Аналоги проблемы Зальцмана и их применение
В работе рассматривается аналог проблемы Зальцмана для правильных треугольника и тетраэдра. Полностью разобран случай, когда функция имеет нулевой интеграл по всем правильным треугольникам (тетраэдрам), которые касаются данного внутренним образом. Получен некоторый аналог теоремы Томпсона и Шонбека...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123942 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналоги проблемы Зальцмана и их применение / Н.В. Фещенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 177-187. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123942 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Фещенко, Н.В. 2017-09-14T17:54:58Z 2017-09-14T17:54:58Z 2010 Аналоги проблемы Зальцмана и их применение / Н.В. Фещенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 177-187. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123942 517.5 В работе рассматривается аналог проблемы Зальцмана для правильных треугольника и тетраэдра. Полностью разобран случай, когда функция имеет нулевой интеграл по всем правильным треугольникам (тетраэдрам), которые касаются данного внутренним образом. Получен некоторый аналог теоремы Томпсона и Шонбека для дискретного множества параметров α. С помощью доказанных результатов получен новый критерий голоморфности функций для правильного треугольника, доказан результат о полноте некоторой системы функций в Ip, доказан аналог теоремы В. К. Дзядыка, получен новый результат о гомеоморфизмах с N-свойством Лузина. У роботі розглядається аналог проблеми Зальцмана для правильних трикутника і тетраедра. Повністю розібрано випадок, коли функція має нульовий інтеграл по всіх правильних трикутниках (тетраедрах), які дотикаються даного внутрішнім чином. Отримано деякий аналог теореми Томпсона і Шонбека для дискретної множини параметрів α. За допомогою доведених результатів отримано новий критерій голоморфності функцій для правильного трикутника, доведено результат про повноту деякої системи функцій в Ip, доведено аналог теореми В. К. Дзядика, отримано новий результат про гомеоморфізми з N-властивістю Лузіна. We consider the analogue of Zalcman’s problem for regular triangle and tetrahedron. The case, when function has zero integral over all regular triangles (tetrahedrons), which is tangent to given one by inner way, is fully analyzed. We also obtain some analogue of theorem of Thompson and Shconbek for discrete set of parameters α. With the help of proved results the new criterion of holomorphy of functions for regular triangle is obtained, the result about completeness of some system of functions in Lp and the analogue of Dzyadyk’s theorem are proved, the new result about homeomorphisms with Lusin’s N-property is obtained. Автор выражает благодарность Волчкову В.В. за постановку проблемы и внимание к работе. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Аналоги проблемы Зальцмана и их применение Аналоги проблеми Зальцмана та їх застосування Analogues of Zalcman’s problem and their applications Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение |
| spellingShingle |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение Фещенко, Н.В. |
| title_short |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение |
| title_full |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение |
| title_fullStr |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение |
| title_full_unstemmed |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение |
| title_sort |
аналоги проблемы зальцмана и их применение |
| author |
Фещенко, Н.В. |
| author_facet |
Фещенко, Н.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Аналоги проблеми Зальцмана та їх застосування Analogues of Zalcman’s problem and their applications |
| description |
В работе рассматривается аналог проблемы Зальцмана для правильных треугольника и тетраэдра. Полностью разобран случай, когда функция имеет нулевой интеграл по всем правильным треугольникам (тетраэдрам), которые касаются данного внутренним образом. Получен некоторый аналог теоремы Томпсона и Шонбека для дискретного множества параметров α. С помощью доказанных результатов получен новый критерий голоморфности функций для правильного треугольника, доказан результат о полноте некоторой системы функций в Ip, доказан аналог теоремы В. К. Дзядыка, получен новый результат о гомеоморфизмах с N-свойством Лузина.
У роботі розглядається аналог проблеми Зальцмана для правильних трикутника і тетраедра. Повністю розібрано випадок, коли функція має нульовий інтеграл по всіх правильних трикутниках (тетраедрах), які дотикаються даного внутрішнім чином. Отримано деякий аналог теореми Томпсона і Шонбека для дискретної множини параметрів α. За допомогою доведених результатів отримано новий критерій голоморфності функцій для правильного трикутника, доведено результат про повноту деякої системи функцій в Ip, доведено аналог теореми В. К. Дзядика, отримано новий результат про гомеоморфізми з N-властивістю Лузіна.
