Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза”
Рассмотрена замкнутая система n твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами в предположении отсутствия действия внешнихсил и моментов. Записаны уравнения равновесия рассматриваемого объекта. Изучен частный случай равновесной конфигурации системы, когда оси симметрии всех тел расположены в...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2016
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123855 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” / Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2016. — Вип 46. — С. 102-110. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123855 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1238552025-02-09T23:55:09Z Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” Stability of equilibrium of a closed system of rigid bodies in “rose” configuration Щепин, Н.Н. Рассмотрена замкнутая система n твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами в предположении отсутствия действия внешнихсил и моментов. Записаны уравнения равновесия рассматриваемого объекта. Изучен частный случай равновесной конфигурации системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной плоскости. В случае (n = 6) построено решение типа “роза”, которое является конечномерным аналогом решения Е.Л. Старостина, полученного для упругого изотропного стержня. Найдены области геометрических параметров, в которых изучаемое решение существует. Рассмотрена устойчивость полученных решений. The closed system in “rose” configuration of the n Lagrange gyroscopes connected with elastic cylindrical joints, is considered in this paper in supposition of the lack of exterior forces and moments. Equilibrium positions and values of geometrical parameters for their stability are defined for the system of six gyroscopes. Such system can serve as a finite-dimensional model of the elastic rod with plane axis. 2016 Article Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” / Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2016. — Вип 46. — С. 102-110. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123855 531.38 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена замкнутая система n твердых тел, связанных упругими сферическими шарнирами в предположении отсутствия действия внешнихсил и моментов. Записаны уравнения равновесия рассматриваемого объекта. Изучен частный случай равновесной конфигурации системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной плоскости. В случае (n = 6) построено решение типа “роза”, которое является конечномерным аналогом решения Е.Л. Старостина, полученного для упругого изотропного стержня. Найдены области геометрических параметров, в которых изучаемое решение существует. Рассмотрена устойчивость полученных решений. |
| format |
Article |
| author |
Щепин, Н.Н. |
| spellingShingle |
Щепин, Н.Н. Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” Механика твердого тела |
| author_facet |
Щепин, Н.Н. |
| author_sort |
Щепин, Н.Н. |
| title |
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” |
| title_short |
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” |
| title_full |
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” |
| title_fullStr |
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” |
| title_sort |
устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2016 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123855 |
| citation_txt |
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза” / Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2016. — Вип 46. — С. 102-110. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT ŝepinnn ustoičivostʹpoloženiâravnovesiâzamknutoisistemytelkonfiguraciiroza AT ŝepinnn stabilityofequilibriumofaclosedsystemofrigidbodiesinroseconfiguration |
| first_indexed |
2025-12-01T23:03:45Z |
| last_indexed |
2025-12-01T23:03:45Z |
| _version_ |
1850348904642510848 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2016. Вып. 46
УДК 531.38
c©2016. Н.Н. Щепин
УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЗАМКНУТОЙ
СИСТЕМЫ ТЕЛ КОНФИГУРАЦИИ “РОЗА”
Рассмотрена замкнутая система n твердых тел, связанных упругими сферическими шарни-
рами в предположении отсутствия действия внешних сил и моментов. Записаны уравнения
равновесия рассматриваемого объекта. Изучен частный случай равновесной конфигура-
ции системы, когда оси симметрии всех тел расположены в одной плоскости. В случае
(n = 6) построено решение типа “роза”, которое является конечномерным аналогом реше-
ния Е.Л. Старостина, полученного для упругого изотропного стержня. Найдены области
геометрических параметров, в которых изучаемое решение существует. Рассмотрена устой-
чивость полученных решений.
Ключевые слова: система твердых тел, устойчивость положения равновесия, доста-
точные условия устойчивости.
