Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах
Изучаются множества инъективности преобразования Помпейю на многомерных областях. Построены примеры областей, для которых: выполняются свойства инъективности и неинъективности. Вивчаються множини ін'єктивності перетворення Помпейю на багатовимірних областях. Побудовано приклади областей, для як...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123982 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 53-57. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123982 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. 2017-09-17T16:49:01Z 2017-09-17T16:49:01Z 2011 Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 53-57. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123982 517.444 Изучаются множества инъективности преобразования Помпейю на многомерных областях. Построены примеры областей, для которых: выполняются свойства инъективности и неинъективности. Вивчаються множини ін'єктивності перетворення Помпейю на багатовимірних областях. Побудовано приклади областей, для яких мають місце властивості ін'єктивності та не ін'єктивності. Injectivity sets of the Pompeiu transform on multidimensional domains are studied. Examples of domains for which the properties of injectivity and non-injectivity hold are constructed. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах Множини ін'єктивності перетворення Помпейю на евклідових просторах Injectivity sets of the Pompeiu transform on Euclidean spaces Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах |
| spellingShingle |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| title_short |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах |
| title_full |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах |
| title_fullStr |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах |
| title_full_unstemmed |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах |
| title_sort |
множества инъективности преобразования помпейю на евклидовых пространствах |
| author |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| author_facet |
Волчков, В.В. Волчков, Вит.В. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Множини ін'єктивності перетворення Помпейю на евклідових просторах Injectivity sets of the Pompeiu transform on Euclidean spaces |
| description |
Изучаются множества инъективности преобразования Помпейю на многомерных областях. Построены примеры областей, для которых: выполняются свойства инъективности и неинъективности.
Вивчаються множини ін'єктивності перетворення Помпейю на багатовимірних областях. Побудовано приклади областей, для яких мають місце властивості ін'єктивності та не ін'єктивності.
Injectivity sets of the Pompeiu transform on multidimensional domains are studied. Examples of domains for which the properties of injectivity and non-injectivity hold are constructed.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123982 |
| citation_txt |
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах / В.В. Волчков, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 53-57. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovvv množestvainʺektivnostipreobrazovaniâpompeiûnaevklidovyhprostranstvah AT volčkovvitv množestvainʺektivnostipreobrazovaniâpompeiûnaevklidovyhprostranstvah AT volčkovvv množiniínêktivnostíperetvorennâpompeiûnaevklídovihprostorah AT volčkovvitv množiniínêktivnostíperetvorennâpompeiûnaevklídovihprostorah AT volčkovvv injectivitysetsofthepompeiutransformoneuclideanspaces AT volčkovvitv injectivitysetsofthepompeiutransformoneuclideanspaces |
| first_indexed |
2025-11-24T16:07:11Z |
| last_indexed |
2025-11-24T16:07:11Z |
| _version_ |
1850850695509442560 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 517.444
c©2011. В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
МНОЖЕСТВА ИНЪЕКТИВНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОМПЕЙЮ НА ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Изучаются множества инъективности преобразования Помпейю на многомерных областях. Постро-
ены примеры областей, для которых выполняются свойства инъективности и неинъективности.
Ключевые слова: преобразование Помпейю, множества инъективности, сферические гармони-
ки.
1. Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство размерности
n ≥ 2 с евклидовой нормой | · |, M(n) – группа движений Rn, E ′(Rn) – пространство
распределений с компактным носителем в Rn. Для ϕ ∈ E ′(Rn), ζ ∈ M(n) определим
распределение ζϕ, действующее на E(Rn) по правилу
〈ζϕ, f(x)〉 = 〈ϕ, f(ζ−1x)〉, f ∈ E(Rn)
(здесь и далее E(M) – пространство бесконечно-дифференцируемых функций на
гладком многообразииM, см., например, [1, гл. 2, § 2, п. 2]). Для любого открытого
множества U ⊂ Rn такого, что множество Λ(U , ϕ) = {ζ ∈ M(n) : supp ζϕ ⊂ U} непу-
сто, преобразование Помпейю Pϕ отображает E(U) в E(Λ(U , ϕ)) следующим образом
(Pϕf)(ζ) = 〈ζϕ, f〉, f ∈ E(U), ζ ∈ Λ(U , ϕ).
