Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена
Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений тригонометрических полиномов, порождаемых: повторным методом суммирования Валле Пуссена, взятых по классам аналитических периодических функций действительной переменной....
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123980 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена / В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 33-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123980 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1239802025-02-09T15:06:09Z Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена Наближення аналітичних функцій повторними сумами Валле Пуссена Approximation of analytic functions repeated by Vallee Poussin sums Величко, В.Е. Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. Рукасов, В.И. Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений тригонометрических полиномов, порождаемых: повторным методом суммирования Валле Пуссена, взятых по классам аналитических периодических функций действительной переменной. Отримано асимптотичні рівності для верхніх граней ухилень тригонометричних поліномів, що породжені повторним методом підсумовування Валле Пуссена, взятих за класами аналітичних періодичних функцій дійсної змінної. We obtain asymptotic equalities for upper bounds for deviations trigonometric polynomials generated by the re- Vallee-Poussin summation taken over the class of analytic periodic functions of real variable. 2011 Article Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена / В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 33-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123980 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений тригонометрических полиномов, порождаемых: повторным методом суммирования Валле Пуссена, взятых по классам аналитических периодических функций действительной переменной. |
| format |
Article |
| author |
Величко, В.Е. Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. Рукасов, В.И. |
| spellingShingle |
Величко, В.Е. Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. Рукасов, В.И. Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Величко, В.Е. Новиков, О.А. Ровенская, О.Г. Рукасов, В.И. |
| author_sort |
Величко, В.Е. |
| title |
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена |
| title_short |
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена |
| title_full |
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена |
| title_fullStr |
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена |
| title_full_unstemmed |
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена |
| title_sort |
приближение аналитических функций повторными суммами валле пуссена |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123980 |
| citation_txt |
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена / В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 33-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT veličkove približenieanalitičeskihfunkcijpovtornymisummamivallepussena AT novikovoa približenieanalitičeskihfunkcijpovtornymisummamivallepussena AT rovenskaâog približenieanalitičeskihfunkcijpovtornymisummamivallepussena AT rukasovvi približenieanalitičeskihfunkcijpovtornymisummamivallepussena AT veličkove nabližennâanalítičnihfunkcíjpovtornimisumamivallepussena AT novikovoa nabližennâanalítičnihfunkcíjpovtornimisumamivallepussena AT rovenskaâog nabližennâanalítičnihfunkcíjpovtornimisumamivallepussena AT rukasovvi nabližennâanalítičnihfunkcíjpovtornimisumamivallepussena AT veličkove approximationofanalyticfunctionsrepeatedbyvalleepoussinsums AT novikovoa approximationofanalyticfunctionsrepeatedbyvalleepoussinsums AT rovenskaâog approximationofanalyticfunctionsrepeatedbyvalleepoussinsums AT rukasovvi approximationofanalyticfunctionsrepeatedbyvalleepoussinsums |
| first_indexed |
2025-11-27T04:24:05Z |
| last_indexed |
2025-11-27T04:24:05Z |
| _version_ |
1849916078772191232 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 517.5
c©2011. В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов
ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПОВТОРНЫМИ СУММАМИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА
Получены асимптотические равенства для верхних граней уклонений тригонометрических поли-
номов, порождаемых повторным методом суммирования Валле Пуссена, взятых по классам ана-
литических периодических функций действительной переменной.
Ключевые слова: ряд Фурье, линейные методы приближения.
В работе Степанца А.И. [1] введены классы Cψ
β,∞ следующим образом.
