Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью
В работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения неосесимметричных нормальных волн в радиально неоднородных ортотропных цилиндрах. Модули упругости и плотность задаются экспоненциальной функцией от радиальной координаты. Для компонент вектора перемещений и тензорана пряжен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123813 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 112-124. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859644884118405120 |
|---|---|
| author | Моисеенко, И.А. Сторожев, В.И. |
| author_facet | Моисеенко, И.А. Сторожев, В.И. |
| citation_txt | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 112-124. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | В работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения неосесимметричных нормальных волн в радиально неоднородных ортотропных цилиндрах. Модули упругости и плотность задаются экспоненциальной функцией от радиальной координаты. Для компонент вектора перемещений и тензорана пряжений получены разложения в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по радиальной координате. Получены также дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник неосесимметричных нормальных волн в радиально неоднородном цилиндрическом волноводе со свободной или жестко закрепленной граничной поверхностью из цилиндрически ортотропного материала. Изучены эффекты влияния параметра радиальной неоднородности и окружного волнового числа на топологию дисперсионных спектров и распределение фазовых скоростей распространяющихся нормальных волн.
In this paper, of constructing solutions for the propagation of non-axisymmetric normal waves in radially non-homogeneous orthotropic cylinder problems is investigated. The elastic modules and density are taken as a exponential function of the radial coordinate. Expansions in uniformly and absolutely convergent series on radial coordinate for the components of the vector displacements and the components of the tensor stresses obtained. Dispersion relations describing the spectra of harmonic non-axisymmetric normal waves in the radially non-homogeneous cylindrical waveguide with free or rigidly fixed boundary surfaces made of cylindrical orthotropic material obtained. The effect of radial non-homogeneity ratio and circumferential wave numbers on the topology of the dispersion spectrums and distribution of the phase velocities of normal propagating waves studied.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:26:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2015. Вып. 45
УДК 539.3:534.1
c©2015. И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
СПЕКТРЫ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ НОРМАЛЬНЫХ
УПРУГИХ ВОЛН В ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРАХ
С ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОЙ
РАДИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ
В работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения неосесим-
метричных нормальных волн в радиально неоднородных ортотропных цилиндрах. Модули
упругости и плотность задаются экспоненциальной функцией от радиальной координаты.
Для компонент вектора перемещений и тензора напряжений получены разложения в равно-
мерно и абсолютно сходящиеся ряды по радиальной координате. Получены также диспер-
сионные соотношения, описывающие спектры гармоник неосесимметричных нормальных
волн в радиально неоднородном цилиндрическом волноводе со свободной или жестко за-
крепленной граничной поверхностью из цилиндрически ортотропного материала. Изучены
эффекты влияния параметра радиальной неоднородности и окружного волнового числа на
топологию дисперсионных спектров и распределение фазовых скоростей распространяю-
щихся нормальных волн.
Ключевые слова: цилиндрический волновод, нормальные волны, функционально-гради-
ентные материалы, цилиндрически ортотропные материалы.
Введение. Вопросы теоретического численно-аналитического исследо-
вания эффектов влияния фактора радиальной функционально-градиентной
неоднородности анизотропных материалов цилиндрических волноводов на
характеристики дисперсионных спектров распространяющихся нормаль-
ных волн рассматривались в работах [1–3] применительно к осесиммет-
ричным волнам продольно-сдвигового и крутильного типа в трансверсально-
изотропных цилиндрах кругового и кольцевого сечения. В данной рабо-
те методика построения и анализа дисперсионных соотношений для нор-
мальных волн в цилиндрах из анизотропных материалов с функционально-
градиентной радиальной неоднородностью распространена на случай неосе-
симметричных волн с произвольными окружными волновыми числами вдоль
цилиндрически-ортотропных волноводов кругового сечения.
1. Постановка задачи. Рассматривается протяженный ортотропный
цилиндр кругового сечения с радиусом R, занимающий в отнесенных к нор-
мирующему параметру R∗ ≡ R безразмерных цилиндрических координатах
область V = {r ∈ [0, 1] ; 0 ≤ θ ≤ 2π, z ∈ (−∞,∞)}. Задача анализа спектров
и свойств нормальных упругих волн вдоль рассматриваемого цилиндра фор-
мулируется с использованием соотношений пространственной линейной ма-
тематической модели динамического напряженно-деформированного состоя-
ния упругих тел с усложненными физико-механическими свойствами в си-
стеме нормированных безразмерных цилиндрических координат. Данные со-
отношения формулируются для проекций безразмерного вектора динамиче-
ских упругих волновых перемещений на оси цилиндрической системы коор-
112
Спектры неосесимметричных волн в неоднородных ортотропных цилиндрах
динат (ur, uθ, uz), отнесенных к нормирующему параметру R∗, а также для
характеристик напряженно-деформированного состояния рассматриваемого
объекта на основных площадках цилиндрической координатной системы.