Введение. В настоящее время системы связанных твердых и упругих
тел широко используются для моделировании механических объектов в ра-
зличных отраслях науки и техники. Популярность данного подхода обуслов-
лена использованием хорошо разработанного аппарата аналитической меха-
ники для исследования статики и динамики систем с конечным числом сте-
пеней свободы. В ряде задач использование систем связанных твердых тел
позволило получить обозримые аналитические результаты. Важной особен-
ностью постановок таких задач является выбор выражения связи в упругих
шарнирах системы, с целью адекватного моделирования соотношений между
величинами, описывающими поля напряжений и деформаций в распределен-
ных системах.
В последние годы стержневые системы интенсивно использовались в мо-
делировании биологических объектов, при этом особое значение играет изуче-
ние равновесных конфигураций. Этой задаче посвящены, в частности, рабо-
ты [1–4]. Интерес представляет точное решение уравнений равновесия упру-
гого замкнутого стержня класса “роза”, предложенное в работе [5]. В [6] про-
веден численный анализ этого решения. Сложность дальнейшего использова-
ния решений, полученных в [1–6], для аналитического анализа равновесных
конфигураций заключается в громоздкости полученных выражений.
В настоящей статье упругий стержень в плоском случае моделировался
системой n твердых тел, связанных упругими цилиндрическими шарнира-
ми, что позволило учесть геометрическую нелинейность поведения упругого
стержня. Для случая шести твердых тел продолжено исследование решения
типа “розы” , начатое в работе [7], которое является конечномерным анало-
гом решения Е.Л. Старостина [5, 6]. Выделены области геометрических па-
раметров, допускающих существование полученного решения, исследованы
достаточные условия устойчивости формы оси исследуемой системы.
102
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза”
1. Постановка задачи. Пусть система состоит из n гироскопов Ла-
гранжа Sj, связанных в точках Oj+1 пересечения осей симметрии тел Sj и
Sj+1 упругими цилиндрическими шарнирами. Полагаем, что оси симметрии
OjOj+1 = hj тел Sj лежат в одной плоскости OXZ, а оси всех шарниров ей
перпендикулярны. Система тел – замкнута.
Для учета геометрической нелинейности поведения упругого стержня мо-
мент в шарнирах выбирался равным [7]
Lj = c2 sin(ψj − ψj−1), j = 1, n, (1)
где c2− жесткость на изгиб, ψj− угол поворота тела Sj вокруг оси (j − 1)-го
шарнира, угол ψ0 в случае замкнутых систем (O1 = On+1), аналогично [8],
считаем равным ψn, т. е. ψ0 = ψn.
Как и в работах [9, 10], полагаем, что на систему не действуют внешние
силы и моменты, вследствие чего ее центр масс неподвижен. Тогда с учетом
соотношения (1) находим потенциальную энергию системы
Π = −c2
n
∑
j=1
cos(ψj − ψj−1). (2)
Как показано в [9], для замкнутых систем выполняется следующее соо-
тношение:
n
∑
j=1
hje
x
j = 0, (3)
где e
x
j− единичный орт оси OjOj+1, составляющий угол ψj с осью OX. По-
скольку e
x
j = cosψje
x+sinψje
z (ex, ez – соответственно орты осей OX и OZ),
то из (3) имеем два скалярных соотношения, которым должны удовлетворять
углы ψj
f1 =
n
∑
j=1
hj cosψj = 0, f2 =
n
∑
j=1
hj sinψj = 0. (4)
Для систем с дополнительными связями положения равновесия могут
быть найдены из условия [11,12] стационарности функции L = Π+λ1f1+λ2f2,
т.е.
δL = δΠ+ λ1δf1 + λ2δf2 = 0, (5)
где λ1, λ2 – неопределенные множители Лагранжа.
Подставляя выражения (2), (4) в соотношение (5), получаем систему урав-
нений
c2(sin(ψj+1 − ψj)− sin(ψj − ψj−1)) = hj(λ2 cosψj − λ1 sinψj), j = 1, n,
ψn+1 = ψ1, ψ0 = ψn,
(6)
которая вместе с равенствами (4) позволяет определить неизвестные величи-
ны поставленной задачи, а именно, углы ψj и множители Лагранжа λ1, λ2.
