Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена

Робота присвячена дослідженню питань наближення сум вигляду Σαif(x+δi) за допомогою цілих функцій експоненціального типу. Одержано асимптотичні закони поведінки верхніх граней відхилень вказаних сум у рівномірний метриці. Работа посвящена исследованию вопросов приближения сумм вида Σαif(x+δi) с помо...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Труды Института прикладной математики и механики
Date:	2010
Main Author:	Сілін, Є.С.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123939
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена / Є.С.Сілін // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 149-159. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123939
record_format	dspace
spelling	Сілін, Є.С. 2017-09-14T17:49:35Z 2017-09-14T17:49:35Z 2010 Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена / Є.С.Сілін // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 149-159. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123939 519.7 Робота присвячена дослідженню питань наближення сум вигляду Σαif(x+δi) за допомогою цілих функцій експоненціального типу. Одержано асимптотичні закони поведінки верхніх граней відхилень вказаних сум у рівномірний метриці. Работа посвящена исследованию вопросов приближения сумм вида Σαif(x+δi) с помощью целых функций экспоненциального типа. Получены асимптотические законы поведения верхних граней уклонений указанных сумм в равномерной метрике. Work is devoted research of questions of approximation of sums of the form Σαif(x+δi) with the help of entire functions of exponential type. Obtain the asymptotic laws of behavior of the upper bounds of deviations of the sums in the uniform metric. Робота виконана за часткової підтримки німецького фонду наукових досліджень (DFG) в рамках проекту UKR 113/103/0-1. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена Приближение линейных комбинаций различных сдвигов по аргументу функций, определенных на действительной оси операторами Валле Пуссена Approximation of linear combinations of different shifts the argument of functions defined on the real axis by Valle Poussin’s operators Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена
spellingShingle	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена Сілін, Є.С.
title_short	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена
title_full	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена
title_fullStr	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена
title_full_unstemmed	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена
title_sort	наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами валле пуссена
author	Сілін, Є.С.
author_facet	Сілін, Є.С.
publishDate	2010
language	Ukrainian
container_title	Труды Института прикладной математики и механики
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Приближение линейных комбинаций различных сдвигов по аргументу функций, определенных на действительной оси операторами Валле Пуссена Approximation of linear combinations of different shifts the argument of functions defined on the real axis by Valle Poussin’s operators
