Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений
Рассматривается проблема устойчивости решений линейных: систем с постоянными коэффициентами и с запаздываниями. Сравниваются разные критерии устойчивости, эффективность их компьютерной реализации. Основное внимание уделяется критерию Михайлова, предложена его финитизация. Разработана и тестирована п...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123889 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений / З.Е. Филер, А.И. Музыченко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 189-199. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123889 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Филер, З.Е. Музыченко, А.И. 2017-09-12T18:04:43Z 2017-09-12T18:04:43Z 2009 Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений / З.Е. Филер, А.И. Музыченко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 189-199. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123889 517.91 Рассматривается проблема устойчивости решений линейных: систем с постоянными коэффициентами и с запаздываниями. Сравниваются разные критерии устойчивости, эффективность их компьютерной реализации. Основное внимание уделяется критерию Михайлова, предложена его финитизация. Разработана и тестирована программа определения устойчивости линейных систем; предусмотрена возможность визуализации на мониторе. Проблема определения устойчивости систем с периодической матрицей сводится к нахождению матрицы монодромии и использованию ее для сведения к критерию Михайлова, а также к непосредствен но му использованию принципа аргумента, ведущего к построению образа единичной окружности. Разработанные алгоритмы и программы могут быть применены для анализа математических моделей реальных инженерно-технических систем, а также в учебном процессе по теории дифференциальных уравнений, теоретической механике и системам автоматизированного управления. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений |
| spellingShingle |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений Филер, З.Е. Музыченко, А.И. |
| title_short |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений |
| title_full |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений |
| title_sort |
компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений |
| author |
Филер, З.Е. Музыченко, А.И. |
| author_facet |
Филер, З.Е. Музыченко, А.И. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Рассматривается проблема устойчивости решений линейных: систем с постоянными коэффициентами и с запаздываниями. Сравниваются разные критерии устойчивости, эффективность их компьютерной реализации. Основное внимание уделяется критерию Михайлова, предложена его финитизация. Разработана и тестирована программа определения устойчивости линейных систем; предусмотрена возможность визуализации на мониторе. Проблема определения устойчивости систем с периодической матрицей сводится к нахождению матрицы монодромии и использованию ее для сведения к критерию Михайлова, а также к непосредствен но му использованию принципа аргумента, ведущего к построению образа единичной окружности. Разработанные алгоритмы и программы могут быть применены для анализа математических моделей реальных инженерно-технических систем, а также в учебном процессе по теории дифференциальных уравнений, теоретической механике и системам автоматизированного управления.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123889 |
| citation_txt |
Компьютерная реализация критериев устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений / З.Е. Филер, А.И. Музыченко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 189-199. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT filerze kompʹûternaârealizaciâkriterievustoičivostilineinyhsistemdifferencialʹnyhuravnenii AT muzyčenkoai kompʹûternaârealizaciâkriterievustoičivostilineinyhsistemdifferencialʹnyhuravnenii |
| first_indexed |
2025-11-25T20:31:04Z |
| last_indexed |
2025-11-25T20:31:04Z |
| _version_ |
1850521419535876096 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 517.91
c©2009. З.Е. Филер, А.И. Музыченко
КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ КРИТЕРИЕВ
УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматривается проблема устойчивости решений линейных систем с постоянными коэффициен-
тами и с запаздываниями. Сравниваются разные критерии устойчивости, эффективность их ком-
пьютерной реализации. Основное внимание уделяется критерию Михайлова, предложена его фи-
нитизация. Разработана и тестирована программа определения устойчивости линейных систем;
предусмотрена возможность визуализации на мониторе. Проблема определения устойчивости си-
стем с периодической матрицей сводится к нахождению матрицы монодромии и использованию
ее для сведения к критерию Михайлова, а также к непосредственному использованию принципа
аргумента, ведущего к построению образа единичной окружности. Разработанные алгоритмы и
программы могут быть применены для анализа математических моделей реальных инженерно-
технических систем, а также в учебном процессе по теории дифференциальных уравнений, теоре-
тической механике и системам автоматизированного управления.
