О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1
В статье получен точный порядок приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса дробного порядка в пространстве Нр, 0 < р ≤ 1. У роботі отримано точний порядок наближення функцій узагальненими середніми Бохнера-Рісса в просторі Нр, 0 < р ≤ 1. In this paper the exact order of approximati...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123935 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 116-123. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123935 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Коломойцев, Ю.С. 2017-09-14T17:37:33Z 2017-09-14T17:37:33Z 2010 О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 116-123. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123935 517.5 В статье получен точный порядок приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса дробного порядка в пространстве Нр, 0 < р ≤ 1. У роботі отримано точний порядок наближення функцій узагальненими середніми Бохнера-Рісса в просторі Нр, 0 < р ≤ 1. In this paper the exact order of approximation of functions by generalized Bochner-Riesz means of fractional order in the space Hp, 0 < p ≤ 1, is obtained. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 Про двосторонні оцінки наближення функцій узагальненими середніми Бохнера-Рісса в НР, 0 < р ≤ 1 On two-sided estimates of approximation of functions by generalized Bochner-Riesz means in Hp, 0 < p ≤ 1 Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 |
| spellingShingle |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 Коломойцев, Ю.С. |
| title_short |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 |
| title_full |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 |
| title_fullStr |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 |
| title_full_unstemmed |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 |
| title_sort |
о двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними бохнера-рисса в нр, 0 < р ≤ 1 |
| author |
Коломойцев, Ю.С. |
| author_facet |
Коломойцев, Ю.С. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про двосторонні оцінки наближення функцій узагальненими середніми Бохнера-Рісса в НР, 0 < р ≤ 1 On two-sided estimates of approximation of functions by generalized Bochner-Riesz means in Hp, 0 < p ≤ 1 |
| description |
В статье получен точный порядок приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса дробного порядка в пространстве Нр, 0 < р ≤ 1.
У роботі отримано точний порядок наближення функцій узагальненими середніми Бохнера-Рісса в просторі Нр, 0 < р ≤ 1.
In this paper the exact order of approximation of functions by generalized Bochner-Riesz means of fractional order in the space Hp, 0 < p ≤ 1, is obtained.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123935 |
| citation_txt |
О двухсторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в НР, 0 < р ≤ 1 / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 116-123. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kolomoicevûs odvuhstoronnihocenkahpribliženiâfunkciiobobŝennymisrednimibohnerarissavnr0r1 AT kolomoicevûs prodvostoronníocínkinabližennâfunkcíiuzagalʹnenimiserednímibohneraríssavnr0r1 AT kolomoicevûs ontwosidedestimatesofapproximationoffunctionsbygeneralizedbochnerrieszmeansinhp0p1 |
| first_indexed |
2025-11-25T22:20:38Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:20:38Z |
| _version_ |
1850563163609628672 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20
УДК 517.5
c©2010. Ю.С. Коломойцев
О ДВУСТОРОННИХ ОЦЕНКАХ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
ОБОБЩЕННЫМИ СРЕДНИМИ БОХНЕРА-РИССА В Hp, 0 < p ≤ 1
В статье получен точный порядок приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса
дробного порядка в пространстве Hp, 0 < p ≤ 1.
Ключевые слова: обобщенные средние Бохнера-Рисса, пространство Харди Hp, 0 < p ≤ 1, поли-
круг, K-функционал.
1. Введение. Пусть Rn – n-мерное вещественное евклидово пространство,
(x, y) =
∑n
j=1 xjyj , |x| = (x, x)1/2, Qn = [−π, π]n, Rn
+ – подмножество то-
чек из Rn с неотрицательными координатами, Zn – с целыми координата-
ми, Nn – с натуральными координатами; Zn
+ = Zn ∩ Rn
+; supp f – носи-
тель функции f ; x+ = max{x, 0}. Единичный поликруг в Cn обозначим через
Dn = { z = (z1, . . . , zn) ∈ Cn : |zj | < 1, j = 1, . . . , n}. Пусть β > 0, положим
(
β
0
)
= 1
и
(
β
k
)
= β(β−1)...(β−k+1)
k! , k ∈ N. Через C будем обозначать некоторые положительные
константы, зависящие от указанных параметров.
