Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью

На основании подхода Л.В. Докучаева обобщена задача о собственных совместных колебаниях плоского упругого дна кругового цилиндрического сосуда и идеальной жидкости со свободной поверхностью на случай, когда сосуд имеет произвольное поперечное сечение. Получено частотное уравнение и собственные формы...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автори:	Карнаух, А.Ю., Дидок, Н.К.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123933
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью / А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 102-108. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123933
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1239332025-02-23T19:03:55Z Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью Власні коливання пружного дна циліндричної посудини й рідини з вільною поверхнею Eigen oscillations of elastic bottom of a cylindrical vessel and liquid with a free surface Карнаух, А.Ю. Дидок, Н.К. На основании подхода Л.В. Докучаева обобщена задача о собственных совместных колебаниях плоского упругого дна кругового цилиндрического сосуда и идеальной жидкости со свободной поверхностью на случай, когда сосуд имеет произвольное поперечное сечение. Получено частотное уравнение и собственные формы совместных колебаний. С позиций функционального анализа эта задача была рассмотрена в известной монографии Н. Д. Копачевского, С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана, где была доказана ее разрешимость. На основі підходу Л.В. Докучаєва узагальнено задачу про власні сумісні коливання плоского пружного дна кругової циліндричної посудини та ідеальної рідини з вільною поверхнею на випадок, коли посудина має довільний поперечний перетин. Отримано частотне рівняння і власні форми сумісних коливань. З позицій функціонального аналізу цю задачу було розглянуто у відомій монографії М.Д. Копачевського, С.Г. Крейна і Нго Зуй Кана, де було доведено її розв'язність. On the basis of L.V. Dokuchayev’s approach the problem about joint eigen oscillations of flat elastic bottom of a circular cylindrical vessel and an ideal liquid with a free surface on a case when the vessel has arbitrary cross-section is generalized. The frequency equation and eigen forms of joint oscillations are received. This problem has been considered in known monography of N.D. Kopachevsky, S.G. Crein and Ngo Zyu Can from a functional analysis view, where its solubility has been proved. 2010 Article Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью / А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 102-108. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123933 533.6.013.42 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	На основании подхода Л.В. Докучаева обобщена задача о собственных совместных колебаниях плоского упругого дна кругового цилиндрического сосуда и идеальной жидкости со свободной поверхностью на случай, когда сосуд имеет произвольное поперечное сечение. Получено частотное уравнение и собственные формы совместных колебаний. С позиций функционального анализа эта задача была рассмотрена в известной монографии Н. Д. Копачевского, С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана, где была доказана ее разрешимость.
format	Article
author	Карнаух, А.Ю. Дидок, Н.К.
spellingShingle	Карнаух, А.Ю. Дидок, Н.К. Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Карнаух, А.Ю. Дидок, Н.К.
author_sort	Карнаух, А.Ю.
