Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
Получено обобщение неравенства Тайкова, оценивающего L∞ - норму промежуточной производной через L₂ - нормы самой функции и старшей производной, на произвольные степени самосопряженного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве. Отримано узагальнення нерівності Тайкова, що оцінює L∞ - нор...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2010 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123947 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 11-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123947 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. 2017-09-15T16:37:43Z 2017-09-15T16:37:43Z 2010 Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 11-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123947 517.5 Получено обобщение неравенства Тайкова, оценивающего L∞ - норму промежуточной производной через L₂ - нормы самой функции и старшей производной, на произвольные степени самосопряженного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве. Отримано узагальнення нерівності Тайкова, що оцінює L∞ - норму проміжної похідної через L₂ - норми самої функції та її старшої похідної, на довільні степені самоспряженого оператора A, діючого в гільбертовому просторі. The Taikov inequality, which estimate L∞ – norm of intermediate derivative by L₂ – norms of a function and its higher derivative, is extended on arbitrary powers of self-adjoint operator acting in Hilbert space. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Нерівності типу Тайкова для самоспряжених операторів у гільбертовому просторі Inequalities of Taikov type for self-ajoint operators in Hilbert space Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве |
| spellingShingle |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. |
| title_short |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве |
| title_full |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве |
| title_fullStr |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве |
| title_full_unstemmed |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве |
| title_sort |
неравенство типа тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве |
| author |
Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. |
| author_facet |
Бабенко, В.Ф. Биличенко, Р.О. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Нерівності типу Тайкова для самоспряжених операторів у гільбертовому просторі Inequalities of Taikov type for self-ajoint operators in Hilbert space |
| description |
Получено обобщение неравенства Тайкова, оценивающего L∞ - норму промежуточной производной через L₂ - нормы самой функции и старшей производной, на произвольные степени самосопряженного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве.
Отримано узагальнення нерівності Тайкова, що оцінює L∞ - норму проміжної похідної через L₂ - норми самої функції та її старшої похідної, на довільні степені самоспряженого оператора A, діючого в гільбертовому просторі.
The Taikov inequality, which estimate L∞ – norm of intermediate derivative by L₂ – norms of a function and its higher derivative, is extended on arbitrary powers of self-adjoint operator acting in Hilbert space.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123947 |
| citation_txt |
Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 11-18. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT babenkovf neravenstvotipataikovadlâsamosoprâžennyhoperatorovvgilʹbertovomprostranstve AT biličenkoro neravenstvotipataikovadlâsamosoprâžennyhoperatorovvgilʹbertovomprostranstve AT babenkovf nerívnostítiputaikovadlâsamosprâženihoperatorívugílʹbertovomuprostorí AT biličenkoro nerívnostítiputaikovadlâsamosprâženihoperatorívugílʹbertovomuprostorí AT babenkovf inequalitiesoftaikovtypeforselfajointoperatorsinhilbertspace AT biličenkoro inequalitiesoftaikovtypeforselfajointoperatorsinhilbertspace |
| first_indexed |
2025-11-26T13:14:31Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:14:31Z |
| _version_ |
1850622277218992128 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.5
c©2010. В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
НЕРАВЕНСТВА ТИПА ТАЙКОВА ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Получено обобщение неравенства Тайкова, оценивающего L∞ – норму промежуточной производной
через L2 – нормы самой функции и старшей производной, на произвольные степени самосопряжен-
ного оператора A, действующего в гильбертовом пространстве.
Ключевые слова: неравенства, самосопряженные операторы, гильбертово пространство.
1. Введение. Пусть G — действительная ось R или единичная окружность T.
Через Lr
2,2 (G), r ∈ N, обозначим пространство всех функций x ∈ L2 (G), (r − 1)-я
производная которых локально абсолютно непрерывна и r-я производная принад-
лежит пространству L2(G).