description	Робота присвячена дослідженню питань наближення сум вигляду Σαif(x+δi) за допомогою цілих функцій експоненціального типу. Одержано асимптотичні закони поведінки верхніх граней відхилень вказаних сум у рівномірний метриці. Работа посвящена исследованию вопросов приближения сумм вида Σαif(x+δi) с помощью целых функций экспоненциального типа. Получены асимптотические законы поведения верхних граней уклонений указанных сумм в равномерной метрике. Work is devoted research of questions of approximation of sums of the form Σαif(x+δi) with the help of entire functions of exponential type. Obtain the asymptotic laws of behavior of the upper bounds of deviations of the sums in the uniform metric.
issn	1683-4720
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123939
citation_txt	Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена / Є.С.Сілін // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 149-159. — Бібліогр.: 13 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT sílínês nabližennâlíníinihkombínacíiríznihzsuvívzaargumentomfunkcíiviznačenihnadíisníiosíoperatoramivallepussena AT sílínês približenielineinyhkombinaciirazličnyhsdvigovpoargumentufunkciiopredelennyhnadeistvitelʹnoiosioperatoramivallepussena AT sílínês approximationoflinearcombinationsofdifferentshiftstheargumentoffunctionsdefinedontherealaxisbyvallepoussinsoperators
first_indexed	2025-11-24T02:27:29Z
last_indexed	2025-11-24T02:27:29Z
_version_	1850840043235573760
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20 УДК 519.7 c©2010. Є.С. Сiлiн НАБЛИЖЕННЯ ЛIНIЙНИХ КОМБIНАЦIЙ РIЗНИХ ЗСУВIВ ЗА АР- ГУМЕНТОМ ФУНКЦIЙ, ВИЗНАЧЕНИХ НА ДIЙСНIЙ ОСI ОПЕРА- ТОРАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА1 Робота присвячена дослiдженню питань наближення сум вигляду m∑ i=1 αif(x+δi) за допомогою цiлих функцiй експоненцiального типу. Одержано асимптотичнi закони поведiнки верхнiх граней вiдхи- лень вказаних сум у рiвномiрний метрицi. Ключевые слова: ψ-iнтеграл, оператор Валле Пуссена, iнтерференцiя функцiй, лiнiйнi комбi- нацiї. Нехай ψ = (ψ1, ψ2) — пара функцiй ψ1(v), ψ2(v) таких, що ψ1 ∈ A, ψ2 ∈ A′, де A — множина неперервних при v ≥ 0 функцiй ψ(v), якi задовольняють умови: 1) ψ(v) ≥ 0, ψ(0) = 0, ψ(v) зростає на [0, 1); 2) ψ(v) опукла донизу на [1,∞) i lim v→∞ψ(v) = 0; 3) похiдна ψ′(v) = ψ′(v + 0) має обмежену варiацiю на [0,∞); A′ — це пiдмножина функцiй ψ ∈ A, для яких ∞∫ 1 ψ(v) v dv < ∞. Нехай, далi, C — множина неперервних обмежених на дiйс- нiй осi R функцiй, N — одинична куля простору M iстотно обме- жених на R функцiй — S∞ = {ϕ : ess sup \|ϕ(t)\| ≤ 1} або клас Hω = {ϕ ∈ C : \|ϕ(t) − ϕ(t′)\| ≤ ω(\|t − t′\|)∀t, t′ ∈ R}, ω(t) — фiксований мо- дуль неперервностi. Тодi, наслiдуючи О.I. Степанця [1, 2], через ĈψN позначимо множину всiх неперервних функцiй f, якi для всiх x можна подати у виглядi f(x) = A0 + ∫ R ϕ(x + t)ψ̂(t) dt df= A0 + ϕ ∗ ψ̂ (x), (1) де A0 — деяка стала, iнтеграл розумiється як границя iнтегралiв по симетричних промiжках, що розширюються, функцiя ϕ ∈ N, ψ̂(t) = 1 2π ∫ R (ψ1+(x) + iψ2−(x))e−ixt dx, (2) а ψ1+, ψ2− — парне i непарне продовження функцiй ψ1, ψ2, вiдповiдно. Якщо ψ1 ∈ A, ψ2 ∈ A′, то перетворення ψ̂(t) сумовне на дiйснiй осi (див., наприклад, [2], твер- дження 9.5.1). Функцiю ϕ(·) в зображеннi (1) називають ψ-похiдною функцiї f(·) i позначають fψ(·). 