Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123905 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 110-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123905 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ковтонюк, Д.А. 2017-09-13T09:35:03Z 2017-09-13T09:35:03Z 2009 Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 110-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123905 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов |
| spellingShingle |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов Ковтонюк, Д.А. |
| title_short |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов |
| title_full |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов |
| title_fullStr |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов |
| title_full_unstemmed |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов |
| title_sort |
абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, q)-гомеоморфизмов |
| author |
Ковтонюк, Д.А. |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123905 |
| citation_txt |
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (a, Q)-гомеоморфизмов / Д.А. Ковтонюк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 110-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda absolûtnaânepreryvnostʹnaliniâhgiperaqgomeomorfizmov |
| first_indexed |
2025-11-26T20:21:32Z |
| last_indexed |
2025-11-26T20:21:32Z |
| _version_ |
1850773193105604608 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 517.5
c©2009. Д.А. Ковтонюк
АБСОЛЮТНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ НА ЛИНИЯХ
ГИПЕР (α,Q)-ГОМЕОМОРФИЗМОВ
В работе показано, что если гомеоморфизм f области D ⊂ Rn, n > 2, является гипер (α, Q)-
гомеоморфизмом с α > n − 1 и Q ∈ L1
loc, то f ∈ ACL. Как следствие, такой гомеоморфизм имеет
п.в. частные производные и аппроксимативный дифференциал.
Введение. Статья восполняет имеющийся пробел в развитии метода модулей се-
мейств поверхностей, который мало использовался даже в рамках квазиконформной
теории ввиду его сложности, см., напр., [17] и [18]. Недавно, см., напр., [6] и [8] было
показано, что так называемые отображения с конечным искажением площади в Rn,
n > 2, удовлетворяют аналогу известного модульного неравенства Полецкого для
гиперповерхностей, т.е. поверхностей размерности n− 1. Поэтому возникла необхо-
димость изучать классы гипер Q(x)-гомеоморфизмов, выделяемых этим модульным
неравенством. Для сравнения, имея ввиду важную роль модульной техники в совре-
менных классах отображений, профессор Олли Мартио предложил к исследованию
следующий класс отображений, см., напр. [9] и [2].
Пусть D – область в Rn, n > 2, и Q : D → [1,∞] – измеримая по Лебегу функция.
Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) 6
∫
D
Q(x) · %n(x) dm(x)
для любого семейства Γ путей γ в D и для каждой допустимой функции % ∈ admΓ.
Здесь m обозначает меру Лебега в Rn. Теория Q-гомеоморфизмов естественным
образом связана с теорией модулей с весом, см., напр., [15].
Напомним, что борелева функция % : Rn → [0,∞] называется допустимой для
Γ, пишем % ∈ admΓ, если ∫
γ
% ds > 1
для всех путей γ ∈ Γ. α-Модуль семейства Γ есть величина
Mα(Γ) = inf
%∈adm Γ
∫
D
%α(x) dm(x) .
В случае α = n модуль Mn(Γ) является конформным инвариантом и принято
обозначение M(Γ) = Mn(Γ).
Летом 2009 года на международной конференции в Киеве израильский матема-
тик А.Гольберг предложил к исследованию следующий класс отображений.
Пусть D – область в Rn, n > 2, и Q : D → [1,∞] – измеримая по Лебегу функция.
Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является (α,Q)-гомеоморфизмом размернос-
ти k, 1 6 k 6 n, если
110
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (α, Q)-гомеоморфизмов
Mα(fΣk) 6
∫
D
Q(x) · %α(x) dm(x)
для любого семейства Σk k-мерных поверхностей S в D и любой допустимой функ-
ции %.
Напомним, что борелева функция % : Rn → [0,∞] является допустимой для Σk,
если ∫
S
%k dA > 1
для всех S ∈ Σ, где dA отвечает мере площади на поверхности S. α-Модуль семей-
ства Σk есть величина
Mα(Σk) = inf
%∈adm Σk
∫
D
%α(x) dm(x) .
Заметим, что при α = n определение (α,Q)-гомеоморфизма совпадает с опреде-
лением гипер Q-гомеоморфизма, введенным в работе [5].