Пусть L – пространство суммируемых 2π-периодических функций, f ∈ L и
S[f ] =
a0
2
+
∞∑
k=1
(
ak cos kx + bk sin kx
)
– ряд Фурье функции f . Пусть, далее, ψ(k) – произвольная функция натурального
аргумента и β – произвольное действительное число. Если ряд
∞∑
k=1
1
ψ(k)
(
ak cos(kx +
βπ
2
) + bk sin(kx +
βπ
2
)
)
является рядом Фурье некоторой суммируемой функции fψ
β (·), то ее называют (ψ, β)-
производной функции f(·). Множество всех непрерывных функций, обладающих
(ψ, β)-производными, обозначается через Cψ
β . Если f ∈ Cψ
β и кроме того fψ
β (x) ∈ S0
M ,
т.е. выполнены условия
π∫
−π
fψ
β (x)dx = 0, esssup|fψ
β (x)| ≤ 1,
то, следуя [1], будем говорить, что f ∈ Cψ
β,∞.
В данной работе рассмотрим случай, когда ψ(k) = e−αk, k = 1, 2, ..., где α >
0 – фиксированное действительное число. Обозначим символом Cα
β,∞ класс Cψ
β,∞,
определяемый указанной функцией ψ(k). При этом также будем обозначать fψ
β (x) =
fα
β (x). Известно (см., например, [2]), что класс Cα
β,∞ состоит из функций f , которые
являются сужениями на действительную ось функций F (z), аналитических в полосе
|Imz| ≤ α
2 ln 2 .
Пусть Λ =
{
λ
(n)
k
}
– бесконечная треугольная матрица чисел, с помощью которой
каждой функции f(x), поставим в соответствие последовательность тригонометри-
33
В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов
ческих полиномов
Un(f ; x; Λ) =
a0
2
+
n−1∑
k=1
λ
(n)
k (ak cos kx + bk sin kx). (1)
Пусть
λ
(n)
k =
{
1, 1 ≤ k ≤ n− p
1− k−n+p
p , n− p ≤ k ≤ n.
(2)
Как известно (см., например, [3]), полиномы вида (1), задаваемые при помощи соот-
ношения (2), называются суммами Валле Пуссена и обозначаются Vn,p(f, x). Суммы
Валле Пуссена можно также представить в виде средних арифметических сумм Фу-
рье Sk(f, x)
Vn,p(f, x) =
1
p
n−1∑
k=n−p
Sk(f, x).
Пусть p1, p2 – произвольные натуральные числа такие, что p1 + p2 < n. Повтор-
ными средними арифметическими сумм Фурье (см. [4]) будем называть тригономет-
рические полиномы, которые задаются соотношением
V (2)
n,p (f, x) =
1
p1
n−1∑
k=n−p1
Vk+1,p2(f, x) =
1
p1
n−1∑
k=n−p1
1
p2
k∑
m=k−p2+1
Sm(f, x). (3)
Никольский С.М. [5] показал, что для верхних граней уклонений частных сумм
Фурье, взятых по классам Cα
β,∞, имеет место асимптотическое равенство
E (
Cα
β,∞; Sn
) df= sup
f∈Cα
β,∞
||f(·)− Sn(f ; ·)||C =
8qn
π2
π
2∫
0
du√
1− q2 sin2 u
+ O(1)
qn
n
, q = e−α,
где
K(q) =
π
2∫
0
du√
1− q2 sin2 u
— полный эллиптический интеграл первого рода. Стечкиным С.Б. [6] этот результат
был передоказан другим методом, который позволил уточнить остаточный член в
этой формуле:
E (
Cα
β,∞; Sn
)
=
8qn
π2
π
2∫
0
du√
1− q2 sin2 u
+ O(1)
qn
n(1− q2)
, q = e−α.
В работе [7] (см. также [8]) для верхних граней отклонений сумм Валле Пуссена
на классах Cα
β,∞ получено асимптотическое равенство
E (
Cα
β,∞; Vn,p
)
=
4qn−p+1
πp(1− q2)
+ O(1)
(
qn−p+1
p(n− p)(1− q)3
+
qn
p(1− q2)
)
, 1 < p < n.