Аналитическая в единичном поликруге Dn функция f принадлежит Hp(Dn), если
‖f‖Hp = sup
0<ρj<1
j=1,...,n
‖f(ρeiθ)‖p = sup
0<ρj<1
j=1,...,n
(∫
Qn
|f(ρeiθ)|dθ
) 1
p
< ∞,
где ρeiθ = (ρ1e
iθ1 , . . . , ρneiθn), dθ = dθ1 . . . dθn.
Любая функция из Hp(Dn), p > 0, раскладывается в поликруге Dn в абсолютно
сходящийся степенной ряд
f(z) =
∑
k∈Zn
+
ckz
k,
где zk = zk1
1 . . . zkn
n , ck = ck1,...,kn – коэффициенты ряда Тейлора функции f .
Для функции f ∈ Hp(Dn) на единичном торе
Tn = { z = (z1 . . . , zn) ∈ Cn : |zj | = 1, j = 1, . . . , n} существует почти всюду
(см., например, [1, гл. III] радиальная граничная функция f(eiθ) ∈ Lp, причем
‖f(ρeiθ)‖p ≤ ‖f(eiθ)‖p = ‖f‖p.
Обобщенные средние Бохнера-Рисса определяются следующим образом:
Rβ,δ
ε (f, z) =
∑
k∈Zn
+
(1− (ε|k|)β)δ
+ckz
k,
где {ck} – коэффициенты Тейлора функции f , а числа β, δ и ε > 0.
116
О двусторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса
Отметим, что вопросу о точном порядке приближения функций средними
Бохнера-Рисса и формуле для K-функционала в Hp при p ∈ (0, 1) посвящены рабо-
ты ([3]-[13]). При четном натуральном β в работе [10] были получены двусторонние
оценки приближения функций из Hp(Dn) через K-функционал и специальный мо-
дуль гладкости. Ранее в [6] при натуральном β была получена двусторонняя оценка
приближения функций f ∈ Hp(E2) (E2 – полуплоскость) соответствующими обоб-
щенными средними Бохнера-Рисса. Используя схему доказательства [6], в работе [12]
была доказана двусторонняя оценка приближения функций f ∈ Hp(D) средними
Бохнера-Рисса с любым показателем β > 1/p − 1 и δ > 1/p − 1. Приближения
функций f ∈ Hp(Dn) обобщенными средними Бохнера-Рисса для дробных и нату-
ральных β изучались также в [13]. В частности, в работе [13] были получены оценки
приближения средними
R̃β,δ
ε (f, z) =
∑
k∈Zn
+
(1− (ε(k1 + · · ·+ kn))β)δ
+ckz
k
через обычные модули гладкости. Однако, оценка сверху приближения средними
R̃β,δ
ε отличалась от оценки снизу.
В настоящей статье получен точный порядок приближения функций обобщенны-
ми средними Бохнера-Рисса в пространстве Hp(Dn), p ∈ (0, 1], через K-функционал.
2. Вспомогательные утверждения. Для доказательства основных результа-
тов мы будем использовать теоремы о мультипликаторах из работы [10].
Числовая последовательность (матрица) {λk}k∈Zn
+
называется мультипликато-
ром в Hp(Dn) (будем писать {λk} ∈ Mp), если для любой функции f ∈ Hp(Dn) с
коэффициентами Тейлора {ck}
(Λf)(z) =
∑
k∈Zn
+
λkckz
k ∈ Hp(Dn)
и существует константа γ такая, что для любой функции f ∈ Hp(Dn)
‖Λf‖Hp ≤ γ‖f‖Hp , ‖{λk}‖Mp = inf γ.
Если ϕ : Rn
+ → C, то будем писать ϕ ∈ Mp, если
‖ϕ‖Mp = sup
ε>0
‖{ϕ(εk)}‖Mp < ∞.