We consider the analogue of Zalcman’s problem for regular triangle and tetrahedron. The case, when function has zero integral over all regular triangles (tetrahedrons), which is tangent to given one by inner way, is fully analyzed. We also obtain some analogue of theorem of Thompson and Shconbek for discrete set of parameters α. With the help of proved results the new criterion of holomorphy of functions for regular triangle is obtained, the result about completeness of some system of functions in Lp and the analogue of Dzyadyk’s theorem are proved, the new result about homeomorphisms with Lusin’s N-property is obtained.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123942 |
| citation_txt |
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение / Н.В. Фещенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 177-187. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT feŝenkonv analogiproblemyzalʹcmanaiihprimenenie AT feŝenkonv analogiproblemizalʹcmanataíhzastosuvannâ AT feŝenkonv analoguesofzalcmansproblemandtheirapplications |
| first_indexed |
2025-11-24T10:15:25Z |
| last_indexed |
2025-11-24T10:15:25Z |
| _version_ |
1850456998330499072 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20
УДК 517.5
c©2010. Н.В. Фещенко
АНАЛОГИ ПРОБЛЕМЫ ЗАЛЬЦМАНА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В работе рассматривается аналог проблемы Зальцмана для правильных треугольника и тетра-
эдра. Полностью разобран случай, когда функция имеет нулевой интеграл по всем правильным
треугольникам (тетраэдрам), которые касаются данного внутренним образом. Получен некоторый
аналог теоремы Томпсона и Шонбека для дискретного множества параметров α. С помощью дока-
занных результатов получен новый критерий голоморфности функций для правильного треуголь-
ника, доказан результат о полноте некоторой системы функций в Lp, доказан аналог теоремы В.
К. Дзядыка, получен новый результат о гомеоморфизмах с N -свойством Лузина.
Ключевые слова: проблема Зальцмана, функции интегрируемые по Лебегу, голоморфные функ-
ции, формула Грина, линейный функционал, теорема Хана-Банаха, теорема Рисса, теорема В.
К. Дзядыка, гомеоморфизмы
Введение. В данной работе рассматриваются аналоги и приложения следующей
проблемы, поставленной Л. Зальцманом, которая в свою очередь является актуаль-
ной темой в современной интегральной геометрии.
Пусть S – замкнутый единичный квадрат, ∂S – его граница и S0 = S\∂S. Обо-
значим через S (z) наибольший замкнутый квадрат в S с центром в точке z из S0.
Для каждого z ∈ S0 пусть Sα(z) – квадрат, гомотетичный S (z) с центром гомоте-
тии z и линейным коэффициентом α, где 0 < α ≤ 1. Верно ли, что f ≡ 0, если f –
непрерывная функция на S такая, что интеграл от f над Sα(z) равняется нулю для
всех z из S0?
Зальцман показал, что ответ на этот вопрос утвердительный, в случаях α = 1
и α = 1/3. Berenstein в обзорной работе [1] о проблеме Помпейю интересовался
случаем α = 1/2, но не разобрал его. Thompson и Schonbek [2] ответили на этот
вопрос положительным ответом для всех α = n
n+2 , где n – положительное целое
число и, в частности, для α = 1/3 и α = 1/2. Позднее Thompson [3] обобщил этот
результат для всех α ∈ [
3
4 ; 1
)
.
В данной работе изучается аналог проблемы Зальцмана для множеств отличных
от квадрата. В первом пункте рассматривается случай правильного треугольника
на плоскости. Доказан аналог результата Зальцмана для квадрата при α = 1, а
также некоторый аналог теоремы Томпсона и Шонбека для дискретного множества
параметров α. Во втором пункте рассматривается случай правильного тетраэдра в
пространстве. Здесь также доказан аналог результата Зальцмана для квадрата при
α = 1.
Кроме того, рассматриваются приложения полученных результатов в комплекс-
ном анализе, теории приближений и теории отображений с сохранением меры.
