Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата
Рассмотрены условия существования дробно-линейного первого интеграла по компонентам единичного вектора вертикали в случае, когда дифференциальные уравнения динамики допускают три линейных инвариантных соотношения. В полном объеме исследованы данные условия, основанные на уравнениях Пуассона. Показан...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123945 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата / Е.К .Щетинина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 206-212. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123945 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Щетинина, Е.К. 2017-09-14T18:05:54Z 2017-09-14T18:05:54Z 2010 Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата / Е.К .Щетинина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 206-212. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123945 531.38 Рассмотрены условия существования дробно-линейного первого интеграла по компонентам единичного вектора вертикали в случае, когда дифференциальные уравнения динамики допускают три линейных инвариантных соотношения. В полном объеме исследованы данные условия, основанные на уравнениях Пуассона. Показано, что вектор угловой скорости гиростата можно представить в виде суперпозиции постоянного вектора и вектора Gv, где G - антисимметричная матрица, а v -вектор вертикали. Розглянуто умови існування дробово-лінійного першого інтеграла по компонентах одиничного вектора вертикалі у випадку, коли диференціальні рівняння динаміки припускають три лінійних інваріантних співвідношення. У повному обсязі досліджено дані умови, засновані на рівняннях Пуассона. Показано, що вектор кутової швидкості гіростата можна зобразити у вигляді суперпозиції постійного вектора і вектора Gv, де G - антисиметрична матриця, а v - вектор вертикалі. The conditions of fractional-linear first integral’s existence on components of the unit vector vertically were considered in the case when the differential equations of dynamics allow three linear invariant relations. These conditions, based on the Poisson’s equations, are investigated in full. It is shown that the angular velocity vector of gyrostat can be represented as a superposition of a constant vector and a vector Gv , where G - antisymmetric matrix, and v - vector of vertical. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата Необхідні умови існування дробово-лінійного інтеграла у випадку трьох інваріантних співвідношень рівнянь динаміки гіростата Necessary conditions of existence of linear-fractional integral in the case of three invariant relations of gyrostat’s dynamic equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата |
| spellingShingle |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата Щетинина, Е.К. |
| title_short |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата |
| title_full |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата |
| title_fullStr |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата |
| title_full_unstemmed |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата |
| title_sort |
необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата |
| author |
Щетинина, Е.К. |
| author_facet |
Щетинина, Е.К. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Необхідні умови існування дробово-лінійного інтеграла у випадку трьох інваріантних співвідношень рівнянь динаміки гіростата Necessary conditions of existence of linear-fractional integral in the case of three invariant relations of gyrostat’s dynamic equations |
| description |
Рассмотрены условия существования дробно-линейного первого интеграла по компонентам единичного вектора вертикали в случае, когда дифференциальные уравнения динамики допускают три линейных инвариантных соотношения. В полном объеме исследованы данные условия, основанные на уравнениях Пуассона. Показано, что вектор угловой скорости гиростата можно представить в виде суперпозиции постоянного вектора и вектора Gv, где G - антисимметричная матрица, а v -вектор вертикали.
Розглянуто умови існування дробово-лінійного першого інтеграла по компонентах одиничного вектора вертикалі у випадку, коли диференціальні рівняння динаміки припускають три лінійних інваріантних співвідношення. У повному обсязі досліджено дані умови, засновані на рівняннях Пуассона. Показано, що вектор кутової швидкості гіростата можна зобразити у вигляді суперпозиції постійного вектора і вектора Gv, де G - антисиметрична матриця, а v - вектор вертикалі.
