Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений
Получены новые теоремы о среднем значении для некоторых дифференциальных уравнений. Рассмотрены интегралы от решений с полиномиальным весом по всем сферам с двумя фиксированными радиусами....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2009 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123913 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 178-183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123913 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Очаковская, О.А. 2017-09-13T09:46:43Z 2017-09-13T09:46:43Z 2009 Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 178-183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123913 517.54 Получены новые теоремы о среднем значении для некоторых дифференциальных уравнений. Рассмотрены интегралы от решений с полиномиальным весом по всем сферам с двумя фиксированными радиусами. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений |
| spellingShingle |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений Очаковская, О.А. |
| title_short |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_full |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_sort |
теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений |
| author |
Очаковская, О.А. |
| author_facet |
Очаковская, О.А. |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| description |
Получены новые теоремы о среднем значении для некоторых дифференциальных уравнений. Рассмотрены интегралы от решений с полиномиальным весом по всем сферам с двумя фиксированными радиусами.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123913 |
| citation_txt |
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений / О.А. Очаковская // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 178-183. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT očakovskaâoa teoremyodvuhradiusahdlârešeniinekotoryhdifferencialʹnyhuravnenii |
| first_indexed |
2025-11-24T02:27:25Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:27:25Z |
| _version_ |
1850838128894410752 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 517.54
c©2009. О.А. Очаковская
ТЕОРЕМЫ О ДВУХ РАДИУСАХ ДЛЯ РЕШЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Получены новые теоремы о среднем значении для некоторых дифференциальных уравнений. Рас-
смотрены интегралы от решений с полиномиальным весом по всем сферам с двумя фиксирован-
ными радиусами.
Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство размерности n с
евклидовой нормой | · |, G – непустое открытое подмножество в Rn, ∂G – граница G.
Для непустых множеств A,B ⊂ Rn положим
dist(A,B) = inf{|x− y| : x ∈ A, y ∈ B}.
Для любого r > 0 обозначим Sr = {x ∈ Rn : |x| = r}. Пусть также µ(Sr) – площадь
сферы Sr и dω – поверхностная мера на Sr. Как обычно, ∆ =
n∑
j=1
∂2
∂x2
j
– оператор
Лапласа в Rn, Γ(·) – гамма-функция, Jν – функция Бесселя первого рода порядка
ν.
Классическая теорема Гаусса о среднем для гармонических функций утверждает,
что решение f уравнения Лапласа ∆f = 0 в G характеризуется следующим условием
f(x) =
1
µ(Sr)
∫
Sr
f(x + σ)dω(σ), (1)
которое предполагается выполненным для всех x ∈ G, 0 < r < dist(x, ∂G). Позже
Д.Дельсарт установил, что гармоничность на всем пространстве Rn является след-
ствием такого же условия, выполненного для всех сфер Sr ⊂ Rn, радиусы которых
могут принимать лишь два значения r1 и r2, таких, что
r1
r2
/∈
{
α
β
:
Jn/2(α)
αn/2
=
Jn/2(β)
βn/2
=
2−n/2
Γ(n/2 + 1)
, α, β > 0
}
(2)
(см., например, [1, глава 5]). Отметим, что до сих пор неизвестно, содержит ли мно-
жество в (2) числа, отличные от 1 (проблема Дельсарта). Теорема о двух радиусах
получила дальнейшее уточнение и развитие в ряде работ Л.Флатто, Л.Зальцмана,
К.А.Беренстейна, Д.Смита, Р.Гэя, А.Ижера, В.В.Волчкова, Вит. В.Волчкова (см.
[1]–[6] и библиографию к этим работам). Среди полученных результатов можно от-
метить локальные варианты теоремы о двух радиусах (см. [1], [5]), теоремы об одном
радиусе, а также аналоги на симметрических пространствах (см. [1], [5], [6]).
178
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений
В работе Л.Зальцмана [4] получен аналог теоремы о двух радиусах для решений
уравнения в частных производных вида
P
(
∂
∂x1
, ...,
∂
∂xn
)
f = 0, (3)
где P – однородный многочлен от n переменных с постоянными коэффициентами.