1Робота виконана за часткової пiдтримки нiмецького фонду наукових дослiджень (DFG) в рамках пректу UKR 113/103/0-1 149 Є.С. Сiлiн Множина A не однорiдна вiдносно швидкостi спадання до нуля її елементiв. У зв’язку з цим при дослiдженнi апроксимативних властивостей класiв ĈψN має сенс видiлити iз A ряд пiдмножин (див., напр., [2, стор. 193–194]). Для цього кож- нiй функцiї ψ ∈ A ∀t ≥ 1 спiвставимо пару функцiй η(t) = ψ−1(ψ(t)/2)) та µ(t) = t/(η(t) − t). Тодi покладемо AC = {ψ ∈ A : 0 < K1 ≤ µ(t) ≤ K2 < ∞}, A+∞ = {ψ ∈ A : µ(t) ↑ ∞}, F = {ψ ∈ A : η′(t) ≤ K3}, де Kj , j = 1, 3 — деякi сталi, якi, можливо, залежать вiд функцiї ψ(t). Множина F складається з функцiй, що не можуть спадати до нуля повiльнiше деякої вiд’ємної степенi t i при цьому AC ∪ A+∞ ⊂ F ⊂ A′ ⊂ A. Функцiї f ∈ ĈψN при кожних дiйсних σ > h ≥ 1 поставимо у вiдповiднiсть оператор Vσ,h(f ; x), поклавши Vσ,h(f ; x) = A0 + fψ ∗ λ̂σ,hψ (x), (3) де λ̂σ,hψ перетворення вигляду (2) функцiї λσ,h(t)ψ(t), в якiй λσ,h(t) =    1, 0 ≤ \|t\| ≤ σ − h, σ−\|t\| h , σ − h ≤ \|t\| ≤ σ, 0, σ ≤ \|t\|. (4) Такi оператори розглядалися О.I. Степанцем у роботах [1–4], де показано (напри- клад, [2], твердження 9.3.4), що за умов, накладених на функцiї (ψ1, ψ2) i f ∈ ĈψN Vσ,h(f ;x) належать до множини εσ цiлих функцiй експоненцiального типу ≤ σ, а у перiодичному випадку, при σ = n ∈ N i h = p ∈ N, p < n, оператори Vσ,h(f ; x) спiвпадають з сумами Валле Пуссена. Тому Vσ,h(f ; x) одержали назву операторiв Валле Пуссена. Предметом нашого дослiдження будуть суми Σα,δ σ,h,m(f ; x) = m∑ i=1 αi(f(x + δi)− Vσ,h(f ; x + δi)), (5) де αi = αi(σ), δi = δi(σ) — величини, якi рiвномiрно обмеженi щодо σ. Метою даної роботи є знаходження асимптотичних формул при σ →∞ для величин Σα,δ σ,h,m(ĈψN) = sup f∈ĈψN \|\|Σα,δ σ,h,m(f ; x)\|\|C . (6) Дана задача має багату iсторiю. Вона бере початок з робiт С.Н. Бернштейна (див. [5], С. 446 – 467), який вивчаючи властивостi цiлих функцiй скiнченного степеня довiв, що лiнiйнi комбiнацiї f(x+x0)±f(x−x0) можуть бути обмеженими на дiйснiй осi для деяких необмежених функцiй f(x) : 1 2 ∣∣∣f(x− π 2σ ) + f(x + π 2σ ) ∣∣∣ ≤ 4 π sup k ∣∣∣∣f ( kπ σ )∣∣∣∣ , k ∈ Z. 150 Наближення лiнiйних комбiнацiй рiзних зсувiв за аргументом функцiй, визначених на дiйснiй осi операторами Валле Пуссена Подiбне явище було названо ним iнтерференцiєю. У подальшому цi питання дослiджували О.П. Тiман [6], [7, стор. 201–208], R.P. Boas [8], В.В. Дрозд [9] та iншi. Зокрема, О.