Впервые разработкой критериев устойчивости занимались Ш.Эрмит (1856) и
Э.Раус (1877), а позднее – А.Гурвиц (1895). В 1936 году советским ученым А.В.Ми-
хайловым были разработаны более эффективные критерии устойчивости. При ис-
следовании систем выше 4-го порядка пользоваться критериями Рауса и Гурви-
ца практически невозможно из-за необходимости проведения громоздких расчетов;
кроме того, именно нахождение характеристического полинома сложной системы
связано с трудоемкими выкладками.
Но с развитием вычислительной техники и появлением мощных компьютеров
становится актуальной идея алгоритмизации и последующей программной реализа-
ции критериев устойчивости, созданных в “докомпьютерную эру”.
1. Системы с постоянной матрицей коэффициентов. Одной из важней-
ших задач современного машиностроения является повышение эффективности и
надежности разных устройств и систем. Решение таких задач требует учета мно-
гих параметров системы. Реальные явления, как правило, описываются системой
нелинейных дифференциальных уравнений.
Рассматривая систему дифференциальных уравнений с начальными условиями,
которые обычно являются результатами измерений, проведенных с некоторой по-
грешностью, необходимо решить вопрос о влиянии малого изменения начальных
значений на искомое решение. Если окажется, что как угодно малые изменения
начальных данных могут сильно изменить результат, то решение, определяемое вы-
бранными неточными начальными данными, обычно не имеет прикладного значе-
ния и даже приближенно не может описывать изучаемое явление. Возникает во-
прос о нахождении условий, при выполнении которых достаточно малые изменения
начальных условий вызывают как угодно малые изменения решения. Вопросами
189
З.Е. Филер, А.И. Музыченко
нахождение таких условий занимается теория устойчивости [1, 2].
Для выяснения устойчивости решений нелинейных систем дифференциальных
уравнений приходится рассматривать системы первого приближения – линейные
системы. По теореме Ляпунова (т.е. ее нулевое решение асимптотически устойчиво),
если линейная система с постоянными коэффициентами асимптотически устойчива,
то и соответствующая нелинейная система тоже будет асимптотически устойчивой.
Если линейная система неустойчива, то и соответствующая нелинейная система –
неустойчива. Поэтому важным является вопрос об устойчивости линейных систем,
прежде всего, с постоянной матрицей коэффициентов.
Рассмотрим систему
dx
dt
= Ax, (1)
где A = [ajk] – постоянная (n × n)-матрица. Для ее асимптотической устойчивости
необходима и достаточна отрицательность действительных частей всех корней ха-
рактеристического уравнения. Для выяснения этого факта были разработаны кри-
терии устойчивости. Они делятся на две группы: алгебраические и геометрические
(частотные). К алгебраическим принадлежат критерии Гурвица, Рауса и др.; к гео-
метрическим – критерии Михайлова и Найквиста.
2. Критерий Рауса. Для характеристического уравнения системы
det (A− λE) = 0 или anλn + an−1λ
n−1 + . . . + a1λ + a0 = 0 (2)
составим таблицу Рауса:
Таблица
– c11 = an c21 = an−2 c31 = an−4 . . .
– c12 = an−1 c22 = an−3 c32 = an−5 . . .
r3 =
c11
c12
c13 = c21 − r3c22 c23 = c31 − r3c32 c33 = c41 − r3c42 . . .
r4 =
c12
c13
c14 = c22 − r4c23 c24 = c32 − r4c33 c42 = c42 − r4c43 . . .
Правило составления таблицы легко увидеть по ее структуре. Любой из коэффи-
циентов таблицы Рауса cki при i ≥ 3 можно найти по формуле
cki = ck+1,i−2 − rick+1,i−1, где ri = c1,i−2/c1,i−1.
Количество строк таблицы Рауса равняется степени уравнения плюс единица,
т.е. (n + 1). Коэффициентам с отрицательными индексами отвечают нули [3, 4].
Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом.
Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты
первого столбца таблицы Рауса были положительными, т.е. c11 > 0; c12 > 0; . . . ;
c1,n+1 > 0.
Рассмотренный выше критерий реализован в виде программы с использованием
пакета для символьных расчетов Maple. Результатом работы программы являет-
ся вывод об устойчивости системы. В программе существуют два варианта ввода
данных: введением элементов матрицы системы или путем задания коэффициентов
характеристического уравнения. Соответствующие примеры приведены далее.
190
Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений
3. Критерий Михайлова. Подставим λ = iω в левую часть уравнения (2),
получим характеристический полином в комплексном виде f(iω) = u(ω)+ iv(ω). Ве-
личина f(iω) при фиксированном значении ω изображается вектором на комплекс-
ной плоскости uOv. Когда ω изменяется от 0 до +∞, конец этого вектора описывает
кривую, которая называется годографом Михайлова.
–120
–100
–80
–60
–40
–20
0
v
–20 –10 10 20 30
u
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
v
1 2 3 4
u
a б
Рис. 1. Нефинитизированный и финитизированный годографы.
Критерий формулируется так: для асимптотической устойчивости автономной
системы необходимо и достаточно, чтобы вектор f(iω) при изменении ω от 0 до +∞
повернулся против движения часовой стрелки вокруг начала координат на угол ϕ =
n
π
2
. Для этого критерия также разработана программа с использованием Maple.
Результаты работы этой программы для устойчивого уравнения y(4) +4 y′′′+10 y′′+
12 y′ + 4 y = 0 показаны на рис.1, где указанный угол равен 2π.
В программе подсчитывается угол поворота ϕ годографа при изменении ω от 0 до
+∞. Но для сужения интервала, на котором ведутся подсчеты, применяется метод
финитизации: замена в характеристическом полиноме величины ω на
t
1− t
и умно-
жение его на (1− t)n. При этом интервал сужается к промежутку [0; 1]. Такая заме-
на сохраняет угол поворота годографа, так как сохраняется направление радиуса-
вектора. Введение данных в программу происходит интерактивно, путем задания
элементов матрицы или коэффициентов полинома. Результатом работы программы
является сообщение “система асимптотично устойчива” или “система неустойчива”,
а также, при желании, финитизированный годограф рис.1б. На рис.1a построена
лишь часть нефинитного годографа для ω от 0 до 3.
Для характеристического уравнения системы (1) det (A− iωE) = 0 финитизация
приводит к уравнению det (A(1− t)− itE) = 0. Задавая t значения kh, где h =
1
3n
,
можно получить финитный годограф. Однако более быстродействующим является
получение многочлена f(iω) развертыванием определителя с последующей описан-
ной заменой.
191
З.Е. Филер, А.И. Музыченко
Рис. 2. Фрагмент диалогового окна программы для рассмотренного уравнения.
Как пример, рассмотрим систему с матрицей
A =
−0.8183 0.0723 0.2198 −0.2003 −0.0098 −0.0333 −0.3444
−0.5327 −1.6015 1.1043 −1.0274 −0.0911 −0.2988 −0.2394
0.1683 −0.8121 0.1486 −0.9189 −0.3997 0.2346 −1.0387
−0.4600 0.4300 −0.3688 −0.0618 0.2246 −0.0146 1.1847
−0.8985 0.8437 −0.5467 1.4973 −0.0009 −0.3968 1.9794
2.0013 −0.6174 0.2290 −1.1212 −1.0859 0.0038 −3.3594
1.2994 −0.5118 0.3071 −1.1031 −0.7925 0.5406 −3.2696
.
Ее характеристическим многочленом является f(λ) = λ7+5.59981λ6+ +13.84331λ5+
19.46408λ4 + 16.73773λ3 + 8.7688λ2 + 2.57951λ + 0.32499. Финитизация годографа
f(iω) дает рис. 3.
