Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии
С помощью найденных ранее фундаментальных решений уравнений термоупругости построена фундаментальная матрица усилий и моментов для пологих ортотропных оболочек произвольной гауссовой кривизны. Описана методика поиска этих матриц и исследована зависимость усилий и моментов от геометрических параметро...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123872 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии / Н.В. Дергачева // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123872 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1238722025-02-23T19:23:12Z Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии Дергачева, Н.В. С помощью найденных ранее фундаментальных решений уравнений термоупругости построена фундаментальная матрица усилий и моментов для пологих ортотропных оболочек произвольной гауссовой кривизны. Описана методика поиска этих матриц и исследована зависимость усилий и моментов от геометрических параметров оболочек. 2009 Article Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии / Н.В. Дергачева // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123872 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
С помощью найденных ранее фундаментальных решений уравнений термоупругости построена фундаментальная матрица усилий и моментов для пологих ортотропных оболочек произвольной гауссовой кривизны. Описана методика поиска этих матриц и исследована зависимость усилий и моментов от геометрических параметров оболочек. |
| format |
Article |
| author |
Дергачева, Н.В. |
| spellingShingle |
Дергачева, Н.В. Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Дергачева, Н.В. |
| author_sort |
Дергачева, Н.В. |
| title |
Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии |
| title_short |
Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии |
| title_full |
Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии |
| title_fullStr |
Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии |
| title_full_unstemmed |
Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии |
| title_sort |
исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123872 |
| citation_txt |
Исследование фундаментального решения для усилий и моментов при сосредоточенном тепловом воздействии / Н.В. Дергачева // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 55-61. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT dergačevanv issledovaniefundamentalʹnogorešeniâdlâusilijimomentovprisosredotočennomteplovomvozdejstvii |
| first_indexed |
2025-11-24T15:48:30Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:48:30Z |
| _version_ |
1849687341527990272 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 531.38
c©2009. Н.В. Дергачева
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
ДЛЯ УСИЛИЙ И МОМЕНТОВ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОМ
ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
С помощью найденных ранее фундаментальных решений уравнений термоупругости построена
фундаментальная матрица усилий и моментов для пологих ортотропных оболочек произвольной
гауссовой кривизны. Описана методика поиска этих матриц и исследована зависимость усилий и
моментов от геометрических параметров оболочек.
Введение. В связи с необходимостью расчета элементов тонкостенных кон-
струкций при тепловых нагревах во время сварки [1] в последние годы интенсивно
развиваются методы исследования термоупругого состояния таких элементов.
В данной работе проводится исследование решения для усилий и моментов при
сосредоточенном тепловом воздействии. Температурная задача для пологих изо-
тропных оболочек решена как для оболочек частного вида (сферических, цилин-
дрических) [2, 3], так и для оболочек положительной гауссовой кривизны [4]. В ра-
боте [5] построено фундаментальное решение уравнений термоупругого равновесия
пологих ортотропных оболочек в перемещениях. Сосредоточенное температурное
воздействие предполагает отличное от нуля значение интегральных характеристик
температуры лишь в одной точке срединной поверхности, и необходимость в реше-
нии задачи теплопроводности отпадает.
В данной статье для нахождения фундаментальной матрицы усилий и моментов
использован подход, основанный на двумерном интегральном преобразовании Фу-
рье и теории функций комплексных переменных [6]. Рассмотренный метод позволил
найти решение для интегралов комплексных переменных и получить фундаменталь-
ное решение для усилий и моментов.
