Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге
Настоящая работа посвящена нахождению условий однозначной разрешимости одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка. Цю роботу присвячено знаходженню умов однозначної розв'язності однієї граничної задачі для загальних систем диференціальних рівнянь першого...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2010 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123949 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге / В.П. Бурский, А.А. Зарецкая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 32-38. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859664781444644864 |
|---|---|
| author | Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. |
| author_facet | Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. |
| citation_txt | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге / В.П. Бурский, А.А. Зарецкая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 32-38. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Настоящая работа посвящена нахождению условий однозначной разрешимости одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Цю роботу присвячено знаходженню умов однозначної розв'язності однієї граничної задачі для загальних систем диференціальних рівнянь першого порядку.
Present paper is devoted to finding conditions for the unique solvability of a boundary problem for general systems first order differential equations.
|
| first_indexed | 2025-11-30T10:08:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.952
c©2010. В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ОБЩИХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА В КРУГЕ
Настоящая работа посвящена нахождению условий однозначной разрешимости одной граничной
задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений первого порядка, краевые задачи.
1. Введение. Долгое время теория граничных задач для дифференциальных
уравнений в частных производных развивалась как теория конкретных граничных
задач, и движение от частного к общему проходило внутри направлений, на кото-
рые сообразно типу уравнения была разбита теория. Основы общей теории гранич-
ных задач безотносительно к типу уравнения были заложены в известной работе
М.Й.Вишика [3], в которой граничная задача проявляется в задании области опре-
деления некоторого расширения минимального оператора. Эффект нетривиальной
разрешимости однородной задачи Дирихле для несобственно эллиптических уравне-
ний второго порядка был впервые обнаружен А.В.Бицадзе, который указал пример
уравнения, для которого однородная задача Дирихле в круге имеет нетривиальное
решение.
Как известно, для разрешимости задачи Дирихле с эллиптическим уравнением
второго порядка достаточно знать значение функции на границе. Если рассмат-
ривается уравнение или система уравнений, как задать "половину функции"? Мы
рассматриваем граничную задачу, состоящую в задании мнимой части (векторного)
решения. Отметим, что в работе [2] была рассмотрена граничная задача для общей
системы первого порядка с постоянными коэффициентами и однородным символом,
состоящая в задании на границе четной части решения. В настоящей работе найде-
ны условия на коэффициенты уравнения, необходимые для единственности реше-
ния такой граничной задачи для общей (т.е. не обязательно эллиптической) системы
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и однородным сим-
волом.
2. Основной результат. Пусть нам дана система дифференциальных уравне-
ний первого порядка в круге:
Lu ≡ A
∂u
∂x1
+ J
∂u
∂x2
=
32
Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем
=
c 1 0 0 · · · 0
0 c 1 0 · · · 0
· · · · · ·
0 0 0 0 · · · c
∂u
∂x1
+
1 0 0 0 · · · 0
0 1 0 0 · · · 0
· · · · · ·
0 0 0 0 · · · 1
∂u
∂x2
= 0, in Ω (1)
с граничным условием
Im u|∂Ω = 0, (2)
где A и I – постоянные матрицы размера n × n c комплексной константой c, Ω =
{x : |x| ≤ 1}− единичный круг в плоскости R2, а u – комплексная вектор-функция
двух вещественных переменных. Ниже мы также будем использовать следующую
задачу
Lu ≡ A
∂u
∂x1
+ I
∂u
∂x2
= 0
Im u|∂Ω = 0,
где черта A означает комплексное сопряжение элементов, которую будем называть
комплексно-сопряженной к задаче (1), (2). Заметим, что, если задача (1), (2) имеет
нетривиальное решение, то и комплексно-сопряженная задача к ней также имеет
нетривиальное решение. Пусть l(ξ) = Aξ1 + Iξ2 – матричный символ оператора L.
