Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений
Получены аналоги теоремы Лиувилля для решений некоторых: дифференциальных уравнений. Одержано аналоги теореми Ліувілля для розв’язків деяких диференціальних рівнянь. Analogs of Liouville’s theorem for solutions of some differential equations are obtained....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2010 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123951 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 45-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123951 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. 2017-09-15T16:45:23Z 2017-09-15T16:45:23Z 2010 Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 45-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123951 517.5 Получены аналоги теоремы Лиувилля для решений некоторых: дифференциальных уравнений. Одержано аналоги теореми Ліувілля для розв’язків деяких диференціальних рівнянь. Analogs of Liouville’s theorem for solutions of some differential equations are obtained. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений Асимптотичне поводження розв'язків деяких диференціальних рівнянь Asymptotic behavior of solutions of some differential equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений |
| spellingShingle |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| title_short |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_full |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений |
| title_sort |
асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений |
| author |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| author_facet |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| publishDate |
2010 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотичне поводження розв'язків деяких диференціальних рівнянь Asymptotic behavior of solutions of some differential equations |
| description |
Получены аналоги теоремы Лиувилля для решений некоторых: дифференциальных уравнений.
Одержано аналоги теореми Ліувілля для розв’язків деяких диференціальних рівнянь.
Analogs of Liouville’s theorem for solutions of some differential equations are obtained.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123951 |
| citation_txt |
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 45-55. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovvv asimptotičeskoepovedenierešeniinekotoryhdifferencialʹnyhuravnenii AT volčkovvitv asimptotičeskoepovedenierešeniinekotoryhdifferencialʹnyhuravnenii AT volčkovvv asimptotičnepovodžennârozvâzkívdeâkihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT volčkovvitv asimptotičnepovodžennârozvâzkívdeâkihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT volčkovvv asymptoticbehaviorofsolutionsofsomedifferentialequations AT volčkovvitv asymptoticbehaviorofsolutionsofsomedifferentialequations |
| first_indexed |
2025-11-26T02:05:57Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:05:57Z |
| _version_ |
1850605231336849408 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.5
c©2010. В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Получены аналоги теоремы Лиувилля для решений некоторых дифференциальных уравнений.
Ключевые слова: группа Гейзенберга, искаженное уравнение свертки, вырожденные гипергео-
метрические функции.
1. Введение. Реллих [1] и Векуа [2] изучали решения редуцированного волно-
вого уравнения ∆u + k2u = 0 (k 6= 0, k ∈ R), которые определены вблизи ∞, т.е.
при |x| > r. Они показали, что такое решение не может быть слишком малым,
не обращаясь тождественно в нуль; наряду с другими результатами они доказали,
что каждое такое решение, принадлежащее L2, обязательно является тождествен-
ным нулем. Вольсон в своей диссертации [3], написанной под руководством Фрица
Джона, доказал, что не существует ненулевого решения уравнения Pu = 0, которое
квадратично интегрируемо в окрестности∞, для более широкого класса операторов
P . Ранее Трев в [4] охарактеризовал операторы, не имеющие отличных от тожде-
ственного нуля решений, стремящихся к нулю при |x| → ∞ быстрее любой степени
|x|−1. Оба эти автора применяли теорему Пэли-Винера для преобразования Фурье.
Во многих интересных случаях для получения таких результатов может быть ис-
пользована теорема Пэли-Винера для преобразования Радона. Сильный результат
такого типа получен Литманом [5]. Лакс и Филлипс [6] обобщили упомянутый вы-
ше результат Реллиха и Векуа на редуцированные гиперболические системы типа
ut =
∑
Aj∂ju, где u – функция от x, t, x ∈ Rk, значения u лежат в Rn, коэффи-
циенты Aj являются n × n-матрицами и через ∂j обозначается ∂/∂xj . Ряд точных
результатов для уравнений вида p(∆)u = 0 в неограниченных областях содержится
в [7].