П. Тiман встановив нерiвнiсть 1 2 ∣∣∣f(x− mπ 2σ ) + f(x + mπ 2σ ) ∣∣∣ ≤ 4M πm + 8mM π m−1 2∑ i=1 1 m2 − 4i2 , де m — довiльне непарне число, M = sup k ∣∣f ( kπ σ )∣∣ , k ∈ Z. Домовимося впродовж всiєї роботи через K, K1, K2, . . . , позначати додатнi сталi, якi можуть бути рiзними в рiзних спiввiдношеннях. Основним результатом нашої роботи є таке твердження. Теорема 1. Нехай ψj ∈ F , j = 1, 2 — пара функцiй, для яких можна вказати константи K1 та K2 такi, що, 0 < K1 ≤ η(ψ1; t)− t η(ψ2; t)− t ≤ K2 < ∞, t ≥ 1; (7) величини αi, δi — рiвномiрно обмеженi щодо σ. Тодi для дiйсних чисел σ > h ≥ 1 при σ →∞ та (η(ψ;σ)− σ)−1 > π h Σα,δ σ,h,m(Ĉψ ∞) = 4\|ψ(σ)\| π2 Rm ∣∣∣∣ln η(σ)− σ h ∣∣∣∣ + O(1)\|ψ(σ − h)\|, (8) Σα,δ σ,h,m(ĈψHω) = 2θω π2 \|ψ(σ)\|Rm ∣∣∣∣ln η(σ)− σ h ∣∣∣∣ π 2∫ 0 ω ( 2t σ ) sin t dt+ +O(1)\|ψ(σ − h)\|ω (1/(σ − h)) , (9) де Rm = √ A2 m + B2 m, Am = m∑ i=1 αi cos(σδi + γ), γ = arctg ψ2(σ) ψ1(σ) , Bm = m∑ i=1 αi sin(σδi +γ), η(σ) є η(ψ1;σ) або η(ψ2; σ), θω ∈ [2/3, 1], причому θω = 1, як- що ω(t) — опуклий модуль неперервностi, а O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно σ та h. Якщо ж (η(ψ; σ) − σ)−1 < π h , то формули (8) – (9) мають мiсце за умови, що δi = O((η(ψ; σ)− σ)−1), i = 1,m. Зауваження 1. Дану теорему у випадку h = 1, ψ1(σ) = ψ(σ) cos βπ 2 , ψ2(σ) = ψ(σ) sin βπ 2 , β ∈ R та λ∗σ,1(t) =    1, 0 ≤ t ≤ σ − 1, 1− (t−σ+1)ψ(σ) ψ(t) , σ − 1 ≤ t ≤ σ, 0, t ≥ σ доведено В.В. Дроздом в роботi [9]. 151 Є.С. Сiлiн Дослiдимо можливiсть виконання рiвностi Rm = 0. Нехай спочатку m = 2. Тодi Rm = Rm(α, δ) = 0 ⇔ { α1 cos(σδ1 + γ) + α2 cos(σδ2 + γ) = 0, α1 sin(σδ1 + γ) + α2 sin(σδ2 + γ) = 0, що еквiвалентно системi { δ1 + δ2 = (πk)/σ, α1 = (−1)k+1α2, k ∈ Z. (10) Таким чином, у випадку m = 2 справджується нерiвнiсть \|\|f(x) + (−1)k+1f(x + πk/σ)− Vσ,h ( f(x) + (−1)k+1f(x + πk/σ) ) \|\|C ≤ ≤    K\|ψ(σ − h)\|ω ( 1 σ−h ) , якщо f ∈ ĈψHω; K\|ψ(σ − h)\| якщо f ∈ Ĉψ∞. Зауваження 2. Якщо ψj ∈ F \(AC∪A+∞), j = 1, 2, то (10) не має мiсця, оскiльки в цьому випадку не виконується умова πk/σ = O((η(ψ; σ)− σ)−1). Враховуючи це та розмiрковуючи за аналогiєю до п. IV.4.4 монографiї [13] для випадку m ≥ 3, одержимо наступне твердження. Наслiдок 1. Нехай ψj ∈ AC ∪ A+∞, j = 1, 2 i такi, що виконана умова (7). Тодi при σ > h ≥ 1 й σ → ∞, m = 2 та числах α1, α2 й δ1, δ2, обраних згiдно до спiввiдношення (10) Σα,δ σ,h,m(Ĉψ ∞) = O(1)\|ψ(σ − h)\|, (11) Σα,δ σ,h,m(ĈψHω) = O(1)\|ψ(σ − h)\|ω (1/(σ − h)) , (12) де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена щодо σ, h. Якщо при m ≥ 3 координати αi довiльного вектора (α1, . . . , αm) задовольняють однiй з умов: 1) m∑ i=1 (−1)kiαi = 0, якщо сума δs + δl = πn σ , n ∈ N, для всiх l, s ≤ m, при цьому ki — цiле число, яке визначається з рiвностi δi = δ0 + πki/σ, де δ0 — деяке фiксоване число; 2) αl = sin−1(δs + δl)σ ∑ i6=l,s αi sin(δi + δs)σ, αs = sin−1(δs + δl)σ ∑ i6=l,s αi sin(δi + δl)σ, якщо при деяких l та s δs + δl 6= πn/σ, n ∈ N, то при σ →∞ мають мiсце формули (11) та (12). Зауваження 3. Нехай ψj ∈ F, j = 1, 2 i числа h = h(σ) обираються так, що σ − h ∈ [η−1(ψj ; σ), σ], j = 1, 2. Оскiльки, як показано в [10, стор. 183] (оцiнки (3.2.84) й (3.2.85), при їх встановленнi, факт того, що p, n ∈ N не використовувався), в цьому випадку ω (1/(σ − h)) = O(1)ω (1/σ) i ψ(σ − h) = O(1)ψ(σ) при σ → ∞, то залишковi члени формул (8) – (9) й (11) – (12) набувають вигляду O(1)\|ψ(σ)\| та O(1)\|ψ(σ)\|ω (1/σ) . 