Приведем здесь несколько свойств мультипликаторов (см., например, [10], [14,
гл. 7]: Mp ⊂ Mq при 0 < p ≤ q ≤ 2; ‖{λkµk}‖Mp ≤ ‖λk‖Mp‖µk‖Mp , p > 0;
‖{λk + µk}‖p
Mp
≤ ‖λk‖p
Mp
+ ‖µk‖p
Mp
, p ∈ (0, 1].
Следующие лемма 1, теорема 1 и теорема 2 были получены в работе [10].
Лемма 1. (см. [10]) (Принцип сравнения) Пусть {λk} и {λ̃k} – две такие по-
следовательности, что из λk = 0 следует λ̃k = 0, а K = inf ‖{λk/λ̃k}‖Mp < ∞
117
Ю.С. Коломойцев
(нижняя грань относится к выбору значений дробей 0/0), p > 0. Тогда для любой
функции f такой, что Λf ∈ Hp выполняется неравенство ‖Λ̃f‖Hp ≤ K‖Λf‖Hp .
Преобразование Фурье функции f будем определять следующим образом:
f̂(x) =
∫
Rn
f(y)e−i(x,y)dy.
Теорема 1. (см. [10]) Пусть ϕ ∈ C(Rn) и suppϕ ⊂ [−m1, m1]× · · · × [−mn,mn].
Если преобразование Фурье ϕ̂ ∈ Lp(Rn) при некотором p ∈ (0, 1], то
‖ϕ‖Mp ≤ C(p, n)
( n∏
j=1
mj
) 1
p
−1(∫
Rn
|ϕ̂(x)|pdx
) 1
p
.
Теорема 2. (см. [10]) Пусть 0 < p ≤ 1, а ϕ ∈ Cr(Rn
+) при некотором
r > n(1/p− 1/2). Если
|ϕ(x)| ≤ A
1 + |x|ν ,
n∑
j=1
∣∣∣∣
∂rϕ
∂xr
j
(x)
∣∣∣∣ ≤
B
1 + |x|µ ,
где ν > 0, а µ = r + ν или µ = ν > n(1/p− 1/2), то ϕ ∈ Mp.
Лемма 2. Пусть 0 < p ≤ 1, α = [np ]+1, функция f ∈ C(Rn) имеет компактный
носитель и ∂αf
∂xα
j
∈ L1(Rn), j = 1, . . . , n. Тогда f ∈ Mp.
Доказательство. Используя элементарные свойства преобразования Фурье (см.,
например, [2]), имеем
xα
j f̂(x) = (−i)α ∂̂αf
∂xα
j
(x), j = 1, . . . , n.
Следовательно,
|f̂(x)| ≤
( n∑
j=1
|xj |α
)−1 n∑
j=1
∥∥∥∥
∂αf
∂xα
j
∥∥∥∥
L1(Rn)
≤ c|x|−α, |x| ≥ 1. (1)
Из неравенства (1), учитывая, что α = [n
p ] + 1, находим
‖f̂‖p
Lp(Rn) ≤ C
(
1 +
∫
|x|≥1
|x|−pαdx
)
≤ c
(
1 +
∫ ∞
1
rn−1−pαdr
)
< ∞.
Таким образом, используя теорему 1, получим, что f ∈ Mp. ¤
Далее символом Rn будем обозначать пространство вещественнозначных непре-
рывных радиальных, имеющих компактный носитель, функций ψ таких, что
ψ(0) = 1.
118
О двусторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса
Лемма 3. (см. [15]) Пусть f ∈ C∞(Rn \ {0}) – однородная функция порядка
β ≥ 0, не являющаяся полиномом, а ψ ∈ Rn. Тогда f̂ψ(x) ∈ Lp(Rn) тогда и только
тогда, когда n
n+β < p ≤ ∞.
Из леммы 3 и теоремы 1 получаем следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть 0 < p ≤ 1, β ∈ 2N∪(n(1
p−1),∞), ψ ∈ Rn и fβ(x) = |x|βψ(x).