2. Постановка проблемы. Пусть Cn – комплексное евклидово пространство
размерности n с евклидовой нормой | · | и эрмитовым скалярным произведением
〈·, ·〉C. Всюду в дальнейшем O – непустое открытое множество в Cn. Пусть D′(O),
E ′(O) – соответственно пространства распределений и распределений с компактны-
ми носителями в O, D(O) – пространство финитных бесконечно - дифференцируе-
мых функций в O. В случае, когда O инвариантно относительно унитарной группы
U(n), символами D′\(O), E ′\(O) и D\(O) будем обозначать, соответственно, подмно-
жества D′(O), E ′(O) и D(O), состоящие из всех U(n)-инвариантных распределений.
Пусть P ∈ C[z] – ненулевой многочлен. Введем специальный оператор Эрмита
(искаженный лапласиан)
L =
|z|2
4
Id +
n∑
k=1
(
zk
∂
∂zk
− zk
∂
∂zk
− 4
∂2
∂zk∂zk
)
, (1)
45
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
где Id – тождественный оператор. Предположим, что O – открытое подмножество
Cn. Рассмотрим дифференциальное уравнение
P (L)f = 0 в O (2)
с неизвестным f . Обозначим через D′P (O) множество всех f ∈ D′(O), удовлетво-
ряющих (2). Отметим, что всякое непрерывное решение (2) является вещественно-
аналитическим ввиду эллиптичности оператора L. Интерес к изучению уравнений
вида (2) объясняется в первую очередь тем, что они тесно связаны с группой Гей-
зенберга, которая широко используется в современных исследованиях по гармони-
ческому анализу и уравнениях в частных производных (см., например, [8–10]).
В данной работе исследуется следующая
Проблема 1. Пусть O – неограниченная область в Cn. Предположим, что
f ∈ (L1,loc ∩ D′P )(O). При каких ограничениях на рост f на бесконечности отсюда
следует, что f = 0?
В случае O = Cn наиболее сильный (однако, как теперь выяснилось, неточный)
результат принадлежит С. Сангавелу [11]: если многочлен P̃ (z) = P (z2) не имеет
нулей λ, удовлетворяющих условию
n− λ2
2
∈ {0,−1,−2, . . .}, (3)
то всякое решение уравнения (2) на Cn умеренного роста равно нулю тождествен-
но. Условие (3) в теореме С. Сангавелу убрать нельзя. Доказательство теоремы
С. Сангавелу основано на применении преобразования Вейля, которое является ана-
логом преобразования Фурье в Rn на пространстве распределений умеренного роста
(см. [8], [9], [11]).
По поводу других результатов, касающихся проблемы 1 и ее аналогов для других
классов функций см. [7], [12], [13, гл. 3, §§ 3.4, 3.5] и библиографию к этим работам.
В последние годы с помощью предложенной авторами новой техники, основанной
на трансмутационных отображениях, был достигнут заметный прогресс в изучении
уравнений типа (2) (см. [14]). Применение этой техники в данной работе позволило
добиться продвижения и в проблеме 1.
3. Формулировки основных результатов. Положим E(R, r) = {z ∈ Cn :
R − r < |z| < R + r}, где 0 < r < R. Для многочлена P 6= 0 обозначим через NP
множество нулей λ функции P̃ , удовлетворяющих (3). Пусть также dmn(w) – мера
Лебега на Cn и RAP (O) = (D′P ∩RA)(O), где RA(O) – множество всех вещественно-
аналитических функций на O.
Теорема 1. Пусть f ∈ (L1,loc∩D′P )(Cn). Тогда имеют место следующие утвер-
ждения.
(i) Если NP = ∅ и для некоторых γ > 0, η < 1
2γ
lim
R→+∞
e−
R2
4
−ηR
∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z) = 0, (4)
то f = 0.
46
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений
(ii) Если NP 6= ∅ и для некоторых γ > 0, η < 1
2γ
lim
R→+∞
e
R2
4
−ηR
∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z) = 0, (5)
то f = 0.
Рассмотрим теперь случай, когда O – внешность компакта.