The conditions of fractional-linear first integral’s existence on components of the unit vector vertically were considered in the case when the differential equations of dynamics allow three linear invariant relations. These conditions, based on the Poisson’s equations, are investigated in full. It is shown that the angular velocity vector of gyrostat can be represented as a superposition of a constant vector and a vector Gv , where G - antisymmetric matrix, and v - vector of vertical.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123945 |
| citation_txt |
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла в случае трех инвариантных соотношений уравнений динамики гиростата / Е.К .Щетинина // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 206-212. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT ŝetininaek neobhodimyeusloviâsuŝestvovaniâdrobnolineinogointegralavslučaetrehinvariantnyhsootnošeniiuravneniidinamikigirostata AT ŝetininaek neobhídníumoviísnuvannâdrobovolíníinogoíntegralauvipadkutrʹohínvaríantnihspívvídnošenʹrívnânʹdinamíkigírostata AT ŝetininaek necessaryconditionsofexistenceoflinearfractionalintegralinthecaseofthreeinvariantrelationsofgyrostatsdynamicequations |
| first_indexed |
2025-11-27T05:44:41Z |
| last_indexed |
2025-11-27T05:44:41Z |
| _version_ |
1850799720241299456 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20
УДК 531.38
c©2010. Е.К.Щетинина
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА В СЛУЧАЕ
ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ГИРОСТАТА
Рассмотрены условия существования дробно-линейного первого интеграла по компонентам единич-
ного вектора вертикали в случае, когда дифференциальные уравнения динамики допускают три
линейных инвариантных соотношения. В полном объеме исследованы данные условия, основанные
на уравнениях Пуассона. Показано, что вектор угловой скорости гиростата можно представить в
виде суперпозиции постоянного вектора и вектора Gν, где G – антисимметричная матрица, а ν –
вектор вертикали.
Ключевые слова: обобщенные уравнения динамики гиростата, инвариантное соотношение, ин-
вариантное множество, первый интеграл.
1. Постановка задачи. Характерной особенностью многих задач динамики ги-
ростата с неподвижной точкой является наличие в их математической модели дина-
мических уравнений и кинематических уравнений Пуассона [1, 6, 8, 9]. В последние
годы изучаются условия существования у этих уравнений первых интегралов на
инвариантных множествах [2]. Методика получения условий существования первых
интегралов на инвариантных множествах имеет много общих принципов с мето-
дом исследования инвариантных соотношений [5, 6, 7]. Наиболее общие дифферен-
циальные уравнения задачи о движении твердого тела с неподвижной точкой под
действием потенциальных и гироскопических сил, которые допускают три первых
интеграла, получены в 1963 году итальянским механиком Д.Гриоли [8]. В векторном
виде они таковы:
ẋ = x× ax + µ(ax, ν)(ν × ax) +
∂L(ν1, ν2, ν3)
∂ν
× aν +
∂U(ν1, ν2, ν3)
∂ν
× ν,
ν̇ = ν × ax,
(1)
где x = (x1, x2, x3) – вектор момента количества движения; ν = (ν1, ν2, ν3) – еди-
ничный вектор оси симметрии силового поля; L(ν1, ν2, ν3), U(ν1, ν2, ν3) – скалярные
функции компонент вектора ν; µ(ax,ν) – скалярная функция компонент вектора
угловой скорости ω = ax и вектора ν; a – гирационный тензор; ∂L
∂ν =
(
∂L
∂ν1
, ∂L
∂ν2
, ∂L
∂ν3
)
,
∂U
∂ν =
(
∂U
∂ν1
, ∂U
∂ν2
, ∂U
∂ν3
)
. Обозначим через (aij) – компоненты гирационного тензора a,
тогда компоненты вектора ω имеют вид:
ω1 = a11x1 + a12x2 + a13x3,
ω2 = a12x1 + a22x2 + a23x3,
ω3 = a13x1 + a23x2 + a33x3.
(2)
206
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла
Уравнения Гриоли-Пуассона (1) допускают три первых интеграла:
x · ax− 2U(ν1, ν2, ν3) = 2E, ν · ν = 1, x · ν + L(ν1, ν2, ν3) = k. (3)
Здесь E, k – произвольные постоянные.
Пусть в уравнениях (1) и интегралах (3)
µ ≡ 0, L = λ · ν − 1
2
(Bν · ν), U = s · ν − 1
2
(Cν · ν). (4)
Тогда из (1), (3) на основе (4) получаем уравнения Кирхгофа-Пуассона
ẋ = (x + λ)× ax + ax×Bν + s× ν + ν × Cν,
ν̇ = ν × ax.
