эти новые функции принимали
значения, численно близкие к 1 на среднем участке траектории, который
вносит определяющий вклад в формирование погрешности приближенных
решений. В результате расчетов определяем требуемые степени n для нор-
мализованных функций K
(0)
x , K
(0)
y ,K
(0)
p , A
(0)
Ω , B
(0)
z . Для функций K
(0)
z , B
(0)
y ,
которые связаны с силой и моментом Магнуса, выбираем такие же степени,
как и для K
(0)
y , B
(0)
z . В итоге приходим к следующим представлениям функ-
ций в нормализованных уравнениях движения
K
(0)
x = v 3K0(y, v), K
(0)
y = v 2K1(y, v), K
(0)
z = v 2K2(y, v, p),
K
(0)
p = vK3(y, v), A
(0)
Ω = v A1(y, v),
B
(0)
y = v 3B1(y, v, p), B
(0)
z = v 3B2(y, v).
(2)
13
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
Здесь функции K0,K1,K3, A1, B2 имеют порядок единица на всей траекто-
рии, и при этом они численно близки к 1 на среднем ее участке. Функции
K2, B1 по модулю близки к 1 или меньше, чем 1. Частные производные всех
этих функций по y, v, p являются величинами порядка единица или более
высокого порядка.
Подставляем выражения (2) в нормализованную l-систему уравнений дви-
жения снаряда и вводим малый параметр ε вместо числа 0.1. Опуская черту
в обозначениях новых переменных и функций, получаем l-систему с малым
параметром [4]. Она состоит из следующей подсистемы уравнений поступа-
тельного движения и продольного вращения снаряда
ẋ = ε3v cos θ, ẏ = ε3v sin θ, ż = ε3vψ, v̇ = ε3v3K0(y, v) − ε4 g sin θ,
θ̇ = −ε4
g cos θ
v
+ ε4v2K1(y, v)α − ε4v2K2(y, v, p)β,
ψ̇ = ε4
g
v
ψ sin θ + ε2v2K2(y, v, p)α + ε2v2K1(y, v)β,
ṗ = ε4pvK3(y, v)
(3)
и подсистемы уравнений углового движения его оси симметрии
Ω̇ = a(y, v, p, ε)Ω + b(y, v, p, ε)∆,
∆̇ = −iΩ− k(y, v, p, ε)∆ + l(v, θ, ψ, ε).
(4)
Здесь Ω = q + ir, ∆ = α+ iβ, комплексные функции a, b, k, l равны
a(y, v, p, ε) = ε2vA1(y, v) + ipI,
b(y, v, p, ε) = v3[ε2B1(y, v, p) + iB2(y, v)],
k(y, v, p, ε) = ε2v2
[
K1(y, v) + iK2(y, v, p)
]
,
l(v, θ, ψ, ε) = ε2
g
v
(cos θ − iε2ψ sin θ).
(5)
Пусть φ = φ(x, y, z, v, θ, ψ, p, q, r, α, β, t, ε) — действительная или комп-
лексная функция. Равенство φ = O(εn) означает, что функция φ имеет по-
рядок εn или более высокий порядок при ε → 0, а равенство φ = O∗(εn)
означает, что φ имеет порядок, равный εn при ε → 0 [7, с. 100–101]. Запись
φ = O∗
+(ε
n) означает, что φ является действительной положительной функци-
ей порядка εn, а запись φ ≤ O∗
+(ε
n) означает, что φ является действительной
функцией, которая ограничена сверху положительной функцией порядка εn.
В соответствии со структурой представлений (2), функции K0, K1, K3,
A1, B2 в (3), (5) равны O∗(1), когда их аргументы y, v, p принимают зна-
чения в пределах рабочей области, а частные производные этих функций по
14
Корректность модифицированной модели материальной точки
y, v, p равны O(1). Функции K2 и B1, связанные с силой и моментом Магнуса,
предполагаются равными O(1) вместе с их частными производными.
Обозначим через t0 и t1 момент выстрела и момент падения снаряда на
землю. В соответствии с выбором t∗, ε имеем t1−t0 = O(ε−3). Для сокращения
записи вводим векторные обозначения
ξ = (x, y, ε2z, v, θ, ε2ψ, p), ξ(5) = (y, v, θ, ε2ψ, p),
ξ(4) = (y, v, θ, p), ξ(3) = (y, v, p).