Будем говорить, что гомеоморфизм f : D → Rn является гипер (α, Q)-гомеомор-
физмом, если
Mα(fΣ) 6
∫
D
Q(x) · %α(x) dm(x)
для любого семейства Σ (n − 1)-мерных поверхностей S в D и любой допустимой
функции %. Борелева функция % : Rn → [0,∞] является допустимой для Σ, если∫
S
%n−1 dA > 1
для всех S ∈ Σ, где dA отвечает мере площади на поверхности S.
В случае α = n модуль Mn(Σk) является конформным инвариантом и принято
обозначение M(Σk) = Mn(Σk).
В работах [13] и [4] доказана абсолютная непрерывность на линиях Q-гомео-
морфизмов и гипер Q-гомеоморфизмов с локально интегрируемой функцией Q. В
работе [14] доказана абсолютная непрерывность на линиях (α,Q)-гомеоморфизмов
в размерности k = 1 при условии локальной суммируемости функции Q и α > n−1.
В данной статье мы докажем абсолютную непрерывность на линиях гипер (α, Q)-
гомеоморфизмов при условии локальной суммируемости функции Q и α > n− 1.
1. Обобщенные производные и ACL−отображения. Рассмотрим два раз-
личных подхода к введению одного класса отображений в Rn. Первый подход связан
с понятием обобщенных производных в смысле С.Л.Соболева. Говорят, что веще-
ственная функция v в области D ⊂ Rn имеет компактный носитель, если v(x) ≡ 0
вне некоторого компакта C ⊂ D. Обозначим через C l(D), где l – натуральное число,
класс функций v : D → R l раз, непрерывно дифференцируемых в D, а через C l
0(D)
– подкласс функций в C l(D) с компактным носителем.
Если u ∈ C l(Rn), то известно, что
∫
D
(
u
∂lv
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
+ (−1)l+1v
∂lu
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
)
dx = 0 ,
111
Д.А. Ковтонюк
где α1 + . . .+αn = l, для всякой вещественной функции v ∈ C l
0(D). Если же о суще-
ствовании частных производных функции u, локально интегрируемой в D, ничего
не известно и существует функция ϕα1... αn , удовлетворяющая равенству
∫
D
(
u
∂lv
∂xα1
1 . . . ∂xαn
n
+ (−1)l+1vϕα1... αn
)
dx = 0
для всякой функции v ∈ C l
0(D), то функция ϕα1... αn называется обобщенной произ-
водной в смысле Соболева порядка l функции u в области D, которая также обозна-
чается как ∂lu
∂x
α1
1 ...∂xαn
n
.
Пусть f : D → Rn – произвольное отображение. Говорят, что f принадлежит
классу W 1,p, p > 1, если координатные функции f1, . . . , fn вектор-функции f име-
ют обобщенные производные в смысле Соболева, интегрируемые со степенью p в
области D.
Рассмотрим теперь второй подход к введению отображений класса W 1,p, чаще ис-
пользуемый в зарубежной литературе. Пусть I = {x ∈ Rn : ai < xi < bi, i = 1, . . . , n}
– открытый n-мерный интервал. Говорят, что отображение f : I → Rn принадлежит
классу ACL (или абсолютно непрерывно на линиях), если f абсолютно непрерывно
на почти всех линейных сегментах в I, параллельных координатным осям. Более
точно, пусть Pi(x) = x − xiei – ортогональная проекция. Тогда множество Ei всех
точек x ∈ Pi(I) таких, что отображение t → f(x + tei) не абсолютно непрерывно на
интервале (ai, bi) имеет mn−1(Ei) = 0 для всех i = 1, . . . , n.
Если D – область в Rn, то говорят, что отображение f : D → Rn принадлежит
классу ACL, когда сужение f |I принадлежит классу ACL для каждого интервала
I, I ⊂ D. Если D и D′ – области в Rn, то гомеоморфизм f : D → D′ принадлежит
классу ACL, когда сужение f |D\{∞,f−1(∞)} принадлежит классу ACL.
Известно, что если отображение f : D → Rn непрерывно в D и f ∈ ACL, то
частные производные отображения f существуют п.в. в D и являются борелевскими
функциями.
Говорят, что отображение f : D → Rn класса ACL принадлежит классу ACLp,
p > 1, если частные производные f интегрируемы в D со степенью p. Известно, см.,
напр., [7], что классы ACLp и W 1,p отображений f : D → Rn совпадают.
2. Абсолютная непрерывность на линиях гипер (α, Q)-гомеоморфизмов.
