Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию

В данной статье доказана теорема сходимости для регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию. У даній статті доведено теорему збіжності для регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі з обмеженнями інтегрального типу на дилатацію. Thi...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Труды Института прикладной математики и механики
Datum:	2010
1. Verfasser:	Ломако, Т.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123936
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 124-129. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123936
record_format	dspace
spelling	Ломако, Т.В. 2017-09-14T17:40:32Z 2017-09-14T17:40:32Z 2010 Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 124-129. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123936 517.5 В данной статье доказана теорема сходимости для регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию. У даній статті доведено теорему збіжності для регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі з обмеженнями інтегрального типу на дилатацію. This paper is devoted to the convergence theorems for regular solutions of the degenerate Beltrami equations with restrictions of integral type on the dilatation. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию Теорема збіжності для рівнянь Бельтрамі з обмеженнями інтегрального типу на дилатацію The convergence theorem for Beltrami equations with restrictions of integral type on the dilatation Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию
spellingShingle	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию Ломако, Т.В.
title_short	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию
title_full	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию
title_fullStr	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию
title_full_unstemmed	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию
title_sort	теорема сходимости для уравнений бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию
author	Ломако, Т.В.
author_facet	Ломако, Т.В.
publishDate	2010
language	Russian
container_title	Труды Института прикладной математики и механики
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Теорема збіжності для рівнянь Бельтрамі з обмеженнями інтегрального типу на дилатацію The convergence theorem for Beltrami equations with restrictions of integral type on the dilatation
description	В данной статье доказана теорема сходимости для регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию. У даній статті доведено теорему збіжності для регулярних розв'язків вироджених рівнянь Бельтрамі з обмеженнями інтегрального типу на дилатацію. This paper is devoted to the convergence theorems for regular solutions of the degenerate Beltrami equations with restrictions of integral type on the dilatation.
issn	1683-4720
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123936
citation_txt	Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию / Т.В. Ломако // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 124-129. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lomakotv teoremashodimostidlâuravneniibelʹtramisograničeniâmiintegralʹnogotipanadilataciû AT lomakotv teoremazbížnostídlârívnânʹbelʹtramízobmežennâmiíntegralʹnogotipunadilatacíû AT lomakotv theconvergencetheoremforbeltramiequationswithrestrictionsofintegraltypeonthedilatation
first_indexed	2025-11-27T05:44:33Z
last_indexed	2025-11-27T05:44:33Z
_version_	1850802991658958848