Теорема 2. Пусть O – область в Cn, которая является внешностью неко-
торого компакта в Cn. Предположим, что f ∈ (L1,loc ∩ D′P )(O) и для некоторых
γ > 0, η < 1
2γ выполнено условие (5). Тогда f = 0.
Отметим, что второе утверждение теоремы 1 следует из теоремы 2, если поло-
жить в ней O = Cn\{0}.
Следующий результат показывает, что теоремы 1 и 2 носят окончательный ха-
рактер.
Теорема 3.
(i) Для любых γ > 0, η > γ/2 существует ненулевая функция f ∈ RAP (Cn), для
которой ∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z) = O
(
e
R2
4
+ηR
)
при R → +∞. (6)
(ii) Если NP 6= ∅, то для любых γ > 0, η > γ/2 существует ненулевая функция
f ∈ RAP (Cn), такая, что
∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z) = O
(
e−
R2
4
+ηR
)
при R → +∞. (7)
(iii) Для любых констант γ > 0, η > γ/2 существует ненулевая функция f ∈
RAP (Cn\{0}), удовлетворяющая условию (7).
Сравнение теорем 1, 2 и 3 показывает, что главные члены в показателях экспоненты
в условиях (4) и (5) являются точными.
4. Вспомогательные конструкции и утверждения. Обозначим Br(z) =
{w ∈ Cn : |z − w| < r} и Br(z) = {w ∈ Cn : |z − w| 6 r}, соответственно,
открытый и замкнутый шары в Cn с центром в точке z и радиусом r. Положим
Br(0) = Br, Br(0) = Br. Для T ∈ E ′(Cn) через suppT обозначим носитель T и по-
ложим r(T ) = inf {r > 0 : suppT ⊂ Br}. Искаженной сверткой (twisted convolution)
распределений f ∈ D′(Cn) и T ∈ E ′(Cn) называется распределение f ? T ∈ D′(Cn),
задаваемое формулой
〈f ? T, ψ〉 = 〈f(z), 〈T (w), ψ(z + w)e
i
2
Im〈z,w〉C〉〉, ψ ∈ D(Cn). (8)
Из (8) следует, что если f ∈ L1,loc(Cn) и T ∈ (E ′ ∩ L1,loc)(Cn), то f ? T ∈ L1,loc(Cn) и
(f ? T )(z) =
∫
Cn
f(z − w)T (w)e
i
2
Im〈z,w〉Cdmn(w).
47
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Сферическое преобразование T̃ распределения T ∈ E ′\(Cn) определяется равенством
T̃ (λ) =
〈
T (z), e−|z|
2/4
1F1
(
n− λ2
2
; n;
|z|2
2
)〉
,
где 1F1 – вырожденная гипергеометрическая функция (см. [15, гл. 6]).
Далее используются следующие стандартные обозначения: C – множество ком-
плексных чисел; Z+ = {0, 1, 2, . . .}; (
j
k
)
– биномиальные коэффициенты; Γ – гамма
функция; D(a, b) – множество финитных бесконечно дифференцируемых функций
на интервале (a, b). Если T – распределение с компактным носителем в R1, то симво-
лом T̂ обозначается его преобразование Фурье, то есть T̂ (z) = 〈T (t), e−itz〉, z ∈ C.
Пусть также D\(−R, R) = {f ∈ D(−R, R) : f(−t) = f(t)} и Z(f) = {z ∈ C : f(z) = 0}
для функции f : C→ C.