(6)
Пусть ξ,Ω,∆(t, ε) — решение нелинейной системы уравнений движения
снаряда [6] при заданных в момент t0 начальных условиях, а ξl,Ωl,∆l(t, ε) —
решение l-системы (3), (4) при тех же начальных условиях. В [5] установлены
оценки погрешности решения l-системы и показано, что
||ξ(t, ε) − ξl(t, ε)|| = O+(ε
3), t ∈ [t0, t1]. (7)
Здесь
||ξ|| = max |ξj |, j = 1, . . . , 7. (8)
Порядок оценки (7) определяется порядками нелинейных членов уравнений
движения. Поэтому оценка (7) остается верной для нового способа введения
малого параметра [4], принятого здесь.
2. Априорные оценки для фазовых переменных. Для вывода оце-
нок погрешности различных приближений в теории полета снаряда необхо-
димо располагать априорными оценками всех фазовых переменных системы
(3), (4) при t ∈ [t0, t1]. Выполнение таких оценок
x, y, z, v, θ, ψ, p(t, ε) = O(1), t ∈ [t0, t1], (9)
для переменных x, y, z, v, θ, ψ, p обеспечивается правильным выбором их мас-
штабов при нормализации. Что касается переменных q, r, α, β углового дви-
жения, то оценки вида
Ω,∆(t, ε) = O(1), t ∈ [t0, t1], (10)
выполняются для них только при дополнительных условиях, называемых
условиями правильности полета. Их проще всего получить, анализируя общее
приближенное ВКБ-решение уравнений углового движения (4).
Пусть ξl,Ωl,∆l(t, ε) — решение l-системы (3), (4) при заданных начальных
условиях в момент t0. Рассматривая зависимость ξ
(5)
l (t, ε) в этом решении как
известную, определяем коэффициенты системы линейных уравнений (4) как
функции t, ε. Построим приближенное общее решение системы (4), используя
идеи метода ВКБ. Чтобы получить приближенные выражения для двух ли-
нейно независимых решений соответствующей однородной системы, восполь-
зуемся формальной процедурой [8], которая основана на переходе к уравне-
нию Риккати и построению его приближенных решений в виде разложений по
15
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
степеням параметра. Приближенное частное решение неоднородной системы
(4), следуя [9, 10], сразу строим в виде разложения по степеням параметра ε.
Введем следующие функции
e(ξ(5), ε) =
b l
ib− ak
, d(ξ(5), ε) = −
al
ib− ak
,
w(ξ(4), ε) =
(a− k)2
4
− ib+ ak −
ȧ+ k̇
2
,
λj(ξ
(4), ε) = nj + iωj =
a− k
2
±
√
w (j = 1, 2).
(11)
Здесь e и d — это значения Ω и ∆, обращающие в нуль правые части уравне-
ний (4), ȧ и k̇ — производные функций a, k по времени в силу уравнений дви-
жения (3), (4). Тогда, учитывая два первых члена разложений для решений
однородных уравнений и один член — для решения неоднородных уравнений,
получаем приближенное общее ВКБ-решение уравнений (4)
˜Ω(t, ε) = i
2
∑
j=1
[λj(t, ε) + k(t, ε)]s̃j(t, ε) exp iϕj(t, ε) + e(t, ε),
˜∆(t, ε) =
2
∑
j=1
s̃j(t, ε) exp iϕj(t, ε) + d(t, ε),
(12)
где
s̃j(t, ε) = Cj
w1/4(t0, ε)
w1/4(t, ε)
exp
t
∫
t0
nj(τ, ε) dτ,
ϕj(t, ε) =
t
∫
t0
ωj(τ, ε) dτ (j = 1, 2)
(13)
В правых частях формул (12), (13) функции с аргументами t, ε или τ, ε равны
соответствующим функциям (5), (11), взятым на решении l-системы (3), (4).
Комплексные постоянные Cj (j = 1, 2) определяются начальными условиями.
Изложенная выше формальная процедура построения приближенного ре-
шения (12), (13) может быть обоснована его малой погрешностью по сравне-
нию с точным решением l-системы [4]:
Ωl(t, ε) − ˜Ω(t, ε) = O(ε2), ∆l(t, ε)− ˜∆(t, ε) = O(ε2), t ∈ [t0, t1].