4. Дифференциальные уравнения со звеньями запаздывания. Уравне-
ния вида
y(n)(t) = f(y(t), y(t− τ0), y′(t), y′(t− τ1), . . . , y(n−1)(t), y(n−1)(t− τn−1)) (3)
находят свое применение в теории автоматического управления, в теории автоколе-
бательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигате-
192
Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
v
–0.3 –0.2 –0.1 0.1 0.2 0.3
u
Рис. 3. Финитизированный годограф для рассмотренного уравнения.
ле, и т.п. Такие уравнения появляются, например, каждый раз, когда в рассматрива-
емой физической или технической задаче сила, которая действует на материальную
точку, зависит от скорости или положения этой точки не только в данный момент,
но и в некоторый момент, который предшествует данному. Наличие запаздывания в
изучаемой системе, как правило, является причиной явлений, которые существенно
влияют на ход процесса. Например, в системах автоматического управления запаз-
дыванием является промежуток времени, принципиально всегда присутствующий,
который необходим системе для реагирования на входной импульс [5]. Технологиче-
ские и конструктивные усовершенствования нуждаются в учете явлений последей-
ствия и в технике, в частности, авиастроении. Например, для современного самоле-
та приблизительно десятиметровая всасывающая труба по отношению ко времени
всасывания оказывается длинной линией, и для описания процесса впрыскивания
топлива приходится применять уравнение со звеньями запаздывания.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
yn +
n∑
k=1
[an−ky
n−k(t) +
mk∑
j=1
(bn−k,jy
n−k(t− τn−k,j))] = 0.
Поиск его решения в виде y(t) = exp (λt) приводит к характеристическому уравне-
нию (τn−k,j – постоянное запаздывание):
f(λ) ≡ λn +
∑
k
λn−k(an−k +
∑
j
bn−k,j exp−λτn−k,j ) = 0. (4)
Для трансцендентного уравнения (4) алгебраические критерии не удается мо-
дернизировать. Между тем, геометрический критерий Михайлова, который по ве-
193
З.Е. Филер, А.И. Музыченко
личине угла ϕ поворота радиуса-вектора годографа функции f(iω) при изменении
ω на полуоси [0;+∞) дает вывод об устойчивости решений соответствующего диф-
ференциального уравнения (без запаздывания), удается применить и к уравнениям
с запаздываниями. С помощью теоремы о независимости изменения аргумента при
движении вдоль кривой – части замкнутого контура, в области которого нет корней
(принцип аргумента из теории функций комплексной переменной), при выборе кон-
тура с диаметром на оси ординат полуокружности с центром в точке О и полукругом
в правой полуплоскости, показываем, что в случае асимптотической устойчивости
(когда нет корней в этом полукруге при большом его радиусе), описанный угол ϕ
поворота годографа должен равняться nπ/2.
Учитывая, что по формуле Эйлера eix = cosx + i sinx, под знаками синуса и
косинуса будем иметь аргумент τz/(1 − z), который неограниченно возрастает при
z → 1. Можно предложить, установив устойчивость системы с коэффициентами
ak +
∑
bk,j , отойти от 1 на такое малое ε, которое показывает близость числа m =
2ϕ/π к n, и устанавливать угол поворота годографа квазиполинома f1(z) на отрезке
[0; 1− ε].
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.5 1 1.5 2 2.5 3
–0.15
–0.1
–0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
a) запаздывание незначительное: б) запаздывание значительное:
τ = 0.5 (устойчивость); τ = 1.5 (неустойчивость)
Рис. 4. Годограф уравнения с запаздыванием.