1. Аналог проблемы Зальцмана для правильного треугольника. Введем
Автор выражает благодарность Волчкову В.В. за постановку проблемы и внимание к работе.
177
Н.В. Фещенко
некоторые обозначения.
Пусть T – замкнутый правильный треугольник с вершинами A, B, С; ∂T – его
граница и T 0 = T\∂T . Обозначим T (z) – наибольший замкнутый правильный тре-
угольник в T с центром в z из T 0. Для каждого z ∈ T 0 пусть Tα (z) – треуголь-
ник, гомотетичный T (z) с центром гомотетии z и линейным коэффициентом α, где
−1 < α ≤ 1.
Следующий результат является аналогом результата Зальцмана для квадрата
при α = 1.
Теорема 1.1. Пусть f ∈ L (T ) такая, что интеграл от f над T (z) равняется
нулю для всех z из T 0. Тогда f = 0.
Доказательство. Пусть О – центр треугольника T . Соединим точку О с вер-
шинами треугольника T . Таким образом, T разбивается на три треугольника
T 1 = ∆AOC, T 2 = ∆BOC и T 3 = ∆AOB.
Для доказательства теоремы нам понадобится следующее вспомогательное
утверждение.
Лемма 1. В условиях теоремы 1.1 пусть R ⊂ T 1 – замкнутый ромб с центром
в точке z ∈ T 0 и сторонами параллельными AB и BC. Тогда
∫∫
R
f dx dy = 0.
Доказательство. Продлим стороны ромба R до пересечения со стороной AC.
Получим треугольники T (z1), T (z2), T (z3), T (z4), для некоторых точек z1, z2, z3, z4
(см. рис. 1.2). По условию теоремы 1.1 выполнены равенства
∫∫
T (zi)
f dxdy = 0 при
i ∈ {1, 2, 3, 4}.
Поэтому,
∫∫
R
f dxdy =
∫∫
T (z4)
f dxdy −
∫∫
T (z1)
f dxdy −
∫∫
T (z2)
f dxdy +
∫∫
T (z3)
f dxdy = 0.
¤
Пусть (ξ0, η0) ∈ T 1/∂T 1. Рассмотрим функцию
F (x, y) =
∫ x+a
x
∫ y+b
y
f (u, v) du dv =
∫∫
A
f (x + u, y + v) du dv,
где a, b – фиксированные малые числа, и A = [0, a]×[0, b]. При этом, функцию F (x, y)
мы будем рассматривать лишь в окрестности U точки (ξ0, η0), целиком лежащей в
T 1.
По свойствам интеграла Лебега функция F – непрерывна.
Пусть R – произвольный замкнутый ромб со сторонами параллельными AB и
BC, лежащий в U . Тогда по теореме Фубини и лемме 1
178
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение
∫∫
R
F (x, y) dx dy =
∫∫
R
dx dy
∫∫
A
f (x + u, y + v) du dv
=
∫∫
A
du dv
∫∫
R
f (x + u, y + v) dx dy =
∫∫
A
du dv
∫∫
R(−→z )
f (x, y) dx dy = 0,
Рис. 1.2
где ромб R (−→z ) получается из R параллельным переносом на вектор −→z = (u, v).
Пусть (x0, y0) точка из U , выберем последовательность ромбов {Rn}∞n=1 в U ,
содержащих точку (x0, y0), и такую, что diamRn → 0 при n →∞. По доказанному
∫∫
Rn
F (x, y) dx dy = 0 (1)
для любого n. Так как F – непрерывная функция, то по теореме о среднем для
любого n существует точка (xn, yn) ∈ Rn такая, что
∫∫
Rn
F (x, y) dx dy = F (xn, yn)measRn.
Откуда в силу (1) следует, что F (xn, yn) = 0. Так как diamRn → 0 при n →∞, то
(xn, yn) → (x0, y0) при n →∞. Поэтому F (x0, y0) = lim
n→∞F (xn, yn) = 0.
Таким образом, доказано, что
179
Н.В. Фещенко
∫∫
B
f (u, v) du dv = 0
для любого прямоугольника B со сторонами параллельными координатным осям,
лежащего в U .