Формулы (12), (13) описывают быстрые двухчастотные колебания Ω,∆
с частотами ω1, ω2 и фазами ϕ1, ϕ2 около средних значений e, d. Параметры
этих колебаний ωj, nj (j = 1, 2) и средние значения e, d зависят от времени
через медленные переменные ξ(5).
16
Корректность модифицированной модели материальной точки
Чтобы сформулировать условия правильности полета снаряда, подста-
вим выражения (5) в определения (11) функций e, d, w. Получаем для вели-
чин e, d представления
e(ξ(5), ε) =
ε2
v
E(ξ(3), ε)(cos θ − iε2ψ sin θ),
d(ξ(5), ε) =
ε2
v4
D(ξ(3), ε)(cos θ − iε2ψ sin θ),
(14)
а для функции w – формулу
w(ξ(4), ε) = −
p2I2
4
[
1−
4v3B2(y, v)
p2I2
]
+O(ε2). (15)
Потребуем, чтобы на всех траекториях полета снаряда выполнялось со-
отношение d1 = O(1). Отметим, что в соответствии с седьмым уравнением
(3) нормализованная продольная угловая скорость p сохраняет порядок 1 на
всем промежутке [t0, t1] длины O(ε−3), т. е.
p = O∗(1). (16)
Далее, поскольку K0,K1, B2 = O∗(1) в (3), (5), имеем E,D = O∗(1) в (14).
А поскольку cos θ = O∗(1), заключаем, что соотношение d = O(1) выпол-
няется только в том случае, когда минимальное значение нормализованной
скорости v вблизи вершины траектории имеет порядок ε1/2 или более низ-
кий. Учитывая, что v принимает свое максимальное значение O∗
+(1) в момент
выстрела, устанавливаем, что на любой траектории скорость изменяется в
диапазоне
O∗
+(ε
1/2) ≤ v ≤ O∗
+(1). (17)
Потребуем также, чтобы выражение в квадратных скобках в формуле (15)
было положительным на всех траекториях полета снаряда, и обозначим его
через σ2:
σ2(y, v, p) = 1−
4v3B2(y, v)
p2I2
> 0. (18)
Неравенство в (18) — это условие Маиевского, записанное с использовани-
ем принятых обозначений. Снаряд и орудие конструируются так, что 0.6 <
< σ(t0, ε) < 0.7. Таким образом, в момент выстрела условие Маиевского
выполняется в усиленной форме σ2(t0, ε) = O∗
+(1). После выстрела норма-
лизованная скорость v убывает, оставаясь в диапазоне (17). Поэтому, с уче-
том (16), из определения (18) величины σ2 следует, что условие Маиевского
выполняется на всей траектории снаряда, а коэффициент σ заключен в пре-
делах
σ(t0, ε) ≤ σ ≤ 1−O∗
+(ε
3/2), σ(t0, ε) = O∗
+(1). (19)
Тогда угловое движение оси симметрии снаряда является колебательным.
17
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
Ограниченность амплитуд этих колебаний обеспечивают неравенства
n1, n2(ξ
(4), ε) ≤ O∗
+(ε
4). (20)
При их выполнении будет s̃1, s̃2 = O(1) в (12), (13).
В [11] показано, что при условиях (16)-(20) сотношения (10) выполняются
для исходной нелинейной системы уравнений движения осесимметричного
снаряда. Очевидно, что при этих условиях соотношения (10) справедливы и
для l-системы (3), (4).
Для максимальных по модулю значений медленных переменных спра-
ведливы оценки (9), а кроме того, формулы (16), (17) определяют порядки
минимальных значений переменных p, v. Следовательно, на всех траектори-
ях полета снаряда рабочую область для переменных, объединенных в вектор
ξ, можно представить в виде параллелепипеда
Ξ = {ξ : (0, 0,−ε2C∗
z ,
√
εCv∗,−C
∗
θ ,−ε
2C∗
ψ, Cp∗) ≤ ξ ≤
≤ (C∗
x, C
∗
y , ε
2C∗
z , C
∗
v , C
∗
θ , ε
2C∗
ψ, C
∗
p)}.
(21)
Здесь выполнение неравенства ≤ для вектора ξ означает его выполнение для
всех компонент этого вектора. Буквой C с индексами обозначены положи-
тельные постоянные порядка 1.