Основные соотношения модели включают:
– систему уравнений связи между компонентами тензора малых деформаций
εrr, εθθ, εzz, εθz, εrz, εrθ и компонентами безразмерного вектора динамиче-
ских упругих волновых перемещений в цилиндрической системе координат
εrr = ∂rur, εθθ = r−1ur + r−1∂θuθ, εzz = ∂zuz,
εθz = ∂zuθ + r−1∂θuz, εrz = ∂zur + ∂ruz, εrθ = r−1∂θur + ∂ruθ − r−1uθ;
(1)
– систему соотношений обобщенного линейного закона Гука (определяющих
соотношений) для цилиндрически-ортотропного материала
σrr = c11εrr + c12εθθ + c13εzz,
σθθ = c12εrr + c22εθθ + c23εzz,
σzz = c13εrr + c23εθθ + c33εzz,
σθz = c44εθz, σrz = c55εrz, σrθ = c66εrθ;
(2)
– систему дифференциальных уравнений движения рассматриваемого тела в
цилиндрической системе координат
∂rσrr + r−1∂θσrθ + ∂zσrz + r−1 (σrr − σθθ)−
(
ρR2
∗
/c∗
)
∂2
t ur = 0,
∂rσrθ + r−1∂θσθθ + ∂zσθz + 2r−1σrθ −
(
ρR2
∗
/c∗
)
∂2
t uθ = 0, (3)
∂rσrz + r−1∂θσθz + ∂zσzz + r−1σrz −
(
ρR2
∗
/c∗
)
∂2
t uz = 0;
– альтернативную форму граничных условий
(ur)r=1 = (uθ)r=1 = (uz)r=1 = 0, (4)
либо
(σrr)r=1 = (σrθ)r=1 = (σrz)r=1 = 0. (5)
Во введенных представлениях σpq (p, q = r, θ, z) – отнесенные к нормиру-
ющему параметру c∗ компоненты тензора динамических напряжений; cpq
(p, q = 1, 2, 3), cpp (p = 4, 5, 6) – отнесенные к нормирующему параметру c∗
ненулевые модули упругости цилиндрически-ортотропного материала цилин-
дра; ρ – плотность материала цилиндра; t – время; ∂q = ∂/∂q (q = r, θ, z, t).
Полагается, что материал цилиндра является экспоненциально-неодно-
родным в радиальных направлениях по всем своим физико-механическим
свойствам, а его плотность и нормированные модули упругости соответствен-
но описываются представлениями
cpq = c̃pq exp(λ r) (p, q = 1, 2, 3) , cpp = c̃pp exp(λ r) (p = 4, 5, 6) , (6)
ρ = ρ̃ exp(λ r),
в которых λ – действительнозначный приведенный параметр неоднородности.
113
И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
2. Интегрирование уравнений волнового деформирования и
получение дисперсионных уравнений. Для функций колебательных
упругих перемещений в исследуемых нормальных волнах вдоль цилиндра
с круговой частотой ω, нормированным продольным волновым числом k и
произвольным целочисленным окружным волновым числом n, следуя мето-
ду разделения переменных, вводятся комплексные представления
ur (r, θ, z, t) = ũ(n)r (r) exp (−λ r/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) ,
uθ (r, θ, z, t) = iũ
(n)
θ (r) exp (−λ r/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) , (7)
uz (r, θ, z, t) = iũ(n)z (r) exp (−λ r/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) .
Последовательная подстановка представлений (6), (7) в соотношения модели
волновых процессов в рассматриваемом волноводе (1)–(3) приводит к систе-
ме обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффици-
ентами относительно амплитудных функций радиальной координаты ũ
(n)
p (r)
(p = r, θ, z), которая имеет вид
(
c̃11r
2∂2
r + c̃11r∂r − c̃22 − c̃66n
2 + (c̃12 − c̃11/2 )λr +
+
(
Ω2 − c̃55k
2 − c̃11λ
2/4
)
r2
)
ũ(n)r −
−n ((c̃12 + c̃66) r∂r + (c̃22 + c̃66)− (c̃12 − c̃66)λr/2 ) ũ
(n)
θ −
−kr ((c̃13 + c̃66) r∂r + (c̃13 − c̃23) + (c̃13 − c̃44)λr/2 ) ũ(n)z = 0,
n ((c̃12 + c̃66) r∂r + (c̃22 + c̃66)− (c̃12 − c̃66)λr/2 ) ũ(n)r +
+
(
c̃12r
2∂2
r + c̃66r∂r − c̃66 − c̃22n
2 − 3c̃66λr/2 + (8)
+
(
Ω2 − c̃44k
2 − c̃66λ
2/4
)
r2
)
ũ
(n)
θ − knr (c̃23 + c̃44) ũ
(n)
z = 0,
kr ((c̃13 + c̃55) kr∂r + (c̃23 + c̃55)− (c̃13 − c̃55)λr/2 ) ũ(n)r −
−knr (c̃23 + c̃44) ũ
(n)
θ +
(
c̃55r
2∂2
r + c̃55r∂r − c̃44n
2 − c̃55λr/2 +
+
(
Ω2 − c̃33k
2 − c̃55λ
2/4
)
r2
)
ũ(n)z = 0,
где Ω2 = ρ̃R2
∗
ω2/c∗.