К таким уравнениям относятся, например, классические уравнения Лапласа, Гельм-
гольца и Даламбера. Соответствующее интегральное уравнение, которое является
аналогом (1), для данного случая имеет вид
∫
Br
f(x + y)dµr(y) = 0, (4)
где Br = {x ∈ Rn : |x| ≤ r} и dµr – мера с носителем в Br, зависящая от r и
уравнения (3). Аналогом множеств (2) в этих случаях являются множества отноше-
ний положительных корней некоторых целых функций, связанных с (3). Отметим,
что для некоторых уравнений вида (3) (например, для уравнений Гельмгольца и
Даламбера) аналоги множеств (2) содержат элементы, отличные от единицы.
Некоторые уточнения теоремы Л.Зальцмана для случая, когда многочлен P яв-
ляется гармоническим, получены В.В.Волчковым в [1, глава 5]. В этом случае ана-
логом условий (1), (4) является уравнение
∫
Sr
f(x + σ)P (σ)dw(σ) = 0 (5)
(см. [1, глава 5, теорема 5.5]).
В данной работе изучается уравнение (5) на всем пространстве Rn. Основной
результат работы обобщает и уточняет теорему Л.Зальцмана для гармонического
P в следующем направлении: вместо условия (5) рассматривается подобное уравне-
ние для двух функций f1 и f2 с r = r1, r2, соответственно, и при этом указываются
различные оценки разности f1 − f2, позволяющие сделать вывод, что f1 и f2 удо-
влетворяют уравнению (3).
1. Формулировки основных результатов. Перейдем к формулировкам ос-
новных результатов данной работы. Всюду в дальнейшем предполагается, что n ≥ 2
и r1, r2 > 0 фиксированы. Обозначим L1
loc(U) (соответственно L1(U)) множества всех
локально суммируемых (соответственно суммируемых) функций в области U ⊂ Rn.
Пусть также Ar(U) – множество всех функций f ∈ C(U), удовлетворяющих (5) для
всех x ∈ U таких, что сфера Sr содержится во множестве U−x = {y ∈ Rn : y+x ∈ U}.
Далее будем предполагать, что P – однородный гармонический многочлен n пере-
менных степени k с постоянными коэффициентами. Положим
Λn,k =
{
α
β
: Jn/2+k−1(α) = Jn/2+k−1(β) = 0, α, β > 0
}
.
179
О.А. Очаковская
Теорема 1. Пусть r1
r2
/∈ Λn,k, f ∈ Ar1(Rn), f2 ∈ Ar2(Rn). Пусть также суще-
ствует последовательность {Mq}∞q=1 положительных чисел такая, что
∞∑
m=1
(
inf
q≥m
M1/q
q
)−1
= +∞, (6)
и существует γ > 0 такое, что неравенство
∫
Rn−1
|f1(x)− f2(x)|(1 + |x1|+ ... + |xn−1|)qdx1...dxn−1 ≤ Mqe
γ|xn| (7)
выполнено при любом q ∈ N для всех xn ∈ R1. Тогда P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f1 =
P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f2 = 0 в смысле распределений.
Отметим, что условие (6) впервые возникло совсем по другому поводу в теории
квазианалитических классов функций (см., например, [7, разд. 1.3], [8, гл. 1]. Оцен-
ка (7) вместе с условием (6) требует достаточно быстрого убывания f1 − f2 вдоль
переменных x1, ..., xn−1.
Далее будет указана явная оценка для f1 − f2, из которой виден характер этого
убывания (см. теорему 3 ниже). Следующий результат показывает точность условий
теоремы 1.
Теорема 2. Для любых r1, r2, ε > 0 и любой последовательности {Mq}∞q=1 по-
ложительных чисел такой, что
∞∑
m=1
(
inf
q≥m
M1/q
q
)−1
< +∞,
существуют функции f1 ∈ Ar1(Rn)∩C∞(Rn) и f2 ∈ Ar2(Rn)∩C∞(Rn) такие, что∣∣∣P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f1
∣∣∣ +
∣∣∣P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f2
∣∣∣ 6= 0 и
∫
Rn−1
|f1(x)− f2(x)|(1 + |x1|+ ... + |xn−1|)qdx1...dxn−1 ≤ Mqe
ε|xn|
для всех q ∈ N и для всех xn ∈ Rn.
Одним из следствий теорем 1, 2 является
Теорема 3. Имеют место следующие утверждения.