103
Н.Н. Щепин
Как показано в [10], множители Лагранжа λ1, λ2 при этом играют роль реа-
кций связей в цилиндрических шарнирах.
В случае конечномерной системы, моделирующей конфигурацию оси
стержня типа “роза”, решение было описано в [8].
Рис. 1. Конфигурация типа “роза”.
2. Стационарное решение типа “роза”. В простейшем случае та-
кая конфигурация может быть представлена системой шести тел (рис. 1).
Полагаем, что фигура симметрична относительно оси OZ. При этом длины
OkOk+1(k = 1, 6, O7 = O1) осей симметрии тел равны
O1O2 = h1, O2O3 = O6O1 = h2, O3O4 = O5O6 = h3, O4O5 = h4, (7)
а углы ψ0
k (k = 1, 6) между осью симметрии тела Sk и осью OX таковы:
ψ0
1 = ψ0
4 = 0, ψ0
2 = π + ϕ, ψ0
3 = π − ψ, ψ0
5 = π + ψ, ψ0
6 = π − ϕ. (8)
Полагаем, что ϕ и ψ – острые углы. Подставляя соотношения (7), (8) в условие
замкнутости (4), получаем условие, которому должно удовлетворять решение
задачи
cosϕ = b− c cosψ, (9)
где
c =
h3
h2
; b =
h1 + h4
2h2
. (10)
Решение (8) удовлетворяет уравнениям равновесия (6) в случае λ2 = 0. После
исключения из уравнений (6) множителя λ1 получаем
sin(ϕ+ ψ)− sinψ
sin(ϕ+ ψ)− sinϕ
= c
sinψ
sinϕ
. (11)
Таким образом, получены два уравнения (9) и (11) для определения углов
ϕ и ψ стационарного решения (8) изучаемой системы.
104
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза”
Для дальнейшего исследования уравнений введем дополнительный пара-
метр p следующим образом
sinϕ = pc sinψ. (12)
Так как углы ϕ и ψ предполагались острыми и c > 0, то и параметр p > 0. Из
постановки задачи (см. рис. 1) следует, что h2 sinϕ = OO3 sinψ, а посколь-
ку OO3 < h3, имеем p < 1. Таким образом, для определения параметра p
получаем следующий интервал:
0 < p < 1. (13)
Подставляя равенства (9), (12) в уравнение (11) и учитывая, что sinψ 6= 0,
имеем
cosψ =
b− p(b+ c− 1)
c(p− 1)2
. (14)
Из неравенства 0 < cosϕ < 1 с учетом соотношения (9) получаем следу-
ющие ограничения на величину cosψ
max(0,
b− 1
c
) < cosψ < min(1,
b
c
). (15)
Из неравенств (15) следует, что область существования решения задачи
распадается на четыре подобласти:
1) 0 < cosψ < b/c, при 0 < b < 1, b < c;
2) 0 < cosψ < 1, при 0 < b < 1, b ≥ c;
3) (b− 1)/c < cosψ < b/c, при b ≥ 1, b < c;
4) (b−1)/c < cosψ < 1, при b ≥ 1, b ≥ c.