title	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью
title_short	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью
title_full	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью
title_fullStr	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью
title_full_unstemmed	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью
title_sort	собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123933
citation_txt	Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью / А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 102-108. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT karnauhaû sobstvennyekolebaniâuprugogodnacilindričeskogososudaižidkostisosvobodnojpoverhnostʹû AT didoknk sobstvennyekolebaniâuprugogodnacilindričeskogososudaižidkostisosvobodnojpoverhnostʹû AT karnauhaû vlasníkolivannâpružnogodnacilíndričnoíposudinijrídinizvílʹnoûpoverhneû AT didoknk vlasníkolivannâpružnogodnacilíndričnoíposudinijrídinizvílʹnoûpoverhneû AT karnauhaû eigenoscillationsofelasticbottomofacylindricalvesselandliquidwithafreesurface AT didoknk eigenoscillationsofelasticbottomofacylindricalvesselandliquidwithafreesurface
first_indexed	2025-11-24T15:01:45Z
last_indexed	2025-11-24T15:01:45Z
_version_	1849684400024846336
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20 УДК 533.6.013.42 c©2010. А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО ДНА ЦИЛИНДРИЧЕ- СКОГО СОСУДА И ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНО- СТЬЮ На основании подхода Л.В. Докучаева обобщена задача о собственных совместных колебаниях плоского упругого дна кругового цилиндрического сосуда и идеальной жидкости со свободной поверхностью на случай, когда сосуд имеет произвольное поперечное сечение. Получено частотное уравнение и собственные формы совместных колебаний. С позиций функционального анализа эта задача была рассмотрена в известной монографии Н.Д. Копачевского, С.Г. Крейна и Нго Зуй Кана, где была доказана ее разрешимость. Ключевые слова: гидроупругость, собственные колебания, жидкость, частотное уравнение, собственные формы. 1. Постановка задачи.Рассмотрим цилиндрический сосуд произвольного по- перечного сечения Ω с жесткой боковой поверхностью Σ и плоским упругим дном. Сосуд заполнен идеальной несжимаемой жидкостью плотности ρ. Упругое дно пред- ставляет собой изотропную пластинку, жестко защемленную по контуру γ, с изгиб- ной жесткостью D и растягивающим усилием T в серединной поверхности. Пред- полагается, что движение жидкости является безвихревым и происходит с огра- ниченными скоростями. Глубина заполнения сосуда равна h. Объем, заполненный жидкостью, обозначим через V . В линейной постановке рассмотрим задачу о совместных колебаниях упругого дна и жидкости, считая их безотрывными. Введем систему координат Oxyz так, чтобы плоскость Oxy находилась в плоскости невозмущенного дна, а ось Oz была направлена противоположно вектору ускорения силы тяжести ~g. Уравнения движения и граничные условия данной задачи гидроупругости имеют вид [2 – 4] k0 ∂2W2 ∂t2 + D∆2∆2W2 − T∆2W2 − ρgW2 = ρ ∂Φ ∂t ∣∣∣∣ z=0 − ρQ̃, (1) gW1 = − ( ∂Φ ∂t ∣∣∣∣ z=h + Q̃ + gh ) , (2) ∆Φ = 0, (3) ∂Φ ∂z ∣∣∣∣ z=h = ∂W1 ∂t , ∂Φ ∂z ∣∣∣∣ z=0 = ∂W2 ∂t , (4) ∫ Ω W1ds = ∫ Ω W2ds, (5) 102 Собственные формы совместных колебаний упругого дна и жидкости W2\|γ = 0, ∂W2 ∂~ν ∣∣∣∣ γ = 0, (6) ∂Φ ∂~ν ∣∣∣∣ Σ = 0, ∇Φ < ∞ в V, Wl < ∞, ∇Wl < ∞ (l = 1, 2). (7) Здесь ~ν – вектор нормали к Σ, Φ – потенциал скорости жидкости; ∆ и ∆2 – трехмерный и двухмерный операторы Лапласа; W1 – форма свободной поверхности жидкости; W2 – прогиб днища; k0 = ρ0δ0; ρ0 и δ0 – соответственно, плотность и толщина пластинки; Q̃ – произвольная функция времени. Представим функции Wl в виде суммы динамического и статического прогибов Wl(x, y, t) = W d l (x, y, t) + W st l (x, y), (8) где W st 1 ≡ 0, а W st 2 находится из решения следующей краевой задачи    D∆2∆2W st 2 − T∆2W st 2 − ρgW st 2 = −ρgh, W st 2 ∣∣ γ = 0, ∂W st 2 ∂~ν ∣∣∣∣ γ = 0. (9) В предположении достаточно большой жесткости днища, в работе [3] показана разрешимость задачи (1) – (7) и в операторной форме решена задача (9). В даль- нейшем будем предполагать, что указанные в [3] условия существования решения выполнены. 2. Вывод уравнений совместных колебаний днища и свободной поверх- ности.Общее решение уравнения (3), удовлетворяющее первым двум условиям (7), имеет вид Φ(x, y, z, t) = a0(t) + a1(t) z + ∑ n [ An(t)eknz + Bn(t)e−knz ] ψn(x, y), (10) где ψn(x, y) и kn – соответственно, собственные функции и собственные числа кра- евой задачи    ∆2ψ + kψ = 0 на Ω, ∂ψ ∂~ν ∣∣∣∣ γ = 0. (11) Задача (11) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма второго ро- да с симметричным ядром. Откуда вытекает существование счетного множества собственных чисел kn и соответствующих им собственных функций ψn. Функции ψn(x, y) вместе с константой образуют на Ω полную ортогональную систему функ- ций. Из граничных условий (4) с учетом представления (10) следует 103 А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок    a1 + ∑ n (Aneκn −Bne−κn) knψn(x, y) = Ẇ d 1 , a1 + ∑ n (An −Bn) knψn(x, y) = Ẇ d 2 . (12) Здесь κn = knh (n = 1, 2, ...). Введем обозначения Wl0(t) = 1 S ∫ Ω W d l ds, Wln(t) = 1 N2 n ∫ Ω W d l ψnds, N2 n = ∫ Ω ψ2 nds. (13) Умножая уравнения (12) на ψn(x, y) и интегрируя по области Ω с учетом орто- гональности функций ψn(x, y), получаем следующие равенства: a1 = Ẇ10 = Ẇ20, (14) Ȧneκn − Ḃne−κn = Ẅ1n kn , Ȧn − Ḃn = Ẅ2n kn . (15) Выполнив аналогичные преобразования в интеграле Коши-Лагранжа (2) и во втором соотношении из (4), получим Ȧneκn + Ḃne−κn = gW1n, Ȧn − Ḃn = Ẅ2n kn . (16) Из (2), (4) и (12) имеем Ẅ10 + ω2 0W10 = Q̃− ȧ0 h . Разрешив систему (16) относительно Ȧn и Ḃn, и подставив в первое из равенств (4), придем к системе уравнений Ẅ1n + ω2 nW1n = Ẅ2n coshκn . (17) Величины ω2 n = gkn tanhκn представляют собой собственные частоты колебаний жидкости в цилиндрическом сосуде с жестким дном; ω2 0 = g/h – собственная частота колебаний столба жидкости высоты h в сосуде с упругим дном. Подстановка найденных из соотношений (15) и (16) выражений для Ȧn и Ḃn в (2) и (1) приводит к системе уравнений для динамических прогибов    ρgW d 1 = −ρhẄ20 + ρ ∑ n Ẅ2n − Ẅ1n coshκn kn sinhκn ψn(x, y)− ρQ∗, k0 ∂2W d 2 ∂t2 + D∆2∆2W d 2 − T∆2W d 2 − ρgW d 2 = = ρ ∑ n Ẅ1n − Ẅ2n coshκn kn sinhκn ψn(x, y) + ρQ∗, (18) 104 Собственные формы