Множество U называется множеством инъективности преобразования Pϕ, если из
равенства Pϕf = 0 на Λ(U , ϕ) следует, что f = 0 на U . Обозначим Iϕ – совокупность
всех множеств инъективности преобразования Pϕ.
Одной из важных задач интегральной геометрии является
Проблема 1. Для заданного ϕ ∈ E ′(Rn) описать все множества U ∈ Iϕ.
Для отдельных ϕ и U инъективность преобразования Помпейю и близкие во-
просы изучались многими авторами (см., например, работы [2]–[6] с обширной биб-
лиографией). В общем случае проблема 1 является весьма трудной (она содержит
в себе, например, старую нерешенную проблему Шиффера, см. [4, § 3]). Некоторые
достаточные условия геометрического характера, при которых U ∈ Iϕ, получены
К.А. Беренстейном, Р. Гэем и А. Ижером, см. [7], [8]. Однако получить полное опи-
сание Iϕ для нетривиальных случаев долгое время не удавалось.
Заметный прогресс в решении проблемы 1 был достигнут в работе [9], где полу-
чено описание Iϕ для широкого класса распределений ϕ с носителем на сфере. Для
таких распределений ϕ важную роль в рассматриваемом вопросе играет понятие
спектра в разложении ϕ по сферическим гармоникам.
Пусть Sn−1 = {x ∈ Rn : |x| = 1}, D′(Sn−1) – пространство распределений на Sn−1
(см., например, [1, гл. 2, § 2, п. 2]). Всякое распределение ϕ ∈ D′(Sn−1) продолжается
53
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
до распределения ϕ∗ ∈ E ′(Rn) с носителем на Sn−1, при этом для любой f ∈ E(Rn)
имеем 〈ϕ∗, f〉 =
〈
ϕ, f
∣∣
Sn−1
〉
, где f
∣∣
Sn−1 – сужение f на Sn−1. Для любого ϕ ∈ D′(Sn−1)
положим Iϕ = Iϕ∗ . Пусть Hk – пространство сферических гармоник степени k на
Sn−1, рассматриваемое как подпространство L2(Sn−1) (см. [1, введение]), dk – раз-
мерность Hk,
{
Y
(k)
l
}
, 1 ≤ l ≤ dk – фиксированный ортонормированный базис в Hk.
Каждому распределению ϕ ∈ D′(Sn−1) соответствует ряд Фурье
ϕ ∼
∞∑
k=0
dk∑
l=1
ϕk,lY
(k)
l ,
где ϕk,l =
〈
ϕ, Y
(k)
l
〉
(черта означает знак комплексного сопряжения). Обозначим
specϕ – спектр распределения ϕ, то есть множество всех пар индексов (k, l), для
которых ϕk,l 6= 0.
Можно показать, что Iϕ = ∅ для ϕ ∈ D′(Sn−1) тогда и только тогда, когда либо
specϕ состоит только из пары (0, 1), либо (0, 1) 6∈ specϕ, см. [9, § 1]. В работе [9]
получено также описание Iϕ для распределений ϕ ∈ D′(Sn−1), у которых suppϕ =
Sn−1 и specϕ – бесконечное множество, содержащее пару (0, 1) (при n = 2 условие
бесконечности спектра заменяется несколько более сильным требованием, см. [9,
§ 1]).
Очевидным необходимым условием инъективности Pϕ на U является равенство
U =
⋃
ζ∈Λ(U ,ϕ)
supp ζϕ (1)
(здесь черта означает замыкание множества). В связи с этим представляет интерес
Проблема 2. Описать множество A распределений ϕ ∈ E ′(Rn), для которых
условие (1) является необходимым и достаточным для инъективности Pϕ на U .