В 1967 году Л.В. Тайков [1] (см. также [2, § 5.7]) установил, что для функций
x ∈ Lr
2,2 (R) , r ∈ N, при любом k ∈ N, k < r, имеет место точное неравенство
∥∥∥x(k)
∥∥∥
L∞(R)
≤ βr,k+1/2
(
2r sinπ
2k + 1
2r
)− 1
2
‖x‖
r−k−1/2
r
L2(R)
∥∥∥x(r)
∥∥∥
k+1/2
r
L2(R)
, (1)
где
βr,α :=
{( r
α
)α
r
(
r
r − α
) r−α
r
} 1
2
. (2)
В 1990 году А.Ю. Шадрин [3] (см. также [2, § 5.8]) получил аналог неравен-
ства (1) для функций x ∈ Lr
2,2 (T): при любых k ∈ N, k < r, справедливо точное
неравенство
∥∥∥x(k)
∥∥∥
L∞(T)
≤ π−
1
2 βr,k+1/2Vr,k ‖x‖
r−k−1/2
r
L2(T)
∥∥∥x(r)
∥∥∥
k+1/2
r
L2(T)
, (3)
где
Vr,k(t) :=
{ ∞∑
n=1
t2k+1n2k
1 + t2rn2r
}1/2
, Vr,k = sup
t>0
Vr,k(t). (4)
Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением (x, y) и нор-
мой ‖x‖ = (x, x)1/2, A — линейный, неограниченный, самосопряженный оператор
в H, D(A) — область его определения. Пусть также f — произвольный линейный
непрерывный функционал, определенный в гильбертовом пространстве H. В данной
заметке получено обобщение неравенств (1), (3) на натуральные степени оператора
A, в котором L∞ - норма промежуточной производной или, что эквивалентно, зна-
чение этой производной в точке 0, заменяется на значение (Akx, f) функционала f
на элементе Akx.
11
В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
2. Предварительные сведения. Приведем некоторые сведения из спектраль-
ной теории самосопряженных операторов, которые можно найти, например, в [4,
§§75, 88].
Разложением единицы называется однопараметрическое семейство проектиру-
ющих операторов Et : H → H, заданное в конечном или бесконечном интервале
[α, β] (если интервал [α, β] бесконечен, то, по определению, принимается E−∞ =
lim
t→−∞Et, E∞ = lim
t→∞Et, в смысле сильной сходимости) и удовлетворяющее следую-
щим условиям:
a) EuEv = Es ∀u, v ∈ [α, β], где s = min{u, v};
b) в смысле сильной сходимости Et−0 = Et (α < t < β) ;
c) Eα = 0, Eβ = I (I — тождественный оператор: Ix = x ∀x ∈ H).
Полагаем Et = 0 при t ≤ α и Et = I при t ≥ β.
Из определения следует, что для любого x ∈ H функция
σ(t) = (Etx, x) , −∞ < t < ∞,
является непрерывной слева, неубывающей функцией ограниченной вариации, для
которой σ(α) = 0, σ(β) = (x, x).
Согласно спектральной теореме каждому самосопряженному оператору A соот-
ветствует разложение единицы Et, t ∈ R, такое, что имеет место равенство
A =
∞∫
−∞
t dEt.
Приведенный здесь интеграл – это операторный интеграл Стилтьеса (см., например,
[4, §72]). По поводу определения и свойств операторных интегралов см. также [5, гл.
13, §1,2]. Вектор x принадлежит D(A) тогда и только тогда, когда
∞∫
−∞
t2 d (Etx, x) < ∞,
и если x ∈ D(A), то
Ax =
∞∫
−∞
t dEtx, ‖Ax‖2 =
∞∫
−∞
t2 d (Etx, x) < ∞.
Для x ∈ D(Ak), k ∈ N,
Akx =
∞∫
−∞
tk dEtx,
∥∥∥Akx
∥∥∥
2
=
∞∫
−∞
t2k d (Etx, x) . (5)
12
Неравенства для операторов в гильбертовом пространстве
Используя спектральное разложение (5), для x ∈ D (Ar) и функционала f можем
записать
(Akx, f) =
∞∫
−∞
tk dEtx, f
=
∞∫
−∞
tk d (Etx, f) . (6)
3. Аддитивные неравенства. Используя (6), для любого τ > 0, любых k, r ∈
N, k < r, и x ∈ D(Ar) можем записать
(Akx, f) =
∞∫
−∞
tk d (Etx, f) =
∞∫
−∞
tk
(1 + τt2r)
1
2
(
1 + τt2r
) 1
2 d (Etx, f) ≤
≤
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2
∞∫
−∞
(
1 + τt2r
)
d (Etx, x)
1
2
=
=
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2 {
‖x‖2 + τ ‖Arx‖2
} 1
2
.