1. Постановка задачи. Рассмотрим тонкую пологую оболочку толщиной 2h
произвольной гауссовой кривизны. Определение термоупругого состояния заданной
оболочки сводится к решению системы уравнений [5, 6]
3∑
j=1
Lijuj = −Xi(i = 1, 3), (1)
в которой u1 = u, u2 = v, u3 = w – компоненты вектора перемещений; Lij – известные
дифференциальные операторы [5]. При этом, если распределение температуры по
толщине является четной функцией, то
X1 = −α
(1)
t κ2 + να
(2)
t
κ2
∂
∂x
t1;
55
Н.В. Дергачева
X2 = −α
(2)
t + νκ2α
(1)
t
κ2
∂
∂y
t1;
X3 =
1
hR2κ2
[
α
(1)
t κ2(ν + λκ2) + α
(2)
t (1 + λκ2ν)
]
t1, (2)
а в случае температуры, заданной нечетной функцией,
X1 = 0;
X2 = 0;
X3 = − 1
6κ2
[
α
(1)
t κ2 + να
(2)
t
κ3
∂2
∂x2
+
α
(2)
t + νκ2α
(1)
t
κ
∂2
∂y2
]
t2, (3)
здесь ν =
√
ν1ν2, ν1ν2 – коэффициенты Пуассона вдоль главных осей ортотропии;
λ = R2/R1, R1, R2 – кривизна и радиусы кривизны оболочки вдоль главных осей
ортотропии; α
(1)
t , α
(2)
t – температурные коэффициенты линейного расширения; t1,
t2 – интегральные характеристики температуры. Поскольку рассматривается слу-
чай сосредоточенного теплового воздействия, дельта-функция Дирака записывает-
ся вместо средней температуры и температурного момента в правых частях систе-
мы дифференциальных уравнений термоупругости ортотропных оболочек (1). Дей-
ствие средней температуры в этой точке моделирует "плоское" температурное воз-
действие, а действие температурного момента – "изгибное" температурное воздей-
ствие. Интегральные характеристики температуры, стоящие в правой части урав-
нения термоупругого равновесия (1), определяются по формулам:
t1 = µ0δ(κx, y) , t2 = µ1δ(κx, y) ; (4)
где δ – двумерная дельта-функция Дирака; µ0, µ1 – интенсивность "плоского" и "из-
гибного" сосредоточенного воздействия. Их размерность есть [градусы x площадь].
2. Метод решения. Для исследования напряженно-деформированного состоя-
ния оболочки будем использовать научные расчеты фундаментальных решений [5].
Подставим фундаментальне решения для перемещений в физические уравнения [6].
После упрощений получим фундаментальные выражения для усилий и моментов в
пространстве трансформант. Для нахождения усилий Tx,y в случае "плоского" теп-
лового воздействия и моментов Mx,y в случае "изгибного" теплового воздействия
была использована теория вычетов [9]. Остальные результаты в статье получены
с помощью двумерного преобразования Фурье [10]. Формулы для трансформант
усилий Tx,y в случае "плоского" теплового воздействия и моментов Mx,y в случае
"изгибного" теплового воздействия состоят из двух слагаемых: плоской и оболочеч-
ной части.
Для "плоского" сосредоточенного теплового воздействия:
T̄ (0)
x =
Ehk4µ0(1− µ)2
2πκa3
η2(α(2)
t ξ2 + α
(1)
t κ2η2)(ξ2 + λκ2η2)2
∆1∆2
−
56
Методика построения фундаментального решения при сосредоточенном тепловом нагреве
−Ehµ0(1− µ)
2πκa
η2
(
α
(1)
t κ2η2 + α
(2)
t ξ2
)
∆1
T̄ (0)
y =
Ehk4µ0 (1− µ)2
2πκ3a3
(α(2)
t ξ2 + α
(1)
t κ2η2)(ξ2 + λκ2η2)2ξ2
∆1∆2
− (5)
−Ehµ0 (1− µ)
2πκ3a
ξ2
(
α
(1)
t κ2η2 + α
(2)
t ξ2
)
∆1
.
В случае "изгибного" сосредоточенного теплового воздействия компоненты име-
ют вид:
M̄ (1)
x =
Dµ1∆1
πκha∆2
[(
ξ2 + νη2
) [
( α
(1)
t κ2 + α
(2)
t ν ) ξ2 + (α(1)
t νκ2 + α
(2)
t )η2
]]
−
−Dµ1
πκh
(α(1)
t κ2 + α
(2)
t ν);
M̄ (1)
y =
Dµ1∆1
πκ3ha∆2
[(
η2 + νξ2
) [
( α
(1)
t κ2 + α
(2)
t ν ) ξ2 + (α(1)
t νκ2 + α
(2)
t )η2
]]
− (6)
− Dµ1
πκ3h
(α(1)
t κ2ν + α
(2)
t ),
где
∆1 = (ξ2 + η2)2 − µ̃(1 + ν)(ξ2 − η2)2
∆2 =
[
(ξ2 + η2)2 + µ̃(1− ν)(ξ2 − η2)2
]
∆1 +
(1− µ)
a2
12(1− ν2)
R2
yh
2
(ξ2 + λκ2η2)2,
D = Eh3
12(1−ν2)
, 2a = 2− µ + µν , κ4 = νx/νy = Ex/Ey, Ex, Ey – модули Юнга вдоль
главных осей ортотропии, µ = E−2Gxy(1+ν)
E , E =
√
ExEy, где Gxy – модуль сдвига в
срединной плоскости.