В работе [9], в частности, показано, что при n ≥ 3 множество A содержит все
распределения ϕ ∈ D′(Sn−1) с бесконечным спектром, содержащим пару (0, 1), у
которых suppϕ = Sn−1 (при n = 2 это верно при некоторых дополнительных пред-
положениях, см. [9, § 1]). При этом условие бесконечности спектра, вообще говоря,
ослабить нельзя, однако контрпримеры были известны лишь для областей U , не
являющихся односвязными (см. [9, лемма 23]). Поэтому возникает следующая
Проблема 3. Пусть ϕ ∈ D′(Sn−1), specϕ – конечное множество, содержа-
щее пару (0, 1) и spec ϕ 6= {(0, 1)}. Описать все односвязные области U ∈ Iϕ. В
частности, верно ли, что всякая односвязная область U , удовлетворяющая (1),
принадлежит Iϕ?
Далее, если носитель распределения ϕ ∈ D′(Sn−1) не совпадает с Sn−1, то specϕ
является бесконечным множеством. Поэтому в связи с указанными выше результа-
тами работы [9] представляет интерес
Проблема 4. Пусть ϕ ∈ D′(Sn−1), suppϕ 6= Sn−1 и (0, 1) ∈ spec ϕ. Верно ли,
что ϕ ∈ A?
54
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах
2. Основные результаты. В данной работе получены отрицательные ответы
на вопросы, поставленные в формулировках проблем 3, 4 (см. теоремы 1, 2 ниже),
а также новые достаточные условия инъективности преобразования Помпейю. При
этом обнаружен новый эффект: в отличие от случаев, изученных в [9], для распре-
делений ϕ, удовлетворяющих условиям проблемы 3, инъективность Pϕ на U (даже
при условии строгой выпуклости U) зависит не только от формы области U (опре-
деляемой необходимым условием (1)), но и от размеров U (см. теоремы 1, 3). Это
обстоятельство указывает на то, что даже при значительном сужении класса рас-
сматриваемых областей U для распределений ϕ ∈ D′(Sn−1) с конечным спектром
вопрос об инъективности Pϕ на U является, по-видимому, довольно трудным.
Теорема 1. Пусть ϕ ∈ D′(Sn−1), specϕ – конечное множество, содержащее
пару (0, 1) и specϕ 6= {(0, 1)}. Тогда для любого α > 1 такого, что
√
α2 − 1 (2α2 − α + (1− α)
√
α2 + α) > α,
объединение U всех открытых единичных шаров, содержащихся в эллипсоиде
{x ∈ Rn : (α2 − 1)(x2
1 + · · ·+ x2
n−1) + α2x2
n ≤ α4} (2)
удовлетворяет условию (1) и не принадлежит Iϕ.
Отметим, что утверждение теоремы 1 становится неверным, если эллипсоид (2)
заменить эллипсоидом вида
{x ∈ Rn :
n∑
k=1
x2
k/a2
k ≤ 1}, где 2 ≤ a1 ≤ . . . ≤ an
(см. [9, лемма 20] и теорему 3 ниже).
Теорема 2. Для любого открытого множества E ⊂ Rn, содержащего две диа-
метрально противоположные точки сферы Sn−1, существует ϕ ∈ D′(Sn−1) такое,
что suppϕ ⊂ E ∩ Sn−1, (0, 1) ∈ specϕ и ϕ 6∈ A.
Вопрос о необходимости условия о двух диаметрально противоположных точках
в теореме 2 остается открытым.
Теорема 3. Пусть ϕ ∈ D′(Sn−1), specϕ 6= {(0, 1)} и (0, 1) ∈ specϕ. Пусть
также U – область в Rn со следующими свойствами:
1) U удовлетворяет условию (1);
2) центры двух любых единичных сфер, содержащихся в U , можно соединить
ломаной так, что всякая единичная сфера с центром на этой ломаной содержится
в U ;
3) U содержит открытый шар радиуса r = 2.
Тогда U ∈ Iϕ. Если U не удовлетворяет хотя бы одному из условий 1)–3), это
утверждение, вообще говоря, неверно.
Приведем теперь некоторые достаточные условия инъективности преобразова-
ния Помпейю.