В уравнениях (3) и далее функции фазовых переменных, времени и па-
раметра ε, обозначаемые заглавными латинскими буквами, равны O(1) при
ξ ∈ Ξ, q, r, α, β = O(1), t ∈ [t0, t1].
Во время полета снаряда скорость v изменяется в диапазоне (17), и по-
рядки по ε функций, входящих в уравнения движения (3), (4), изменяются
вместе с v. Чтобы учесть такие изменения, эти функции были представлены
как суммы членов вида εmvnFmn, где Fmn = O(1) или Fmn = O∗(1). Такие
представления используются в дальнейшем и для других функций, описыва-
ющих динамику полета снаряда. Назовем их εv-представлениями.
3. Формулировка основного результата. Пользуясь обозначением
(6) для ξ, запишем уравнения поступательного движения и продольного вра-
щения (3) для l-системы в векторной форме
ξ̇ = f(ξ, ε) + fα(ξ, ε)α + fβ(ξ, ε)β. (22)
Из сравнения (3) с (22) следует, что вектор-функция f зависит фактически
не от всех компонент вектора ξ, а от только от ξ(5), а вектор-функции fα, fβ
зависят только от ξ(3).
В общем приближенном решении уравнений углового движения перемен-
ная ∆ выражается по второй формуле (12), которая описывает быстрые двух-
частотные колебания около медленно изменяющегося среднего значения
d(ξ(5), ε) = dα(ξ
(5), ε) + idβ(ξ
(5), ε). (23)
18
Корректность модифицированной модели материальной точки
Пренебрегая колебательными членами, заменим переменные α, β в урав-
нениях (3) их средними значениями dα, dβ и получим замкнутую систему
дифференциальных уравнений седьмого порядка. В векторной записи она
имеет вид
ξ̇ = f(ξ, ε) + fα(ξ, ε)dα(ξ, ε) + fβ(ξ, ε)dβ(ξ, ε). (24)
Пренебрежение колебаниями оси симметрии можно здесь трактовать как ре-
зультат усреднения по фазам ϕ1, ϕ2 этих высокочастотных колебаний без
предположения о малости их амплитуд. Система (24) описывает аналог моди-
фицированной модели траектории снаряда как материальной точки [1] для
l-системы, назовем ее m-системой. Справедливо следующее утверждение.
Пусть ξl,Ωl,∆l(t, ε) — решение l-системы (3), (4) при заданных в момент
выстрела начальных условиях ξl,Ωl,∆l(t0, ε), и пусть ξm(t, ε) — решение m-
системы (24) при начальном условии ξm(t0, ε) = ξl(t0, ε). Тогда
||ξl(t, ε) − ξm(t, ε)|| = O+(ε
3), t ∈ [t0, t1]. (25)
4. Подготовительные результаты. Чтобы установить оценку по-
грешности (25), сначала введем комплексные функции
w◦ = w◦(ξ(3), ε) = (a− k)2/4− ib+ ak,
λ◦j = λ◦j(ξ
(3), ε) = (a− k)/2 ±
√
w◦ (j = 1, 2).
(26)
Здесь
√
w◦ = i
√
+ (−w◦),
√
+ – главное значения корня (см. [12, с. 18]), значе-
ниям j = 1 и j = 2 соответствуют знаки + и − перед корнем. Таким образом,
функции λ◦j (j = 1, 2) формально определены как корни характеристического
уравнения однородной части подсистемы (4), рассматриваемой как система
с постоянными коэффициентами.
Подставив выражения (5) для a, b, k в первую формулу (26), имеем в па-
раллелепипеде (21)
w◦(ξ(3), ε) = −
p2I2
4
σ2(ξ(3)) + ε2vW ◦
1 (ξ
(3), ε),
√
w◦(ξ(3), ε) = i
pI
2
σ(ξ(3)) + ε2vW ◦
2 (ξ
(3), ε),
здесь W ◦
1 ,W
◦
2 = O(1). Полагая λ◦j = n◦j + iω◦
j и принимая во внимание (19),
получаем представления
w◦(ξ(3), ε) =W ◦(ξ(3), ε),
n◦1(ξ
(3), ε) = ε2vN◦
1 (ξ
(3), ε), n◦2(ξ
(3), ε) = ε2vN◦
2 (ξ
(3), ε),
ω◦
1(ξ
(3), ε) = Ω◦
1(ξ
(3), ε), ω◦
2(ξ
(3), ε) = v3Ω◦
2(ξ
(3), ε),
λ◦1(ξ
(3), ε) = Λ◦
1(ξ
(3), ε), λ◦2(ξ
(3), ε) = v3Λ◦
2(ξ
(3), ε),
(27)
19
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
где N◦
j (ξ
(3), ε) = O(1), W ◦,Ω◦
j ,Λ
◦
j (ξ
(3), ε) = O∗(1), j = 1, 2.