Пусть Hn,p,q – пространство сферических гармоник бистепени (p, q) на S2n−1
(см. [16, гл. 12]). Как известно [16, теоремы 12.2.7, 12.2.8], квазирегулярное представ-
ление группы U(n) в L2(S2n−1) является прямой суммой попарно неэквивалентных
неприводимых унитарных представлений, действующих на Hn,p,q. Обозначим через
d(n, p, q) размерность Hn,p,q и пусть
{
Sp,q
l
}
, l ∈ {1, . . . , d(n, p, q)}, – фиксированный
ортонормированный базис в Hn,p,q. Положим S0,0
1 (σ) = ω
−1/2
2n−1 для любого σ ∈ S2n−1,
где ω2n−1 = 2nπn/Γ(n + 1) – площадь сферы S2n−1. Всякой функции f ∈ L1,loc(O),
где O – непустое открытое U(n)-инвариантное множество в Cn, соответствует ряд
Фурье
f(z) ∼
∞∑
p,q=0
d(n,p,q)∑
l=1
fp,q,l(%)Sp,q
l (σ), z = %σ, % = |z|, σ ∈ S2n−1, (9)
где
fp,q,l(%) =
∫
S2n−1
f(%σ)Sp,q
l (σ)dω(σ). (10)
Разложение (9) можно продолжить на распределения f ∈ D′(O) следующим обра-
зом:
f ∼
∞∑
p,q=0
d(n,p,q)∑
l=1
fp,q,l,
где распределение fp,q,l действует по правилу
〈fp,q,l, ψ〉 = 〈f,
(
ψ
)
p,q,l
(%) Sp,q
l (σ)〉, ψ ∈ D(O). (11)
Для заданного класса W(O) распределений на O положим
Wp,q,l(O) = {f ∈ W(O) : f = fp,q,l}.
Если T ∈ E ′\(Cn), r(T ) < R 6 +∞ и f ∈ D′(BR), то из (8) и (11) следует, что
(f ? T )p,q,l = fp,q,l ? T в BR−r(T ). (12)
48
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений
Кроме того, f?δ0 = δ0?f = f в BR, где δ0 – мера Дирака в нуле. Если f ∈ C2
p,q,l(O),
то из (1) непосредственным вычислением получается соотношение
(Lf)(z) = (Lp,qfp,q,l) (%)Sp,q
l (σ), (13)
где
Lp,q = − d2
d%2
− 2n− 1
%
d
d%
+
(
(p + q)(2n + p + q − 2)
%2
+
1
4
%2 + p− q
)
Id.
Далее, пусть Tj ∈ D′(Cn), j = 1, 2, 3, и хотя бы два из распределений Tj имеют
компактный носитель. Тогда из определения искаженной свертки следуют равенства
(λT1 + µT2) ? T3 = λ(T1 ? T3) + µ(T2 ? T3), λ, µ ∈ C, (14)
(T1 ? T2) ? T3 = T1 ? (T2 ? T3), (15)
и
supp (T1 ? T2) ⊂ suppT1 + suppT2. (16)
Кроме того, используя легко проверяемое тождество
L
(
h(z + w)e
i
2
Im〈z,w〉C
)
= (Lh)(z + w)e
i
2
Im〈z,w〉C , h ∈ C2(Cn),
получаем, что
L(T1 ? T2) = T1 ? LT2. (17)
Пусть Φ(a, b; ζ) и Ψ(a, b; ζ) – вырожденные гипергеометрические функции Кум-
мера и Трикоми, соответственно, [15, гл. 6]. Эти функции удовлетворяют уравнению
ζu′′(ζ) + (b− ζ)u′(ζ)− au(ζ) = 0. (18)
Пусть λ ∈ C, p, q ∈ Z+, l ∈ {1, ..., d(n, p, q)}. Положим
a = p +
n− λ2
2
, b = n + p + q.
Для z = %σ ∈ Cn\{0} определим
φλ,p,q,l(z) =
√
ω2n−1φλ,p,q(%)Sp,q
l (σ), (19)
где
φλ,p,q(%) = %p+qe−
%2
4 Φ
(
a, b; %2/2
)
. (20)
Функция φλ,p,q,l допускает непрерывное продолжение в точку z = 0. Доопределяя
φλ,p,q,l в нуле по непрерывности, получаем, что φλ,p,q,l ∈ RA(Cn).
Далее, при % ∈ (0,+∞) положим
ψλ,p,q(%) =
%p+qe−
%2
4 Ψ
(
a, b; %2/2
)
, если − a 6∈ Z+
%p+qe
%2
4 Ψ
(
b− a, b;−%2/2
)
, если − a ∈ Z+.