совместных колебаний упругого дна и жидкости где Q∗ = ȧ0 − Q̃. Решение (18) будем искать в виде W d l = wl(x, y)eiωt, Q∗ = Qeiωt (l = 1, 2). (19) Функции w1(x, y) и w2(x, y) – собственные формы колебаний свободной поверх- ности и днища, соответственно, Q – константа, подлежащая определению. Введем обозначение wl0 = 1 S ∫ Ω wlds, wln(t) = 1 N2 n ∫ Ω wlψnds. (20) Из представления (19) и соотношений (17) следует выражение w1n = ω2 ω2 − ω2 n · w2n coshκn , (21) позволящее из системы (18) получить следующую краевую задачу для форм коле- баний: w1 = ω2 g ( hw20 + ∑ n gw2n (ω2 − gkn tanhκn) coshκn ψn + Q ) , (22) A [w2] = −ρω2 (∑ n ω2 tanhκn − gkn gkn tanhκn − ω2 · w2n kn ψn + Q ) , (23) w2 < ∞ на Ω, w2\|γ = 0, ∂w2 ∂~ν ∣∣∣∣ γ = 0, (24) ∫ Ω w1ds = ∫ Ω w2ds. (25) Здесь через A [w] обозначен следующий дифференциальный оператор: A [w2] = [ D∆2 2 − T∆2 − ( k0ω 2 + ρg )] w2. Решение задачи (23)-(24) представляется в виде линейной комбинации линейно независимых решений w0 2i однородного уравнения A [w2] = 0 и частного решения неоднородного уравнения (23) [1]. Отбросив два решения однородного уравнения, имеющие особенность на Ω, получим w2 = Aw0 21 + Bw0 22 + C + ∑ n Knψn. Неизвестные константы C и Kn определяются из неоднородного уравнения (23), и функция w2 имеет окончательный вид 105 А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок w2 = A ( w0 21 + ∑ n α̃2nψn ) + B ( w0 22 + ∑ n β̃2nψn ) + ρω2 q Q, (26) где q = k0ω 2 + ρg. Подставив найденное для w2 выражение (26) в уравнение (22), получим w1 = A ( a0 + ∑ n α∗nψn ) + B ( b0 + ∑ n β∗nψn ) + ω2 ( ρω2h + q ) gq Q. (27) Здесь использованы обозначения α̃2n = α0 nτn dn − τn , β̃2n = β0 nτn dn − τn , τn = ρω2 kn · ω2 tanhκn − gkn ω2 − gkn tanhκn , dn = ( Dk2 n + T ) k2 n − q, α∗n = α0 n dnω2 ∆n , β∗n = β0 n dnω2 ∆n , a0 = α0 0hω2 g , b0 = β0 0hω2 g , ∆n = coshκn (dn − τn) ( ω2 − gkn tanhκn ) , α0 n = 1 N2 n ∫ Ω w0 21ψnds, β0 n = 1 N2 n ∫ Ω w0 22ψnds, α0 0 = 1 S ∫ Ω w0 21ds, β0 0 = 1 S ∫ Ω w0 22ds. 3. Частотное уравнение и собственные формы. Неизвестные константы A, B и Q находятся из граничных условий жесткого закрепления днища (второе и третье соотношения в (24)) и условия несжимаемости жидкости (25): M ·   A B Q   = 0, (28) где M =   B21 + ∑ n α̃2nB∗ n B22 + ∑ n β̃2nB∗ n ρω2 q C21 C22 0 α0 0 β0 0 − ω4h(ρh + k0) gq ( h− ω2g )   , B2i = w0 2i ∣∣ γ (i = 1, 2), B∗ n = ψn\|γ , C21 = ∂w0 21 ∂~ν ∣∣∣∣ γ , C22 = ∂w0 22 ∂~ν ∣∣∣∣ γ , 106 Собственные формы совместных колебаний упругого дна и жидкости c = h− ω2g h , C33 = −ω4 (ρh + k0) gq . Собственными частотами совместных колебаний упругого дна и жидкости будут корни характеристического уравнения det M = 0 ∣∣∣∣∣∣∣ B21 + ∑ n α̃2nB∗ n B22 + ∑ n β̃2nB∗ n ρg ( ω2g − h ) C21 C22 0 α0 0 β0 0 ω2h (ρh + k0) ∣∣∣∣∣∣∣ = 0. (29) Взяв Q = 1, найдем из (28) выражения для A, B:    A = − ρω2C22 / q C22 ( B21 + ∑ n α̃2nB∗ n ) − C21 ( B22 + ∑ n β̃2nB∗ n ) , B = ρω2C21 / q C22 ( B21 + ∑ n α̃2nB∗ n ) − C21 ( B22 + ∑ n β̃2nB∗ n ) . (30) Если пластина вырождается в мембрану (D → 0), то уравнение (29) переходит в ∣∣∣∣∣ B21 + ∑ n α̃2nB∗ n ρg ( ω2g − h ) α0 0 ω2h (ρh + k0) ∣∣∣∣∣ = 0. (31) Из (28) и (31) следует, что в случае абсолютно жесткого дна (D → ∞, или T →∞), эти частотные уравнения имеют решения ω2 n = gkn tanhκn. 