1) Пусть r1
r2
/∈ Λn,k, f1 ∈ Ar1(Rn), f2 ∈ Ar2(Rn). Пусть также существует
возрастающая положительная функция κ ∈ C1[0, +∞) и постоянные c1, c2 > 0
такие, что ∫ ∞
1
dt
tκ(t)
= +∞, (8)
κ(t) = o
(
t
ln t
)
, t → +∞, (9)
180
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений
κ(t) = O
(
κ
(
t
κ(t)
))
, t → +∞, (10)
tκ′(t) = o(κ(t)), t → +∞, (11)
|f1(x)− f2(x)| ≤ c1 exp
(
− |x1|+ ... + |xn−1|
κ(|x1|+ ... + |xn−1|) + c2|xn|
)
(12)
при всех x ∈ Rn. Тогда P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f1 = P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f2 = 0 в смысле распре-
делений.
2) Для любых r1, r2, ε > 0 и любой возрастающей функции κ : [0, +∞) → (0,+∞)
такой, что ∫ ∞
1
dt
tκ(t)
< +∞ (13)
существуют функции f1 ∈ Ar1(Rn)∩C∞(Rn) и f2 ∈ Ar2(Rn)∩C∞(Rn), для которых∣∣∣P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f1
∣∣∣ +
∣∣∣P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f2
∣∣∣ 6= 0 и
|f1(x)− f2(x)| ≤ exp
(
− |x1|+ ... + |xn−1|
κ(|x1|+ ... + |xn−1|) + ε|xn|
)
для всех x ∈ Rn.
Условия (8)–(11) выполнены для многих медленно растущих функций κ. На-
пример, нетрудно видеть, что они выполнены для всякой положительной функции
κ ∈ C1[0,+∞), совпадающей при достаточно больших t с функцией
κm(t) = (ln t)(ln ln t)...(ln ln ... ln t︸ ︷︷ ︸
m
)
для некоторого m ∈ N. С другой стороны, если κ : [0,+∞) → (0,+∞) совпадает
при больших t с функцией
κm(t)(ln ln ... ln t︸ ︷︷ ︸
m
)1+δ
для некоторых m ∈ N, δ > 0, то выполнено условие 13.
Из второго утверждения теоремы 3 следует, что условия (8) и (12) в ее правом
утверждении являются неулучшаемыми. В то же время вопрос о необходимости
условий (9)–(11) остается открытым. Используя метод работы [9], можно показать,
что первое утверждение теоремы 3 останется верным, если (9)–(11) заменить един-
ственным условием
lim
t→+∞
κ(t)
κ(t/κ(t))
= 1,
и при этом вместо гладкости функции κ на [0, +∞) требуется только ее непре-
рывность. Таким образом, если несколько усилить условие (10), то можно убрать
условие (9) и (11). Кроме того, доказательство теоремы 2 в работе [9] показывает,
181
О.А. Очаковская
что первое утверждение теоремы 3 остается верным, если вместо условия (9) и (11)
потребовать выполнение равенства
lim
t→+∞
κ(αt)
κ(t)
= 1
при любом фиксированном α > 0.
2. Доказательство основных результатов. Для доказательства теоремы 1
нам потребуются следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть M1,M2, ... – последовательность положительных чисел и
пусть γ > 0. Обозначим A(γ, {Mq}∞q=1) – множество всех непрерывных функций
f : Rn → C таких, что
∫
Rn
|f(x1, ..., xn)|(1 + |x1|+ ...|xn−1|)qdx1...dxn−1 ≤ Mqe
γ|xn|
для всех q ∈ N и всех xn ∈ R1. Пусть f ∈ A(γ, {Mq}∞q=1). Тогда свертка f ∗ ϕ ∈
A(γ, {Mq(1 + (n− 1)R)q
∫
Rn |ϕ(x)|eγ|xn|dx}∞q=0) для любой ϕ ∈ L1(Rn) с носителем в
шаре BR.
Доказательство леммы 1 см. в [10, c.130].
Обозначим E ′(Rn) – множество всех распределений с компактным носителем в
Rn. Пусть также E ′∗(Rn) – множество радиальных распределений в E ′(Rn). Для рас-
пределения h ∈ E ′(Rn) символом ĥ обозначим его преобразование Фурье, то есть
ĥ(z1, ..., zn) = 〈h(x), e−i(z1x1+...,znxn)〉, (z1, ..., zn) ∈ Cn.