49
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Теперь для z = %σ ∈ Cn\{0} определим
ψλ,p,q,l(z) = ψλ,p,q(%)Sp,q
l (σ).
Таким образом, ψλ,p,q,l ∈ RA(Cn\{0}).
Лемма 1. Пусть w ∈ D′p,q,l(Cn\{0}), λ ∈ C. Тогда следующие утверждения
эквивалентны.
(i) (L− λ2Id)w = 0.
(ii) w = c1φλ,p,q,l + c2ψλ,p,q,l.
Доказательство. В силу эллиптичности оператора L достаточно доказать лемму
для вещественно-аналитических w. Полагая w(z) = f(%)Sp,q
l (σ) и используя (13),
перепишем уравнение (L− λ2Id)w = 0 в виде
f ′′(%) +
f ′(%)
%
(2n− 1)− f(%)
%2
(
(p + q)(2n + p + q − 2) + (p− q − λ2)%2 +
1
4
%4
)
= 0.
Делая замену
f(%) = %p+qe−
%2
4 u(%2/2),
приходим к вырожденному гипергеометрическому уравнению (18). Если −a 6∈ Z+,
функции Φ(a, b; ζ) и Ψ(a, b; ζ) образуют фундаментальную систему решений урав-
нения (18) (см. [15, гл. 6, § 6.7]. При −a ∈ Z+ эти функции отличаются ненулевым
постоянным множителем и вторым линейно независимым решением (18) является
функция eζΨ(b−a, b; ζ) (см. [15, гл. 6, § 6.7]). Учитывая определение φλ,p,q,l и ψλ,p,q,l,
отсюда получаем утверждение леммы. ¤
Следствие 1. Множество всех w ∈ D′p,q,l(Cn), удовлетворяющих уравнению
(L− λ2Id)w = 0, имеет вид w = cφλ,p,q,l, где c ∈ C.
Доказательство следует из леммы 1 и того, что функция ψλ,p,q,l имеет особен-
ность в точке z = 0 (см. [15, гл. 6, § 6.8]).
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение функций φλ,p,q и ψλ,p,q при % →
+∞.
Лемма 2.
(i) Пусть −a 6∈ Z+. Тогда
φλ,p,q(%) = 2b−a Γ(b)
Γ(a)
%p+q+2(a−b)e
%2
4
(
1 + O
(
1
%
))
при % → +∞,
ψλ,p,q(%) = 2a%p+q−2ae−
%2
4
(
1 + O
(
1
%
))
при % → +∞.
50
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений
(ii) Если −a ∈ Z+, то
φλ,p,q(%) = (−2)a Γ(b)
Γ(b− a)
%p+q−2ae−
%2
4
(
1 + O
(
1
%
))
при % → +∞,
ψλ,p,q(%) = (−2)b−a%p+q+2(a−b)e
%2
4
(
1 + O
(
1
%
))
при % → +∞.
Доказательство. Утверждение (i) следует из определения функций φλ,p,q и ψλ,p,q
и асимптотических формул для Φ(a, b; ζ) и Ψ(a, b; ζ) при ζ → +∞ (см. [15, гл. 6,
§ 6.13]). В случае, когда −a ∈ Z+, функция Φ(a, b; ζ) является многочленом степени
−a со старшим коэффициентом, равным
(−1)−a Γ(b)
Γ(b− a)
(см. [15, гл. 6, § 6.1, формула (1)]). Отсюда и из асимптотической формулы для
Ψ(b− a, b; ζ) при ζ → +∞ (см. [15, гл. 6, § 6.13]) получаем утверждение (ii). ¤
Далее, для любого f ∈ E ′p,q,l(Cn) положим
Fp,q
l (f)(λ) = 〈f, φλ,p,q,l〉 =
√
ω2n−1 〈f, φλ,p,q(%)Sp,q
l (σ) 〉, λ ∈ C. (21)
Согласно (21), Fp,q
l (f) является четной целой функцией переменной λ. Если f ∈
E ′\(Cn), функция F0,0
1 (f)(λ) совпадает со сферическим преобразованием f , то есть,
F0,0
1 (f)(λ) = f̃(λ).