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20 УДК 517.5 c©2010. Т.В. Ломако Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию В данной статье доказана теорема сходимости для регулярных решений вырожденных уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию. Ключевые слова: уравнения Бельтрами, дилатация, сходимость, регулярное решение, классы Соболева. 1. Обозначения и предварительные замечания. Пусть D – область в ком- плексной плоскости C, т.е. связное открытое подмножествоC.Уравнениями Бель- трами называются уравнения вида fz = µ(z) · fz , (1) где µ(z) : D → C – измеримая функция с \|µ(z)\| < 1 п.в., fz = ∂f = (fx + ify) /2, fz = ∂f = (fx − ify) /2, z = x+ iy, fx и fy – частные производные отображения f по x и y, соответственно. Функция µ называется комплексным коэффициентом и Kµ(z) = 1 + \|µ(z)\| 1− \|µ(z)\| (2) – максимальной дилатацией или просто дилатацией уравнения (1). Обозначим через Df(z) дифференциал функции f : D → C в точке z: Df(z) · h := fz · h + fz · h , где h ∈ C. Тогда \|Df(z)\| := sup \|h\|=1 {\|Df(z) · h\|} = \|fz\|+ \|fz\| . (3) Точка дифференцируемости называется регулярной точкой отображения f, если его якобиан в этой точке отличен от нуля: Jf (z) = \|fz\|2 − \|fz\|2 6= 0 . (4) Как известно, необходимым и достаточным условием того, что гомеоморфизм, име- ющий хотя бы одну регулярную точку, сохраняет ориентацию, является положи- тельность якобиана во всех регулярных точках, см., напр., [1], с. 10. Заметим, что в регулярных точках гомеоморфного решения уравнения Бельтра- ми Kµ(z) = \|Df(z)\|2 Jf (z) = Jf (z) l (Df(z))2 , 124 Теорема сходимости для уравнений Бельтрами где l (Df(z)) := inf \|h\|=1 \|Df(z) · h\| = \|fz\| − \|fz\|. Под регулярным решением уравнения Бельтрами (1) в области D будем по- нимать гомеоморфизм f из пространства Соболева W 1, 1 loc (D), частные производные которого удовлетворяют (1) и (4) п.в. в D. Функция f : D → C называется абсолютно непрерывной на линиях, пишут f ∈ ACL, если для любого замкнутого прямоугольника R в D, стороны которого параллельны координатным осям, f \|R является абсолютно непрерывной на почти всех линейных сегментах в R, параллельных сторонам R, см., напр., [2], с. 27. В част- ности, f ∈ ACL, если f принадлежит классу W 1, 1 loc и, наоборот, если f ∈ ACL имеет первые частные производные из L1 loc, тогда f ∈ W 1, 1 loc , см. например 1.2.3 в [3]. Напом- ним, что по теореме Геринга-Лехто, см. теорему III.3.1 в [1], любой гомеоморфизм на плоскости, имеющий п.в. частные производные, является дифференцируемым п.в. Будем говорить, что функция множества M , заданная на подмножествах D, абсолютно непрерывна, если M(E) → 0 при \|E\| → 0. В дальнейшем мы рассмат- риваем только неотрицательные M, допускающие значение +∞. 2. Предварительные замечания. В дальнейшем нам понадобятся следующие опорные факты. Предложение 2.1. Пусть гомеоморфизм f ∈ W 1, 1 loc (D) с Jf (z) > 0 для п.в. z ∈ D. Тогда f−1 ∈ W 1, 1 loc (f(D)) и если дополнительно Kµ ∈ L1 loc(D), то f−1 ∈ W 1, 2 loc (f(D)) , см. теоремы 1.1 и 1.3 в [4]. Пусть f : D → C – непрерывная функция. Говорят, что f обладает (N)– свойством по Лузину, если для любого E ⊂ D \|E\| = 0 ⇒ \|f(E)\| = 0 . Здесь и далее \|E\| обозначает меру Лебега множества E ⊂ C. Говорят, что функция f обладает ( N−1 ) –свойством, если для любого E ⊂ C \|E\| = 0 ⇒ ∣∣f−1(E) ∣∣ = 0 . Предложение 2.2. Пусть f : D → C – гомеоморфизм класса W 1, 2 loc (D). Тогда f обладает (N)–свойством, см. теорему III.6.1 в [1]. Пусть U – непустое ограниченное открытое множество в C и fn, f ∈ L1(U). Говорят, что последовательность функций fn → f слабо в L1(U), если lim n→∞ ∫∫ U F (z) (fn(z)− f(z)) dxdy = 0 для любого F ∈ L∞(U), см., например в [5], с.67. Предложение 2.3. Пусть fn : U → R – последовательность функций класса W 1, 1(U). Предположим, что fn → f при n →∞ слабо в L1(U), ∂fn ∂x , ∂fn ∂y , n = 1, 2, ..., – равномерно ограничены в L1(U) и их неопределенные интегралы равностепенно 125 Т.