Теорема. Пусть D и D′ – области в Rn, n > 2, и пусть f : D → D′ – гипер
(α, Q)-гомеоморфизм c Q ∈ L1
loc(D), α > n− 1. Тогда f ∈ ACL.
Доказательство. Пусть I = {x ∈ Rn : ai < xi < bi, i = 1, . . . , n} – n-мерный
интервал в Rn такой, что I ⊂ D. Тогда I = I0 × J , где J = (an, bn), I0 = Pn(I),
Pn(x) = x − xnen – ортогональная проекция. Положим x′ = (x1, . . . , xn−1) ∈ Rn−1,
тогда x = (x′, xn) ∈ Rn. Необходимо доказать, что для почти всех x′ ∈ I0 отображе-
ние t → f(x′ + ten) абсолютно непрерывно по t ∈ (an, bn).
Действительно, пусть rl и ρl, l = 1, 2, . . . – какая-либо перенумерация всех пар
рациональных чисел таких, что an < rl < ρl < bn, и пусть
112
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (α, Q)-гомеоморфизмов
ϕl(x′) :=
ρl∫
rl
Q(x′, xn) dxn .
По теореме Фубини, см., напр., III.8.1 в [12], функция ϕl(x′) п.в. конечна и инте-
грируема по x′ ∈ I0 и, следовательно, по теореме Лебега о дифференцировании
неопределенного интеграла, см., напр., IV.6.3 в [12], получаем, что п.в.
lim
h→0
Φl(x′; h)
hn−1
= ϕl(x′) , (1)
где
Φl(x′; h) =
x1+h
2∫
x1−h
2
. . .
xn−1+h
2∫
xn−1−h
2
ϕl(y′) dm(y′) .
Заметим также, что по теореме о дифференцируемости неотрицательной субад-
дитивной функции множеств, см., напр., III.2.4 в [11], существует конечный предел
L(x′) := lim
h→0
|f I(x′; h)|
hn−1
(2)
для п.в. x′ ∈ I0, где
I(x′;h) = {(z′, zn) ∈ I : xi − h
2
< zi < xi +
h
2
, i = 1, . . . , n− 1, an < zn < bn} .
Здесь объем |f(B × J)| соответствует каждому борелевскому множеству B в I0.
Докажем, что отображение f абсолютно непрерывно на каждом интервале x′×J ,
x′ ∈ I0, где существуют конечные пределы (1) и (2). Для этого покажем, что для
всех таких x′ сумма
s∑
k=1
∣∣f(x′ + βken)− f(x′ + αken)
∣∣
стремится к нулю вместе с суммой
s∑
k=1
|βk − αk|, где (αk, βk), k = 1, 2, . . . , s – произ-
вольная система непересекающихся интервалов в J . В силу непрерывности отобра-
жения f на каждом из указанных интервалов x′×J достаточно доказать этот факт
только для рациональных αk и βk.
Выберем h > 0 такое, что ai < xi − h
2 < xi + h
2 < bi, i = 1, . . . , n − 1, и положим
для всех k = 1, 2, . . . , s
Ik = Ik(x′; h) = {(z′, zn) ∈ I : xi − h
2
< zi < xi +
h
2
, αk < zn < βk} .
Обозначим через Γk – семейство всех кривых, соединяющих грани zn = αk и zn = βk
в Ik. Пользуясь обобщенным неравенством Ренгеля, см. стр.70 в [3], получаем
M α
α+1−n
(fΓk) 6 mk
d
α
α+1−n
k
, (3)
113
Д.А. Ковтонюк
где dk = dk(h) – евклидово расстояние между образами граней zn = αk и zn = βk, а
mk = |fIk|. Заметим, что при h → 0 эти грани стягиваются в точки f(x′ + αken) и
f(x′ + βken), соответственно.