Отсюда из общих свойств меры и интеграла Лебега следует, что f = 0 п.в. в U . А
так как (ξ0, η0) – произвольная точка из T 1/∂T 1, то f = 0 п.в. в T 1.
Аналогично получаем, что f = 0 п.в. в T 2 и T 3, а, следовательно, и в T . ¤
При α 6= 1 пока не удалось получить подобного результата. Но если рассмат-
ривать треугольники Tα(z) для двух значений α одновременно, то при некоторых
соотношениях между этими значениями результат остается в силе, как показывает
следующая
Теорема 1.2. Пусть n ∈ N, α1 = n
n+3 , α2 = − 2n
2n+3 и f ∈ L (T ) такая, что
интегралы от f над Tα1 (z) и Tα2 (z) одновременно равняются нулю для всех z из
T 0. Тогда f = 0.
Доказательство.
Доказательство теоремы опирается на следующую лемму.
Лемма 2. Пусть z ∈ T 0 таково, что T (z) ⊆ T 1. Тогда в условиях теоремы 1.2
интеграл от f над T (z) равняется нулю.
Доказательство. Пусть a – это сторона треугольника T (z). Выберем точку z0,1
так, чтобы верхняя вершина треугольника Tα1 (z0,1) совпадала с верней вершиной
треугольника T (z). Тогда сторона треугольника Tα1 (z0,1) равна an
n+1 . Нижнюю сто-
рону треугольника Tα1 (z0,1) разобьем на n + 1 часть и пристроим к ней новые тре-
угольники Tα1 (z1,i) и Tα2 (z̃1,j), где i = 1, n + 2, j = 1, n + 1 со сторонами равными
an
(n+1)2
, как показано на рисунке 1.3.
Далее разбиваем каждую из нижних сторон треугольников Tα1 (z1,i) на
n + 1 часть и пристраиваем новые треугольники Tα1 (z2,i), Tα2 (z̃2,j), где
i = 1, (n + 1) (n + 2) + 1, j = 1, (n + 1) (n + 2) со сторонами равными an
(n+1)3
и т.д.
Так как сумма сторон треугольников Tα1 (zk,1) при k = 0, 1, 2, ... равна
∞∑
k=0
an
(n + 1)k+1
= a,
то треугольники Tα1 (zk,i), Tα2 (z̃k,j) полностью покрывают треугольник T (z) и, к
тому же, попарно не пересекаются.
180
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение
Рис. 1.3
Поэтому,
∫∫
T (z)
f dxdy =
∫∫
Tα1 (z0,1)
f dxdy+
+
∞∑
k=1
∑
i
∫∫
Tα1(zk,i)
f dxdy +
∑
j
∫∫
Tα2(z̃k,j)
f dxdy
= 0.
Здесь использовалось то, что интеграл от f над Tα1 (zk,i) , Tα2 (z̃k,j) для всех k, i, j
равен нулю по условиям теоремы 1.2. ¤
Теперь теорема 1.2 очевидно следует из леммы 2 и доказательства теоремы 1.1.
¤
2. Аналог проблемы Зальцмана для правильного тетраэдра.
Теорема 2.2. Пусть P – замкнутый правильный тетраэдр ABCS. Для каж-
дого z из P 0 = P\∂P обозначим через P (z) – наибольший замкнутый правильный
тетраэдр в P с центром в z. Если f ∈ L (P ) такая, что интеграл от f над P (z)
равняется нулю для всех z из P 0, то f = 0.
Доказательство.
Пусть О – центр тетраэдра P . Соединим точку О с вершинами тетраэдра P .
Таким образом, P разбивается на четыре треугольных пирамиды P 1 = ∆ABCO,
P 2 = ∆ABSO, P 3 = ∆BCSO и P 4 = ∆ACSO.
Докажем сначала следующее вспомогательное утверждение.
Лемма 3. В условиях теоремы 2.2 пусть R ⊂ P 1 – замкнутый параллелепипед
с центром в точке z ∈ P 0 и гранями параллельными ABS,BCS и ACS. Тогда
∫∫
R
f dx dy dz = 0.