Используя формулы (14) для e, d и уравнения (3)-(5), получаем εv-пред-
ставления для функций ė, ḋ и с помощью (17) определяем порядки этих функ-
ций
ė = O(ε5), ḋ = O(ε7/2). (28)
Функции k, λ◦j (ξ
(3), ε), j = 1, 2, не содержат v в отрицательных степенях.
Поэтому дифференцирование этих функций по времени в силу уравнений (3)
приводит к повышению их порядков на 3. Следовательно, имеем
k(ξ(3), ε) = O(ε2), k̇(ξ(4), ε) = O(ε5), λ̇◦j (ξ
(3), ε) = O(ε3), j = 1, 2. (29)
Рассматривая зависимость ξl(t, ε) как известную, заменим переменные
Ω,∆ в уравнениях углового движения (4) новыми переменными s◦1, s
◦
2 (комп-
лексными амплитудами) по формулам
Ω = is◦1[λ
◦
1(ξl(t, ε), ε) + k(ξl(t, ε), ε)] exp iϕ
◦
1(t, ε)+
+is◦2[λ
◦
2(ξl(t, ε), ε) + k(ξl(t, ε), ε)] exp iϕ
◦
2(t, ε) + e(ξl(t, ε), ε),
∆ = s◦1 exp iϕ
◦
1(t, ε) + s◦2 exp iϕ
◦
2(t, ε) + d(ξl(t, ε), ε),
ϕ◦
j (t, ε) =
t
∫
t0
ω◦
j (ξl(τ, ε), ε) dτ (j = 1, 2).
(30)
В результате такой замены уравнения (4) преобразуются к следующим
ṡ◦1 = n◦1s
◦
1 −
{
(λ̇◦1 + k̇)s◦1 + (λ̇◦2 + k̇)s◦2 exp(i(ϕ
◦
2 − ϕ◦
1)−
−
1
2
√
w◦
[
iė+ (λ◦2 + k)ḋ
]
exp(−iϕ◦
1)
}
,
ṡ◦2 = n◦2s
◦
2 +
{
(λ̇◦1 + k̇)s◦1 exp(i(ϕ
◦
1 − ϕ◦
2) + (λ̇◦2 + k̇)s◦2−
−
1
2
√
w◦
[
iė+ (λ◦1 + k)ḋ
]
exp(−iϕ◦
2)
}
.
(31)
Аргументы функций здесь для краткости не указаны. Из формул преобразо-
вания, обратного к (30), с учетом (10), (27) находим, что s◦j = O(1) (j = 1, 2).
Тогда из (27)–(29) следует, что уравнения (31) можно представить в виде
ṡ◦1 = ε2vN1(t, ε)s
◦
1 + ε3Hs1(t, ε), ṡ◦2 = ε2vN2(t, ε)s
◦
2 + ε3Hs2(t, ε). (32)
20
Корректность модифицированной модели материальной точки
5. Оценки дополнительных членов в интегральном уравнении
для θ + iε2ψ. Подставив решение ξl, αl, βl(t, ε) полной системы (3), (4) в
подсистему (3), получаем систему из семи тождеств, и, согласно (3), функции
αl, βl(t, ε) входят только в ее пятую и шестую компоненты. Умножив шестую
компоненту на iε2 и сложив с пятой, будем иметь комплексное равенство
θ̇l(t, ε) + iε2ψ̇l(t, ε) = ̂f(ξ(t, ε), ε) + ̂f∆(ξ(t, ε), ε)∆l(t, ε), t ∈ [t0, t1], (33)
где
̂f(ξ, ε) = ε4gv−1(− cos θ + iε2ψ sin θ),
̂f∆(ξ, ε) = ε4v2[K1(y, v) + iK2(y, v, p)].