34
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена
В данной работе исследуется асимптотическое поведение при n →∞ величины
E
(
Cα
β,∞; V (2)
n,p
)
= sup
f∈Cα
β,∞
||f(x)− V (2)
n,p (f, x)||C .
Нами доказано следующее утверждение
Теорема. Пусть α > 0, q = e−α, β ∈ R, pi ∈ N, i = 1; 2. Тогда при n−p1−p2 →∞
справедлива асимптотическая формула
E
(
Cα
β,∞;V (2)
n,p
)
=
8qn−p1−p2+1
πp1p2(1 + q)3
Π
(
4q
(1 + q)2
;
2
√
q
1 + q
)
+
+O(1)
(
qn−p1−p2+1
p1p2(n− p1 − p2 + 1)(1− q)4
+
qn−p1+1
p1p2(1− q)3
+
qn−p2+1
p1p2(1− q)3
)
, (4)
где
Π (n; k) =
π
2∫
0
du(
1− n sin2 u
) √
1− k2 sin2 u
– полный эллиптический интеграл третьего рода, O(1) – величина, равномерно
ограниченная по n, β, q.
Доказательство. В силу соотношения (3) имеем
δ(2)
n,p(f, x) df= f(x)− V (2)
n,p (f, x) =
1
p1p2
p1p2f(x)−
n−1∑
k=n−p1
k∑
m=k−p2+1
Sm(f, x)
=
=
1
p1p2
n−1∑
k=n−p1
k∑
m=k−p2+1
(f(x)− Sm(f, x)) =
1
p1p2
n−1∑
k=n−p1
k∑
m=k−p2+1
ρm(f, x), (5)
где
ρm(f, x) = f(x)− Sm(f, x).
Введем обозначение
bq,β
m (t) =
1− 3q cos t + 3q2 cos 2t− q3 cos 3t
(1− 2q cos t + q2)3
cos(mt +
βπ
2
)+
+
−3q sin t + 3q2 sin 2t− q3 sin 3t
(1− 2q cos t + q2)3
sin(mt +
βπ
2
).
Применяя рассуждения работы [2,с.123], на основании соотношения (5) находим
δ(2)
n,p(f, x) =
1
πp1p2
π∫
−π
fα
β (x + t)
(
qn−p1−p2+1bq,β
n−p1−p2+1(t)−
35
В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов
−qn−p1+1bq,β
n−p1+1(t)− qn−p2+1bq,β
n−p2+1(t) + qn+1bq,β
n+1(t)
)
dt. (6)
Изучим функцию bq,β
n (t). Воспользуемся известной формулой
A cosx + B sinx =
√
A2 + B2 sin(x + θ),
где
sin θ =
A√
A2 + B2
; cos θ =
B√
A2 + B2
.
Тогда
bq,β
m (t) =
√
A2 + B2
(1− 2q cos t + q2)3
sin(mt +
βπ
2
+ Φ(t)),
где
A = 1− 3q cos t + 3q2 cos 2t− q3 cos 3t; B = −3q sin t + 3q2 sin 2t− q3 sin 3t,
Φ(t) =
arctg
(
1−3q cos t+3q2 cos 2t−q3 cos 3t
−3q sin t+3q2 sin 2t−q3 sin 3t
)
+ π, t ∈ (0;π),
π
2 , t = 0,
arctg
(
1−3q cos t+3q2 cos 2t−q3 cos 3t
−3q sin t+3q2 sin 2t−q3 sin 3t
)
, t ∈ (−π; 0).
Выполняя элементарные преобразования, получаем
A2 + B2 = (1− 2q cos t + q2)3.
Поэтому,
bq,β
m (t) =
√
(1− 2q cos t + q2)3
(1− 2q cos t + q2)3
sin(mt +
βπ
2
+ Φ(t)) =
sin(mt + βπ
2 + Φ(t))
(1− 2q cos t + q2)
3
2
.
Изучим характер расположения нулей функции sin(mt + βπ
2 + Φ(t)). Для этого
изучим свойства функции Φ(t).