Таким образом, нами доказано, что для любого τ > 0, любых k, r ∈ N, k < r, и
x ∈ D(Ar) имеет место неравенство
(Akx, f) ≤
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2 {
‖x‖2 + τ ‖Arx‖2
} 1
2
. (7)
Покажем, что неравенство (7) является точным в том смысле, что существует
элемент xτ ∈ D (Ar), для которого в (7) имеет место знак равенства. Выберем
xτ =
∞∫
−∞
tk
1 + τt2r
dEtf. (8)
Как нетрудно проверить,
‖xτ‖2 =
∞∫
−∞
t2k
(1 + τt2r)2
d (Etf, f) , (9)
Akxτ =
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
dEtf, Arxτ =
∞∫
−∞
tr+k
1 + τt2r
dEtf. (10)
Из (6) и (10) следует, что
‖Arxτ‖ =
∞∫
−∞
t2(r+k)
(1 + τt2r)2
d (Etf, f) (11)
13
В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
и
(Akxτ , f) =
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f) . (12)
Используя (12), (9) и (11), получим
(Akxτ , f) =
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f) =
=
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2
=
=
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2
∞∫
−∞
t2k + τt2r+2k
(1 + τt2r)2
d (Etf, f)
1
2
=
=
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2 (
‖xτ‖2 + ‖Arxτ‖2
) 1
2
.
Таким образом, нами доказана следующая
Теорема 1. Пусть k, r ∈ N, k < r, A – неограниченный самосопряженный опе-
ратор в гильбертовом пространстве H и f — линейный непрерывный функционал,
определенный в H. Тогда, для любого x ∈ D (Ar) и любого τ > 0 справедливо нера-
венство
(Akx, f) ≤
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2 {
‖x‖2 + τ ‖Arx‖2
} 1
2
. (13)
Неравенство (13) обращается в равенство для элемента вида (8).
4. Мультипликативные неравенства. Для α, z > 0 положим
Vr,k,α(f, z) = zα
∞∫
−∞
t2k
1 + z2rt2r
d (Etf, f)
1
2
, Vr,k,α(f) = sup
z>0
Vr,k,α(f, z).
Теорема 2. Пусть оператор A, функционал f и числа r, k, α таковы, что
Vr,k,α(f) < ∞. Тогда имеет место неулучшаемое неравенство
(Akx, f) ≤ Vr,k,α(f)βr,α ‖x‖
r−α
r ‖Arx‖α
r . (14)
14
Неравенства для операторов в гильбертовом пространстве
Доказательство. Полагая в (13) τ = z2r, получаем для любого z > 0
(Akx, f) ≤ Vr,k,α(f, z)
{
z−2α‖x‖2 + z2r−2α ‖Arx‖2
} 1
2 ≤
≤ Vr,k,α
{
z−2α‖x‖2 + z2r−2α ‖Arx‖2
} 1
2
. (15)
Полагая в (15) z =
{
α
r − α
}1/2r {
‖x‖
‖Arx‖
}1/r
, получим неравенство (14).
Докажем точность этого неравенства. Для определенного соотношением (8) эле-
мента xz2r будем иметь
‖Arxz2r‖2 =
∞∫
−∞
t2k+2r
(1 + z2rt2r)2
d(Etf, f) =
= z−2r
∞∫
−∞
(
t2k
1 + z2rt2r
− t2k
(1 + z2rt2r)2
)
d(Etf, f) = z−2r
[
(Akxz2r , f)− ‖xz2r‖2
]
.