(5)
и их первые интегралы
ax · x− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1, (x + λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k. (6)
Отметим, что λ = (λ1, λ2, λ3) – вектор гиростатического момента; s = (s1, s2, s3)
– вектор, сонаправленный с вектором обобщенного центра масс гиростата; B = (Bij),
C = (Cij) – постоянные симметричные матрицы третьего порядка.
История формирования уравнений Кирхгофа и различные формы этих и обоб-
щенных уравнений изложены в работах [1, 9].
При построении новых решений уравнений динамики возможны различные под-
ходы. Эффективным является подход, основанный на интегрировании уравнений в
случае существования дополнительных инвариантных соотношений и первых инте-
гралов [1, 2, 5–7].
Поставим задачу об исследовании у уравнений Пуассона
ν̇ = ν × ω, (7)
которые допускают первый геометрический интеграл ν · ν = 1, условий существо-
вания дробно-линейного первого интеграла по переменным ν1, ν2, ν3
α0 + (α · ν)
β0 + (β · ν)
= l0, (8)
где l0 – произвольная постоянная, α0 и β0 – фиксированные постоянные, α и β –
постоянные векторы. В силу структуры интеграла (8) без ограничения общности
можно считать, что α = (α1, α2, α3) и β = (β1, β2, β3) – единичные и ортогональные
векторы
α · β = 0, |α| = 1, |β| = 1. (9)
Вводя вместо произвольной постоянной l0 новую произвольную постоянную τ0
по формуле l0 = tg τ0 соотношение (8) с учетом (9) преобразуем к виду
n · ν = n0, (10)
207
Е.К.Щетинина
где n = (n1, n2, n3) – единичный вектор, а ni(i = 1, 2, 3) и n0 таковы:
ni = αi cos τ0 − βi sin τ0, n0 = β0 sin τ0 − α0 cos τ0, (11)
Вычислим производную от интеграла (10) в силу уравнения (7)
ω · (n× ν) = 0. (12)
Таким образом, в силу того, что в интеграле (8) переменные ν1, ν2, ν3 прини-
мают произвольные значения на сфере Пуассона, то соотношение (12) описывает
множество в шестимерном пространстве, на котором имеет место интеграл (10).
2. Условия существования интеграла (10) в случае трех инвариантных
соотношений.Для параметризации соотношения (10) и геометрического интеграла
из (3) положим
n1 = sin x0 sinσ0, n2 = sin x0 cosσ0, n3 = cosx0, n0 = cos ε0, (13)
где в силу (11), (13) параметры x0, σ0 и ε0 выражаются через параметр τ0 и компо-
ненты векторов α и β по следующим формулам:
cosx0 = a3 cos τ0 − β3 sin τ0, cos ε0 = β0 sin τ0 − α0 cos τ0,
sinσ0 =
α1 cos τ0 − β1 sin τ0
sinx0
, cosσ0 =
α2 cos τ0 − β2 sin τ0
sinx0
.
(14)
На основании обозначений (13) соотношение (10) примет вид
ν1 sinx0 sinσ0 + ν2 sinx0 cosσ0 + ν3 cosx0 = cosε0. (15)
Уравнению (15) и геометрическому интегралу ν · ν = 1 удовлетворим, положив
ν1 = sin x0 sinσ0 cos ε0 + cosσ0 sin ε0 cosu + cos x0 sinσ0 sin ε0 sinu,
ν2 = sin x0 cosσ0 cos ε0 − sinσ0 sin ε0 cosu + cos x0 cosσ0 sin ε0 sinu,
ν3 = cosx0 cos ε0 − sinx0 sin ε0 cosu,
(16)
где u – новая вспомогательная переменная. В формулах (16) следует учитывать (14).
Интеграл (10) имеет следующую геометрическую интерпретацию: при фиксиро-
ванном значении τ0 в течение всего времени движения гиростата постоянен угол
между вектором n, неизменно связанным с телом, и вектором вертикали ν. Та-
кое движение называют прецессией гиростата относительно вертикали. Поскольку
конец вектора n при изменении параметра τ0 описывает окружность с центром в
неподвижной точке, лежащую в плоскости векторов α и β, то соотношение (10)
описывает целое семейство прецессий гиростата, зависящее от одной произвольной
постоянной [3]. Таким образом, интеграл (8) можно рассматривать не в виде (8),
разрешенном относительно произвольной постоянной, а в виде равенства (10), в ко-
торое параметр τ0 входит и в левую, и в правую части.