Очевидно, что уравнение det(l(ξ)) = 0 имеет один корень кратности n. Введем
блочные матрицы
Dm =
(
A cosms0 − I sinms0 A sinms0 + I cosms0
A cosms0 − I sinms0 A sinms0 + I cosms0
)
,
где s0 такое число, что sin s0 = 1√
c2+1
, cos s0 = c√
c2+1
, и введем также числа ∆m−
определители этих матриц:
∆m = det Dm. (3)
Нашей целью является доказательство следующей теоремы.
Теорема. Для того, чтобы задача (1), (2) имела нетривиальное решение u из
пространства C1(Ω)
⋂
C(Ω) необходимо, чтобы в последовательности {∆m}∞m=0
определителей (3) нашелся хотя бы один нуль.
Доказательство. Предположим, что задача (1), (2) имеет нетривиальное реше-
ние u(x1, x2) ∈ C1(Ω)∩C(Ω). Пусть θ(x) = 1, x ∈ Ω; θ(x) = 0, x /∈ Ω – характеристи-
ческая функция круга Ω и пусть v ∈ C1(R2)− любое продолжение вектор-функции
u на всю плоскость R2, т. е. θv|Ω = u. Применим оператор L к произведению θv:
L(θv) =
∂θ
∂x1
Av +
∂θ
∂x2
Jv = −δ∂Ων1Av − δ∂Ων2Jv. (4)
Здесь δ∂Ω – мера, сосредоточенная на ∂Ω: 〈δ∂Ω, ϕ〉 =
∫
∂Ω ϕ(s)ds. И применим преоб-
разование Фурье к равенству (4), получим (обозначая ξx = ξ1x1 + ξ2x2):
l(ξ) θ̂v = i
∫
R2
e−i ξxδ∂Ωl(ν(x))vdx = i
∫
∂Ω
e−i ξx(s) l(ν(x(s)))u(x(s))ds. (5)
33
В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
Домножим равенство (5) слева на l̃(ξ), присоединенную матрицу к l(ξ) и восполь-
зуемся ее свойством l̃(ξ)l(ξ) = det l(ξ)I:
det(l(ξ)) θ̂v = i l̃(ξ)
∫
∂Ω
e−i ξx(s) l(ν(x(s)))u(x(s)) dx. (6)
Замечание. Заметим, что если к уравнению (1) и условию (2) добавить условие
Re u|∂Ω = 0, то u ≡ 0 в Ω. Действительно, если u|∂Ω = 0, то из равенства (5)
получаем l(ξ) θ̂v = 0. Матрица l(ξ) состоит из полиномов первой степени, и она
почти для всех ξ ∈ C2 имеет обратную, поскольку det(l(ξ)) = 0 на алгебраическом
многообразии, имеющем нулевую меру. Отсюда получаем, что θ̂v = 0 почти для всех
ξ ∈ C2. Но в силу компактности носителя функции θv, преобразование Фурье θ̂v –
целая функция, поэтому θ̂v(ξ) ≡ 0. Берем обратное преобразование Фурье, получим,
что θv(x) ≡ 0, поэтому u ≡ 0. По предположению решение – нетривиально, u 6= 0,
поэтому в соответствии с замечанием 1 имеем ψ := Re u|∂Ω 6= 0. Обозначим
G(ξ1, ξ2) := −l̃(ξ1, ξ2)
∫
∂Ω
e−iξx l(s)ψ(s)ds. (7)
Теперь можно переписать полученное равенство (6) в таком виде:
(ξ1c + ξ2)nθ̂v = iG(ξ1, ξ2),
Введем некоторые обозначения. Определим следующие вектора: ~a = (c, 1), ~̃a =
(−1, c). Они ортогональны в C2. Имеем
(ξ,~a)n θ̂v(ξ) = iG(ξ).
Видно, что при ξ = µ~a + t~̃a функция двух переменных G(ξ) = G(µ~a + t~̃a) имеет в
точке µ = (ξ,~a)/(|c|2 + 1) = 0 ноль порядка n. Это можно записать так:
G|µ=0 = 0
∂G
∂µ |µ=0 = 0
∂2G
∂µ2 |µ=0 = 0
· · ·
∂n−1G
∂µn−1 |µ=0 = 0.