Следовательно,
(Akxz2r , f) = z2r‖Arxz2r‖2 + ‖xz2r‖2,
(Akxz2r , f)
‖xz2r‖2− 2α
r ‖Arxz2r‖ 2α
r
= z2r
(‖Arxz2r‖
‖xz2r‖
)2− 2α
r
+
( ‖xz2r‖
‖Arxz2r‖
) 2α
r
=
= z2α(u2r−2α + u−2α) ≥ z2αβ2
r,α,
где положено u = z
(‖Arxz2r‖
‖xz2r‖
) 1
r
. Отсюда, с учетом (12), получаем
(Akxz2r , f)2
‖xz2r‖2− 2α
r ‖Arxz2r‖ 2α
r
≥ z2α
∞∫
−∞
t2k
1 + z2rt2r
d(Etf, f)β2
r,α = V 2
r,k,α(f, z)β2
r,α.
Остается задать z так, чтобы Vr,k,α(f, z) → Vr,k,α(f). Неулучшаемость неравенства
(14) доказана. Теорема доказана. ¤
5. Замечания.
Замечание 1. Из неравенства (13) вытекает известное неравенство типа Харди-
Литллвуда-Полиа для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве
(см., например, [2, §5.1]), а именно
∥∥∥Akx
∥∥∥ ≤ ‖x‖1− k
r ‖Arx‖ k
r (16)
для всех x ∈ D (Ar).
15
В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
Действительно, для x ∈ D (Ar) и любого τ > 0
∥∥∥Akx
∥∥∥ = sup
‖f‖≤1
|(Akx, f)| ≤
≤ sup
‖f‖≤1
∞∫
−∞
t2k
1 + τt2r
d (Etf, f)
1
2 {
‖x‖2 + τ ‖Arx‖2
} 1
2 ≤
≤
{
max
t
t2k
1 + τt2r
} 1
2 {
‖x‖2 + τ ‖Arx‖2
} 1
2 =
=
{
k
τ(r − k)
} k
2r
{
r − k
r
} 1
2 {
‖x‖2 + τ ‖Arx‖2
} 1
2 =
=
{
k
r − k
} k
2r
{
r − k
r
} 1
2 {
τ−
k
r ‖x‖2 + τ1− k
r ‖Arx‖2
} 1
2
.
Таким образом,
∥∥∥Akx
∥∥∥ ≤
{
k
r − k
} k
2r
{
r − k
r
} 1
2 {
τ−
k
r ‖x‖2 + τ1− k
r ‖Arx‖2
} 1
2
. (17)
Минимизируя правую часть (17) по τ , получаем неравенство (16).
Замечание 2. В качестве оператора A в (13), действующего в L2(R), рассмотрим
оператор дифференцирования Ax(t) = i d
dtx(t). Отметим, что для соответствующего
этому оператору разложения единицы имеет место соотношение [4, §89]
(Et −Es)x(u) =
1
2π
∞∫
−∞
eit(z−u) − eis(z−u)
i(z − u)
x(z) dz, s, t ∈ R, s < t. (18)
Для ε > 0 положим fε(t) = 1√
2πε
e−
t2
2ε , t ∈ R. Учитывая (18), нетрудно проверить,
что для любого z > 0
Vr,k,k+1/2(fε, z) =
1
2π
∞∫
−∞
u2k
1 + u2r
e−ε(u
z )2
du
1
2
≤
1
2π
∞∫
−∞
u2k
1 + u2r
du
1
2
.
Теперь, используя теорему 2, получаем, что для любой функции x ∈ Lr
2,2(R) и лю-
бого ε > 0
∣∣∣∣∣∣
∞∫
−∞
x(k)(t)fε(t)dt
∣∣∣∣∣∣
≤
1
2π
∞∫
−∞
u2k
1 + u2r
du
1
2
βr,k+1/2 ‖x‖
r−k−1/2
r
L2(R) ‖Arx‖L2(R)
k+1/2
r .
(19)
16
Неравенства для операторов в гильбертовом пространстве
Учитывая, что
∞∫
−∞
x(k)(t)fε(t)dt → x(k)(0), при ε → 0, из (19) получаем неравенство
(1), т. е. неравенство Л.В. Тайкова.
Замечание 3. Теперь рассмотрим оператор Ax(u) = i d
dux(u), действующий в
пространстве L2 (T). Разложение единицы Et, t ∈ R, для данного оператора A имеет
вид
(Etx) (u) =
∑
n∈Z
n<t
x̂ (n) eint, x ∈ L2 (T) , (20)
где x̂(n) = 1
2π
π∫
−π
x(t)e−intdt – n - й коэффициент Фурье функции x.