Преобразование Fp,q
l хорошо изучено в работе [14, § 6]. Напомним некоторые
основные свойства Fp,q
l , которые потребуются в дальнейшем.
Лемма 3.
(i) Преобразование Fp,q
l является инъективным на E ′p,q,l(Cn).
(ii) Если f ∈ E ′p,q,l(Cn) и T ∈ E ′\(Cn), то
Fp,q
l (f ? T )(λ) = Fp,q
l (f)(λ)T̃ (λ).
(iii) Пусть f ∈ E ′p,q,l(Cn) и supp f ⊂ Br. Тогда
|Fp,q
l (f)(λ)| 6 c1(1 + |λ|)c2er|Imλ| для всех λ ∈ C, (22)
где c1, c2 > 0 не зависят от λ. Обратно, для каждой четной целой функции
w(λ), удовлетворяющей оценке вида (22), существует такое распределение
f ∈ E ′p,q,l(Cn), что
supp f ⊂ Br и Fp,q
l (f) = w.
51
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Доказательство леммы 3 и более подробную информацию о свойствах Fp,q
l см.
в [14, § 6].
Лемма 4. Пусть O – произвольная область в Cn. Предположим, что f ∈
(L1,loc ∩D′P )(O) и f 6= 0. Тогда существует ненулевая функция g ∈ C∞(O), удовле-
творяющая следующим условиям:
1) Lg = λ2g в O для некоторого λ ∈ Z(P̃ );
2) для любого ε > 0 и любого замкнутого шара Bε(z) ⊂ O
|g(z)| 6 c
∫
Bε(z)
|f(w)|dmn(w), (23)
где постоянная c > 0 не зависит от z.
Доказательство. Сначала отметим, что Z(P̃ ) 6= ∅. Действительно, в против-
ном случае P̃ является тождественной константой. Это противоречит условиям
f ∈ D′P (O) и f 6= 0. Таким образом, Z(P̃ ) 6= ∅.
Далее, используя лемму 3 (iii), для любого λ ∈ Z(P̃ ) определим распределение
Tλ ∈ E ′\(Cn) по формуле
T̃λ(z) =
{
P̃ (z)/(z2 − λ2)m(λ,T ) если λ 6= 0,
P̃ (z)/zm(0,T ) если λ = 0 ∈ Z(P̃ ),
где m(λ, T ) – кратность нуля λ функции P̃ .
Докажем теперь, что f ? Tλ 6= 0 в O для некоторого λ ∈ Z(P̃ ). Не ограничивая
общности, можно считать, что O = BR, R > 0. Предположим противное, то есть
f ? Tλ = 0 в BR для всех λ ∈ Z(P̃ ). (24)
Сначала рассмотрим случай, когда f ∈ D′p,q,l(BR) при некоторых p, q, l. Для ψ ∈
D(−R, R) выберем η ∈ D\(BR) так, что η = 1 в Br(ψ)+δ при некотором δ ∈ (0, R −
r(ψ)), где r(ψ) = inf {r > 0 : suppψ ⊂ (−r, r)}. Положим
〈Ap,q,l(f), ψ〉 =
∞∑
j=0
µjFp,q
l (fη)(λj)
∫ R
−R
ψ(t) cos(λjt)dt, (25)
где
λj =
√
2p + n + 2j, µj =
21−n−p−q
ω2n−1(n + p + q − 1)!
(
n + p + q + j − 1
n + p + q − 1
)
.
Тогда Ap,q,l(f) корректно определено посредством равенства (25) как распределение
в D′\(−R, R) и
Ap,q,l(f |Br) = Ap,q,l(f)|(−r,r)
для любого r ∈ (0, R] (см. [14, § 7]). Кроме того, из (25) и [14, теорема 9] имеем
Ap,q,l(f ? Tλ) = Ap,q,l(f) ∗ Λ(Tλ) = 0 (26)
52
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений
на (r(T )−R, R− r(T )), где распределение Λ(Tλ) ∈ E ′\(R1) определяется равенством
Λ̂(Tλ)(z) = T̃λ(z), z ∈ C.