Для построения базисных решений системы (8) в данной работе исполь-
зуется метод, основанный на представлениях искомых решений степенными
рядами радиальной координаты. С учетом физической модели рассматрива-
емой задачи, а также структуры дифференциальных уравнений системы (8),
для искомых решений вводятся представления рядами с неопределенными
коэффициентами
ũ(n)r (r) =
∞
∑
m=0
am rm+α+1−δ, ũ
(n)
θ (r) =
∞
∑
m=0
bm rm+α+1−δ ,
114
Спектры неосесимметричных волн в неоднородных ортотропных цилиндрах
ũ(n)z (r) =
∞
∑
m=0
dm rm+α+δ (δ ∈ {0, 1}) (9)
при ограничениях
d0 6= 0, если δ = 0, |a0|+ |b0| 6= 0, если δ = 1;
α ∈ {0}
⋃
[1,∞)
⋃
{< (α) > 1, = (α) 6= 0} . (10)
Подстановка представлений (9) в уравнения (8) приводит к рекуррентной си-
стеме соотношений для определения коэффициентов разложений (9), пред-
ставленной в матричной форме
Xm = −
(
A
(m)
0
)
−1
·
(
A
(m)
1 ·Xm−1 +A
(m)
2 ·Xm−2 +A
(m)
3 ·Xm−3
)
(11)
(m = 1, 2, ...) .
В записи соотношений (11) использованы обозначения векторно-матричных
объектов размерности 3: Xj – вектор-столбцы с элементами [Xj ]1 = aj,
[Xj]2 = bj , [Xj ]3 = dj
(
j = 0,∞
)
; X−3 = X−2 = X−1 = O; O – нулевой
вектор-столбец; [A
(j)
0 ] – квадратные матрицы, ненулевые элементы которых
имеют представления:
[
A
(j)
0
]
1,1
= (α+ j + 1− δ)2c̃11 − c̃22 − n2c̃66,
[
A
(j)
0
]
1,2
= −n ((α+ j − δ) c̃66 + (α+ j + 1− δ) c̃12 − c̃22) ,
[
A
(j)
0
]
1,3
= k (δ − 1) ((α+ j) c̃55 + (α+ j + 1) c̃13 − c̃23) ,
[
A
(j)
0
]
2,1
= n ((α+ j + 2− δ) c̃66 + (α+ j + 1− δ) c̃12 + c̃22) ,
[
A
(j)
0
]
2,2
=
(
(α+ j + 1− δ)2 − 1
)
c̃66 − n2c̃22,
[
A
(j)
0
]
2,3
= nk (δ − 1) (c̃44 + c̃23) ,
[
A
(j)
0
]
3,1
= kδ ((α+ j + 1) c̃55 + (α+ j) c̃13 + c̃23) ,
[
A
(j)
0
]
3,2
= −nkδ (c̃44 + c̃23) ,
[
A
(j)
0
]
3,3
= (α+ j + δ)2c̃55 − n2c̃44,
[
A
(j)
1
]
1,1
= λ
(
c̃12 −
1
�2 c̃11
)
,
[
A
(j)
1
]
1,2
= 1
�2 nλ (c̃66 − c̃12) ,
115
И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
[
A
(j)
1
]
1,3
= 1
�2 (1− δ) kλ (c̃55 − c̃13) ,
[
A
(j)
1
]
2,1
= 1
�2 nλ (c̃66 − c̃12) ,
[
A
(j)
1
]
2,2
= −3
�2 λc̃66,
[
A
(j)
1
]
3,1
= 1
�2 δkλ (c̃55 − c̃13) ,
[
A
(j)
1
]
3,3
= −1
�2 λc̃55,
[
A
(j)
2
]
1,1
= Ω2 − k2c̃55 −
1
�4 λ
2c̃11,
[
A
(j)
2
]
1,3
= −kδ ((α+ j − 1) c̃55 + (α+ j) c̃13 − c̃23) ,
[
A
(j)
2
]
2,2
= Ω2 − k2c̃44 −
1
�4 λ
2c̃66,
[
A
(j)
2
]
2,3
= −nkδ (c̃44 + c̃23) ,
[
A
(j)
2
]
3,1
= k (1− δ) ((α+ j) c̃55 + (α+ j − 1) c̃13 + c̃23) ,
[
A
(j)
2
]
3,2
= −nk (1− δ) (c̃44 + c̃23) ,
[
A
(j)
2
]
3,3
= Ω2 − k2c̃33 −
1
�4 λ
2c̃55,
[
A
(j)
3
]
1,3
= 1
�2 kλδ (c̃55 − c̃13) ,
[
A
(j)
3
]
3,1
= 1
�2 kλ (1− δ) (c̃55 − c̃13) .