208
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла
Если в равенствах (13), (15) предполагать параметры ε0, σ0 переменными и неза-
висимыми, то вектор n может и не принадлежать плоскости.
Соотношение (12) будем изучать в случае, когда система уравнений Гриоли-
Пуассона (1) или уравнений Кирхгофа-Пуассона (5) допускает три линейных инва-
риантных соотношения:
x1 = b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3,
x2 = c0 + c1ν1 + c2ν2 + bcν3,
x3 = d0 + d1ν1 + d2ν2 + d3ν3,
(17)
где bi, ci, di(i = 1, 2, 3) – фиксированные постоянные. Пусть подвижная система коор-
динат является главной, то есть aij = 0(i 6= j) и aii = ai(i = 1, 3). Тогда компоненты
вектора угловой скорости таковы:
ω1 = a1x1, ω2 = a2x2, ω3 = a3x3. (18)
Подставим величины ni, νi, ωi из равенств (13), (16), (18) (с учетом (17)) в урав-
нение (12)
(a2c0 sinσ0 − a1b0 cosσ0) sinu + (a1b0 cosx0 sinσ0 + a2c0 cosx0 cosσ0−
− a3d0 sinx0) cosu + (sinx0 sinσ0 cos ε0 + cosσ0 sin ε0 cosu+
+ cos x0 sinσ0 sin ε0 sinu)[(a2c1 sinσ0 − a1b1 cosσ0) sin u + (a1b1 cosx0 sinσ0+
+ a2c1 cosx0 cosσ0 − a3d1 sinx0) cos u] + (sinx0 cosσ0 cos ε0−
− sinσ0 sin ε0 cosu + cosx0 cosσ0 sin ε0 sinu)[(a2c2 sinσ0 − a1b2 cosσ0) sin u+
+ (a1b2 cosx0 sinσ0 + a2c2 cosx0 cosσ0 − a3d2 sinx0) cos u)+
+ (cosx0 cos ε0 − sinx0 sin ε0 sinu)[(a2c3 sinσ0 − a1b3 cosσ0) sinu+
+ (a1b3 cosx0 sinσ0 + a2c3 cosx0 cosσ0 − a3d3 sinx0) cos u] = 0.
(19)
Данное равенство должно выполняться для любых значений переменной u и для
любых значений параметров σ0 и ε0.
Потребуем, чтобы соотношение (19) было тождеством по переменной u. Тогда
получим условия:
sin ε0{(a2c1 − a1b2) cos x0 + [(a3d2 − a2c3) sin σ0−
− (a3d1 − a1b3) cos σ0] sinx0} = 0,
(20)
sin ε0{[(a1b1 − a2c2) sin 2σ0 + (a2c1 + a1b2) cos 2σ0] cos x0+
+ [(a3d2 + a2c3) sinσ0 − (a3d1 + a1b3) cos σ0] sinx0} = 0,
(21)
sin ε0{(a2c1 + a1b2) sin σ0 cosσ0 − (a1b1 cos2 σ0 + a2c2 sin2 σ0)+
+ a3d3 sin2 x0 + [(a2c1 + a1b2) sinσ0 cosσ0 + a1b1 sin2 σ0 + a2c2 cos2 σ0]×
× cos2 x0 − [(a3d1 + a1b3) sinσ0 + (a3d2 + a2c3) cosσ0] sinx0 cosx0} = 0,
(22)
209
Е.К.Щетинина
a2c0 sinσ0 − a1b0 cosσ0 + (a2c1 sinσ0 − a1b1 cosσ0) sinx0 sinσ0 cos ε0+
+ (a2c2 sinσ0 − a1b2 cosσ0) sin x0 cosσ0 cos ε0 + (a2c3 sinσ0−
− a1b3 cosσ0) sinx0 cos ε0 = 0,
(23)
a1b0 cosx0 sinσ0 + a2c0 cosx0 cosσ0 − a3d0 sinx0 + (a1b1 cosx0 sinσ0+
+ a2c1 cosx0 cosσ0 − a3d1 sinx0) sin x0 sinσ0 cos ε0 + (a1b2 cosx0 sinσ0+
+ a2c2 cosx0 cosσ0 − a3d2 sinx0) sin x0 sinσ0 cos ε0 + (a1b3 cosx0 sinσ0+
+ a2c3 cosx0 cosσ0 − a3d3 sinx0) cos x0 cos ε0 = 0.