(8)
Подставим в систему (8) вместо функции G ее значение (7) и проделаем некоторые
вычисления. Для упрощения системы (8) нужно вычислить производные функции
G. В равенстве (7) внесем множитель l̃(ξ1, ξ2) под знак интеграла.
G(ξ1, ξ2) =
∫
∂Ω
−l̃(ξ1, ξ2)e−ixξl(s)ψ(s)ds. (9)
Заметим, что только часть l̃(ξ1, ξ2)e−ixξ(= l̃(µc−t, µ+tc)eiµ(c cos s+sin s)) зависит от пе-
ременной µ, по которой будет идти дифференцирование в системе (8). Для удобного
34
Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем
дифференцирования функции G мы вычислим первые производные от выражения
l̃(ξ1, ξ2)e−ixξ. Воспользуемся простым соотношением
An −Bn = (A−B)(An−1 + An−2B + · · ·+ ABn−2 + Bn),
считая A = µ(c2 + 1)I, B = (t − µc)J. Из вида матрицы J ясно ((t − µc)J)n = 0.
Соберем все вместе и получим:
µn(c2 + 1)nI = (µ(c2 + 1)I)n − ((t− µc)J)n =
= (µ(c2 + 1)I + (µc− t)J)((µ(c2 + 1)I)n−1 + · · ·+ ((t− µc)J)n−1). (10)
Заметим, что в (10) равенство левой и правых частей есть определение присоединен-
ной матрицы, значит l̃(µc− t, µ + tc) можно вычислить по формуле:
l̃(µc− t, µ + tc) = (An−1 + An−2B + · · ·+ ABn−2 + Bn).
l̃(µc− t, µ + tc) =
n−1∑
j=0
(µ(c2 + 1))n−1−j(t− µc)jJ j ,
l̃(µc− t, µ + tc)eiµ(c cos s+sin s) =
n−1∑
j=0
(µ(c2 + 1))n−1−j(t− µc)jJ j
eiµ(c cos s+sin s).
Следовательно, можем подсчитать искомые производные произвольных порядков:
∂k
∂µk
l̃(µc− t, µ + tc)eiµ(c cos s+sin s) =
=
k∑
p=o
Ck
p
n−1∑
j=0
(µ(c2 + 1))n−1−j(t− µc)jJ j
(k−p)
(ic cos s + i sin s)peiµ(c cos s+sin s) =
=
k∑
p=o
n−1∑
j=n−1−k+p
(c2 +1)n−1−jJ j k!
p!
Cj
p−k+n−1t
p−k+n−1(−c)k−p−n+1+j(ic cos s+ i sin s)p.
Обозначим для простоты записи:
Wp,k ≡
n−1∑
j=n−1−k+p
(c2 + 1)n − 1− jJ j k!
p!
Cj
p−k+n−1t
p−k+n−1(−c)k−p−n+1+j ,
Тогда система (8) равносильна следующей системе уравнений.
∫
∂Ω
∑0
p=0 Wp,0t
p−o(ic cos s + i sin s)pe−it(c cos s+sin s)l(s)ψ(s)ds = 0,∫
∂Ω
∑1
p=0 Wp,1t
p−1(ic cos s + i sin s)pe−it(c cos s+sin s)l(s)ψ(s)ds = 0,∫
∂Ω
∑2
p=0 Wp,2t
p−2(ic cos s + i sin s)pe−it(c cos s+sin s)l(s)ψ(s)ds = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · ·∫
∂Ω
∑n−1
p=0 Wp,n−1t
p−n+1(ic cos s + i sin s)pe−it(c cos s+sin s)l(s)ψ(s)ds = 0.
(11)
35
В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
Возьмем m-тую производную по t k-той строчки, ∀m ∈ N:
∫
∂Ω
k∑
p=0
Wp,k(ic cos s + i sin s)pl(s)ψ(s)e−it(c cos s+sin s)·
·
min{p−k,m}∑
r=0
Cm
r
(p− k)!