Если нет необходимости визуализации описанного поворота, можно найти угол
ϕ как конечное значение ϕ(1) решения задачи Коши для уравнения ϕ′ = (v′ cosϕ−
u′ sinϕ)/(u2 + v2)1/2, ϕ(0) = 0. Если 2ϕ(1)/π = n, то уравнение устойчиво асимп-
тотически. Задачу Коши можно решать численно; нет необходимости ее решать с
высокой точностью, учитывая что m = 2ϕ(1)/π должно быть целым числом. Если
погрешность расчета меньше 0,5, то можно сделать правильный вывод об устойчи-
вости системы даже при приближенном значении m, что и реализовано в созданной
программе. Для решения задачи Коши можно использовать как метод Эйлера, так
и более точный – метод типа Рунге–Кутта, что сократит количество шагов и, следо-
вательно, время расчета. Ввод данных в программу происходит интерактивно (рис.
2), путем задания значений коэффициентов ak, bkj и параметров запаздывания τkj .
194
Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений
Влияние величины запаздывания на асимптотическую устойчивость проиллюстри-
ровано на рис. 4 на примере дифференциального уравнения
3y(4)(x) + y′′′(x) + y′′′(x− τ) + 9y′′(x) + 2y′(x) + 2y(x) = 0.
Если в уравнении (3) считать y(t) и f векторами-функциями, то все выше полу-
ченные результаты можно обобщить и на системы дифференциальных уравнений с
параметрами запаздывания, записанные в векторной форме.
Для систем с одним запаздыванием можно построить характеристический ква-
зиполином вида det (A0 − λE) + bikAik exp (−τλ), где A0 – матрица, не содержащая
члена с запаздыванием, Aik(λ) – алгебраическое дополнение элемента aik. В отличие
от одного уравнения высшего порядка, имеющего члены с запаздываниями, для си-
стемы, содержащей элементы с запаздыванием, “дрожания” годографа как на рис.
4, имеют форму не зигзагов с уменьшающейся амплитудой, а спиралей, накручива-
ющихся на конечную точку. Ситуация для системы с матрицей
A0 =
−1.363025962 0.627484330 0.523097582 −1.344315130
0.323634735 −1.747806625 −0.533661593 1.804118173
0.219337511 0.142703670 −2.700268577 2.276096686
0.220232766 0.236347359 0.413607878 −3.188898836
и элементами с запаздываниями b23 = 1, τ23 = 0.3, b44 = 5, τ44 = 0.3 изображена
на рис.5: слева показан финитизированый годограф системы, а справа – концевая
зона (при t → 1) в увеличенном масштабе.
2
4
6
8
v
10 20 30 40
u
u
–0.3
–0.2
–0.1
0
0.8 0.9 1 1.1
Рис. 5.
5. Системы с периодической матрицей. Анализ устойчивости неавтономных
систем вида
dyi
dt
= Φi(t, y1, y2, . . . , yn), i = 1, 2, . . . , n
в некоторых случаях сводится к анализу устойчивости линейных систем с перио-
дической матрицей. Когда известна матрица монодромии, или ее можно построить,
195
З.Е. Филер, А.И. Музыченко
выяснение устойчивости системы можно свести к использованию рассмотренного
выше критерия Михайлова.
Рассмотрим сперва линейную систему
dx/dt = A(t)x (5)
с непрерывной на (−∞; +∞) периодической матрицей A(t): A(t + T ) ≡ A(t),
T > 0. Если X(t) – нормированная фундаментальная матрица решений системы
(5), то на основе тождества Ẋ(t) ≡ A(t)X(t), X(0) = E, имеем X(t + T ) ≡ X(t)B.
Матрица B называется матрицей монодромии системы.
Для асимптотической устойчивости периодической системы (5) необходимо
и достаточно, чтобы все собственные значения ρ матрицы монодромии B лежали
внутри единичного круга |ρ| < 1 [3].
Для исследования периодических систем на устойчивость выведем условие, ко-
торое обеспечивает принадлежность корней характеристического полинома
f(ρ) ≡ det [B − ρE] (6)
единичному кругу |ρ| < 1. Нетрудно проверить, что дробно-линейное преобразова-
ние ρ = (λ + 1)/(λ − 1) переводит единичный круг |ρ| < 1 плоскости комплексного
переменного ρ = α+iβ в левую полуплоскость Reλ < 0 плоскости λ. Использовав та-
кое преобразование, мы можем применять критерии устойчивости. Таким образом,
уравнение (6) заменяется следующим уравнением: det [B − (λ + 1)/(λ− 1)E], или
(λ− 1)n det [B − (λ + 1)/(λ− 1)E] = 0 ⇒ det [B(λ− 1)− (λ + 1)E] = 0.