Кроме того, обозначим через Σk – семейство всех (n− 1)-мерных поверхностей,
отделяющих те же грани в Ik. Тогда функция
%k(x) =
{
1
h , x ∈ Ik ,
0, x ∈ Rn \ Ik
является допустимой для Σk. Следовательно, из определения гипер (α,Q)-гомео-
морфизма получаем
Mα(fΣk) 6 1
hα
∫
Ik
Q(x) dm(x) =
1
hα+1−n
· Φk(x′; h)
hn−1
. (4)
По формуле Циммера, см. [16], получаем
M α
α+1−n
(fΓk) =
1
M
n−1
α+1−n
α (fΣk)
,
и, таким образом, комбинируя (3) и (4), имеем
(
dα
k
mα+1−n
k
) 1
n−1
6 1
hα+1−n
· Φk(x′; h)
hn−1
. (5)
Далее, из дискретного неравенства Гельдера, см., напр., (17.3) в [1], с p = α
n−1 и
q = α
α+1−n , xk = dk
m
α+1−n
α
k
и yk = m
α+1−n
α
k , выводим, что
s∑
k=1
dk 6
s∑
k=1
dk
m
α+1−n
α
k
α
n−1
n−1
α
·
(
s∑
k=1
mk
)α+1−n
α
,
т.е. (
s∑
k=1
dk
)α
6 mα+1−n ·
s∑
k=1
(
dα
k
mα+1−n
k
) 1
n−1
n−1
,
где m = m(h) = |fI(x′; h)| и, учитывая (5), получаем
(
s∑
k=1
dk
)α
6
( m
hn−1
)α+1−n
(
s∑
k=1
Φk(x′;h)
hn−1
)n−1
.
Устремляя h → 0, имеем
{
s∑
k=1
∣∣f(x′ + βken)− f(x′ + αken)
∣∣
}α
6 Lα+1−n(x′)
(
s∑
k=1
ϕk(x′)
)n−1
6
114
Абсолютная непрерывность на линиях гипер (α, Q)-гомеоморфизмов
6 Lα+1−n(x′)
s∑
k=1
βk∫
αk
Q(x′, xn) dxn
n−1
,
и абсолютная непрерывность отображения f на интервале {x′}× J следует из абсо-
лютной непрерывности неопределенного интеграла Лебега от Q на том же интерва-
ле. ¤
Следствие. При условиях теоремы f имеет п.в. частные производные и ап-
проксимативный дифференциал.
1. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. – Москва: Наука, 1965.
2. Bishop C., Gutlyanskii V., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // IJMMS. –
2003. – 22. – P.1397-1420.
3. Caraman P. n−Dimensional Quasiconformal Mappings. – Tunbridge Wells, Kent: Abacus Press,
1974.
4. Ковтонюк Д. Абсолютная непрерывность на линиях гипер Q- гомеоморфизмов // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2007. – 15. – С.108-114.
5. Kovtonyuk D., Ryazanov V. To the theory of mappings with finite area distortion // Reports Dept.
Math Univ. Helsinki. – 2004. – 403. – P.1-11.
6. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On the theory of mappings with finite area distortion // J. Anal. Math.
– 2008. – 104. – P.291-306.
7. Maz’ya V. Sobolev classes. – Berlin-New York: Springer, 1985.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – Springer,
New York, 2008.
9. Мартио О., Рязанов В., Сребро У., Якубов Э. К теории Q−гомеоморфизмов // Доклады РАН.
– 2001. – 381, № 1. – C.20-22.
10. Полецкий Е.А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконформных отображений // Мат.
сборник. – 1970. – 83 (125), №2. – С.261-272.
11. Rado T., Reichelderfer P.V. Continuous transformations in analysis. – Berlin etc.: Springer, 1955.
12. Saks S. Theory of the Integral. – New York: Dover Publ. Inc., 1964.
13. Salimov R.R. ACL and differentiability of Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
Math. – 2008. – 33. – P.295-301.
14. Салимов Р.Р.Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость (α, Q)-гомеоморфиз-
мов при Q ∈ L1
loc // Укр. матем. журнал (подготовка к печати).
15. Тамразов П.М. Модули и экстремальные метрики в неориентированных и скрученных рима-
новых многообразиях // Укр. матем. ж. – 1998. – 50, №10. – С.1388-1398.
16. Ziemer W.P. Extremal length and conformal capacity // Trans. Amer. Math. Soc. – 1967. – 126,
no.3. – P.460-473.
17. Шабат Б.В. К теории квазиконформных отображений в пространстве // ДАН СССР. – 1960.
– 132, №5. – С.1045-1048.
18. Шабат Б.В. Метод модулей в пространстве // ДАН СССР. – 1960. – 130, №6. – С.1210-1213.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
denis kovtonyuk@bk.ru
Получено 16.11.09
115
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|