(p− k − r)!
tp−k−r(ic cos s + i sin s)m−rds = 0, (12)
Упрощая и учитывая, что это равенство выполняется для всех t, получим:
k∑
p=0
min{p−k,m}∑
r=0
Wp,k,m,r
∫
∂Ω
(c cos s + sin s)m−r+pl(s)ψ(s)ds = 0,
здесь
Wp,k,m,r =
n−1∑
j=n−1−k+p
(c2+1)n−1−jJ j k!
p!
Cj
p−k+n−1t
p−k+n−1(−c)k−p−n+1+jCm
r
(p− k)!
(p− k − r)!
.
Число m − r + p пробегает весь натуральный ряд, поэтому, если переобозначить
m := m− r + p, то ∀m ∈ N верно такое равенство:
∫ 2π
0
(c cos s + sin s)ml(s)ψ(s) = 0. (13)
Так как m произвольно, то вместо выражения в скобках можно подставить произ-
вольный многочлен от аргумента (c cos s+sin s) = cos(s−s0). Мы будем использовать
полином Чебышева Tm : Tm(cosα) = cos mα.
∫ 2π
0
Tm(cos(s− s0))l(s)ψ(s) =
∫ 2π
0
cosm(s− s0)l(s)ψ(s) = 0, (14)
Распишем более подробно множители, входящие в интеграл. А функцию ψ(s) разло-
жим в ряд Фурье.
l(s) = A cos s + I sin s, ψ(s) =
∞∑
α=0
ψ1, α cosαs + ψ2, α sinαs,
cosm(s− s0) = cosms cosms0 + sin ms sinms0.
Теперь подставим эти разложения в интеграл (14) и вычислим его.
(A cosms0 + I sinms0)ψ1,m−1 + (A cosms0 − I sinms0)ψ1,m+1+
+ (A sinms0 − I cosms0)ψ2,m−1 + (A sinms0 + I cosms0)ψ2,m+1 = 0. (15)
Пусть, в силу произвольности, m = 0, тогда равенство (15) превращается в такое:
Aψ1,1 + Iψ2,1 = 0. (16)
36
Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем
Если записать комплексно-сопряженную задачу к рассматриваемой и проделать те
же вычисления, можно получить:
Aψ1,1 + Iψ2,1 = 0. (17)
В системе линейных уравнений (16), (17) относительно ψ1,1, ψ2,1 имеется 2n строк
и 2n неизвестных. Решение нетривиально, если определитель этой системы равен
нулю. Вычислим его:
c 1 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0
0 c 1 · · · 0 0 1 0 · · · 0
· · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · c 0 0 0 · · · 1
c 1 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0
0 c 1 · · · 0 0 1 0 · · · 0
· · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · c 0 0 0 · · · 1
. (18)
Из вторых n строчек вычтем первые n строчек, затем из первых n столбцов вычтем
вторые n столбцов, умноженных на c, и, наконец, вычтем из столбцов 2, ..., n − 1
столбцы n + 1, n + 2, ..., 2n− 1 , получим:
0 0 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0
0 0 0 · · · 0 0 1 0 · · · 0
· · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 1
k 0 0 · · · 0 0 0 0 · · · 0
0 k 0 · · · 0 0 0 0 · · · 0
· · · · · · · · · ·
0 0 0 · · · k 0 0 0 · · · 0
=
(
0 I
kI 0
)
, (19)
где через k мы обозначаем 2Imc.
Если k = 0, то есть c вещественно, то определитель равен нулю, и значит, необхо-
димость доказана. Предположим, что c имеет мнимую часть, тогда набор ψ1,1, ψ2,1
тривиален, мы его подставляем в систему для m = 2 и продолжим в таком же духе.
Для произвольного m имеем:
{
(A cosms0 − I sinms0)ψ1,m+1 + (A sinms0 + I cosms0)ψ2,m+1 = 0,
(A cosms0 − I sinms0)ψ1,m+1 + (A sinms0 + I cosms0)ψ2,m+1 = 0.