Легко видеть, что функция Φ(t) непрерывна на промежутке (0;π) и выполнено
условие
0 ≤ Φ(t) ≤ 3π
2
.
Выполняя элементарные преобразования, получаем, что для всякого t ∈ (−π; 0)∪
(0;π) ∣∣Φ′(t)∣∣ ≤ lim
t→0
∣∣Φ′(t)∣∣ =
3q
1− q
.
Поскольку 1− 2q cos t + q2 > 0, то функция bq,β
m (t) обращается в нуль на проме-
жутке (0;π) с изменением знака в точках tk, удовлетворяющих условию
mtk +
βπ
2
+ Φ(tk) = kπ, k = 1, 2, . . . ,m− 1.
36
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена
Следовательно,
tk+1 − tk =
π
m
− Φ(tk+1)− Φ(tk)
m
; tk+2 − tk+1 =
π
m
− Φ(tk+2)− Φ(tk+1)
m
.
Таким образом,
|(tk+2 − tk+1)− (tk+1 − tk)| ≤ |Φ(tk+2)− Φ(tk+1)|+ |Φ(tk+1)− Φ(tk)|
m
.
Так как |Φ′(t)| ≤ 3q
1−q , то
|Φ(tk+1)− Φ(tk)| ≤ 3q
1− q
(tk+1 − tk).
Поскольку 0 ≤ Φ(t) ≤ 3π
2 , то, учитывая, что tk = kπ
m − βπ
2 − Φ(tk)
m , получаем
kπ
m
− βπ
2m
− 3π
2m
≤ kπ
m
− βπ
2m
− Φ(tk)
m
= tk ≤ kπ
m
− βπ
2m
, (7)
(k + 1)π
m
− βπ
2m
− 3π
2m
≤ (k + 1)π
m
− βπ
2m
− Φ(tk+1)
m
= tk+1 ≤ (k + 1)π
m
− βπ
2m
. (8)
Следовательно, tk+1 − tk ≤ 5π
2m . Поэтому разность длин промежутков [tk; tk+1],
[tk+1; tk+2] не превосходит величину
|Φ(tk+2)− Φ(tk+1)|+ |Φ(tk+1)− Φ(tk)|
m
≤ 6q
m(1− q)
5π
2m
=
15qπ
m2(1− q)
.
Функция bq,β
m (t) на промежутках [tk; tk+1], [tk+1; tk+2] сохраняет знаки, причем, спра-
ва и слева от tk+1 эти знаки различные.
Таким образом, функцию signbq,β
m (t) в промежутке [tk; tk+2] можно изменить на
множестве, мера которого ≤ 15qπ
(1−q)m2 , так, что полученная функция bq,β
m,1(t) будет
обладать свойством:
tk+2∫
tk
bq,β
m,1(t)dt = 0.
В силу соотношений (7) и (8), для достаточно больших m справедливо неравен-
ство tk+1 − tk ≥ π
m − 1
m |Φ(tk+1) − Φ(tk)| ≥ π
m − 15qπ
2m2(1−q)
≥ π
2m . Поэтому количество
промежутков, на которых функция bq,β
m,1(t), t ∈ (0;π), изменяет знак ≤ 2m.
Понятно, что рассуждения, приведенные для промежутка (0; π), по аналогии
можно провести и для промежутка (−π; 0). Следовательно, функция bq,β
m,1(t), по-
строенная на (−π; 0) ∪ (0;π), обладает свойством
π∫
−π
bq,β
m,1(t)dt = 0
37
В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов
и отличается от signbq,β
m (t) на множестве, мера которого не превосходит 60qπ
m(1−q) .
Таким образом,
π∫
−π
∣∣bq,β
m (t)
∣∣dt =
π∫
−π
bq,β
m (t)sign
(
bq,β
m (t)
)
dt =
π∫
−π
bq,β
m (t)[bq,β
m,1(t) + O(1)
q
m(1− q)
]dt.