181
Н.В. Фещенко
Доказательство. Продлим грани параллелепипеда R до пересечения с гранью
ABC. Получим тетраэдры P (zi) для некоторых точек zi (см. рис. 2.2). По условию
теоремы 2.2
∫∫
P (zi)
f dxdydz = 0,
при i ∈ {1, . . . , 8}.
Рис. 2.2
Очевидно, что
∫∫
R
f dxdydz
=
∫∫
P (z1)
f dxdydz −
(∫∫
P (z2)
f dxdydz +
∫∫
P (z3)
f dxdydz +
∫∫
P (z4)
f dxdydz
)
+
+
(∫∫
P (z5)
f dxdydz +
∫∫
P (z6)
f dxdydz +
∫∫
P (z7)
f dxdydz
)
−
∫∫
P (z8)
f dxdydz = 0.
182
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение
¤
Пусть (ξ0, η0, ζ0) ∈ P 1/∂P 1. Рассмотрим функцию
F (x, y, z) =
∫ x+a
x
∫ y+b
y
∫ z+c
z
f (u, v, w) du dv dw
=
∫∫∫
A
f (x + u, y + v, z + w) du dv dw,
где a, b, c – фиксированные числа, и A = [0, a] × [0, b] × [0, c]. При этом, функцию
F (x, y, z) мы будем рассматривать лишь в окрестности U точки (ξ0, η0, ζ0), целиком
лежащей в P 1.
По свойствам интеграла Лебега функция F – непрерывна.
Пусть R – произвольный замкнутый правильный параллелепипед с гранями па-
раллельными ABS,BCS и ACS, лежащий в U . Тогда по теореме Фубини и лемме 3
∫∫∫
R
F (x, y, z) dx dy dz =
∫∫∫
R
dx dy dz
∫∫∫
A
f (x + u, y + v, z + w) du dv dw
=
∫∫∫
A
du dv dw
∫∫∫
R
f (x + u, y + v, z + w) dx dy dz
=
∫∫∫
A
du dv dw
∫∫∫
R(−→z )
f (x, y, z) dx dy dz = 0,
где параллелепипед R (−→z ) получается из R параллельным переносом на вектор−→z = (u, v, w).
Пусть (x0, y0, z0) точка из U выберем последовательность параллелепипедов
{Rn}∞n=1 в U ,содержащих точку (x0, y0, z0), и такую, что diamRn → 0 при n → ∞.
По доказанному
∫∫∫
Rn
F (x, y, z) dx dy dz = 0 (2)
для любого n. Так как F – непрерывная функция, то по теореме о среднем для
любого n существует точка (xn, yn, zn) ∈ Rn такая, что
∫∫∫
Rn
F (x, y, z) dx dy dz = F (xn, yn, zn)measRn.
Откуда в силу (2) следует, что F (xn, yn, zn) = 0. Так как diamRn → 0 при n →∞,
то (xn, yn, zn) → (x0, y0, z0) при n →∞. Поэтому,
F (x0, y0, z0) = lim
n→∞F (xn, yn, zn) = 0.
Таким образом, доказано, что
∫∫∫
B
f (u, v, w) du dv dw = 0
183
Н.В. Фещенко
для любого параллелепипеда B со сторонами параллельными координатным осям,
лежащим в U .
Отсюда из общих свойств меры и интеграла Лебега следует, что f = 0 п.в. в U .
А так как (ξ0, η0, ζ0) – произвольная точка из P 1/∂P 1, то f = 0 п.в. в P 1.
Аналогично получаем, что f = 0 п.в. в P 2, P 3 и P 4, а, следовательно, и в P . ¤
3. Применение полученных результатов. Здесь всюду используются обо-
значения первого пункта.
Следующая теорема представляет собой некоторый критерий голоморфности
функций, определенных на правильном треугольнике.
Теорема 3.1. Пусть f ∈ C1 (T ) и
∫
∂T (z) f (w) dw = 0, ∀z ∈ T 0. Тогда f голо-
морфна в T 0.