Из рекуррентной системы уравнений (11) в случае m = 0 следует условие ее
разрешимости
det
(
A
(0)
0
)
= 0, (12)
а также уравнение, определяющее начальные вектора X0 искомых базисных
частных решений
A
(0)
0 X0 = O. (13)
В рамках описываемого подхода вначале отдельно рассматривается слу-
чай n = 0. Для A
(0)
0 могут быть записаны представления соответственно при
δ = 0:
A
(0)
0 =
(α+ 1)2c̃11 − c̃22 0 −k (αc̃55 + (α+ 1) c̃13 − c̃23)
0
(
(α+ 1)2 − 1
)
c̃66 0
0 0 α2c̃55
,
116
Спектры неосесимметричных волн в неоднородных ортотропных цилиндрах
и δ = 1
A
(0)
0 =
α2c̃11 − c̃22 0 0
0
(
α2 − 1
)
c̃66 0
k ((α+ 1) c̃55 + αc̃13 + c̃23) 0 (α+ 1)2c̃55
.
Из (12), (13) с учетом ограничений (10) следуют три начальных условия для
формирования трех независимых базисных решений:
Υ
(0)
1 = {δ = 0, α = 0, a0 = k (c̃13 − c̃23) , b0 = 0, d0 = c̃11 − c̃22} ,
Υ
(0)
2 = {δ = 1, α = 1, a0 = 0, b0 = 1, d0 = 0} , (14)
Υ
(0)
3 =
{
δ = 1, α =
√
c̃22/c̃11 , a0 = q, b0 = 0, d0 = p
}
,
где
q = −(α+ 1)2c̃55, p = k ((α+ 1) c̃55 + αc̃13 + c̃23) .
В случае n ≥ 1 при δ = 0 матрица A
(0)
0 имеет структурную форму
B0 = A
(0)
0
∣
∣
∣
δ=0
=
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
0 0 α2c̃55 − n2c̃44
,
в которой звездочками обозначены ненулевые элементы. При этом условие
разрешимости (12) порождает два альтернативных варианта
α2c̃55 − n2c̃44 = 0 (15)
и
[B0]1,1[B0]2,2 − [B0]1,2[B0]2,1 = g(α+ 1)4 + f(α+ 1)2 + s = 0, (16)
где
g = c̃11c̃66, s =
(
n2 − 1
)2
c̃22c̃66,
f = n2 (c̃12 (c̃12 + 2c̃66)− c̃11c̃22)− c̃66 (c̃11 + c̃22) .
При δ = 1 структура матрицы A
(0)
0 в рамках принятых обозначений имеет
сходный вид
B1 = A
(0)
0
∣
∣
∣
δ=1
=
∗ ∗ 0
∗ ∗ 0
∗ ∗ (α+ 1)2c̃55 − n2c̃44
и, соответственно, из условий разрешимости (12) следуют два альтернатив-
ных соотношения
(α+ 1)2c̃55 − n2c̃44 = 0; (17)
117
И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
[B1]1,1[B1]2,2 − [B1]1,2[B1]2,1 = gα4 + fα2 + s = 0. (18)
Нетрудно убедиться, что с учетом (13) полученные условия разрешимости
(15) и (17), (16) и (18) попарно, с точностью до свободного множителя мо-
гут порождать только совпадающие базисные решения. Таким образом, при
выборе из каждой пары альтернативных условий разрешимости (15) и (17),
(16) и (18) тех, которые обеспечивают выполнение ограничений (10), форми-
руются начальные условия, определяющие три независимых базисных реше-
ния для n ≥ 1 в окончательном виде:
Υ
(n)
1 =
{
δ = 0, α = n
√
c̃44/c̃55 , a0 = q0, b0 = p0, d0 = h0
}
,
Υ
(n)
1+j = {δ = 1, α = αj , a0 = q1, b0 = p1, d0 = h1} (j = 1, 2) ,
(19)
где
q0 = [B0]2,3[B0]1,2 − [B0]1,3[B0]2,2,
p0 = [B0]1,3[B0]2,1 − [B0]2,3[B0]1,1,
h0 = [B0]1,1[B0]2,2 − [B0]1,2[B0]2,1;
q1 = −[B1]1,2[B1]3,3, p1 = [B1]1,1[B1]3,3,
h1 = [B1]1,2[B1]3,1 − [B1]1,1[B1]3,2.