Учитывая, что
|bq,β
m (t)| = | sin(mt + βπ
2 + Φ(t))|
(1− 2q cos t + q2)
3
2
≤ 1
(1− q)3
,
находим
π∫
−π
∣∣bq,β
m (t)
∣∣dt =
π∫
−π
bq,β
m (t)bq,β
m,1(t) + O(1)
q
m(1− q)4
dt.
Следовательно,
sup
f∈Cα
β,∞
qn−p1+1
p1p2
π∫
−π
fα
β (x + t)bq,β
n−p1+1(t)dt +
qn−p2+1
p1p2
π∫
−π
fα
β (x + t)bq,β
n−p2+1(t)dt+
+
qn+1
p1p2
π∫
−π
fα
β (x + t)bq,β
n+1(t)dt
=
= O(1)
qn−p1+1
p1p2
π∫
−π
|bq,β
n−p1+1(t)|dt +
qn−p2+1
p1p2
π∫
−π
|bq,β
n−p2+1(t)|dt +
qn+1
p1p2
π∫
−π
|bq,β
n+1(t)|dt
.
Поэтому, принимая во внимание, что bq,β
n,1(t) ∈ S0
M , заключаем
sup
f∈Cα
β,∞
qn−p1−p2+1
π∫
−π
fα
β (x + t)bq,β
n−p1−p2+1(t)dt
=
= qn−p1−p2+1
π∫
−π
|bq,β
n−p1−p2+1(t)|dt + O(1)
qn−p1−p2+1
(n− p1 − p2 + 1)(1− q)4
.
Таким образом, при p1 ∈ N, p2 ∈ N, p1 + p2 < n, на основании соотношения (6)
получаем
E
(
Cα
β,∞;V (2)
n,p
)
=
qn−p1−p2+1
πp1p2
π∫
−π
|bq,β
n−p1−p2+1(t)|dt + O(1)
(
(1− q)−4qn−p1−p2+1
p1p2(n− p1 − p2 + 1)
+
+
qn−p1+1
p1p2
π∫
−π
|bq,β
n−p1+1(t)|dt +
qn−p2+1
p1p2
π∫
−π
|bq,β
n−p2+1(t)|dt +
qn+1
p1p2
π∫
−π
|bq,β
n+1(t)|dt
. (9)
38
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена
Вычислим интеграл Jm =
π∫
−π
|bq,β
m (t)|dt,m ∈ N . Следуя [2], обозначим Γ(t) =
(
1− 2q cos t + q2
)−1. Тогда имеем
Jm =
π∫
−π
∣∣∣bq,β
m (t)
∣∣∣ dt =
1
2π
2π∫
0
m−1∑
k=0
2π
m
∣∣∣∣∣cos(t +
βπ
2
)− 3q cos
(
t−
(
t + 2kπ
m
)
+
βπ
2
)
+
+3q2 cos
(
t− 2
(
t + 2kπ
m
)
+
βπ
2
)
− q3 cos
(
t− 3
(
t + 2kπ
m
)
+
βπ
2
)∣∣∣∣∣Γ
3
(
t + 2kπ
m
)
dt.
(10)
При фиксированных t, β, q, m положим
F (x) =
∣∣∣∣cos
(
t +
βπ
2
)
− 3q cos
(
t−
(
t
m
+ x
)
+
βπ
2
)
+
+3q2 cos
(
t− 2
(
t
m
+ x
)
+
βπ
2
)
− 3q3 cos
(
t− 3
(
t
m
+ x
)
+
βπ
2
)∣∣∣∣Γ3
(
t
m
+ x
)
.