55
В.В. Волчков, Вит.В. Волчков
Рассмотрим конечное семейство F = {ϕ1, . . . , ϕm} распределений из E ′(Rn). Для
любого открытого множества U ⊂ Rn такого, что каждое из множеств
Λj = {ζ ∈ M(n) : supp ζϕj ⊂ U}, j = 1, . . . , m
непусто, преобразование Помпейю PF отображает E(U) в декартово произведение
E(Λ1)× . . .× E(Λm) следующим образом
PF (f) = (f1, . . . , fm), f ∈ E(U),
где fj(ζ) = 〈ζϕj , f〉, ζ ∈ Λj , j = 1, . . . , m.
Множество U называется множеством инъективности преобразования PF , если
из равенства PF (f) = (0, . . . , 0) для f ∈ E(U) следует, что f = 0 на U . Обозначим IF
– совокупность всех множеств инъективности преобразования PF .
Пусть
r(F) = min
1≤j≤m
r(ϕj),
где r(ϕj) – наименьший из радиусов замкнутых шаров, содержащих носитель ϕj .
Обозначим ϕ̃ – сферическое преобразование радиального распределения ϕ ∈ E ′(Rn)
(см. [1, гл. 4]), Zϕ = {z ∈ C : ϕ̃(z) = 0)}.
Теорема 4. Пусть F = {ϕ1, . . . , ϕm}, m ≥ 2 – семейство радиальных распре-
делений из E ′(Rn) такое, что
⋂m
j=1Zϕj = ∅ и U – область в Rn со следующими
свойствами:
1) каждая точка U лежит в некотором замкнутом шаре радиуса r(F), содер-
жащемся в U ;
2) множество центров всех замкнутых шаров радиуса r(F), содержащихся в
U , является связным;
3) U содержит замкнутый шар радиуса r(ϕ1).
Тогда U ∈ IF . Если U не удовлетворяет хотя бы одному из условий 1)–3), это
утверждение, вообще говоря, неверно.
Отметим также, что для любого семейства F = {ϕ1, . . . , ϕm} радиальных рас-
пределений из E ′(Rn) такого, что
⋂m
j=1Zϕj 6= ∅, все пространство Rn не является
множеством инъективности преобразования PF .
1. Helgason S. Groups and Geometric Analysis. – New York: Academic Press, 1984. – 735 p.
2. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Approximation by solutions of partial
differential equations (ed. Fuglede B. et. al). – Dordrecht: Kluwer. – 1992. – P. 185-194.
3. Zalcman L. Supplementary bibliography to ”A bibliographic survey of the Pompeiu problem” //
Contemp. Math. / Radon Transform and Tomography. – 2001. – V. 278. – P. 69-74.
4. Беренстейн К.А., Струппа Д. Комплексный анализ и уравнения в свёртках // Итоги науки и
техн. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления: ВИНИТИ. – 1989. – Т. 54. – С. 5-111.
5. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic Publi-
shers, 2003. – 454 pp.
6. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. – London: Springer-Verlag, 2009. – 671 p.
7. Berenstein C.A., Gay R. Le problème de Pompeiu locale // J. Analyse Math. – 1989. – V. 52. –
P. 133-166.
56
Множества инъективности преобразования Помпейю на евклидовых пространствах
8. Berenstein C.A., Gay R., Yger A. Inversion of the local Pompeiu transform // J. Analyse Math. –
1990. – V. 54. P. 259-287.
9. Волчков В.В. О множествах инъективности преобразования Помпейю // Мат. сборник. – 1993.
– Т. 184. – № 7. – С. 71-78.
V.V. Volchkov, Vit.V. Volchkov
Injectivity sets of the Pompeiu transform on Euclidean spaces.
Injectivity sets of the Pompeiu transform on multidimensional domains are studied. Examples of domains
for which the properties of injectivity and non-injectivity hold are constructed.
Keywords: Pompeiu transform, injectivity sets, spherical harmonics.
В.В. Волчков, Вiт.В. Волчков
Множини iн’єктивностi перетворення Помпейю на евклiдових просторах.
Вивчаються множини iн’єктивностi перетворення Помпейю на багатовимiрних областях. Побудо-
вано приклади областей, для яких мають мiсце властивостi iн’єктивностi та неiн’єктивностi.
Ключовi слова: перетворення Помпейю, множини iн’єктивностi, сферичнi гармонiки.
Донецкий национальный ун-т
valeriyvolchkov@gmail.com
Получено 30.03.11
57
|