В представлениях (19) параметры α1 и α2 определяются как два различных
корня уравнения (18) удовлетворяющие ограничениям (10). При этом в слу-
чае трансверсально-изотропного материала волновода с
c̃22 = c̃11, c̃23 = c̃13, c̃55 = c̃44, c̃66 = (c̃11 − c̃12)/2
корни уравнения (18) имеют вид α1,2,3,4 = ± (n± 1) и, как следствие, постро-
енная аналитическая модель базисных решений (9), (11), (14), (19) содержит
неопределенность вида 0/0. Численным способом устранения указанной не-
определенности может служить, например, задание
c̃22 = (1 + ζ) c̃11, c̃23 = (1− ζ) c̃13,
c̃55 = (1− ζ) c̃44, c̃66 = (c̃11 − c̃12)/2 ∀ ζ > 0. (20)
Полученная форма базисных решений, помимо отмеченной выше устрани-
мой особенности (20), в некоторых случаях имеет специфические неустрани-
мые ограничения на применение, определяемые исключительно величинами
модулей упругости однородного цилиндрически ортотропного материала c̃pq
(p, q = 1, 2, 3), c̃pp (p = 4, 5, 6). Они вытекают из физических ограничений (10)
и выражаются в невозможности обеспечить физически непротиворечивое ре-
шение исходной задачи описания дисперсионного спектра для отдельных ма-
териалов рассматриваемого класса анизотропии при некоторых (зависящих
от упругих свойств материала) значениях окружного волнового числа n. При
118
Спектры неосесимметричных волн в неоднородных ортотропных цилиндрах
этом следует отметить, что применительно к представленным в литературе
наборам упругих характеристик цилиндрически ортотропных материалов [4-
9] исследование вышеописанного свойства позволяет сделать два заключения.
Во-первых, множество подобных критических значений волнового числа все-
гда конечно и включает только его низшие значения. Во-вторых, существуют
материалы [4], для которых рассматриваемая модель обеспечивает физиче-
ски корректное решение для любых значений n.
По аналогии с (7) вводятся представления
σrr (r, θ, z, t) = σ̃(n)
rr (r) exp (λ r/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) ,
σrθ (r, θ, z, t) = iσ̃
(n)
rθ (r) exp (λ r/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz) ,
σrz (r, θ, z, t) = iσ̃(n)
rz (r) exp (λ r/2 ) exp (inθ) exp (−iω t+ ikz)
и определяются вектор-функции
U (r) =
ũ
(n)
r (r)
ũ
(n)
θ (r)
ũ
(n)
z (r)
, S (r) =
σ̃
(n)
rr (r)
σ̃
(n)
rθ (r)
σ̃
(n)
rz (r)
,
для которых на основании (1), (2), (6), (7) и (9) получаются разложения
U (r) = Q (r)
∞
∑
m=0
rmXm, S (r) =
∞
∑
m=0
rmPm (r)Xm. (21)
Здесь Q (r) и Pm (r) – квадратные функциональные матрицы размерности 3,
ненулевые элементы которых имеют представления
[Q (r)]1,1 = [Q (r)]2,2 = r1+α−δ, [Q (r)]3,3 = rα+δ,
[Pm (r)]1,1 = rα−δ (c̃12 + (m+ α+ 1− δ) c̃11 − λrc̃11/2 ) ,
[Pm (r)]1,2 = −nrα−δc̃12, [Pm (r)]1,3 = −krα+δ c̃13,
[Pm (r)]2,1 = nrα−δ c̃66, [Pm (r)]3,1 = krα+1+δ c̃5,5,
[Pm (r)]2,2 = rα−δ (m+ α− δ − λr/2 ) c̃66,
[Pm (r)]3,3 = rα+δ−1 (m+ α+ δ − λr/2 ) c̃55.