Используя критерий Михайлова, подставим в левую часть λ = iω, получим ха-
рактеристическое уравнение в комплексном виде:
f(iω) = det [B(−1 + iω)− (1 + iω)E] = 0.
Величина f(iω) при фиксированном значении ω также изображается на ком-
плексной плоскости uOv вектором. Когда ω изменяются от 0 до +∞, то конец этого
вектора описывает кривую – годограф Михайлова. Напомним, что критерий форму-
лируется так: для асимптотической устойчивости автономной системы необходимо
и достаточно, чтобы вектор f(iω) при изменении ω от 0 до +∞ повернулся против
движения часовой стрелки вокруг начала координат на угол ϕ = nπ/2.
Для сужения интервала, на котором ведутся подсчеты, также применяется метод
финитизации: замена в характеристическом полиноме ω на z/(1− z) с умножением
его на (1− z)n. При этом интервал суживается к промежутку [0; 1):
(1− z)n det [B(−1 + i
z
1− z
)− (1 + i
z
1− z
)E] = 0 ⇒
⇒ det [(B + E)(z − 1) + iz(B −E)] = 0.
Такая замена сохраняет угол поворота годографа, так как сохраняется направ-
ление радиуса-вектора. Для случая систем с периодической матрицей составлена
196
Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений
аналогичная программа с использованием математического пакета Maple. Програм-
ма предоставляет возможность выяснения вопроса устойчивости системы в случае,
когда общий период элементов матрицы A(t) известен.
Возможен и другой подход для исследования устойчивости с помощью числен-
ного отыскания матрицы монодромии по ее определению. Для ее нахождения ис-
пользуется численное интегрирование задачи Коши на отрезке длиной в период.
Возможно использование метода Эйлера.
Поделим отрезок [0;T ] на N частей длинною h = T/N . Обозначим
Xk = X(tk), tk = kh, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Используем формулу
Xk+1 = Xk+ +hA(tk)X(tk), X0 = X(0) = E. Очевидно
Xk+1 = (E + hAk)Xk, X0 = E. (7)
Тогда B = XN .
Если использовать более точный метод Рунге–Кутта
Xj+1 = Xj + h/6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4),
K1 = AjXj ; K2 = Aj + 1/2(Xj + h/2K1);
K3 = Aj + 1/2(Xj + h/2K2); K4 = Aj+1(Xj + h/2K3),
где Aj+1/2 = (tj+h/2), то возможно взять значительно больший шаг h, что сокращает
время расчета. Так, для матрицы A
−0.903 −0.288 0.262 0.069 −0.265 −0.219 0.089
0.393 −0.885 −0.075 + 5 cos (t) 0.078 0.132 −0.185 −0.184
−0.158 0.309 −0.632 0.061 0.020 −0.003 −0.141
0.003 0.018 0.078 −0.877 −0.114 −0.084 −0.107
0.136 −0.174 0.241 0.064 −0.719 0.241 0.144
0.283 0.156 0.009 0.112 −0.204 −0.755 0.069
−0.067 0.133 −0.076 0.082 −0.218 0.129 −0.825
матрица монодромии B
B =
−0.0045 0.0112 0.0484 0.0003 0.0075 −0.0051 −0.0099
0.0105 −0.0774 −0.306 −0.0133 −0.0067 0.0093 0.0436
0.0043 −0.0261 −0.103 −0.0041 −0.0029 0.0039 0.0148
−0.0018 −0.0021 −0.0049 0.0013 0.0044 −0.0017 −0.0028
0.0031 0.0086 0.0367 0.0064 −0.0018 −0.0001 −0.0039
0.0008 −0.0142 −0.0637 −0.0044 −0.0129 −0.0046 0.0063
0.0006 −0.0171 −0.0825 −0.0052 −0.0150 −0.0011 0.0151
методом Эйлера вычислялась около 1.6 с; почти столько же она отыскивалась мето-
дом Рунге-Кутта при количестве шагов N вчетверо меньше, но при этом точность
примерно в семь раз выше.