В. Ломако абсолютно непрерывны. Тогда f ∈ W 1, 1(U) и ∂fn ∂x → ∂f ∂x , ∂fn ∂y → ∂f ∂y при n →∞ слабо в L1(U), см. лемму 2.1 в [6]. Предложение 2.4. Пусть D′ – область в комплексной плоскости C. Если гомео- морфизм f : D → D′ имеет конечные частные производные п.в. в D, то ∫∫ B Jf dxdy ≤ \|f(B)\| для любого борелевского множества B ⊂ D. Равенство верно для любого B тогда и только тогда, когда f – локально абсолютно непрерывно в D, см. теорему III.3.3 в [1]. Предложение 2.5. Пусть f, fn : D → C – сохраняющие ориентацию гомеомор- физмы класса Соболева W 1, 1 loc и пусть fn → f при n → ∞ локально равномерно. Тогда для любого открытого множества Ω ⊆ D : ∫∫ Ω Φ(Kµ(z)) dxdy ≤ lim inf n→∞ ∫∫ Ω Φ(Kµn(z)) dxdy (5) для любой неубывающей выпуклой функции Φ : [1,∞] → R+, которая непрерывна в смысле R+ слева в точке Q = sup Φ(t)<∞ t (6) и lim t→∞ Φ(t) t = ∞ , (7) см. теорему 1 в [7]. 3. Основной результат. Теорема 3.1. Пусть fn : D → C – последовательность регулярных решений уравнения Бельтрами с комплексными коэффициентами µn. Предположим, что для каждого ограниченного измеримого множества E ⊂ D и абсолютно непрерыв- ной функции множества ME = M(E) верно соотношение ∫∫ E Φ(Kµn(z)) dxdy ≤ ME , (8) где Φ : [0,∞] → [0,∞] – неубывающая выпуклая функция, которая непрерывна в смысле R+ слева в точке (6) и удовлетворяет условию (7). Если fn → f равномерно на каждом компактном множестве в D, где f : D → C – гомеоморфизм, то f является регулярным решением уравнения (1). Более того, выполнено неравенство 126 Теорема сходимости для уравнений Бельтрами ∫∫ E Φ(Kµ(z)) dxdy ≤ ME , (9) где Kµ(z) – максимальная дилатация предельного отображения f . Доказательство. Поскольку Φ(t) – выпуклая на [0, ∞) неубывающая функция, то, см., напр., [8], с. 63, [9], с. 15, найдутся числа C > 0 и T ∈ [0, ∞) такие, что при t > T : t Φ(t) < C < ∞. Поэтому, если на некотором ограниченном открытом множестве Ω ⊂ D ∫∫ Ω Φ(Kµn(z)) dxdy ≤ MΩ , то ∫∫ Ω Kµn(z) dxdy ≤ CMΩ + T \|Ω\| . (10) Пусть E – произвольное измеримое множество из D с 0 < \|E\| < ∞. Тогда для любого ε > 0 найдется открытое множество Ωε ⊇ E с \|Ωε \E\| < ε, см. теорему III.6.6 в [10]. В частности, найдется открытое множество Ω ⊇ E, такое что \|Ω \ E\| < \|E\|, т.е. \|Ω\| < 2\|E\|, и по неравенству (10) получаем ∫∫ E Kµn(z) dxdy ≤ CMΩ + 2T \|E\| , (11) где MΩ → 0 при \|E\| → 0 в силу абсолютной непрерывности функции множества M . Аналогично рассуждениям, приводимых при доказательстве теоремы 3.1 в [6], покажем, что предельная функция последовательности fn принадлежит классу W 1, 1 loc (D). Согласно предложению 2.3, для доказательства этого факта достаточно показать, что ∂fn и ∂fn равномерно ограничены в L1 loc и имеют локально равносте- пенно абсолютно непрерывные неопределенные интегралы. Итак, пусть C – компактное множество в D и пусть V – открытое множество с компактным замыканием V в D, такое что C ⊂ V, скажем V = {z ∈ D : dist(z, C) < r}, где r < dist(C, ∂D). Заметим, что \|∂fn\| ≤ \|∂fn\| ≤ \|∂fn\|+ \|∂fn\| = K1/2 µn (z) · J1/2 fn (z) справедливо п.в. Следовательно, согласно неравенству Гельдера и предложению 2.4 ∫∫ E \|∂fn\| dxdy ≤ ∣∣∣∣∣∣ ∫∫ E Kµn(z) dxdy ∣∣∣∣∣∣ 1/2 \|fn(C)\|1/2 для любого измеримого множества E ⊆ C. Отсюда, поскольку fn сходится к f равномерно на C, получаем 127 Т.В. Ломако ∫∫ E \|∂fn\| dxdy ≤ ∣∣∣∣∣∣ ∫∫ E Kµn(z) dxdy ∣∣∣∣∣∣ 1/2 \|f(V )\|1/2 (12) для всех достаточно больших n. Учитывая оценку (11), получаем, что ∂fn ∂x , ∂fn ∂y равно- мерно ограничены по норме L1 loc и имеют локально равностепенно абсолютно непре- рывные неопределенные интегралы. Т.