Наконец, из граничных условий (4) и (5) определяются искомые дисперсион-
ные соотношения
F (n)
u (Ω, k) = det
([
U (r)|
Υ
(n)
1
, U (r)|
Υ
(n)
2
, U (r)|
Υ
(n)
3
])
= 0, (22)
119
И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
F (n)
s (Ω, k) = det
([
S (r)|
Υ
(n)
1
, S (r)|
Υ
(n)
2
, S (r)|
Υ
(n)
3
])
= 0. (23)
Таким образом, для отдельно рассматриваемых случаев n = 0 и n ≥
≥ 1 соотношениями (14) и (19) определены начальные условия формирова-
ния трех независимых базисных решения, соответственно,
{
Υ
(0)
1 ,Υ
(0)
2 ,Υ
(0)
3
}
и
{
Υ
(n)
1 ,Υ
(n)
2 ,Υ
(n)
3
}
; в явном виде в матричной форме получены рекуррентные
соотношения (11) для построения искомых базисных решений; с использова-
нием матричных разложений (21) определены дисперсионные соотношения
(22) и (23) соответственно для жестко закрепленной и свободной поверхно-
сти волновода. Специальный вид комплексных представлений для функций
колебательных упругих перемещений в форме (7) обеспечивает справедли-
вость оценок
∥
∥
∥
∥
(
A
(m)
0
)
−1
A
(m)
1
∥
∥
∥
∥
≤
κ1
m2
,
∥
∥
∥
∥
(
A
(m)
0
)
−1
A
(m)
2
∥
∥
∥
∥
≤
κ2
m
,
∥
∥
∥
∥
(
A
(m)
0
)
−1
A
(m)
3
∥
∥
∥
∥
≤
κ3
m2
,
непосредственным следствием которых является заключение об абсолютной
и равномерной сходимости разложений (21) на любом конечном отрезке
r ∈ [0, R].
3. Результаты вычислительного эксперимента. В процессе числен-
ных исследований с целью верификации построенного в работе аналитическо-
го решения реализован расчет фрагмента спектра мод распространяющихся
нормальных волн для однородного (λ = 0) трансверсально-изотропного спло-
шного цилиндрического волновода из кобальта. Результаты ранее проводив-
шихся исследований для аналогичного волновода представлены в работе [10].
Учитывая особенности применения построенного решения в частном случае
трансверсально-изотропных материалов, вычислительный эксперимент про-
водился с высокой точностью для псевдотранстропного материала на основе
кобальта с упругими постоянными вида (20) при ς = 10−5. Сопоставление
результатов выполненных расчетов для цилиндров со свободной граничной
поверхностью обнаруживает их полное соответствие.
При исследовании факторов влияния величины показателя радиальной
неоднородности λ и значений окружного волнового числа n на топологиче-
скую картину спектра бегущих нормальных волн был выбран конкретный
цилиндрически ортотропный материал [4] c параметрами
E1 = 43/24, E2 = 179/24, E3 = 131/24, G23 = 28/24,
G13 = 1, G12 = 1, ν23 = 0.15, ν12 = 0.08, ν13 = 0.102,
волноводные свойства которого обеспечивают физически корректное решение
задачи описания дисперсионного спектра в рамках используемой модели для
любых значений n.
120
Спектры неосесимметричных волн в неоднородных ортотропных цилиндрах
Рис. 1. Расчет дисперсионного спектра
для неоднородного цилиндра (λ = 2)
при n = 1.
Рис. 2. Расчет дисперсионного спектра
для неоднородного цилиндра (λ = 2)
при n = 2.
Расчет фрагментов спектра бегущих нормальных волн в диапазонах изме-
нения параметров нормированной частоты ω a/ct ∈ [0, 11] и продольного вол-
нового числа k a ∈ [0, 25] осуществлен для значений окружного волнового
числа n = 1 и n = 2 в случаях однородного (λ = 0) и неоднородного (λ = 2)
цилиндров со свободными границами (23). Нормирующий параметр ct с раз-
мерностью скорости независимо для каждого значения окружного волнового
числа n определялся из условия равенства единице низшей не нулевой при-
веденной критической частоты ветвей спектра бегущих нормальных волн в
однородном волноводе с a = R∗. Соответствующие фрагменты дисперсион-
ных спектров представлены на рис. 1 и рис. 2. Характерной отличительной
особенностью представленных распределений является отсутствие в спектре
для n = 2 ветви с нулевой частотой запирания.
Рис. 3. Сравнительный анализ дисперсионных спектров для однородного (λ = 0)
и неоднородного (λ = 2) цилиндров при n = 1.
121
И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
Рис. 4. Сравнительный анализ дисперсионных спектров для однородного (λ = 0)
и неоднородного (λ = 2) цилиндров при n = 2.
Рис. 5. Расчет фазовых скоростей для
неоднородного цилиндра (λ = 2) при
n = 1.
Рис. 6. Расчет фазовых скоростей для
неоднородного цилиндра (λ = 2) при
n = 2.