(20)
Матрицу этой системы мы и обозначили как Dm, а определитель ∆m выглядит так:
(
A cosms0 − I sinms0 A sinms0 + I cosms0
A cosms0 − I sinms0 A sinms0 + I cosms0
)
. (21)
Если в последовательности определителей (21) найдется нулевой элемент, то, по
теореме Крамера, существует нетривиальный набор ψ1,m, ψ2,m, значит ψ1, ψ2 тоже
ненулевой, т. е. исходная задача разрешима неоднозначно. Доказательство заверше-
но. ¤
37
В.П. Бурский, А.А. Зарецкая
1. Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравне-
ний. – Киев: Наукова думка, 2002. – 315c.
2. Бурский В.П. О краевых задачах для систем однородных дифференциальных уравнений пер-
вого порядка с постоянными коэффициентами в круге // Рук. деп. в ВИНИТИ 15 июля 1982
г., 3795-82 Деп., 8 с., реф. РЖМат 1982, IIБ878 Деп.
3. Вишик М.Й. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений //
Тр. Моск. мат, о-ва. – 1952. – Вып. 1. – С.187-246.
V.P.Burskii, A.A.Zaretskaja
On uniqueness in a boundary value problem for system of equations of the first order.
Present paper is devoted to finding conditions for the unique solvability of a boundary problem for
general systems first order differential equations.
Keywords: system of partial differential equations of first order, boundary value problem.
В.П.Бурський, А.О. Зарецька
Однозначна розв’язнiсть однiеї граничної задачi для загальних систем
дифференцiальних рiвнянь першого порядку в колi.
Цю роботу присвячено знаходженню умов однозначної розв’язностi однiєї граничної задачi для
загальних систем диференцiальних рiвнянь першого порядку.
Ключовi слова: системи диференцiальних рiвнянь першого порядку, крайовi задачi.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
seerall@mail.ru
Получено 05.11.10
38
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123949 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T10:08:24Z |
| publishDate | 2010 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. 2017-09-15T16:41:35Z 2017-09-15T16:41:35Z 2010 Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге / В.П. Бурский, А.А. Зарецкая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 32-38. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123949 517.952 Настоящая работа посвящена нахождению условий однозначной разрешимости одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка. Цю роботу присвячено знаходженню умов однозначної розв'язності однієї граничної задачі для загальних систем диференціальних рівнянь першого порядку. Present paper is devoted to finding conditions for the unique solvability of a boundary problem for general systems first order differential equations. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге Однозначна розв'язність однієї граничної задачі для загальних систем диференціальних рівнянь першого порядку в колі On uniqueness in a boundary value problem for system of equations of the first order Article published earlier |
| spellingShingle | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге Бурский, В.П. Зарецкая, А.А. |
| title | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге |
| title_alt | Однозначна розв'язність однієї граничної задачі для загальних систем диференціальних рівнянь першого порядку в колі On uniqueness in a boundary value problem for system of equations of the first order |
| title_full | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге |
| title_fullStr | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге |
| title_full_unstemmed | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге |
| title_short | Однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге |
| title_sort | однозначная разрешимость одной граничной задачи для общих систем дифференциальных уравнений первого порядка в круге |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123949 |
| work_keys_str_mv | AT burskiivp odnoznačnaârazrešimostʹodnoigraničnoizadačidlâobŝihsistemdifferencialʹnyhuravneniipervogoporâdkavkruge AT zareckaâaa odnoznačnaârazrešimostʹodnoigraničnoizadačidlâobŝihsistemdifferencialʹnyhuravneniipervogoporâdkavkruge AT burskiivp odnoznačnarozvâznístʹodníêígraničnoízadačídlâzagalʹnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹperšogoporâdkuvkolí AT zareckaâaa odnoznačnarozvâznístʹodníêígraničnoízadačídlâzagalʹnihsistemdiferencíalʹnihrívnânʹperšogoporâdkuvkolí AT burskiivp onuniquenessinaboundaryvalueproblemforsystemofequationsofthefirstorder AT zareckaâaa onuniquenessinaboundaryvalueproblemforsystemofequationsofthefirstorder |