Рассмотрим более подробно методику нахождения решения на примере усилия
T
(0)
x при "плоском" сосредоточенном воздействии. Перейдем в пространство ориги-
налов с помощью двумерного преобразования Фурье:
T (0)
x =
Ehk4µ0(1− µ)2
4π2κa3
+∞∫
−∞
+∞∫
−∞
η2(α(2)
t ξ2 + α
(1)
t κ2η2)(ξ2 + λκ2η2)2
∆1∆2
e−i(ξx+ηy)dξdη−
− Eh(1− µ)µ0
4π2κa
+∞∫
−∞
+∞∫
−∞
η2
[
α
(1)
t κ2η2 + α
(2)
t ξ2
]
∆1
e−i(ξx+ηy)dξdη. (7)
57
Н.В. Дергачева
Для первого слагаемого мы перейдем к полярной системе координат и воспользуемся
методикой получения оригиналов, описанной в [5–7]. Для второго воспользуемся
теорией вычетов [9]. В результате аналитических преобразований для второго сла-
гаемого были получены комплексные интегралы вида:
∞∫
0
cos ξxdξ
[(ξ2 + η2)2 − b(ξ2 − η2)2]
= πi
∑
Im z>0
Res
[
F (z) eixz
]
;
∞∫
0
ξ2 cos ξxdξ
[(ξ2 + η2)2 − b(ξ2 − η2)2]
= πiz2
∑
Im z>0
Res
[
F (z) eixz
]
, (8)
где
F (z) =
1
[(z2 + η2)2 − b(z2 − η2)2]
,
b = µ̃(1 + ν), µ̃ = µ
2a .
Были рассмотрены два случая, в зависимости от коэффициента ортотропии µ.
Случай, когда µ > 0, µ = 0 – случай так называемой приведенной ортотропии
и изотропии. В качестве примера приведем полученные в результате применения
теории вычетов значения интегралов (8) для случая, когда µ > 0:
1
π
∞∫
0
cos(ξx) dξ
[(ξ2 + η2)2 − b(ξ2 − η2)2]
= −
√
1− b
η38
√
b
((
1−
√
b
)
e
−xη 1+
√
b√
1−b −
(
1 +
√
b
)
e
−xη 1−
√
b√
1−b
)
;
1
π
∞∫
0
ξ2 cos(ξx) dξ
(ξ2 + η2)2 − b (ξ2 − η2)2
=
√
1− b
η8
√
b
((
1 +
√
b
)
e
−xη 1+
√
b√
1−b −
(
1−
√
b
)
e
−xη 1−
√
b√
1−b
)
.
(9)
Подставим полученные интегралы (9) в (7), тогда получим после упрощений
окончательные выражения
T (0)
x,y (r, ϕ) = −Ehk2µ0(1− µ)
4π2
(
κ
κ3
)
a
Im
∞∑
n=0
εn cos(2nϕ)× (10)
×
∞∑
m=0
tmn
m!
Gn,n+m(ζ
√
i) + Ix,y
Ix,y = ∓Eh(1− µ)
(
1− b2
)√
1− b2µ0
8bπ2κa
[(
α
(1)
t κ2 (1 + b)− α
(2)
t (1− b)
(1− b)
)
×
58
Методика построения фундаментального решения при сосредоточенном тепловом нагреве
× cos 2ϕ∓ b
r2 (1∓ b cos 2ϕ)2
∓
(
α
(2)
t (1 + b)− α
(1)
t κ2 (1− b)
(1 + b)
)
cos 2ϕ± b
r2 (1± b cos 2ϕ)2
]
.
Для моментов при "изгибном" тепловом нагреве использована та же методика
M (1)
x,y = −Eµ1 (1 + v)2 (α(1)
t κ2 + α
(2)
t )
4π2R2
2
(
κ
κ3
)
k2
Im
∞∑
n=0
εn cos(2nϕ)× (11)
×
∞∑
m=0
m′
mn(λ)
m!