Далее, используя [14, теорема 4], из (26) заключаем, что Ap,q,l(f) = 0. Тогда в силу
инъективности преобразования Ap,q,l (см. [14, теорема 9]) f = 0, что противоречит
условию леммы. Рассмотрим теперь общий случай. Из (24) и (12) получаем, что
fp,q,l ? Tλ = 0 в BR−r(T ) для всех λ, p, q, l.
По уже доказанному имеем fp,q,l = 0. Отсюда в силу произвольности p, q, l имеем
f = 0, что также противоречит условию. Итак, существует λ ∈ Z(P̃ ) такое, что
f ? Tλ 6= 0 в OT . Тогда для некоторого ν ∈ Z+ функция g = (L − λ2Id)ν(f ? Tλ)
ненулевая в O и удовлетворяет условию 1) леммы.
Пусть теперь ε > 0 и Bε(z) ⊂ O. Тогда для любой функции ϕ ∈ D\(Cn), такой,
что ϕ̃(λ) = 1 и suppϕ ⊂ Bε, находим
g(z) = (g ? ϕ)(z) =
((
(L− λ2Id)ν(f ? Tλ)
)
? ϕ
)
(z) =
(
f ?
(
(L− λ2Id)ν Tλ ? ϕ
))
(z) (27)
(см. (14), (15), (17)). Учитывая, что (L− λ2Id)ν Tλ ? ϕ ∈ D\(Cn) и
supp
(
(L− λ2Id)ν Tλ ? ϕ
) ⊂ Bε
(см. (16)), из (27) получаем оценку (23). Тем самым лемма 4 полностью доказана. ¤
5. Доказательство основных результатов.
Доказательство теоремы 1. Достаточно рассмотреть случай η > 0. Пусть 0 <
α < γ, β = γ − α и χα – индикатор шара Bα. При R > γ для любой h
∫
E(R,β)
∫
Bα(z)
|f(w)|dmn(w)dmn(z) 6
∫
E(R,β)
∫
E(R,γ)
|f(w)|χα(z − w)dmn(w)dmn(z) 6
∫
E(R,γ)
|f(w)|dmn(w)
∫
Cn
χα(z)dmn(z).
Предположим, что f 6= 0. Выберем ε > 0 настолько малым, чтобы 2η < γ− ε. Пусть
g ∈ C∞(Cn) – ненулевая функция, удовлетворяющая условиям 1) и 2) леммы 4 при
выбранном ε. Применяя оценку (23) при α = ε, получаем
∫
E(R,β)
|g(z)|dmn(z) 6 c1
∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z),
где постоянная c1 > 0 не зависит от R. Отсюда и из (10) следует, что
∫
E(R,β)
|gp,q,l(z)|dmn(z) 6 c2
∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z)
53
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
при всех p, q, l с постоянной c2 > 0, не зависящей от R. Предположим, что gp,q,l 6= 0.