Пусть
DN (t) =
N∑
n=−N
eint, N ∈ N,
– ядро Дирихле. Как хорошо известно, для любой функции x ∈ L2 (T)
1
2π
2π∫
0
DN (t)x(t)dt = SN (x, 0),
где SN (x, u) — частная сумма ряда Фурье функции x, и, следовательно,
(Akx,DN ) = x(k)(0). (21)
Кроме того, как нетрудно проверить,
Vr,k,k+1/2(DN , z) =
{
1
2π
N∑
n=−N
z2k+1n2k
1 + z2rn2r
}1/2
≤ π−
1
2 Vr,k, (22)
где Vr,k определено соотношением (4). Применяя теорему 2 к функционалу, задава-
емому фукцией DN , и учитывая соотношения (22) и (21), получим
SN (x(k), 0) ≤ π−
1
2 Vr,kβr,k+1/2‖x‖
r−k−1/2
r
L2(T) ‖x(r)‖
k+1/2
r
L2(T) .
Устремляя в последнем неравенстве N → ∞ и учитывая, что для функций x ∈
Lr
2,2(T) при k < r
SN (x(k), 0) → x(k)(0),
получим неравенство Шадрина (3).
1. ТайковЛ.В. Неравенства типа Колмогорова и формулы численного дифференцирования. –
Мат. заметки. – 1967, Т. 4, №2. – C. 223 – 238.
2. Бабенко В.Ф., Корнейчук Н.П., Кофанов В.А., Пичугов С.А. Неравенства для производных
и их приложения. – К.: Наукова думка, 2003 – 590 с.
17
В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
3. ШадринА.Ю. Неравенства типа Колмогорова и оценки сплайн – интерполяции для периоди-
ческих классов W m
2 . – Мат. заметки. – 1990. – Т. 48, №4. – C. 132 – 139.
4. АхиезерН.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. –
М.: Изд-во
”
Наука“, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1966 – 544 с.
5. БерезанскийЮ.М., Ус Г.Ф., Шефтель З Г. Функциональный анализ. – К.: Выща шк., 1990 -
600 c.
V.F. Babenko, R.O. Bilichenko
Inequalities of Taikov type for self-ajoint operators in Hilbert space.
The Taikov inequality, which estimate L∞ – norm of intermediate derivative by L2 – norms of a function
and its higher derivative, is extended on arbitrary powers of self-adjoint operator acting in Hilbert space.
Keywords: inequalities, self-ajoint operators, Hilbert space.
В.Ф. Бабенко, Р.О. Бiлiченко
Нерiвностi типу Тайкова для самоспряжених операторiв у гiльбертовому просторi.
Отримано узагальнення нерiвностi Тайкова, що оцiнює L∞ – норму промiжної похiдної через L2
– норми самої функцiї та її старшої похiдної, на довiльнi степенi самоспряженого оператора A,
дiючого в гiльбертовому просторi.
Ключовi слова: нерiвностi, самоспряженi оператори, гiльбертiв простiр.
Днепропетровский национальный университет
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины
babenko.vladislav@gmail.com
Получено 10.12.10
18
В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
Письмо в редакцию
Уважаемая редакция!
По нашему недосмотру в статье В.Ф. Бабенко, Р.О. Биличенко
"НЕРАВЕНСТВО ТИПА ТАЙКОВА ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРА-
ТОРОВ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ"// Труды ИПММ, 2010 г., т. 21,
C. 11-18, допущено несколько досадных опечаток:
• На странице 13 в строках 6 и 11, на странице 14 в соотношениях (13) и (14), а
также на странице 15 в строке 2 вместо (Akx, f) должно быть |(Akx, f)|.
• На странице 13 в левой части (11) вместо ‖Ak‖ должно быть ‖Ak‖2.
• На странице 17 в правой части (21) вместо x(k)(0) должно быть SN (x(k), 0).
• На странице 17 в строке 9 снизу вместо SN (x(k), 0) должно быть |SN (x(k), 0)|.
Приносим свои извинения
В.Ф. Бабенко, Р. О. Биличенко
216
|