Кроме того, из соотношений (9), (12) следует
c2(1− p2) cos2 ψ − 2bc cosψ + c2p2 + b2 − 1 = 0. (16)
Исключая из уравнения (16) с помощью равенства (14) cosψ, получим
следующее выражение для определения параметра b = b(p, c):
b =
p2(p3 − 3p2 + 2p− 2)c2 + 2p2(p + 1)c − 2p3 + 2p2 − 3p + 1
2p2(1− p)(1− c)
. (17)
Подставляя выражения (14) и (17) в неравенства, описывающие область су-
ществования решения, получим следующее представление подобластей в па-
раметрах c и p:
1) {p ∈ (0, 1); c ∈ (
p+ (1− p)
√
2(1− p)
p(p2 − 2p+ 2)
;
2p+ (1− p)
√
3p2 − 4p+ 2
p(2− 2p+ 3p2 − p3)
)};
2) {p ∈ (0, 1); c ∈ ∅};
105
Н.Н. Щепин
3) {p ∈ (0, 1); c ∈ [
2p + (1− p)
√
3p2 − 4p + 2
p(2− 2p+ 3p2 − p3)
;
2p + (1− p)
√
2p2 − 4p + 3
p2(3− p)
)};
4) {p ∈ (0, 1); c ∈ [
2p + (1− p)
√
2p2 − 4p + 3
p2(3− p)
;
1
p2
)}.
Окончательно область существования решения имеет вид
{p ∈ (0, 1); c ∈ (
p+ (1− p)
√
2(1 − p)
p(p2 − 2p+ 2)
;
1
p2
)}. (18)
Она представлена на рис. 2.
Рис. 2. Область существования решения (8).
3. Исследование устойчивости положения равновесия “розы”.
Устойчивость изолированного положения равновесия консервативной систе-
мы с голономными и стационарными связями может быть определена из усло-
вия минимума потенциальной энергии системы. В случае нелинейности свя-
зей, можно воспользоваться методом неопределенных множителей Лагранжа
и находить минимум функции L = Π+λ1f1+λ2f2, в которой множители λ1, λ2
находятся из условий стационарности функции L [11, 12].
В данной задаче, как отмечалось выше, λ2 = 0 и условия устойчивости
положения равновесия будут выполнены в области [13,14]
δ2L = δ2Π+ λ1δ
2f1 > 0, δf1 = 0, δf2 = 0. (19)
В возмущенном движении будем полагать ψj = ψ0
j + ξj и из соотношений (4)
получим
n
∑
j=1
hjξj sinψ
0
j + ... = 0,
n
∑
j=1
hjξj cosψ
0
j + ... = 0. (20)
106
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза”
Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка малости по
переменной ξj.
Введем новые переменные Xj = ξj − ξj−1. Тогда, учитывая соотношения
(4) и полагая ξ0 = ξn, имеем
ξj =
j
∑
i=1
Xi + ξn,
n
∑
i=1
Xi = 0. (21)
Из равенств (20), (21) получаем
n−1
∑
i=1
Xi
n−1
∑
j=i
hj sinψ
0
j + ... = 0,
n−1
∑
i=1
Xi
n−1
∑
j=i
hj cosψ
0
j + ... = 0. (22)
Подставляя равенства (21), (22) в выражение (19), получаем функцию δ2L в
виде
2δ2L =
n−1
∑
k=1
cos(ψ0
k − ψ0
k−1
)X2
k − hkµ cosψ
0
k
k
∑
j=1
Xj
2
+
+cos(ψ0
n − ψ0
n−1
)
(
n−1
∑
k=1
Xk
)2
,
(23)
где µ = λ1/c
2.
С учетом равенств (12), (14) и (17) из уравнений (6) находим выражение
для µ
µ =
cp− 1
(p − 1)ch2
. (24)
Для нахождения области выполнения достаточных условий устойчивости по-
ложения равновесия системы необходимо определить область положительной
определенности квадратичной формы (23), из которой могут быть исключе-
ны две переменные согласно (22).
Рассмотрим устойчивость решения (8). Подстановка (8) в (22) с учетом
(10) позволяет найти выражения для X1 и X5:
X1 = X2 +
2(p(b+ c− 1)− b)(pX3 + (p− 1)X4)
p(p− 1)(c− 1)
,
X5 = −(p(X1 +X2) +X4),
(25)
где параметр b определен выражением (17).