152 Наближення лiнiйних комбiнацiй рiзних зсувiв за аргументом функцiй, визначених на дiйснiй осi операторами Валле Пуссена Доведення теореми 1. Використовуючи результати роботи [11, стор. 232 – 237], згiдно зi спiввiдношен- нями (3) – (4), неважко переконатися, що має мiсце таке твердження. Лема 1. Нехай ψj ∈ F, j = 1, 2 i можна вказати константи K1 та K2 такi, що виконується умова (7). Тодi, якщо f ∈ ĈψN, то для дiйсних чисел σ > h ≥ 1, довiльних x ∈ R ρσ,h(f ; x) = ν \|ψ(σ)\| π ∫ ma≤\|t\|≤Ma ϕ(x; t) sin(σt− γ) t dt + b(f ;x), (13) де ρσ,h(f ; x) = f(x)− Vσ,h(f ; x), ν = sign ( a(σ)− π h ) , a(σ) = (η(ψ; σ) − σ)−1 (в якостi ψ(·) може бути обрана як функцiя ψ1(·), так i ψ2(·)), ψ(σ) = ψ1+(σ) + iψ2−(σ), ma = min {a(σ);π/h} , Ma = max {a(σ);π/h} , γ = arctg ψ2(σ) ψ1(σ) , ϕ(x; t) = { fψ(x)− fψ(x + t), якщо f ∈ ĈψHω, fψ(x + t), якщо f ∈ Ĉψ∞; b(f ; x) = { O(1)\|ψ(σ − h)\|ω (1/(σ − h)) , якщо f ∈ ĈψHω, O(1)\|ψ(σ − h)\|, якщо f ∈ Ĉψ∞; O(1) — величини, рiвномiрно обмеженi вiдносно x та σ, h. Продовжимо доведення теореми. Спочатку розглянемо випадок а) a(σ) > π h . Користуючись рiвностями (5) й (13) ∀f ∈ ĈψN маємо Σα,δ σ,h,m(f ;x) = \|ψ(σ)\| π m∑ i=1 αi ∫ e ϕ(x + δi; t) sin(σt− γ) t dt + b(f ;x) = = \|ψ(σ)\| π m∑ i=1 αi ∫ e (i) σ ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t− δi dt + b(f ; x), (14) де e = {t : π/h ≤ \|t\| ≤ a(σ)}, e (i) σ = {t : π/h ≤ \|t− δi\| ≤ a(σ)}. В силу того, що зсув за аргументом не змiнює величину Σα,δ σ,h,m(ĈψN), а числа δi рiвномiрно обмеженi щодо σ, то далi вважатимемо 0 = δ1 < δ2 < . . . < δm < < a(σ)− π h . Нехай δm < 2. Тодi (14) можна записати у виглядi Σα,δ σ,h,m(f ; x) = \|ψ(σ)\| π m∑ k=1 ( ∫ βk ϕ(x; t) k∑ i=1 αi sin(σt− σδi − γ) t− δi dt+ + ∫ τk ϕ(x; t) m∑ i=k+1 αi sin(σt− σδi − γ) t− δi dt ) + b(f ; x), (15) де βk = {t : π/h + δk ≤ t ≤ π/h + δk+1} ∪ {t : −a(σ) + δk ≤ t ≤ −a(σ) + δk+1}, k = 1,m− 1; 153 Є.С. Сiлiн βm = {t : −a(σ) + δm ≤ t ≤ −π/h} ∪ {t : π/h + δm ≤ t ≤ a(σ)}; τk = {t : a(σ)+δk ≤ t ≤ a(σ)+δk+1}∪{t : −π/h+δk ≤ t ≤ −π/h+δk+1}, k = 1,m− 1. Покажемо, що в першому доданку правої частини рiвностi (15) всi доданки, за винятком того, який має номер k = m, входять у залишковий член. Для цього розглянемо, наприклад, функцiю Ik,i(x) = a(σ)+δk+1∫ a(σ)+δk ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t− δi dt, i = k + 1,m. Якщо f ∈ Ĉψ∞, то, враховуючи обмеженiсть δm, одержимо \|Ik,i(x)\| ≤ 2 a(σ)+δk+1∫ a(σ)+δk dt t− δi < 2 ln a(σ) + δm a(σ)− δm ≤ ≤ 2 ln ( 1 + 2δm a(σ)− δm ) < 4δm a(σ)− δm < K. (16) Якщо ж f ∈ ĈψHω, то скористаємося лемою V.1.3 з монографiї [12]. Функцiя Φ(x) = x∫ a(σ)+δk sin(σt−σδi−γ) t−δi dt на кожному промiжку (tn, tn+1), де tn = δi + πn σ + γ σ , n ∈ N, обертається на нуль в деякiй точцi xn. Нехай xn′ — найближчий справа вiд точки t = a(σ) + δk, а xn′′ — найближчий злiва вiд точки t = a(σ) + δk+1, такi нулi. Застосовуючи згадану лему V.1.3, одержимо \|Ik,i(x)\| ≤ K1 xn′∫ a(σ)+δk dt t− δi + ω(∆) xn′∫ xn′′ dt t− δi + K2 a(σ)+δk+1∫ xn′′ dt t− δi , де ∆ = max(xn+1− xn) < tn+2− tn = 2π σ i xn′ − (a(σ) + δk) < 2π σ , a(σ) + δk+1− xn′′ < < 2π σ . А тому \|Ik,i(x)\| ≤ K1 ln ( 1 + 2π/σ a(σ) + δk − δi ) + +ω( 2π σ ) ln a(σ) + δk+1 − δi a(σ) + δk − δi + K2 ln ( 1 + 2π/σ a(σ) + δk+1 − δi − 2π σ ) . Враховуючи обмеженiсть чисел δm для всiх σ ≥ 2π (а, якщо δm < a(σ)− 2π, то i для всiх σ ≥ 1), остаточно маємо \|Ik,i(x)\| ≤ Kω( 1 σ ) + ω( 2π σ ) ln ( 1 + 2δm a(σ)− δm ) < Kω( 1 σ ). 