Тогда fβ ∈ Mp.
Лемма 6. Пусть 0 < p ≤ 1, δ > n/p− (n+1)/2 и β ∈ 2N∪ (n(1/p−1),∞). Тогда
функция ϕ(x) = (1− |x|β)δ
+ ∈ Mp.
Доказательство. Отметим, что при четных β лемма 6 была доказана в [10].
При доказательстве леммы 6 мы будем использовать следующее разбиение еди-
ницы. Пусть функции h1, h2 ∈ C∞[0,∞),
h1(t) =
{
1, 0 ≤ t < 1
4 ;
0, t > 1
2 ,
h2(t) = 1− h1(t). (2)
Положим ϕ1(x) = ϕ(x)h1(|x|) и α = 2([np ] + 1). Проверим, что ϕ1 ∈ Mp. Для этого
мы воспользуемся представлением ϕ1(x) = ϕ1,1(x) + ϕ1,2(x), где
ϕ1,1(x) = h1(|x|)
(
1 +
∞∑
k=[α/β]+1
(
δ
k
)
(−1)k|x|βk
)
,
ϕ1,2(x) = h1(|x|)
[α/β]∑
k=1
(
δ
k
)
(−1)k|x|βk.
Используя лемму 2, получим, что ϕ1,1 ∈ Mp. Функция ϕ1,2 ∈ Mp в силу следствия 1.
Таким образом, ϕ1 ∈ Mp.
Далее, заметим, что для любых δ > 0 и β > 0 справедливо разложение
(1− |x|β)δ
+ = (β/2)δ(1− |x|2)δ
+ + (β/2)δ 2− β
4
δ(1− |x|2)δ+1
+ + · · · =
=
∞∑
k=0
ak(1− |x|2)δ+k
+ ,
а функция (1−|x|2)δ
+ ∈ Mp. Таким образом, для доказательства леммы 6 достаточно
исследовать функцию
ϕ2(x) = h2(|x|)
(
(1− |x|β)δ
+ −
α∑
k=0
ak(1− |x|2)δ+k
+
)
=
= h2(|x|)
∞∑
k=α+1
ak(1− |x|2)δ+k
+ .
Нетрудно проверить, что ∂αϕ2(x)
∂xα
j
∈ L1(Rn), j = 1, . . . , n. Следовательно, из леммы 2
получим, что ϕ2 ∈ Mp. Таким образом, мы показали, что функция ϕ ∈ Mp. ¤
119
Ю.С. Коломойцев
3. Основные результаты. Оператор дробного дифференцирования Dβ(f, z)
для функций вида f(z) =
∑
k∈Zn
+
ckz
k определим следующим образом:
Dβ(f, z) =
∑
k∈Zn
+
|k|βckz
k.
Для исследования скорости приближения обобщенными средними Бохнера-Рисса
мы будем использовать K-функционал
Kβ(f, ε)Hp = inf
g
{‖f − g‖Hp + εβ‖Dβ(g)‖Hp}.
Теорема 3. Пусть f ∈ Hp(Dn), p ∈ (0, 1], δ > n/p − (n + 1)/2 и
β ∈ 2N ∪ (n(1/p− 1),∞). Тогда
Kβ(f, ε)Hp ³ ‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp , ε > 0
(двустороннее неравенство с константами, не зависящими от f и ε).
Доказательство. Докажем сначала следующие два неравенства:
‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp ≤ C1ε
β‖Dβ(f)‖Hp , (3)
εβ‖Dβ(Rβ,δ
ε (f))‖Hp ≤ C2‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp , (4)
где константы C1 и C2 зависят только от n, p, β и δ. В силу принципа сравнения
(лемма 1) достаточно доказать, что после доопределения в нуле функции
ξ(x) =
1− ϕ(x)
|x|β ∈ Mp и η(x) =
|x|βϕ(x)
1− ϕ(x)
∈ Mp.
Полагаем ξ(0) = δ, η(0) = 1/δ.