На рис. 3 и рис. 4 представлены результаты сравнительного количествен-
ного анализа различий в поведении первых шести мод спектров для однород-
ного (λ = 0) и неоднородного (λ = 2) цилиндров при n = 1 и n = 2. В качестве
характеристики отличий в распределениях ветвей сопоставляемых спектров
использовалась функция ∆ω (k) = (ωλ=2 (k a)− ωλ=0 (k a)) a/ct . Ее поло-
жительные и отрицательные значения соответственно описывают эффекты
уменьшения либо увеличения приведенной частоты волны рассматриваемой
относительной длины из моды с фиксированным номером для неоднородного
волновода. В этой связи можно отметить, что для n = 2 в диапазоне k a > 7.0
значения рассматриваемой функции для всех ветвей стабилизируются и опи-
122
Спектры неосесимметричных волн в неоднородных ортотропных цилиндрах
сывают уменьшение приведенных частот волн первой и третьей моды, а так-
же увеличение приведенных частот волн второй, четвертой, пятой и шестой
моды в неоднородном цилиндре. При меньших значениях нормированного
волнового числа в поведении анализируемых функций для n = 2 наблюда-
ется существенная изменяемость, и наибольшие отличия в значениях при-
веденных частот возникают для волн двух низших мод в длинноволновом
диапазоне. Для спектров волн с n = 1 тенденция к стабилизации значений
рассматриваемой функции наблюдается в более коротковолновом диапазоне
k a > 14.0, а наибольшие отличия возникают для первой моды в коротковол-
новом диапазоне и для второй моды в длинноволновом диапазоне.
Результаты расчетов распределений нормированных фазовых скоростей
для нормальных распространяющихся волн с n = 1 и n = 2 в неоднородном
цилиндре представлены, соответственно, на рис. 5 и рис. 6. В качестве наи-
более существенных отличий, обусловленных увеличением показателя изме-
няемости в окружном направлении, можно указать снижение приведенной
частоты формирования «платообразного» участка распределения при n = 2,
а также различия в соотношениях скоростей волн второй и третьей моды с
частотами в окрестности значения ω a/ct ≈ 3.
Выводы. В результате проведенных исследований в форме абсолютно и
равномерно сходящихся степенных рядов с определяемыми из рекуррентных
соотношений коэффициентами получено решение системы дифференциаль-
ных уравнений, описывающее распространение неосесимметричных нормаль-
ных упругих волн в ортотропных цилиндрах с экспоненциальной радиальной
неоднородностью. Построенное решение использовано для получения диспер-
сионного уравнения, определяющего спектр указанных волн для цилиндров
со свободной граничной поверхностью. Для материала, волноводные свойства
которого обеспечивают физически корректное решение задачи описания дис-
персионного спектра на основе предложенной модели для любых значений
окружного волнового числа, проанализирована зависимость топологии рас-
пределений действительных ветвей спектров и фазовых скоростей бегущих
нормальных волн от параметра радиальной неоднородности и значения ок-
ружного волнового числа. Областями использования результатов представ-
ленного исследования являются прочностные расчеты деталей машин, техно-
логии ультраакустической диагностики, акустоэлектроника.
1. Моисеенко И.А. Волны кручения вдоль полого экспотенциально-неоднородного тран-
сверсально-изотропного цилиндра с закрепленными границами // Механика твердого
тела. – 2014. – Вып. 44. – С. 132–139.
2. Моисеенко И.А. Продольные волны в экспотенциально-неоднородных трансверсально-
изотропных цилиндрах // Вiсн. Запорiзького нацiонального ун-ту. Сер.: Фiзико-
математичнi науки. – 2015. – № 3. – С. 179–189.
3. Моисеенко И.А. Спектры нормальных упругих волн кручения в экспоненциально-
неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрах // Теор. и прикл. механика. –
2014. – № 9 (55). – С. 139–145.
4. Шульга Н.А., Григоренко А.Я., Ефимова Т.Л. Распространение неосесимметричных
упругих волн в анизотропном полом цилиндре. // Прикл. механика. – 1986.– 22,
вып. 8. – С. 118–121.
123
И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев
5. Kardomateas G.A. Bifurcation of equilibrium in thick orthotropic cylindrical shells under
axial compression // J. appl. mech. – 1995. – 62, № 1. – P. 43–52.
6. Hallai J. Fracture of orthotropic materials under mixed mode loading // EM 388F Fracture
Mechanics – 2008. – Term Paper. Austin, Texas: University of Texas at Austin, Department
of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics, (online). http://imechanica.org/fi
les/Julian’s.
7. Sun X.S., Chen Y, Tan V.B.C., Jaiman R.K., Tay T.E. Homogenization and stress
analysis of multilayered composite offshore production risers // J. appl. mech. – 2014.
– 81(3). – 031003 (12 p.)
8. Tsukrov I., Bayraktar H., Giovinazzo M., Goering J., Gross T., Fruscello M., Martinsson
L. Finite Element Modeling to Predict Cure-Induced Microcracking in ThreeDimensional
Woven Composites // Int. J. of Fracture. – 2011. – 172(2). – P. 209–216.