154 Наближення лiнiйних комбiнацiй рiзних зсувiв за аргументом функцiй, визначених на дiйснiй осi операторами Валле Пуссена Оцiнивши аналогiчним чином iншi доданки, одержимо Σα,δ σ,h,m(f ;x) = \|ψ(σ)\| π ∫ βm ϕ(x; t) m∑ i=1 αi sin(σt− σδi − γ) t− δi dt + r(f ;x), (17) де r(f ;x) = { O(1)(\|ψ(σ − h)\|+ \|ψ(σ)\|), f ∈ Ĉψ∞; O(1)(\|ψ(σ − h)\|ω( 1 σ−h) + \|ψ(σ)\|ω( 1 σ )), f ∈ ĈψHω. Вiдмiтимо, що припущення δm < 2 несуттєве. Дiйсно, якщо 2 < δm < a(σ)− −π/h, то в правiй частинi рiвностi (15) в iнтегралах, якi обчислюються по множинах βk, k = 1,m− 1, з’являться додатковi доданки, якi також мають порядок величини r(f ;x). Далi, ∀f ∈ Ĉψ∞ j1(x) df = ∣∣∣∣∣ ∫ βm ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t− δi dt− − ∫ βm ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t dt ∣∣∣∣∣ ≤ 2δi ∫ βm dt t(t− δi) < K. Скориставшись лемою V.1.3 для випадку f ∈ ĈψHω, легко перевiрити оцiнку j1(x) ≤ Kω(1/σ). Отже, (17) можна зобразити в наступному виглядi: Σα,δ σ,h,m(f ;x) = \|ψ(σ)\| π ∫ βm ϕ(x; t) t m∑ i=1 αi sin(σt− σδi − γ)dt + r(f ;x). Суму, яка входить до останньої рiвностi, запишемо так: m∑ i=1 αi sin(σt− σδi − γ) = Am sinσt + Bm cosσt = Rm sin(σt− Ωm), де Am = m∑ i=1 αi cos(σδi + γ), Bm = m∑ i=1 αi sin(σδi + γ), Rm = √ A2 m + B2 m, Ωm = { arctg Bm Am , Rm > 0; 0, Rm = 0. Тодi, ∀f ∈ ĈψN Σα,δ σ,h,m(f ; x) = \|ψ(σ)\| π Rm ∫ βm ϕ(x; t) t sin(σt− Ωm)dt + r(f ; x). (18) 155 Є.С. Сiлiн Нарештi, замiнивши множину βm в (18) на множину β = {t : π/h ≤ \|t\| ≤ a(σ)} ∀f ∈ ĈψN, остаточно одержимо Σα,δ σ,h,m(f ; x) = \|ψ(σ)\| π Rm ∫ β ϕ(x; t) t sin(σt− Ωm)dt + r(f ; x). (19) Неважко показати (див., наприклад, [2, стор. 224]), що Σα,δ σ,h,m(ĈψN) = sup f∈ĈψN \|\|Σα,δ σ,h,m(f ; 0)\|\|C . (20) В [10, стор. 339] одержанi рiвностi (4.5.28) i (4.5.29): sup ϕ∈S∞ ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ ma≤\|t\|≤Ma ϕ(t) t sin(σt− Ωm) dt ∣∣∣∣∣∣∣ = 4 π ∣∣∣∣ln π a(σ)h ∣∣∣∣ + O(1); (21) sup ϕ∈Hω ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ ma≤\|t\|≤Ma ϕ(t)− ϕ(0) t sin(σt− Ωm) dt ∣∣∣∣∣∣∣ = = 2θω π ∣∣∣∣ln π a(σ)h ∣∣∣∣ π/2∫ 0 ω ( 2t σ ) sin t dt + O(1), (22) де θω ∈ [2/3; 1], причому θω = 1, якщо ω(t) — опуклий модуль неперервностi. Отже, об’єднавши спiввiдношення (19) – (22), одержимо формули (8) i (9) у випадку a(σ) > π/h. б) Нехай далi a(σ) < π/h. Тодi величина (5) набуде вигляду Σα,δ σ,h,m(f ;x) = −\|ψ(σ)\| π m∑ i=1 αi ∫ a(σ)≤\|t\|≤π h ϕ(x + δi; t) sin(σt− γ) t dt + b(f ;x) = = −\|ψ(σ)\| π m∑ i=1 αi ∫ d (i) σ ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t− δi dt + b(f ; x), (23) де d (i) σ = {t : a(σ) ≤ \|t− δi\| ≤ π/h}. Як i ранiше, будемо вважати, що 0 = δ1 < δ2 < . . . < δm. Перепишемо (23) у виглядi Σα,δ σ,h,m(f ; x) = −\|ψ(σ)\| π ( m∑ i=1 αi ∫ νi ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t− δi dt+ 156 Наближення лiнiйних комбiнацiй рiзних зсувiв за аргументом функцiй, визначених на дiйснiй осi операторами Валле Пуссена + ∫ % ϕ(x; t) m∑ i=1 αi sin(σt− σδi − γ) t− δi dt ) + b(f ; x), де νi = {t : −π/h + δk ≤ t ≤ −π/h + δm} ∪ {t : −a(σ) ≤ t ≤ −a(σ) + δi} ∪ ∪ {t : a(σ) + δi ≤ t ≤ a(σ) + δm} ∪ {t : π/h ≤ t ≤ π/h + δi}, i = 1,m. % = {t : −π/h + δm ≤ t ≤ −a(σ)} ∪ {t : a(σ) + δm ≤ t ≤ π/h.} Як i у випадку а), можна показати, що всi iнтеграли, якi обираються по множи- нах νi, i = 1,m, мають вiдповiдно порядок O(1)\|ψ(σ)\| та O(1)\|ψ(σ)\|ω( 1 σ ) при σ →∞, якщо δm = δm(σ) задовольняє умову δm = O(a(σ)). (24) Розглянемо один iз них, наприклад, Ji(x) = a(σ)+δm∫ a(σ)+δi ϕ(x; t) sin(σt− σδi − γ) t− δi dt, i = 1,m. В силу (24) ∀σ ≥ 1 δm(σ) ≤ Ma(σ), де M — абсолютна стала. Припустимо, що a(σ) ≥ π/σ. Тодi, користуючись лемою V.1.3 роботи [12], ∀f ∈ ĈψHω, отримаємо \|Ji(x)\| ≤ ω ( a(σ) + δi + 2π σ ) ln ( 1 + 2π a(σ)σ ) + +ω( 2π σ ) ln ( 1 + δm a(σ) ) + ω(a(σ) + δm) ln a(σ) + δm − δi a(σ) + δm − δi − 2π σ ≤ ≤ ω(3a(σ)) 2π a(σ)σ + Kω( 1 σ ) + ω((M + 1)a(σ)) ln ( 1 + 2π a(σ)σ ) ≤ ≤ ( 2π 3a(σ) + 1 a(σ) + K + 2π (M + 1)a(σ)σ + 1 a(σ)σ ) ω( 1 σ ) ≤ Kω( 1 σ ). Якщо ж a(σ) < π/σ, то, згiдно до нерiвностi (24), δm < M π σ i тому \|Ji(x)\| ≤ ω(a(σ) + δm) ln a(σ) + δm a(σ) ≤ Kω((M + 1) π σ ) ≤ Kω( 1 σ ). Зрозумiло, що для f ∈ Ĉψ∞ \|Ji(x)\| ≤ K. Встановивши аналогiчнi оцiнки для iнтегралiв, якi беруться по iнших множинах νi, i = 1,m, прийдемо до такого: Σα,δ σ,h,m(f ;x) = −\|ψ(σ)\| π ∫ % ϕ(x; t) m∑ i=1 αi sin(σt− σδi − γ) t− δi dt + r(f ; x), де r(f ;x) має той самий сенс, що i у спiввiдношеннi (17). 157 Є.С. Сiлiн Аналогiчно до випадку а), покажемо, що при σ →∞ j2(x) = π/h∫ a(σ)+δm ϕ(x; t) δi sin(σt− σδi − γ) t(t− δi) dt ≤ { K, f ∈ Ĉψ∞; Kω( 1 σ ) f ∈ ĈψHω } для функцiй з класiв та вiдповiдно. Дiйсно, ∀f ∈ Ĉψ∞ j2(x) ≤ 2 ln (a(σ) + δm)(π/h− δi) a(σ) + δm − δi ≤ K. Нехай тепер f ∈ ĈψHω. Припустимо, що a(σ) ≥ π/σ. Тодi \|j2(x)\| ≤ ω(a(σ) + δm + 2π σ ) ln (a(σ) + δm − δi + 2π σ )(a(σ) + δm) (a(σ) + δm + 2π σ )(a(σ) + δm − δi) + +K1ω ( 1 σ ) + K2ω (π h ) ln (π h − δi)(π h − 2π σ ) (π h − 2π σ − δi)π h ≤ ≤ ((3 + M)σa(σ) + 1)ω ( 1 σ ) ln (a(σ) + δm − δi + 2π σ )(a(σ) + δm) (a(σ) + δm + 2π σ )a(σ) + +K1ω ( 1 σ ) + K2ω (π h ) ln ( 1 + δi π h − 2π σ − δi · 2h σ ) ≤ ≤ ((3 + M)σa(σ) + 1)ω( 1 σ ) ln ( 1 + 2π σa(σ) ) + K1ω( 1 σ )+ +K3ω(1/h)(h/σ) ≤ Kω(1/σ). (25) При встановленнi оцiнки (25) ми скористалися нерiвнiстю p nω(1 p) ≤ 2ω( 1 n), p, n ∈ N, p ≤ n з монографiї [10, стор. 130]. Розглянувши доведення цiєї нерiвно- стi, неважко переконатися, що вона має мiсце i для дiйсних чисел σ та h. Якщо ж a(σ) < π σ , то δm < M π σ i з урахуванням (25) маємо: j2(x) ≤ Kω(1/σ). Встановивши аналогiчну оцiнку й для iнтеграла, взятого по вiдрiзку [−π/h + δm,−a(σ)], одержимо Σα,δ σ,h,m(f ;x) = −\|ψ(σ)\| π ∫ % ϕ(x; t) t m∑ i=1 αisin(σt− σδi − γ) dt + r(f ; x). Всi подальшi мiркування випадку а) повнiстю повторюються. Отже, теорему остаточно доведено. 