Доказательство. По формуле Грина и условию теоремы для любого z ∈ T 0
имеем
2i
∫∫
T (z)
∂f
∂w
dxdy =
∫
∂T (z)
f (w) dw = 0.
Применяя теорему 1.1, получим ∂f
∂z = 0. А это и значит, что f голоморфна в T 0.
¤
Теперь мы докажем полноту некоторой системы функций в Lp.
Теорема 3.2. Множество функций вида χT (z), z ∈ T 0, где
χT (z) (w) =
{
1, если w ∈ T (z) ,
0, если w /∈ T (z) ,
является замкнутым в Lp (T ) при 1 ≤ p < ∞.
Доказательство. По следствию из теоремы Хана-Банаха утверждение теоре-
мы 3.2 эквивалентно следующему: для любой функции φ линейной и непрерывной
на Lp (T ) из условия
〈
φ, χT (z)
〉
= 0, z ∈ T следует, что φ = 0.
По теореме Рисса об общем виде линейного функционала
〈φ, g〉 =
∫
T
g (x, y) h (x, y) dx dy,
где h ∈ Lq (T ), 1
p + 1
q = 1, 1 ≤ p < ∞, 1 < q ≤ ∞.
Так как
〈
φ, χT (z)
〉
=
∫
T χT (z) (x, y) h (x, y) dxdy =
∫
T (z) h (x, y) dxdy и〈
φ, χT (z)
〉
= 0 то
∫
T (z) h (x, y) dxdy = 0, z ∈ T . Поскольку h ∈ Lq ⊂ L1 = L, то
по теореме 1.1 h = 0. А значит и φ = 0. ¤
С помощью полученных результатов можно также получить аналог теоремы
В. К. Дзядыка.
Теорема 3.3. Пусть f ∈ C1 (T ) и f = u + iv (u = Ref, v = Imf). Тогда од-
на из функций f или f голоморфна в T 0 тогда и только тогда, когда площади
поверхностей функций u, v,
√
u2 + v2, расположенных над любым T (z), равны.
184
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение
Доказательство. Необходимость следует из теоремы В. К. Дзядыка (см. [4]).
Докажем достаточность. Из условия равенства площадей поверхностей функций
u, v,
√
u2 + v2 следует, что
∫∫
T (z)
√
1 +
(
∂u
∂x
)2
+
(
∂u
∂y
)2
dxdy =
∫∫
T (z)
√
1 +
(
∂v
∂x
)2
+
(
∂v
∂y
)2
dxdy =
=
∫∫
T (z)
√√√√1 +
(
∂
√
u2 + v2
∂x
)2
+
(
∂
√
u2 + v2
∂y
)2
dxdy. (3)
Рассмотрим функции
g =
√
1 +
(
∂u
∂x
)2
+
(
∂u
∂y
)2
−
√
1 +
(
∂v
∂x
)2
+
(
∂v
∂y
)2
и
h =
√
1 +
(
∂v
∂x
)2
+
(
∂v
∂y
)2
−
√√√√1 +
(
∂
√
u2 + v2
∂x
)2
+
(
∂
√
u2 + v2
∂y
)2
.
В силу равенства (3) функции g и h удовлетворяют условию теоремы 1.1. Поэто-
му, g ≡ 0 и h ≡ 0. Следовательно,
√
1 +
(
∂u
∂x
)2
+
(
∂u
∂y
)2
≡
√
1 +
(
∂v
∂x
)2
+
(
∂v
∂y
)2
≡
≡
√√√√1 +
(
∂
√
u2 + v2
∂x
)2
+
(
∂
√
u2 + v2
∂y
)2
.
А значит,
∫∫
E
√
1 +
(
∂u
∂x
)2
+
(
∂u
∂y
)2
dxdy =
∫∫
E
√
1 +
(
∂v
∂x
)2
+
(
∂v
∂y
)2
dxdy =
=
∫∫
E
√√√√1 +
(
∂
√
u2 + v2
∂x
)2
+
(
∂
√
u2 + v2
∂y
)2
dxdy
для любого измеримого множества E ⊆ T . Поэтому по теореме В. К. Дзядыка одна
из функций f или f голоморфна в T 0. ¤
Следующий результат касается гомеоморфизмов с N -свойством Лузина.