(24)
При анализе решения системы (20)–(24) возникает особый случай
a2c1 = a1b2, a3d1 = a1b3, a3d2 = a2c3, (25)
для которого уравнение (20) становится тождеством. На основании равенств (25)
уравнения (21), (22) преобразуем к виду
[(a1b1 − a2c2) sin 2σ0 + 2a1b2 cos 2σ0] cos x0 + 2(a2c3 sinσ0−
− a1b3 cosσ0) sinx0 = 0,
(26)
2[2a1b2 sin 2σ0 + (a2c2 − a1b1) cos 2σ0] cos2 x0 − 2(a1b3 sinσ0+
+ a2c3 cosσ0) sin 2x0 + [2a1b2 sin 2σ0 + (a2c2 − a1b1) cos 2σ0+
+ (a3d3 − a1b1) + (a3d3 − a2c2)] sin2 x0 = 0.
(27)
Исключая из соотношений (26), (27) параметр x0 и требуя, чтобы полученное
равенство было тождеством по параметру σ0, найдем условия b2 = b3 = c1 = c3 = 0,
a1b1 = a2c2 = a3d3.
Тогда из уравнений (23), (24) вытекает, что b0 = c0 = d0 = 0, то есть в силу (18)
ω = a1b1ν. Подстановка этого значения ω в уравнение Пуассона (7) приводит к вы-
воду, что вектор ν постоянен. Следовательно, гиростат вращается равномерно. Этот
случай не представляет интереса, так как левая часть интеграла (8) вырождается в
постоянную.
Пусть равенства (25) одновременно не выполняются. В этом случае на основании
(13) соотношения (20)–(24) становятся тождествами по τ0 при выполнении условий:
a2c2 = a1b1, a3d3 = a1b1, a2c1 = −a1b2, a3d1 = −a1b3, a3d2 = −a2c3,
a2c3α1 − a1b3α2 + a1b2α3 = 0, a2c3β1 − a1b3β2 + a1b2β3 = 0,
a2c3b0 − a2b3c0 + a3b2d0 = 0, a1b0α2 − a2c0α1 − a1b2α0 = 0,
a1b0β2 − a2c0β1 − a1b2β0 = 0.
(28)
Для исследования системы (28) введем векторы
g = (−a2c3, a1b3,−a1b2), m = (a1b0, a2c0, a3d0). (29)
210
Необходимые условия существования дробно-линейного интеграла
Тогда шестое, седьмое и восьмое уравнения запишутся в виде g · α = 0, g · β = 0,
a1(g ·m) = 0, то есть, если a1 6= 0, то g = µ0(α× β), где µ0 – параметр.
Итак, на основании (28), (29) доказано следующее утверждение: если параметры
αi, βi(i = 0, 1, 2, 3) заданы, то для существования дробно-линейного интеграла (8) в
случае трех инвариантных соотношений (17) должны выполняться условия:
a2c2 = a1b1, a3d3 = a1b1, a2c1 = −a1b2, a3d1 = −a1b3, a3d2 = −a2c3,
a2c3 = µ0(α2β3 − α3β2), a1b3 = −µ0(α3β1 − α1β3), a1b2 = µ0(α1β2 − α2β1),
a1b0 = p0α1 + q0β1, a2c0 = p0α2 + q0β2, a3d0 = p0α3 + q0β3,
(30)
где p0 = a1b2β0
α1β2−α2β1
, q0 = a1b2α0
α2β1−α1β2
.