(34)
Чтобы перейти к переменным s◦1, s
◦
2, подставим в (33) выражение (30) для
∆ = ∆l. Вводя обозначения
̂hj(t, ε) =
t
∫
t0
̂f∆(ξl(τ, ε), ε)s
◦
j (τ, ε)
[
exp
τ
∫
t0
iω◦
j (ξl(τ1, ε), ε) dτ1
]
dτ (j = 1, 2),
ĝ(ξ, ε) = ̂f(ξ) + ̂f∆(ξ) d(ξ, ε)
(35)
и переходя к интегральной форме записи, получаем
θl(t, ε) + iε2ψl(t, ε) = θl(t0, ε) + iε2ψl(t0, ε)+
+
t
∫
t0
ĝ(ξl(τ, ε), ε) dτ + ̂h1(t, ε) + ̂h2(t, ε), t ∈ [t0, t1].
(36)
Покажем, что ̂hj = O(ε3), j = 1, 2. Введем функции
rj(ξ
(3), ε) =
̂f∆(ξ
(3), ε)
iω◦
j (ξ
(3), ε)
, j = 1, 2, (37)
и преобразуем выражение (35) для ̂hj , пользуясь формулой интегрирования
по частям:
̂hj(t, ε) = rj(ξl(τ, ε), ε)s
◦
j (τ, ε) exp
τ
∫
t0
iω◦
j (ξl(τ1, ε), ε) dτ1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
τ=t
τ=t0
−
−
t
∫
t0
[
exp
τ
∫
t0
(iω◦
j (ξl(τ1, ε), ε) dτ1
][ d
dτ
rj(ξl(τ1, ε), ε)s
◦
j (τ, ε)
]
dτ (j = 1, 2).
(38)
21
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
Принимая во внимание (35), (27), (17), получаем εv-представления и оценки
для функций (37) и их производных по времени в силу подсистемы (3):
r1(ξ
(3), ε) = ε4v2R1(ξ
(3), ε) = O(ε4),
r2(ξ
(3), ε) = ε4v−1R2(ξ
(3), ε) = O(ε7/2),
ṙ1(ξ
(3), ε) = ε7v3Ṙ
(1)
73 (ξ
(3), ε) + ε8vṘ
(1)
81 (ξ
(3), ε) = O(ε7),
ṙ2(ξ
(3), ε) = ε7Ṙ
(2)
70 (ξ
(3), ε) + ε8v−2Ṙ
(2)
8,−2(ξ
(3), ε) = O(ε7),
(39)
здесь Rj = (K1+ iK2)/Ω
◦
j (j = 1, 2). Это приводит к следующим оценкам для
производных функций rjs
◦
j по времени в силу уравнений (3), (32)
d
dt
rjs
◦
j = O(ε6), j = 1, 2. (40)
После интегрирования функции времени, равной O(ε6), на промежутке
[t0, t] длины O(ε−3) получаем функцию, равную O(ε3). Поэтому из (38)–(40)
следуют искомые оценки ̂hj = O(ε3), j = 1, 2. Таким образом, равенство (36)
может быть переписано в виде
θl(t, ε) + iε2ψl(t, ε) = θl(t0, ε) + iε2ψl(t0, ε)+
+
t
∫
t0
ĝ(ξl(τ, ε), ε) dτ + ε3 ̂H(t, ε), t ∈ [t0, t1].
(41)
6. Погрешность решения m-системы. В векторном тождестве, ко-
торое получается при подстановке ξl, αl, βl(t, ε) в (22), пятая и шестая компо-
ненты являются действительной и мнимой частями комплексного равенства
(33), а остальные компоненты не содержат αl, βl(t, ε). Тогда из (41), (3) сле-
дует, что это векторное тождество может быть представлено в виде
ξl(t, ε) = ξl(t0, ε) +
t
∫
t0
g(ξl(τ, ε), ε) dτ + ε3H(t, ε), t ∈ [t0, t1], (42)
где g(ξ, ε) = f(ξ, ε) + fα(ξ, ε)dα(ξ, ε) + fβ(ξ, ε)dβ(ξ, ε) — это правая часть m-
системы (24).