Исследуем функцию ξ. Положим ξj(x) = hj(|x|)ξ(x), j = 1, 2, где h1 и
h2 – функции из доказательства леммы 6, определенные равенствами (2), т.е.
ξ(x) = ξ1(x) + ξ2(x). Заметим, что
ξ1(x) = h1(|x|)
∞∑
k=1
(
δ
k
)
(−1)k|x|βk.
Таким образом, рассуждая по аналогии с доказательством леммы 6, получаем, что
ξ1 ∈ Mp.
Принадлежность функции ξ2 ∈ Mp вытекает из того, что 1 − ϕ(x) ∈ Mp и
h2(|x|)|x|−β ∈ Mp (cм. теорему 2, а также примеры в [10]). Таким образом, ξ ∈ Mp.
Покажем теперь, что η ∈ Mp. Снова используем разбиение единицы. Положим
ηj(x) = hj(|x|)η(x), j = 1, 2. Проверим сначала, что η2 ∈ Mp. Для этого представим
функцию η2 в виде суммы двух функций η2 = η2,1 + η2,2, где
η2,1(x) = |x|βh2(|x|)
σ∑
k=1
ϕk(x), η2,2(x) = |x|βh2(|x|)
∞∑
k=σ+1
ϕk(x)
120
О двусторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса
и σ = [1δ (n
p + 1)]. Используя лемму 2, нетрудно проверить, что η2,2 ∈ Mp. Функция
η2,1 ∈ Mp в силу леммы 6 и леммы 2.
Остается показать, что η1 ∈ Mp. Для этого достаточно проверить, что
η1,1(x) =
|x|βh1(|x|)
1− ϕ(x)
∈ Mp. (5)
Введем в рассмотрение функцию
φ(|x|) =
|x|β
1− ϕ(x)
−
[α/β]∑
k=0
ak|x|βk,
где α = 2([np ] + 1). Заметим, что при t ∈ (0, 1)
tβ
1− (1− tβ)δ
=
( ∞∑
k=0
ckt
βk
)−1
,
где c0 = δ 6= 0. Таким образом, числа {ak} можно выбрать так, чтобы
φ(t) =
∑∞
k=[α/β]+1 bkt
βk
∑∞
k=0 cktβk
.
Положим γ(x) = φ(|x|)h1(|x|). Из леммы 3 следует, что γ − η1,1 ∈ Mp. Таким
образом, показав, что γ ∈ Mp, мы получим (6). Воспользуемся леммой 2. Имеем
γ(α)(t) = (φ(t)h1(t))(α) =
α∑
ν=0
(
α
ν
)
φ(ν)(t)h(α−ν)
1 (t).
При ν ∈ [0, α − 1] функция φ(ν)(t)h(α−ν)
1 (t) = 0 в окрестности нуля. Вычисляя про-
изводную порядка α от функции φ(t), получаем
φ(α)(t) =
∑α
j=0
∑∞
k=[α/β]+1 bj,kt
βk−j
∑∞
k=0 ck,αtβk
,
где c0,α 6= 0. Нетрудно заметить, что h1(|x|)∂αφ(|x|)
∂xj
∈ L1(Rn), j = 1, . . . , n. Таким
образом, в силу леммы 2 получаем, что γ ∈ Mp.
Из приведенных выше рассуждений следует справедливость неравенства (3) и
(4). Выведем теперь из них оценки для K-функционала. Имеем
Kβ(f, ε)p ≤ ‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp + εβ‖Dβ(Rβ,δ
ε )(f)‖Hp ≤
≤ (1 + C2)‖f −Rβ,δ
ε (f)‖Hp .
Докажем теперь оценку снизу. При произвольной функции g такой, что
Dβg ∈ Hp(Dn),
‖f −Rβ,δ
ε (f)‖p
Hp
≤ ‖(f − g)−Rβ,δ
ε (f − g)‖p
Hp
+ ‖g −Rβ,δ
ε (g)‖p
Hp
≤
≤ (1 + ‖Rβ,δ
ε ‖Hp→Hp)‖f − g‖p
Hp
+ Cp
2εβp‖Dβg‖p
Hp
.