Легко заметить, что под знаком интеграла в соотношении (10) стоит интеграль-
ная сумма, составленная для функции F (x) и отвечающая разбиению xk = 2kπ
m , ∆xk =
2π
m , k = 0, 1, ..., m− 1, отрезка [0; 2π], и
∣∣∣∣∣∣
2π∫
0
F (x)dx−
m−1∑
k=0
F (xk)
2π
m
∣∣∣∣∣∣
≤
m−1∑
k=0
xk+1∫
xk
|F (x)− F (xk)|dx ≤ 2πω
(
F ;
2π
m
)
,
где ω(F ; t) - модуль непрерывности функции F (x). Производная F ′(x) существует
и ограничена всюду, за исключением точек, где F (x) = 0. Поэтому при каждом
фиксированном q существует постоянная K, которая не зависит от t, β, m такая,
что почти всюду на [0; 2π] выполнено |F ′(t)| < K. Поэтому при каждом фиксирован-
ном q ∣∣∣∣∣∣
2π∫
0
F (x)dx−
m−1∑
k=0
F (xk)
2π
m
∣∣∣∣∣∣
< (2π)2
K
m
.
Таким образом,
Jm =
1
2π
2π∫
0
2π∫
0
∣∣∣∣−3q3 cos
(
t− 3
(
t
m
+ x
)
+
βπ
2
)
− 3q cos
(
t−
(
t
m
+ x
)
+
βπ
2
)
+
+3q2 cos
(
t− 2
(
t
m
+ x
)
+
βπ
2
)
+ cos
(
t +
βπ
2
)∣∣∣∣Γ3
(
t
m
+ x
)
dxdt + O
(
1
m
)
.
39
В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов
Поэтому, переходя к новым переменным, получаем
Jm =
1
π
π∫
0
Γ3(x)
2π∫
0
∣∣cos t− 3q cos (t− x) + 3q2 cos (t− 2x)− q3 cos (t− 3x)
∣∣ dtdx+O
(
1
m
)
.
Поскольку, при фиксированном x ∈ (0;π)
cos t− 3q cos (t− x) + 3q2 cos (t− 2x)− q3 cos (t− 3x) =
= Γ−
3
2 (x) sin
(
t + arctg
(
1− 3q cosx + 3q2 cos 2x− q3 cos 3x
−3q sinx + 3q2 sin 2x− q3 sin 3x
)
+ π
)
,
то функция cos t− 3q cos (t− x) + 3q2 cos (t− 2x)− q3 cos (t− 3x), как функция пере-
менной t, при фиксированном x ∈ (0;π) обращается в нуль с переменой знака только
в точках вида t0 + kπ, k = 0,±1,±2, ..., где
t0 = −arctg
(
1− 3q cosx + 3q2 cos 2x− q3 cos 3x
−3q sinx + 3q2 sin 2x− q3 sin 3x
)
.
Поэтому, принимая во внимание, что
sin t0 = − (
1− 3q cosx + 3q2 cos 2x− q3 cos 3x
)
Γ
3
2 (x),
cos t0 =
(−3q sinx + 3q2 sin 2x− q3 sin 3x
)
Γ
3
2 (x),
∀x ∈ (0;π) находим
2π∫
0
∣∣cos t− 3q cos (t− x) + 3q2 cos (t− 2x)− q3 cos (t− 3x)
∣∣ dt = 4Γ−
3
2 (x).
Следовательно,
Jm =
1
π
π∫
0
[4Γ−
3
2 (x)]Γ3(x)dx + O
(
1
m
)
=
4
π
π∫
0
Γ
3
2 (x)dx + O
(
1
m
)
.
Имея в виду соотношение (9), получаем
E
(
Cα
β,∞;V (2)
n,p
)
=
qn−p1−p2+1
πp1p2
Jn−p1−p2+1+
+O(1)
(
qn−p1−p2+1
(n− p1 − p2 + 1)(1− q)4
+
qn−p1+1
p1p2
Jn−p1+1 +
qn−p2+1
p1p2
Jn−p2+1 +
qn+1
p1p2
Jn+1
)
.