При подстановке решения ξm(t, ε) m-системы (24) в эту систему получаем
векторное тождество
ξm(t, ε) = ξl(t0, ε) +
t
∫
t0
g(ξm(τ, ε), ε) dτ, t ∈ [t0, t1]. (43)
22
Корректность модифицированной модели материальной точки
Чтобы вывести оценку (25) из (42), (43), необходимо определить посто-
янную Липшица функции g(ξ, ε) в области изменения функциий ξl, ξm(t, ε).
Параллелепипед (21) не подходит в качестве такой области. Действительно,
согласно п. 2 значения ξ принадлежат этому параллелепипеду для всех ре-
шений l-системы, и поэтому ξl(t, ε) ∈ Ξ, t ∈ [t0, t1]. Но нельзя гарантировать,
что решение ξm(t, ε) m-системы принадлежит Ξ для t ∈ [t0, t1].
С учетом этого рассмотрим функции ξl, ξm(t, ε) в параллелепипеде
Ξε = {ξ : (−ε,−ε,−1,
√
ε(Cv∗ − ε),−C∗
θ − ε,−1, Cp∗ − ε) ≤ ξ ≤
≤ (C∗
x + ε, C∗
y + ε, 1, C∗
v + ε, C∗
θ + ε, 1, C∗
p + ε)},
(44)
который содержит Ξ. Он получается из Ξ следующим образом. Верхние и
нижние границы ±ε2C∗
z , ±ε
2C∗
ψ для ε2z и ε2ψ заменены на ±1; значения по-
стоянных, характеризующих нижние границы изменения переменных x, y, v,
θ, p, уменьшены на ε; значения постоянных, характеризующих верхние гра-
ницы изменения этих переменных, увеличены на ε. Очевидно, что порядки
по ε частных производных от компонент вектор-функции g(ξ(5), ε) по компо-
нентам вектора ξ(5) = (y, v, θ, ε2ψ, p) в Ξε такие же, как и в Ξ.
Порядок по ε постоянной Липшица lg для функции g(ξ(5), ε) в Ξε равен
порядку максимальной по модулю частной производной от компонент этой
вектор-функции по компонентам вектора ξ(5). Чтобы определить этот поря-
док, отметим, что реальная и мнимая части функции d(ξ(5), ε) имеют такие
же εv-представления (14), как сама эта функция:
dα(ξ
(5), ε) = ε2v−4Dα(ξ
(5), ε), dβ(ξ
(5), ε) = ε2v−4Dβ(ξ
(5), ε).
Следовательно, уравнения m-системы (24), определяющие θ̇ и ε2ψ̇, могут
быть записаны в виде
θ̇ = −ε4
g
v
cos θ + ε6v−2Fθ(ξ
(5), ε), ε2ψ̇ = ε6
g
v
ψ sin θ + ε6v−2Fψ(ξ
(5), ε), (45)
где функции Fθ, Fψ(ξ
(5), ε) равны O(1) в Ξε вместе с их частными произво-
дными по компонентам ξ(5). Принимая во внимание (17), заключаем, что ма-
ксимальные по модулю частные производные в правых частях уравнений (45)
по компонентам ξ(5) имеют в Ξε порядок O(ε3), и такой же порядок имеют
максимальные по модулю частные производные в правых частях полной m-
системы. Поэтому условие Липшица для g(ξ(5), ε) можно записать в виде
||g(ξ1, ε)− g(ξ2, ε)|| ≤ ε3Lg||ξ1 − ξ2||, ξ1, ξ2 ∈ Ξε, (46)
где Lg > 0 — постоянная порядка 1.
Поскольку ξl(t, ε) ∈ Ξ ⊂ Ξε для всех t ∈ [t0, t1] и ξm(t0, ε) = ξl(t0, ε), то
существует момент времени t′ > t0 такой, что ξm(t, ε) ∈ Ξε для всех t ∈
23
Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич
∈ [t0, t
′]. Следовательно, условие (46) справедливо для векторов ξ1 = ξl(t, ε),
ξ2 = ξm(t, ε) на промежутке [t0, t
′]. Далее, из (42), (43) следует, что
||ξl(t, ε) − ξm(t, ε)|| ≤ ε3Lg
t
∫
t0
||ξl(τ, ε) − ξm(τ, ε)|| dτ + ε3C, t ∈ [t0, t
′],
здесь C > 0 — постоянная. Используя неравенство Гронуолла (см. [13]), по-
лучаем искомую оценку (25) на промежутке [t0, t
′] длины O(ε−3):
||ξl(t, ε)− ξm(t, ε)|| ≤ ε3C exp ε3L(t− t0) = O(ε3).