к. fn ∈ W 1, 1 loc (D) и Jfn(z) > 0 п.в., то f−1 n ∈ W 1, 2 loc (fn(D)) согласно предложению 2.1. Аналогично (3.11) и (3.12) в [4], для произвольного измеримого множества E ⊂ D имеем ∫∫ fn(E) \|Df−1 n (w)\|2 dudv ≤ ∫∫ E Kµn(z) dxdy . (13) Заметим, что из локально равномерной сходимости fn → f следует, что f−1 n → f−1 локально равномерно, см., например, лемму 3.1 в [11]. Из (11) и (13) получаем, что f−1 ∈ W 1, 2 loc (f(D)), см. теорему I.1 в [12]. Тогда f обладает ( N−1 ) – свойством, см. предложение 2.2, и Jf 6= 0 п.в. в D, см. теорему 1 в [13]. Пусть E – произвольное измеримое множество из D с \|E\| < ∞. Тогда для любого ε > 0 найдется открытое множество Ωε ⊇ E с \|Ωε \ E\| < ε, см. теорему III.6.6 в [10]. Т.к. f, fn : D → C – сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы класса Соболева W 1, 1 loc (D) и fn → f локально равномерно, то, согласно предложению 2.5: ∫∫ E Φ(Kµ(z)) dxdy ≤ ∫∫ Ωε Φ(Kµ(z)) dxdy ≤ ≤ lim inf n→∞ ∫∫ E Φ(Kµn(z)) dxdy + lim inf n→∞ ∫∫ Ωε\E Φ(Kµn(z)) dxdy ≤ ≤ ME + MΩε\E . В силу абсолютной непрерывности функции M , при ε → 0 приходим к (9). ¤ 1. Lehto O., Virtanen K. Quasiconformal Mappings in the Plane, Springer, New York etc., 1973. 2. Альфорс Л. Лекции по квазиконформным отображениям. – М.: Мир, 1969. – 135с. 3. Maz’ya V.G., Poborchi S.V Differentiable functions on bad dommains, Singapure–New Jersey– London–Hong Kong, World Scientific, 1997. 4. Hencl S., Koskela P. Regularity of the inverse of a planar Sobolev homeomorphism // Arch. Ration. Mech. Anal. – 2006. – 180, no.1. – P.75–95. 5. Danford N., Schwartz J.T. Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience Publishers, Inc., New York, London, 1957. 6. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations // Ukrainian Math. Bull. – 2008. – 5, no.4 – P.524–535. 128 Теорема сходимости для уравнений Бельтрами 7. Рязанов В.И. О квазиконформных отображениях с ограничениями по мере // Укр. мат. журн., 1993. – 45, №7. – С.1009–1019. 8. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. – М.: Наука, 1993. – 424с. 9. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. – М.: ГИФМЛ, 1993. – 272с. 10. Сакс С. Теория интеграла. – М.: ИЛ, 1949. – 494c. 11. Kolomoitsev Iu.S., Ryazanov V.I. Uniqueness of approximate solutions of the Beltrami equations// Proceeding of Inst. Appl. Mech. of NAS of Ukraine. – 2009. – 19. – P.116–124. 12. Суворов Г.Д. Семейства плоских топологических отображений – Новосибирск: Ред.–изд. совет Сиб. отд-ния АН СССР, 1965. – 264с. 13. Пономарев С.П. N−1–свойство отображений и условие (N) Лузина // Мат. заметки. – 1995. – 58, №3. – P.411–418. T.V. Lomako The convergence theorem for Beltrami equations with restrictions of integral type on the dilatation. This paper is devoted to the convergence theorems for regular solutions of the degenerate Beltrami equations with restrictions of integral type on the dilatation. Keywords: Beltrami equations, dilatation, convergence, regular solution, Sobolev classes. Т.В. Ломако Теорема збiжностi для рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на дилатацiю. У данiй статтi доведено теорему збiжностi для регулярних розв’язкiв вироджених рiвнянь Бельтрамi з обмеженнями iнтегрального типу на дилатацiю. Ключовi слова: рiвняння Бельтрамi, дилатацiя, збiжнiсть, регулярний розв’язок, класи Соболева. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк tlomako@yandex.ru, tlomako@rambler.ru Получено 05.05.10 129

Теорема сходимости для уравнений Бельтрами с ограничениями интегрального типа на дилатацию

Institution

Ähnliche Einträge