Из (23) и (25) получаем квадратичную форму δ2L, зависящую от перемен-
ных X2, X3 и X4. Записывая критерий Сильвестра для этой квадратичной
формы, получим следующие условия ее положительной определенности:
107
Н.Н. Щепин
G1 > 0, G2 > 0, G3G4 > 0 (26)
где G1 =
3
∑
i=0
g1ic
i, G2 =
10
∑
i=0
g2ic
i, G3 =
8
∑
i=0
g3ic
i, G4 =
2
∑
i=0
g4ic
i, а gij равны
g13 = −p3
(
4 p3 − 13 p2 + 15 p − 4
)
, g12 = 2 p2
(
2 p4 − 6 p3 + 6 p2 + 3 p− 2
)
,
g11 = −8 p3 − 4 p2 + 9 p − 3, g10 = 10 p2 − 12 p + 4, g42 = p2
(
p2 − 2 p+ 2
)
,
g38 = p8
(
2 p4 − 7 p3 + 9 p2 − 8 p + 2
)
(p− 2)2 , g40 = 2 p − 1, g41 = −2 p2,
g37 = −2 p7 (p− 2)
(
p6 − 5 p5 + 5 p4 + p3 − 3 p2 + 14 p − 4
)
,
g36 = −p5(16 p7 − 72 p6 + 120 p5 − 191 p4 + 257 p3 − 80 p2 + 28 p − 8),
g35 = 2 p4(4 p8 − 16 p7 + 11 p6 − 35 p5 + 73 p4 + 54 p3 − 14 p2 + 4 p − 4),
g34 = −p2(4 p9 − 40 p8 + 4 p7 + 76 p6 + 156 p5 + 34 p4 − 7 p3 − 11 p2−
−8 p+ 2), g31 = 8 p7 + 24 p6 + 16 p5 − 24 p4 + 24 p3 − 30 p2 + 14 p − 2,
g33 = −2 p2
(
4 p8 + 12 p7 − 40 p6 − 16 p5 − 97 p4 + 55 p3 − 27 p2 + 23 p − 5
)
,
g32 = 12 p9 − 28 p8 − 20 p7 − 84 p6 − 4 p5 + 12 p4 + 12 p3 + 8 p2 − 7 p+ 1,
g30 = −4 p2 (2 p− 1)
(
p3 − p2 + 2 p − 1
)
, g29 = −4 p9 (p− 2) (p9 − 8 p8+
+26 p7 − 49 p6 + 58 p5 − 28 p4 − 32 p3 + 58 p2 − 20 p + 4), g210 = p10(4 p7−
−25 p6 + 70 p5 − 117 p4 + 124 p3 − 80 p2 + 24 p − 4) (p− 2)2 ,
g28 = −4 p7(6 p10 − 45 p9 + 164 p8 − 423 p7 + 818 p6 − 1080 p5 + 844 p4−
−333 p3 + 118 p2 − 28 p + 4), g27 = 8 p6(2 p11 − 15 p10 + 54 p9 − 149 p8+
+312 p7 − 412 p6 ++253 p5 − p4 ++29 p3 − 13 p2 − 2 p + 2),
g26 = −2 p4(4 p12 − 36 p11 + 60 p10 + 16 p9 − 20 p8 − 428 p7 + 725 p6+
+358 p5 − 371 p4 + 192 p3 − 134 p2 + 64 p − 10), g25 = −8 p4(2 p11−
−3 p10 − 4 p9 + 21 p8 − 39 p7 + 136 p6 − 478 p5 + 362 p4 − 219 p3 + 155 p2−
−71 p+ 12), g24 = 4 p2(7 p12 − 34 p11 + 106 p10 − 208 p9+
+328 p8 − 648 p7 + 227 p6 − 64 p5 + 141 p4 − 38 p3 − 50 p2 + 26 p − 3),
g23 = −8 p2(6 p10 − 17 p9 + 19 p8 − 43 p7 − 132 p6 + 138 p5 − 55 p4+
+78 p3 − 82 p2 + 32 p − 4), g22 = 16 p11 − 40 p10 − 112 p9 − 24 p8−
−608 p7 + 1024 p6 − 472 p5 + 72 p4 − 108 p3 + 99 p2 − 30 p + 3,
g21 = 4 (2 p− 1) (4 p8 − 6 p7 + 44 p6 − 50 p5 + 30 p4 − 27 p3 + 22 p2−
−8 p + 1), g20 = −4 p2
(
p4 − 2 p3 + 6 p2 − 6 p+ 2
)
(2 p− 1)2 .