Покажем, что эта оценка справедлива на всем промежутке [t0, t1], т. е.
можно положить t′ = t1. Для этого достаточно установить, что ξm(t, ε) ∈ Ξε
для всех t ∈ [t0, t1]. Если предположить противное, то вектор ξm(t
′, ε) при-
надлежит границе области Ξε, т. е., согласно (8), левое или правое нестрогое
неравенство в определении (44) для Ξε выполняется со знаком равенства для
некоторых компонент ξmj (j = 1, . . . , 7). Тогда с учетом определений (21),
(44) и соотношения ξl(t
′, ε) ∈ Ξ имеем |ξlj(t
′, ε)− ξmj(t
′, ε)| > O∗
+(ε
3) для дан-
ной компоненты. Но это невозможно, так как оценка (25) еще выполняется в
момент времени t′. Оценка (25) доказана полностью.
Чтобы получить из (25) числовые оценки погрешностей для фазовых пе-
ременных в ненормализованной m-системе, достаточно учесть, что малый
параметр ε вводился вместо числа 0.1, а в качестве масштабов нормализо-
ванных переменных x, y, z, v, θ, ψ, p были взяты значения соответствующих
ненормализованных переменных, указанные в табл. 1. Такие числовые оцен-
ки погрешности наблюдаются в вычислительных экспериментах.
1. Lieske R.F., Reiter, M.L. Equations of motion for a modified point mass trajectory //
Ballistic research laboratory report. – 1966. – No. 1314.
2. McCoy R.L. Modern exterrior ballistics. – Atglen: Schiffer publishing Ltd., 2012. – 328 p.
3. Коносевич Б.И. О применении асимптотических методов в теории полета осесим-
метричного снаряда // Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31. – С. 63–75.
4. Коносевич Б.И. Оценка погрешности асимптотического представления угловых коле-
баний оси симметрии вращающегося твердого тела // Прикл. механика. – 2014. – 50,
№ 4. – С. 102–116.
5. Коносевич Б.И. Оценка погрешности линеаризованных уравнений движения осесим-
метричного снаряда // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, вып. 6. – С. 930–
941.
6. Коносевич Б.И. К теории полета осесимметричного снаряда // Механика твердого
тела. – 1999. – Вып. 28. – С. 51–62.
7. Корн Г. Справочник по математике. 2-е изд. – М.: Наука, 1970. – 720 с.
8. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. –
350 с.
9. Пугачев В.С. Общая задача о движении вращающегося артиллерийского снаряда в
воздухе // Тр. ВВИА им.Жуковского. – 1940. – Вып. 70. – 90 с.
10. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики. 2-е изд. – М.: Наука,
1981. – 400 с.
11. Коносевич Б.И. Исследование динамики полета осесимметричного снаряда // Меха-
ника твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – C. 109–119.
24
Корректность модифицированной модели материальной точки
12. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. Т.1 – М.: Наука, 1967. – 486 с.
13. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Мир, 1970. – 720 с.
B.I. Konosevich, Yu.B. Konosevich
Correctness of the modified point-mass model in the flight theory of the shell
As the starting point, the system of differential equations of motion of the shell is taken, which
is obtained from the original “accurate” system by holding the linear terms of series expansions
of aerodynamic forces and moments in powers of the total angle of attack, and by additional
linearization with respect to the angle between the velosity of the centre of mass and the vertical
plane (l -system). It consists of the subsystem of equations of translational motion and axial
rotation, and of the subsystem of equations of angular motion of the symmetry axis of the shell.
Averaging the first subsystem in both natural phases of angular oscillatios leads to the approxi-
mate system of differential equations of the translational motion and axial rotation of the shell,
which describes its modified point-mass model as applied to l-system (m-system). With use
of small-parameter methods, an estimate is obtained for the difference between the solution of
l -system with given initial conditions and the solution of m-system with the same initial condi-
tions for the variables of translational motion and axial rotation. This analytical evaluation is
built in such a way that it corresponds with certain numerical estimates for components of the
translational motion and axial rotation.
Keywords: artillery shell, asymptotic methods, exterior ballistics, flight dynamics, modified
point-mass trajectory model.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк
konos.donetsk@yandex.ru
Получено 26.03.15
25
|