121
Ю.С. Коломойцев
Осталось перейти к нижней грани по g и учесть, что
sup
ε
‖Rβ,δ
ε ‖Hp→Hp = sup
ε
‖{ϕ(εk)}‖Mp = ‖ϕ‖Mp < ∞.
¤
1. Рудин У. Теория функций в поликруге. М.: Мир, 1974.
2. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир,
1974.
3. Стороженко Э.А. О теоремах типа Джексона в Hp, 0 < p < 1 // Изв. АН СССР. Сер. матем.
– 1980. – 44, N4. – С. 946-692.
4. Валашек Я. О приближениях в многомерных пространствах Харди Hp, 0 < p ≤ 1 // Сообщ.
АН Гр. ССР. – 1982. – 105, N1. – С. 21-24.
5. Oswald P. On some Approximation Properties of Real Hardy Spaces (0 < p ≤ 1) // J. Approx.
Theory. – 1984. – 40, N1. – P. 45-65.
6. Solyanik A.A. On the order of approximation to functions of Hp(R) (0 < p ≤ 1) by certain means
of Fourier integrals // Anal. Math. – 1986. – 12. – P. 59-75.
7. Colzani L. Jackson Theorems in Hardy Spaces and Approximation by Riesz Means // J. Approx.
Theory. – 1987. – 49. – P. 240-251.
8. Белинский Э.С. Сильная суммируемость периодических функций и теоремы вложения //
ДАН. – 1993. – 332, N2. – С. 133-134.
9. Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространствах Харди Hp(Dm) при p ∈ (0, 1] и аппроксима-
тивные свойства методов суммирования степенных рядов // ДАН. – 1994. – 335, N6. – C.
697-699.
10. Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(Dm) при p ∈ (0, 1] и аппроксиматив-
ные свойства методов суммирования степенных рядов // Матем. сб. – 1997. – 188, N4. – C.
145-160.
11. Wang J. Generalized Bochner-riesz means on spaces generated by smooth blocks // Comment.
Math. Univ. Carolinae. – 2003. – 44, N3. – P. 489-505.
12. Прибегин С.Г. Приближение функций из Hp, 0 < p ≤ 1, обобщенными средними Рисса с
дробным показателем // Матем. сб. – 2006. – 197, N7. – C. 77-86.
13. Прибегин С.Г. О некоторых методах суммирования степенных рядов для функций из Hp(Dn),
0 < p < ∞ // Матем. сб. – 2009. – 200, N2. – C. 89-106.
14. Trigub R.M., Belinsky E.S. Fourier Analysis and Approximation of Functions. Kluwer. 2004.
15. Runovski K., Schmeisser H.-J. On some extensions of Berenstein’s inequality for trigonometric
polynomials // Functiones et Approximatio – 2001. – XXIX. – P. 125-142.
Yu.S. Kolomoitsev
On two-sided estimates of approximation of functions by generalized Bochner-Riesz
means in Hp, 0 < p ≤ 1.
In this paper the exact order of approximation of functions by generalized Bochner-Riesz means of
fractional order in the space Hp, 0 < p ≤ 1, is obtained.
Keywords: generalized Bochner-Riesz means, Hardy space Hp, 0 < p ≤ 1, polydisk, K-functional.
122
О двусторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса
Ю.С. Коломойцев
Про двостороннi оцiнки наближення функцiй узагальненими середнiми Бохнера-
Рiсcа в Hp, 0 < p ≤ 1.
У роботi отримано точний порядок наближення функцiй узагальненими середнiми Бохнера-
Рiсса в просторi Hp, 0 < p ≤ 1.
Ключовi слова: узагальненi середнi Бохнера-Рiсса, простiр Гардi Hp, 0 < p ≤ 1, полiкруг,
K-функцiонал.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
Донецкий нац. ун-т
kolomus1@mail.ru
Получено 16.04.10
123
|