Из (18), (30) имеем
ω = m + Gν, G =
a1b1 a1b2 a1b3
−a1b2 a1b1 a2c3
−a1b3 −a2c3 a1b1
, (31)
ν̇ = ν ×m + ν ×Gν, (32)
то есть матрица G является антисимметричной.
Уравнение Пуассона (32) допускает два интеграла: геометрический и дробно-
линейный (8). Поэтому оно интегрируется в квадратурах.
Поскольку динамические уравнения движения гиростата не рассматривались в
данном исследовании, то полученные на основе анализа уравнений Пуассона и гео-
метрического интеграла условия (30) можно назвать кинематическими условиями
существования дробно-линейного интеграла (8) в случае трех линейных инвариант-
ных соотношений. Они имеют место для любой задачи динамики, уравнения которой
содержат уравнение Пуассона (7).
Как уже отмечено выше, такими уравнениями могут быть уравнения (1) с инте-
гралами (3), уравнения (5) с интегралами (6). Примеры интегрирования уравнения
Пуассона (32) рассмотрены в работе [4].
1. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела.
Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296с.
2. Горр Г.В., Мазнев А.В. Об условиях существования первого интеграла уравнений Кирхгофа-
Пуассона на инвариантном множестве // Механика твердого тела. – 2009. – Вып.39. – С.50-61.
3. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твердого тела
и в динамике систем связанных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222с.
4. Горр Г.В., Узбек Е.К. Об интегрировании уравнений Пуассона в случае трех линейных инва-
риантных соотношений // Прикл. математика и механика. – 2002. – Т.66, вып.3. – С.418-426.
5. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. В 2-х т. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1951. – Т.2. – Динамика систем с конечным числом степеней свободы. – 555с.
6. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Ме-
ханика твердого тела. – 1974. – Вып.6. – С.15-24.
7. Чаплыгин С.А. О принципе последнего множителя // Собр. соч. – Т.1. – М.-Л.: Гостехиздат. –
1948. – С.5-14.
8. Grioli G. Questioni di dinamica del corpo rigido // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. sci. fis. e
natur. – 1963/ – 35, 1-2. – P.35-39.
211
Е.К.Щетинина
9. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces. // J.
Theor. аnd Appl. Mechan. – 1986. – Т.5. – №5. – Р.747-762.
E.K. Schetinina
Necessary conditions of existence of linear-fractional integral in the case of three
invariant relations of gyrostat’s dynamic equations.
The conditions of fractional-linear first integral’s existence on components of the unit vector
vertically were considered in the case when the differential equations of dynamics allow three linear
invariant relations. These conditions, based on the Poisson’s equations, are investigated in full. It
is shown that the angular velocity vector of gyrostat can be represented as a superposition of a
constant vector and a vector Gν , where G - antisymmetric matrix, and ν - vector of vertical.
Keywords: generalized dynamic equations of gyrostat, the invariant relation, the invariant set, the
first integral.
О.К. Щетiнiна
Необхiднi умови iснування дробово-лiнiйного iнтеграла у випадку трьох iнварiант-
них спiввiдношень рiвнянь динамiки гiростата.
Розглянуто умови iснування дробово-лiнiйного першого iнтеграла по компонентах одиничного
вектора вертикалi у випадку, коли диференцiальнi рiвняння динамiки припускають три лiнiй-
них iнварiантних спiввiдношення. У повному обсязi дослiджено данi умови, заснованi на рiв-
няннях Пуассона. Показано, що вектор кутової швидкостi гiростата можна зобразити у виглядi
суперпозицiї постiйного вектора i вектора Gν , де G - антисиметрична матриця, а ν - вектор
вертикалi.
Ключовi слова: узагальненi рiвняння динамiки гiростата, iнварiантне спiввiдношення, iн-
варiантна множина, перший iнтеграл.
Донецкий национальный ун-т экономики и торговли
им. М.Туган-Барановского
elenaschetinina@mail.ru
Получено 27.05.2010
212
содержание20.pdf
Том 20
Донецк, 2010
Основан в 1997г.
|