=
4qn−p1−p2+1
πp1p2
π∫
0
Γ
3
2 (x)dx+
40
Приближение аналитических функций повторными суммами Валле Пуссена
+O(1)
(
qn−p1−p2+1
p1p2(n− p1 − p2 + 1)(1− q)4
+
qn−p1+1
p1p2(1− q)3
+
qn−p2+1
p1p2(1− q)3
)
. (11)
Выполняя элементарные преобразования, находим
π∫
0
Γ
3
2 (x)dx = 2
π
2∫
0
du(√
(1 + q)2 − 4q cos2 u)
)3 =
=
2
(1 + q)3
π
2∫
0
du(
1− 4q
(1+q)2
sin2 u
)√
1− 4q
(1+q)2
sin2 u
=
2
(1 + q)3
Π
(
π
2
;
4q
(1 + q)2
;
2
√
q
1 + q
)
,
где
Π(x; n; k) =
x∫
0
du(
1− n sin2 u
) √
1− k2 sin2 u
– эллиптический интеграл третьего рода.
Поэтому на основании соотношения (11), получаем асимптотическую формулу
(4). Теорема доказана. ¤
Заметим, что в случае, когда limn→∞ pi = ∞, i = 1; 2, полученное равенство
(4) обеспечивает решение задачи Колмогорова–Никольского на классах Cα
β,∞ для
повторных сумм Валле Пуссена.
1. Степанец А.И. Классификация периодических функций и скорость сходимости их рядов Фурье
// Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1986. – 50, № 2. – С. 101-136.
2. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. Думка,
1987. – 268 с.
3. Ch la Vallee Pussin. Sur la meilleure approximation des fonction d’une variable reelle par des
expession d’ordre donne // Comptes rendus Acad. Sci. Paris. – 1918. – 166. – P. 799-802.
4. Рукасов В.И., Новиков О.А., Ровенская О.Г. Интегральные представления уклонений средних
сумм Фурье на классах Cα
β,∞ // Вiсник Слов’янського державного педагогiчного унiверситету.
Математика. – 2008. – Т. 1(3). – С. 33-41.
5. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв.
АН СССР. сер.мат. – 1946. – 10, № 3. – C. 207-256.
6. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та
им. В.А. Стеклова АН СССР. – 1980. – 145. – С. 126-151.
7. Рукасов В.И. Дослiдження екстремальних задач теорiї наближення функцiй: дис. ... доктора
фiз–мат. наук: 01.01.01 – К: Iн-т математики НАН України, 2003. – 345 с.
8. Степанец А.И., Рукасов В.И., Чайченко С.О. Приближения суммами Валле Пуссена // Працi
Iн-ту математики НАН України. – 2007. – Т. 68. – 368 с.
41
В.Е. Величко, О.А. Новиков, О.Г. Ровенская, В.И. Рукасов
V.E. Velichko, O.A. Novikov, O.G. Rovenskaja, V.I. Rukasov
Approximation of analytic functions repeated by Vallee Poussin sums.
We obtain asymptotic equalities for upper bounds for deviations trigonometric polynomials generated
by the re- Vallee-Poussin summation taken over the class of analytic periodic functions of real variable.
Keywords: Fourier series, linear approximation methods.
В.Є. Величко, О.О. Новiков, О.Г. Ровенська, В.I. Рукасов
Наближення аналiтичних функцiй повторними сумами Валле Пуссена.
Отримано асимптотичнi рiвностi для верхнiх граней ухилень тригонометричних полiномiв, що по-
родженi повторним методом пiдсумовування Валле Пуссена, взятих за класами аналiтичних перiо-
дичних функцiй дiйсної змiнної.
Ключовi слова: ряд Фур’є, лiнiйнi методи наближення.
Славянский государственный педагогический ун-т
sgpi@slav.dn.ua
Получено 27.04.09
42
|