197
З.Е. Филер, А.И. Музыченко
Можно предложить другой метод установления устойчивости с помощью непо-
средственного применения принципа аргумента для функции
f(ρ) = det (B − ρE). Если при обходе по окружности единичного радиуса ρ =
exp(iα) при изменении α от 0 до 2π величина arg f(ρ) изменится на 2πn, то система
с матрицей монодромии B устойчива асимптотически (так как все корни уравнения
(6) лежат в единичном круге). Геометрически кривая F (α) = f(exp (iα)) при этом
сделает n оборотов. Эту кривую можно также рассматривать как годограф систе-
мы (5). Для ранее рассмотренной матрицы A(t), соответствующий годограф F (α)
показан на рис. 6.
Построение этого годографа не является обязательным, мы его приводим с целью
наглядности.
–1
–0.5
0
0.5
1
–1 –0.5 0.5 1
–1
–0.5
0
0.5
1
–1
–0.5
0
0.5
1
0
2
4
6
a б
Рис. 6. Годограф системы A(t).
На рис.6,а изображен плоский годограф; на рис.6,б – его пространственный ва-
риант, когда координата z пропорциональна углу поворота α. Здесь четче видно
количество оборотов годографа. Начало годографа на рисунке слева изображено
сплошной линией, его продолжение – пунктиром, далее – штрих-пунктиром.
Выводы. 1. Рассмотрены системы с постоянной матрицей, системы с постоянной
матрицей и постоянными запаздываниями, системы с периодической матрицей.
2. Для каждого случая рассмотрены алгоритмы применения критериев устой-
чивости и их компьютерная реализация с использованием математического пакета
Maple.
3. Предложен метод финитизации, позволяющий более эффективно применять
критерий Михайлова.
4. Установлено что, класические методы не позполяют исследовать системы с
запаздыванием, а критерий Михайлова и его финитизация решает вопрос об устой-
чивости для таких систем полностью.
5. Предложено сведение вопроса об устойчивости для уравнений высших поряд-
198
Устойчивость линейных систем дифференциальных уравнений
ков к интегрированию задачи Коши для уравнения 1-го порядка. При этом нет
необходимости достигать высокой точности и сохранять решение в промежуточных
точках.
6. Матрица монодромии для систем с периодическими коэффициентами опреде-
ляется численными методами типа Эйлера и Рунге-Кутта. Количество собственных
чисел этой матрицы, лежащих в единичном круге, определяется углом поворота
радиуса-вектора специального конечного годографа, дающего наглядное представ-
ление об устойчивости. Если он совершает n оборотов при изменении аргумента ρ
вдоль единичной окружности, то система асимптотически устойчива. Кроме плос-
кого годографа предлагается для наглядности и его пространтсвенная форма.
7. Полученные результаты и методы могут быть использованы для анализа устой-
чивости реальных сложных систем. Программы могут быть полезными в учебном
процессе ВТУЗов и физико-математических факультетов университетов при изуче-
нии дифференциальных уравнений, электротехнических дисциплин и курсов, свя-
занных с системами автоматического управления.
1. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 224с.
2. Василенко М.В., Алексейчук О.М. Теория колебаний и устойчивости движения: Учебник. – К:
Высшая школа, 2004. – 525с.
3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472с.
4. Теория автоматического управления / Под ред. А.В. Нетушила. – Изд-ие 2. – М.: Высшая
школа, 1976. – 400с.
5. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняю-
щимся аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296с.
Гос. педагог. ун-т им.В.Винниченко, Кировоград;
Гос. летная академия Украины, Кировоград
filier@rambler.ru
Получено 19.11.08
199
|