Тогда из свойства 1) функции g (см. лемму 4) и следствия 1 имеем
∫
E(R,β)
|φλ,p,q,l(z)|dmn(z) 6 c3
∫
E(R,γ)
|f(z)|dmn(z),
где постоянная c3 не зависит от R. Однако условия (4), (5) и лемма 2 показывают, что
последнее неравенство противоречиво для некоторой последовательности значений
R, стремящейся к бесконечности. Это означает, что gp,q,l = 0 при всех p, q, l. Поэтому
g = 0 (см. [16, гл. 12, теорема 12.2.3]), что противоречит выбору g. Таким образом,
f = 0, что и требовалось. ¤
Доказательство теоремы 2. Повторим рассуждения из доказательства теоре-
мы 1 для случая, когда E(R, γ) ⊂ O. Тогда, используя лемму 1 вместо следствия 1 и
асимптотические формулы из леммы 2, получим, что существует достаточно боль-
шое R0 > 0 для которого f = 0 в области {z ∈ Cn : |z| > R0} ⊂ O. Поскольку
f ∈ D′P (O), отсюда имеем утверждение теоремы 2. ¤
Доказательство теоремы 3. Рассмотрим функцию f(z) = φλ,p,q,l(z), где λ ∈
Z(P̃ ). Из следствия 1 получаем (L− λ2Id)f = 0 в Cn. Используя теорему о среднем
для собственных функций оператора L (см. [14, предложение 7]), находим P (L)f =
0. Следовательно, f ∈ RAP (Cn). Кроме того, из (19), (20) и леммы 2 вытекает, что
f удовлетворяет условию (6). Более того, если NP 6= ∅, то при λ ∈ NP функция
f удовлетворяет (7). Таким образом, утверждения (i) и (ii) теоремы 3 доказаны.
Для доказательства (iii) достаточно повторить данные рассуждения для функции
f(z) = ψλ,p,q,l(z), где λ ∈ Z(P̃ ), с использованием леммы 2. ¤
В заключение отметим, что методы данной работы могут быть использованы в
более общей ситуации, например, для изучения уравнений свертки с искажением.
1. Rellich F. Über das asymptotische Verhalten der Lösungen von ∆u + λu = 0 in unendlichen
Gebieten // Jahresber. Deutsch. Math. Verein. – 1943. – V. 53. – P. 57-65.
2. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. – М. – Л., 1948.
3. Wolsson K. Dissertation, New York University, 1962.
4. Treves F. Differential polynomials and decay at ∞ // Bull. Amer. Math. Soc. – 1960. – V. 66. –
P. 184-186.
5. Littman W. Decay at infinity to solutions of partial differential equations // Notices Amer. Math.
Soc. – 1970. – V. 17, № 2. – P. 444.
6. Lax P.D., Phillips R.S. The Paley-Wiener theorem for the Radon transform //Comm. Pure Appl.
Math. – 1970. – V. 23, № 3. – P. 409 – 424.
7. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 2003. – 454 pp.
8. Folland G. Harmonic Analysis in phase space. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1989.
9. Thangavelu S. Lectures on Hermite and Laguerre Expansions. – Princeton: Princeton Univ. Press,
1993.
10. C.A. Berenstein C.A, Chang D.C., Tie J. Laguerre Calculus and Its Applications on the Heisenberg
group. – Rhode Island: Amer. Math. Soc. Providence, 2001.
11. Thangavelu S. Mean periodic functions on phase space and the Pompeiu problem with a twist //
Ann. Inst. Fourier, Grenoble. – 1995. – V. 45. – P. 1007–1035.
12. Очаковская О.А. Точные характеристики допустимой скорости убывания ненулевой функции
с нулевыми шаровыми средними // Матем. сб. – 2008. – Т.199, №1. – С. 47–66.
54
Асимптотическое поведение решений некоторых дифференциальных уравнений
13. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. – М.: Наука, 1979.
14. Волчков В.В., Волчков Вит.В. Уравнения свертки на многомерных областях и редуцированной
группе Гейзенберга // Матем. сб. – 2008. – Т.199, №8. – С. 29–60.
15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – Т. 1. – 294 с.
16. Рудин У. Теория функций в единичном шаре из Cn. – М.: Мир, 1984.
V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov
Asymptotic behavior of solutions of some differential equations.
Analogs of Liouville’s theorem for solutions of some differential equations are obtained.
Keywords: Heisenberg group, twisted convolution equation, confluent hypergeometric functions.
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Асимптотичне поводження розв’язкiв деяких диференцiальних рiвнянь.
Одержано аналоги теореми Лiувiлля для розв’язкiв деяких диференцiальних рiвнянь.
Ключовi слова: група Гейзенберга, викривлене рiвняння згортки, виродженi гiпергеометричнi
функцiї.
Донецкий национальный университет
valeriyvolchkov@gmail.com
Получено 29.10.10
55
|