4. Осесимметричный случай. В случае, когда сечение полости есть круг ра- диуса R с центром на оси Oz, а колебания являются осесимметричными, имеем ψn = J0(knr), w0 21 = J0(λ1r), w0 22 = I0(λ2r), где J0(x) и I0(x) – функции Бесселя действительного и мнимого аргументов, соот- ветственно; kn = µn/R; µn – положительные корни уравнения J ′0(µ) = 0; λ2 1 = − T 2D + √( T 2D )2 + q D , λ2 2 = T 2D + √( T 2D )2 + q D ; α0 n = λ1R (λ1R)2 − µ2 n · J1(λ1R) J2 0 (µn) , β0 n = λ2R (λ2R)2 + µ2 n · I1(λ2R) J2 0 (µn) , α0 0 = J1(λ1R) λ1R J2 0 (µn) , β0 0 = I1(λ2R) λ2R J2 0 (µn) , B21 = J0(λ1R), B22 = I0(λ2R), B∗ n = J0(µn), 107 А.Ю. Карнаух, Н.К. Дидок C21 = −λ1J1(λ1R), C22 = λ2I1(λ2R). Собственные формы колебаний с учетом (30) имеют вид (26) – (27). В случае большой относительной глубины заполнения (при h/R >> 1) выражения для w1 и w2 приведены в [2] и [4]. Полученные собственные частоты и собственные формы совместных колебаний позволяют рассмотреть более важную задачу о вынужденных колебаниях данной механической системы. 1. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. – М.: Машиностроение, 1987. – 232 с. 2. Карнаух А.Ю., Дидок Н.К. Собственные формы совместных колебаний упругого дна и жид- кости со свободной поверхностью. Труды ИПММ. – Т.18. – 2009. – С.78-84. 3. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. – 416 с. 4. Петренко М.П. Собственные колебания жидкости со свободной поверхностью и упругого днища цилиндрической полости // Прикл. механика. – 1969. – Т.5, №6. – С. 44-50. A.Yu. Karnauch, N.K. Didok Eigen oscillations of elastic bottom of a cylindrical vessel and liquid with a free surface On the basis of L.V. Dokuchayev’s approach the problem about joint eigen oscillations of flat elastic bottom of a circular cylindrical vessel and an ideal liquid with a free surface on a case when the vessel has arbitrary cross-section is generalized. The frequency equation and eigen forms of joint oscillations are received. This problem has been considered in known monography of N.D. Kopachevsky, S.G. Crein and Ngo Zyu Can from a functional analysis view, where its solubility has been proved. Keywords: hydroelasticity, eigen oscillations, liquid, frequency equation, eigen forms. А.Ю. Карнаух, Н.К. Дiдок Власнi коливання пружного дна цилiндричної посудини й рiдини з вiльною по- верхнею На основi пiдходу Л.В. Докучаєва узагальнено задачу про власнi сумiснi коливання плоского пружного дна кругової цилiндричної посудини та iдеальної рiдини з вiльною поверхнею на випадок, коли посудина має довiльний поперечний перетин. Отримано частотне рiвняння i власнi форми сумiсних коливань. З позицiй функцiонального аналiзу цю задачу було розгля- нуто у вiдомiй монографiї М.Д. Копачевського, С.Г. Крейна i Нго Зуй Кана, де було доведено її розв’язнiсть. Ключовi слова: гiдропружнiсть, власнi коливання, рiдина, частотне рiвняння, власнi фор- ми. Донецк, Донецкий национальный университет nick_di@rambler.ru Получено 19.05.08 108

Собственные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и жидкости со свободной поверхностью

Репозитарії

Схожі ресурси