9. Tsukrov I, Drach B. Elastic deformation of composite cylinders with cylindrically
orthotropic layers. // Int. J. Solids and Structures. – 2010. – 47. – P. 25–33.
10. Honarvar F., Enjilela E., Sinclair A.N., Mirnezami S.A. Wave propagation in transversely
isotropic cylinders // Int. J. Solids and Structures. – 2007. – 44. – P. 5236–5246.
I.A. Moiseyenko, V.I. Storozhev
The spectra of non-axisymmetric normal elastic waves in orthotropic cylin-
ders with functionally graded radial non-homogeneity
In this paper, of constructing solutions for the propagation of non-axisymmetric normal waves
in radially non-homogeneous orthotropic cylinder problems is investigated. The elastic modules
and density are taken as a exponential function of the radial coordinate. Expansions in uni-
formly and absolutely convergent series on radial coordinate for the components of the vector
displacements and the components of the tensor stresses obtained. Dispersion relations describ-
ing the spectra of harmonic non-axisymmetric normal waves in the radially non-homogeneous
cylindrical waveguide with free or rigidly fixed boundary surfaces made of cylindrical orthotropic
material obtained. The effect of radial non-homogeneity ratio and circumferential wave numbers
on the topology of the dispersion spectrums and distribution of the phase velocities of normal
propagating waves studied.
Keywords: cylindrical waveguide, normal waves, functionally graded materials, cylindrically
orthotropic materials.
Донецкий гос. ун-т
mian@i.ua, stvi@i.ua
Получено 17.09.15
124
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123813 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:26:12Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Моисеенко, И.А. Сторожев, В.И. 2017-09-10T16:14:36Z 2017-09-10T16:14:36Z 2015 Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью / И.А. Моисеенко, В.И. Сторожев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2014. — Вип 44. — С. 112-124. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123813 539.3:534.1 В работе исследуется проблема построения решения для задачи распространения неосесимметричных нормальных волн в радиально неоднородных ортотропных цилиндрах. Модули упругости и плотность задаются экспоненциальной функцией от радиальной координаты. Для компонент вектора перемещений и тензорана пряжений получены разложения в равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по радиальной координате. Получены также дисперсионные соотношения, описывающие спектры гармоник неосесимметричных нормальных волн в радиально неоднородном цилиндрическом волноводе со свободной или жестко закрепленной граничной поверхностью из цилиндрически ортотропного материала. Изучены эффекты влияния параметра радиальной неоднородности и окружного волнового числа на топологию дисперсионных спектров и распределение фазовых скоростей распространяющихся нормальных волн. In this paper, of constructing solutions for the propagation of non-axisymmetric normal waves in radially non-homogeneous orthotropic cylinder problems is investigated. The elastic modules and density are taken as a exponential function of the radial coordinate. Expansions in uniformly and absolutely convergent series on radial coordinate for the components of the vector displacements and the components of the tensor stresses obtained. Dispersion relations describing the spectra of harmonic non-axisymmetric normal waves in the radially non-homogeneous cylindrical waveguide with free or rigidly fixed boundary surfaces made of cylindrical orthotropic material obtained. The effect of radial non-homogeneity ratio and circumferential wave numbers on the topology of the dispersion spectrums and distribution of the phase velocities of normal propagating waves studied. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью The spectra of non-axisymmetric normal elastic waves in orthotropic cylinders with functionally graded radial non-homogeneity Article published earlier |
| spellingShingle | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью Моисеенко, И.А. Сторожев, В.И. |
| title | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_alt | The spectra of non-axisymmetric normal elastic waves in orthotropic cylinders with functionally graded radial non-homogeneity |
| title_full | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_fullStr | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_full_unstemmed | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_short | Спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| title_sort | спектры неосесимметричных нормальных упругих волн в ортотропных цилиндрах с функционально-градиентной радиальной неоднородностью |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123813 |
| work_keys_str_mv | AT moiseenkoia spektryneosesimmetričnyhnormalʹnyhuprugihvolnvortotropnyhcilindrahsfunkcionalʹnogradientnoiradialʹnoineodnorodnostʹû AT storoževvi spektryneosesimmetričnyhnormalʹnyhuprugihvolnvortotropnyhcilindrahsfunkcionalʹnogradientnoiradialʹnoineodnorodnostʹû AT moiseenkoia thespectraofnonaxisymmetricnormalelasticwavesinorthotropiccylinderswithfunctionallygradedradialnonhomogeneity AT storoževvi thespectraofnonaxisymmetricnormalelasticwavesinorthotropiccylinderswithfunctionallygradedradialnonhomogeneity |