Численные исследования позволили построить области решений нера-
венств (26). На следующих рисунках представлены области решений нера-
венств G1 > 0. и G2 > 0.
108
Устойчивость положения равновесия замкнутой системы тел конфигурации “роза”
Рис. 3. G1 > 0 и G2 > 0.
Линиями 1 и 2 отмечены границы области существования решения задачи.
Область решения неравенства G1 > 0 обозначена цифрой I, а неравенства
G2 > 0 – цифрой II.
Сравнение областей решений неравенств (26) и области существования
решения (18) показывает, что пересечения указанных областей нет.
Таким образом, для системы, состоящей из шести тел, найдена область су-
ществования положения равновесия конфигурации “розы” (см. рис. 2) и опре-
делено, что для данной системы достаточные условия устойчивости положе-
ния равновесия не выполняются.
1. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. – 1986. – 21D. – P. 213–
226.
2. Бенхэм Дж. Механика и равновесные состояния сверхспирализованной ДНК // В
кн.: Математические методы для анализа последовательностей ДНК. – М.: Мир, 1999.
– С. 308–338.
3. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Meccanica 31. – 1996. – 3. –
P. 235–271.
4. Кугушев Е.И., Пирогова Е.Е., Старостин Е.Л. Математическая модель образования
трехмерной структуры ДНК. – 1997. – 24 с. – (Препринт РАН ИПМ им. М.В. Кел-
дыша, № 77).
5. Starostin E.I. Equilibrion configurations of a thin elastic rod with self contacts // Proc.
Appl. Math. Mech. – 2002. – 1. – P. 137–138.
6. Starostin E.I. Symmetric equilibria of a thin elastic rod with self contacts // Phil. Teans.
K. Soc. Lon., A,. – 2004. – 362. – P. 1317–1334.
7. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. О новом решении уравнений равновесия системы тел
с упругой связью // Прикл. математика и механика. — 2014. – 78, вып. 25. — С. 671–
680.
8. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Положение равновесия замкнутых систем с самопе-
ресечениями // Механика твердого тела. – 2007. – Вып. 37. – С. 145–151.
9. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 33–39.
109
Н.Н. Щепин
10. Болграбская И.А., Савченко А.Я., Щепин Н.Н. Замкнутые системы связанных твер-
дых тел // Механика твердого тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 94–103.
11. Ланцош К. Вариационные принципы механики. – М.: Мир, 1965. – 408 с.
12. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах
и задачах. – М.: Наука, 1968. – 304 с.
13. Болграбская И.А., Щепин Н.Н. Достаточные условия устойчивости положения рав-
новесия замкнутой системы тел // Механика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. –
С. 151–160.
14. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1976. – 534 с.
N.N.Shchepin
Stability of equilibrium of a closed system of rigid bodies in “rose”
configuration
The closed system in “rose” configuration of the n Lagrange gyroscopes connected with elastic
cylindrical joints, is considered in this paper in supposition of the lack of exterior forces and
moments. Equilibrium positions and values of geometrical parameters for their stability are
defined for the system of six gyroscopes. Such system can serve as a finite-dimensional model of
the elastic rod with plane axis.
Keywords: system of rigid bodies, stability of equilibrium position, sufficient conditions of sta-
bility.
ГУ “Ин-т прикл. математики и механики”, Донецк
shchepin_nick@mail.ru
Получено 10.06.16
110
|