Gn,n+m(ζ
√
i) + Jx,y
Jx =
D(1− ν)µ1
4πchκa
((
α
(2)
t (2νµ + (1− ν))− 2α
(1)
t κ2 (1− µ)
)
− α
(1)
t κ2(1 + ν)
(c2 + d2)
)
×
×
c2 cos2 ϕ− (sinϕ− cosϕd)2
r2
(
(sinϕ− cosϕd)2 +2 cos2 ϕ
)2 +
c2 cos2 ϕ− (sinϕ + cosϕd)2
r2
(
(sinϕ + cosϕd)2 + c2 cos2 ϕ
)2
−
−D (1− ν) µ1
4πdhaκ
((
α
(2)
t (2νµ + (1− ν))− 2α
(1)
t κ2 (1− µ)
)
+
α
(1)
t κ2(1 + ν)
(c2 + d2)
)
×
×
c cosϕ(cos ϕd− sinϕ)
r2
(
(sinϕ− cosϕd)2 + c2 cos2 ϕ
)2 +
c cosϕ (sinϕ + cosϕd)
r2
(
(sinϕ + cosϕd)2 + c2 cos2 ϕ
)2
,
где
tmn(λ) =
π
2∫
0
m∑
l=0
(−1)l
(
m
l
)(
1 + λx2
2
(1 + 2γ cos 2θ)√
∆5
)l+n+1
(√
1− µ
a2
)l+n+1
×
×
(1∓ cos 2θ)
((
α
(1)
t κ2 + α
(2)
t
)
−
(
α
(1)
t κ2 − α
(2)
t
)
cos 2θ
)
cos(2nθ)
[1− 4µ̃(1 + ν) cos2 2θ]
dθ;
m′
mn(λ) =
π
2∫
0
m∑
l=0
(−1)l
(
m
l
) (
1 + λκ2
2
(1 + 2γ cos 2θ)√
∆5
)l+n+1
(√
1− µ
a2
)l+n+1
×
×
[
1 +
(1− ν)
(1 + ν)
(α(1)
t κ2 − α
(2)
t )
(α(1)
t κ2 + α
(2)
t )
cos 2θ
] (
1± (1−ν)
(1+ν) cos 2θ
)
[1 + µ̃(1− ν) cos2 2θ]
cos 2nθdθ
где
c =
√
a, ζ = kr, d =
√
µ(1− ν)
2
,
59
Н.В. Дергачева
∆5 =
[
1 + µ̃(1− ν) cos2 2θ
] [
1− µ̃(1 + ν) cos2 2θ
]
.
Таким образом, в статье получена фундаментальная матрица температурных
усилий и моментов при сосредоточенном тепловом нагреве. Полученное решение
можно использовать для исследования усилий и моментов при распределенном теп-
ловом воздействии, применяя формулу сверток. На основе полученных формул (10),
(11) для усилий и моментов T
(0)
x,y , M
(1)
x,y были проведены расчеты и исследовано вли-
яние геометрических параметров оболочки на поведение усилий и моментов по мере
удаления от точки приложения сосредоточенного теплового воздействия (рис.1). На
рисунке представлены результаты численных расчетов в виде графиков зависимости
усилий от r/h при ϕ = π/2.
Рис. 1. Усилие при "плоском" тепловом воздействии
Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод о том, что при расче-
те термоупругого состояния тонкостенных элементов конструкций, применив инте-
гральные преобразования Фурье, теорию расчета комплексных интегралов, можно
найти решение в аналитическом виде. На основе полученного решения можно не
только проводить численное исследование, но и использовать результаты для реше-
ний задач о распределенном тепловом воздействии.
1. Рыкалин Н.Н. Расчеты тепловых процессов при сварке. – М.: Машгиз., 1951. – 296с.
2. Лукасевич С. Локальные нагрузки в пластинах и оболочках. – М.: Мир, 1982. – 544с.
3. Ярема С.Я. Решение температурной задачи для пологой сферической оболочки в случае со-
средоточенного воздействия// Инст. машиновед. и автом. Научные записки. – 1964. – Вып.9.
– С.80-89.
60
Методика построения фундаментального решения при сосредоточенном тепловом нагреве
4. Шевченко В.П. К температурной задаче пологих оболочек // Тр. VII всесоюзн. конферен. по
теории оболочек и пластин. – 1970. – С.610-613.
5. Шевченко В.П., Дергачева Н.В. Фундаментальные решения уравнений термоупругого равно-
весия пологих ортотропных оболочек // Механика твердого тела. – 2005. – Вып.35. – С.160-166.
6. Шевченко В.П. Методы фундаментальных решений в теории ортотропных оболочек // Кон-
центрация напряжений. – К.: А.С.К., 1998 – С.205-207. (Механика композитов: В 12т.; т.7).
7. Шевченко В.П.Фундаментальное решение температурной задачи для ортотропных оболочек
// Прикл. механика. – 1977. – Вып.10. – С.59-66.
8. Подстригач Я.С., Ярема С.Я. Температурные напряжения в оболочках – Киев: Изд АН УРСР,
1961. – 212с.
9. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М.: Мир – 1967.
– 304с.
10. Шевченко В.П. Интегральные преобразования в теории пластин и оболочек: Учебное пособие.
– Донецк: ДонГУ, 1977. – 116с.
Донецкий национальный ун-т
nadegda.dergacheva@gmail.com
Получено 19.05.08
61
|