Лемма 2. Пусть r > 0 и распределение hr ∈ E ′(Rn) определяется формулой
〈hr, f〉 =
∫
Sr
P (σ)f(σ)dw(σ), где f ∈ C∞(Rn). (14)
Тогда существует ϕr ∈ E ′∗(Rn) с носителем в шаре Br такое, что
P
(
∂
∂x1
, ...,
∂
∂xn
)
ϕr = hr. (15)
Доказательство. Используя (14) и [1, формула (1.5.29)], получаем
ĥ(z1, ..., zn) = arP (z1, ..., zn)In/2+k−1
(
r
√
z2
1 + ... + z2
n
)
,
где In/2+k−1(z) = Jn/2+k−1(z)z1−k−n/2 и постоянная ar не зависит от z ∈ Cn. Это
означает, что при некоторой постоянной br распределение ϕr ∈ E ′∗(Rn), определенное
равенством
ϕ̂r(z1, ..., zn) = brIn/2+k−1
(
r
√
z2
1 + ... + z2
n
)
,
182
Теоремы о двух радиусах для решений некоторых дифференциальных уравнений
удовлетворяет (15). ¤
Перейдем к доказательству теоремы 1. Положим f = P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
(f1 − f2).
Из равенства (15) и условия теоремы 1 следует, что f ∗ ϕr2 ∗ ϕr1 = 0. Это означа-
ет, что при любой ϕ ∈ C∞(Rn) с компактным носителем f ∗ ϕr2 ∗ ϕ ∈ Ar1(Rn). Из
условий (6), (7) и леммы 1 вытекает, что f ∗ ϕr2 ∗ ϕ ∈ A(γ, {M ′
q}∞q=1) для некоторой
последовательности {M ′
q}∞q=1, удовлетворяющей (6) и зависящей от ϕ. Повторяя рас-
суждения из доказательства теоремы 1 в [1], отсюда заключаем, что f ∗ ϕr2 ∗ ϕ = 0
в Rn. Тогда из определения f следует, что f1 ∗ ϕ ∈ Ar1(Rn) ∩ Ar2(Rn). По теореме
Л.Зальцмана [4] P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
(f1 ∗ϕ) = 0, откуда в силу произвольности ϕ имеем
P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f1 = 0 в Rn в смысле распределений. Меняя в этом рассуждении r1
и r2, получаем аналогичное равенство для f2. Таким образом, теорема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. Сначала рассмотрим случай, когда r1
r2
∈ Λn,k. По
теореме Л.Зальцмана [4] существует f ∈ C∞(Rn), удовлетворяющая (5) при r = r1, r2
и всех x ∈ Rn, такое, что P
(
∂
∂x1
, ..., ∂
∂xn
)
f 6= 0. Полагая f1 = f2 = f , полу-
чим требуемое утверждение. Пусть теперь r1
r2
/∈ Λn,k. Повторяя рассуждения из
доказательства теоремы 2 в [11], получаем, что существует ненулевая функция
f1 ∈ Ar1(Rn)∩C∞(Rn), принадлежащая A(E , {Mq}∞q=1). Полагая f2 = 0, имеем утвер-
ждение теоремы 2 в полном объеме.
Для доказательства теоремы 3 достаточно повторить рассуждения из [10, стр.131-
132] и использовать теоремы 1 и 2.
1. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. Kluwer Academic Publishers. Dord-
recht/Boston/London. – 2003. – 454p.
2. Flatto L. The converse of Gauss theorem for harmonic functions // J.Different. Equat. – 1965. –
N1. – P.483-490.
3. Berenstein C.A., Zalcman L. Pompeiu’s problem on symmetric spaces // Comment. Math. Helv. –
1980. – V.55. – P.593-621.
4. Zalcman L. Mean values and differential equations // Israel J.Math. – 1973. – V.14. – P.339-352.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric
Spaces and the Heisenberg Group. – Springer-Verlag London Limited, 2009. – 671pp.
6. Волчков В. В. Теоремы о шаровых средних на симметрических пространствах // Матем. сб. –
2001. – Т.192. – № 9. – С.17-38.
7. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными:
В 4-х т. Т.1. – М.: Мир, 1986.
8. Бадалян Г. В. Квазистепенной ряд и квазианалитические классы функций. – М.: Наука, 1990.
9. Очаковская О.А. Свойства Лиувилля для функций с нулевыми интегралами по шарам фик-
сированного радиуса // Труды ИПММ НАН Украины. – 2008. – Т.16. – С.156-162.
10. Очаковская О.А. Теоремы о двух радиусах на неограниченных областях // Труды ИПММ
НАН Украины. – 2006. – Т.13. – С.126-133.
11. Очаковская О.А. Точные характеристики допустимой скорости убывания ненулевой функции
с нулевыми шаровыми средними // Матем. сб. – Т.199. – №1. – С.48-67.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ochakov@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 16.09.09
183
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|