1. Stepanets A.I., Wang Kunyang, Zhang Xirong. Approximation of locally integrable function on the real line // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, №11. — С. 1549–1561. 158 Наближення лiнiйних комбiнацiй рiзних зсувiв за аргументом функцiй, визначених на дiйснiй осi операторами Валле Пуссена 2. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.2. — 468 с. 3. Степанец А.И. Приближение операторами Фурье функций, заданных на действительной оси // Укр. мат. журн. — 1988. — 40, №2. – С. 198 – 209. 4. Степанец А.И. Приближение в пространствах локально интегрируемых функций // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, №5. — С. 597 – 625. 5. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений: В 3 т. — М.: Изд-во АН СССР, 1954. — Т.2. — 626 с. 6. Тиман А.Ф. О явлении интерференции в поведении целых функций конечной степени // Докл. АН СССР. — 1953. — 89. — С. 17 – 21. 7. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. — М.: Физматгиз, 1960. — 624 с. 8. R.P. Boas, Jr., Interference phenomena for entire functions // Michigan Math J. — 1955. — 3. — P. 17 – 34. 9. Дрозд В.В. Одновременное приближение функций и их производных операторами Фурье в среднем // Одновременное приближение функций и их производных операторами Фурье. — Киев, 1989. — С. 46 – 58. — (Препр. / АН Украины. Ин-т математики; 89.17). 10. Степанец А.И., Рукасов В.И., Чайченко С.О. Приближения суммами Валле Пуссена // Працi Iн-ту математики НАН України. — 2007. — Т.68. — 368 с. 11. Рукасов В.И., Силин Е.С. Приближение непрерывных функций операторами Валле Пуссена // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, №2, — С. 230 - 239. 12. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 т. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Т.1. — 426 с. 13. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. — Киев: Наук. думка, 1987. — 268 с. E.S. Silin Approximation of linear combinations of different shifts the argument of functions defined on the real axis by Valle Poussin’s operators. Work is devoted research of questions of approximation of sums of the form m∑ i=1 αif(x + δi) with the help of entire functions of exponential type. Obtain the asymptotic laws of behavior of the upper bounds of deviations of the sums in the uniform metric. Keywords: ψ-integral, Valle Poussin’s operators, interference of functions, linear combinations. Е.С. Силин Приближение линейных комбинаций различных сдвигов по аргументу функций, определенных на действительной оси операторами Валле Пуссена. Работа посвящена исследованию вопросов приближения сумм вида m∑ i=1 αif(x + δi) с помощью целых функций экспоненциального типа. Получены асимптотические законы поведения верх- них граней уклонений указанных сумм в равномерной метрике. Ключевые слова: ψ-интеграл, оператор Валле Пуссена, интерференция функций, линейные комбинации. Слов’янський державний педагогiчний унiверситет Получено 05.05.10 159

Наближення лінійних комбінацій різних зсувів за аргументом функцій, визначених на дійсній осі операторами Валле Пуссена

Institution

Similar Items