Теорема. Пусть f : T → R2 гомеоморфизм c N -свойством Лузина и
µ (f (T (z))) = µ (T (z)) , ∀ z ∈ T 0, где µ – мера Лебега на плоскости. Тогда
µ (f (E)) = µ (E) для любого измеримого множества E ⊆ T .
185
Н.В. Фещенко
Доказательство.
Рассмотрим функцию множеств ν (E) = µ (f (E)). Так как f – гомеоморфизм, то
f – инъективное отображение. Поэтому ν является мерой. По N -свойству [5, с. 231]
мера ν абсолютно непрерывна относительно меры Лебега µ. Значит, по теореме
Радона-Никодима найдется такая функция w ∈ L (T ), что для любого измеримого
множества E
µ (f (E)) =
∫
E
w (x, y) dxdy.
Так как µ (E) =
∫
E 1 dxdy, то ∀z ∈ T по условию теоремы
0 = µ (f (T (z)))− µ (T (z)) =
∫
T (z)
(w (x, y)− 1) dxdy.
Следовательно, по теореме 1.1 w (x, y) = 1 п.в. А значит, µ (f (E)) = µ (E) для
любого измеримого множества E. ¤
1. Berenstein C. A. El problema de Pompeiu // Atas do Novo Coloquio Brasileiro de Matematica,
Pocos de Caldas. - 1973.
2. Thompson K. W. and Schonbek T. A Problem of Pompeiu Type // American Mathematical Monthly.
- 1980. - №87. – P. 32-36.
3. Thompson K. W. Additional results of Zalcman’s Pompeiu problem // Aequationes Mathematicae.
– 1992. - №44. - P. 42-47.
4. Дзядык В. К. Геометрическое определение аналитических функций // УМН. – 1960. - 15:1 (91).
P.191–194.
5. Натансон И. П. Теория функций действительного переменного. - М.: Наука, 1974. – 480с.
N.V. Feshchenko
Analogues of Zalcman’s problem and their applications
We consider the analogue of Zalcman’s problem for regular triangle and tetrahedron. The case, when
function has zero integral over all regular triangles (tetrahedrons), which is tangent to given one by
inner way, is fully analyzed. We also obtain some analogue of theorem of Thompson and Shconbek
for discrete set of parameters α. With the help of proved results the new criterion of holomorphy of
functions for regular triangle is obtained, the result about completeness of some system of functions
in Lp and the analogue of Dzyadyk’s theorem are proved, the new result about homeomorphisms
with Lusin’s N -property is obtained.
Keywords: Zalcman’s problem, Lebesgue integrable functions, holomorphic functions,
Green formula, linear functional, Hahn-Banach theorem, Riesz theorem, Dzyadyk’s theorem,
homeomorphisms.
Н.В. Фещенко
Аналоги проблеми Зальцмана та їх застосування
У роботi розглядається аналог проблеми Зальцмана для правильних трикутника i тетраедра.
Повнiстю розiбрано випадок, коли функцiя має нульовий iнтеграл по всiх правильних трикутни-
ках (тетраедрах), якi дотикаються даного внутрiшнiм чином. Отримано деякий аналог теореми
186
Аналоги проблемы Зальцмана и их применение
Томпсона i Шонбека для дискретної множини параметрiв α. За допомогою доведених резуль-
татiв отримано новий критерiй голоморфностi функцiй для правильного трикутника, доведено
результат про повноту деякої системи функцiй в Lp, доведено аналог теореми В. К. Дзядика,
отримано новий результат про гомеоморфiзми з N -властивiстю Лузiна.
Ключовi слова: Проблема Зальцмана, функцiї iнтегрованi за Лебегом, голоморфнi функцiї,
формула Грiна, лiнiйний функцiонал, теорема Хана-Банаха, теорема Рiсса, теорема В. К.
Дзядика, гомеоморфiзми.
Донецкий национальный университет
natalyafeschenko@mail.ru
Получено 03.06.10
187
|