Об асимптотических свойствах функций Лежандра
Изучаются асимптотические свойства функций Лежандра Pμλ(t) при λ → ∞. Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для t є (1; +∞). Вивчаються асимптотичні властивості функцій Лежандра Pμλ(t) при λ → ∞. Одержано асимптотичного ряду Бесселя для t є (1; +∞). Asymptotic properties the Legendre function...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123983 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об асимптотических свойствах функций Лежандра / Н.П. Волчкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 58-61. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123983 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Волчкова, Н.П. 2017-09-17T16:51:02Z 2017-09-17T16:51:02Z 2011 Об асимптотических свойствах функций Лежандра / Н.П. Волчкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 58-61. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123983 517.5 Изучаются асимптотические свойства функций Лежандра Pμλ(t) при λ → ∞. Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для t є (1; +∞). Вивчаються асимптотичні властивості функцій Лежандра Pμλ(t) при λ → ∞. Одержано асимптотичного ряду Бесселя для t є (1; +∞). Asymptotic properties the Legendre functions Pμλ(t) as λ → ∞ are studied. An analog of the Bessel asymptotic expansion for t є (1; +∞) is obtained. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Об асимптотических свойствах функций Лежандра Про асимптотичні властивості функцій Лежандра On asymptotic properties of the Legendre functions Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра |
| spellingShingle |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра Волчкова, Н.П. |
| title_short |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра |
| title_full |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра |
| title_sort |
об асимптотических свойствах функций лежандра |
| author |
Волчкова, Н.П. |
| author_facet |
Волчкова, Н.П. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про асимптотичні властивості функцій Лежандра On asymptotic properties of the Legendre functions |
| description |
Изучаются асимптотические свойства функций Лежандра Pμλ(t) при λ → ∞. Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для t є (1; +∞).
Вивчаються асимптотичні властивості функцій Лежандра Pμλ(t) при λ → ∞. Одержано асимптотичного ряду Бесселя для t є (1; +∞).
Asymptotic properties the Legendre functions Pμλ(t) as λ → ∞ are studied. An analog of the Bessel asymptotic expansion for t є (1; +∞) is obtained.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123983 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах функций Лежандра / Н.П. Волчкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 58-61. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovanp obasimptotičeskihsvoistvahfunkciiležandra AT volčkovanp proasimptotičnívlastivostífunkcíiležandra AT volčkovanp onasymptoticpropertiesofthelegendrefunctions |
| first_indexed |
2025-11-24T18:45:24Z |
| last_indexed |
2025-11-24T18:45:24Z |
| _version_ |
1850492632054104064 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 517.5
c©2011. Н.П. Волчкова
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА
Изучаются асимптотические свойства функций Лежандра P µ
λ (t) при λ → ∞. Получен аналог
асимптотического ряда Бесселя для t ∈ (1;+∞).
Ключевые слова: функции Лежандра, функции Феррерса, асимптотический ряд.
Асимптотические свойства различных специальных функций играют важную
роль в анализе и приложениях. В настоящее время развиты некоторые общие ме-
тоды, позволяющие существенно продвинуться в этом направлении (см., например,
[1]). Вместе с тем, остается еще много вопросов, требующих выяснения. В частности,
в некоторых задачах интегральной геометрии важное значение имеет нахождение
асимптотических рядов типа Бесселя для функций Лежандра P ν
µ , когда t ∈ (−1; 1)
или t ∈ (1;+∞) (см. [2, часть 2]). В работе [3] построен такой асимптотический
ряд для функций Лежандра на (−1; 1). Цель данной работы – изучение случая
t ∈ (1;+∞).
Для k ∈ Z+, p ∈ N, α ∈ C и r ∈ (0, π) положим
dk(r) =
− cth r
k+1 , если k нечетно,
1
k+1 , если k четно, k 6= 0,
0, если k = 0,
(1)
A0 = (sh r)−µ− 1
2 ,
Ap = (sh r)−µ− 1
2
p∑
m=1
(−1)m
(
1
2 + µ
)
m
m!
∑
k1+...+km=p
p!
k1! . . . km!
dk1(r) . . . dkm(r),
где (a)k = Γ(a+k)
Γ(a) – символ Похгаммера. Основным результатом данной работы яв-
ляется
Теорема 1. Пусть ε ∈ (0, π). Тогда при λ → ∞, | arg λ| ≤ π − ε имеет место
асимптотическое разложение
Pµ
iλ− 1
2
(ch r) ∼ 2√
2πΓ(1
2 − µ)(sh r)−µ
×
(
cos
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(1−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 1
2
)
(2ν)!
A2ν
(iλ)2ν−µ+ 1
2
+ (2)
sin
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(3−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 3
2
)
(2ν + 1)!
A2ν+1
(iλ)2ν−µ+ 3
2
)
.
58
Об асимптотических свойствах функций Лежандра
Частные случаи теоремы 1 были известны ранее. Например, в [2, часть 2, форму-
ла (2.14)] было выписано два члена асимптотического разложения (2). Этот резуль-
тат затем использовался для изучения некоторых вопросов интегральной геометрии
на гиперболическом пространстве. Относительно других частных случаев теоремы 1
и близких вопросов см. [4, часть 2], [5, глава 6, § 3].
Доказательство теоремы 1.
Пусть сначала Reµ < 1
2 . Тогда по формуле Мелера-Дирихле (см. [6, 3.7 (27)])
Pµ
iλ− 1
2
(ch r) =
(sh r)µ
√
2πΓ(1
2 − µ)
∫ r
−r
eiλt(ch r − ch t)−µ− 1
2 dt. (3)
Обозначим
I(λ) =
∫ r
−r
eiλt(ch r − ch t)−µ− 1
2 dt.
Из асимптотического разложения интегралов Фурье (см. [1, глава 2, § 10, пункт 10.3,
теорема 10.2]) имеем
I(λ) ∼ ei(π( 1
2
−µ)−λr)
∞∑
p=0
(−1)p Γ
(
p− µ + 1
2
)
p!
Ap
(iλ)p−µ+ 1
2
+
eiλr
∞∑
p=0
Γ
(
p− µ + 1
2
)
p!
Ap
(iλ)p−µ+ 1
2
,
где
Ap =
dp
dtp
((
ch r − ch(t− r)
t
)−µ− 1
2
)∣∣∣∣∣
t=0
, p ≥ 0.
Отсюда
I(λ) ∼ 2 cos
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(1−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 1
2
)
(2ν)!
A2ν
(iλ)2ν−µ+ 1
2
+
2 sin
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(3−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 3
2
)
(2ν + 1)!
A2ν+1
(iλ)2ν−µ+ 3
2
. (4)
Вычислим Ap. По формуле Тейлора
ch r − ch(t− r)
t
=
ch r(1− ch t) + sh t sh r
t
=
1
t
(
− ch r
∞∑
k=1
t2k
(2k)!
+ sh r
∞∑
k=0
t2k+1
(2k + 1)!
)
=
59
Н.П. Волчкова
∞∑
k=0
tk
(k + 1)!
bk(r), (5)
где
bk(r) =
{
− ch r, k − нечетно,
sh r, k − четно, k = 0, 1, . . . .
Перепишем (5) в виде
ch r − ch(t− r)
t
= sh r
(
1 +
∞∑
k=1
tk
(k + 1)!
ck(r)
)
= sh r(1 + τ(t)), (6)
где
τ(t) =
∞∑
k=1
tk
k!(k + 1)
ck(r), ck(r) =
− cth r, k − нечетно,
1, k − четно, k 6= 0,
0, k = 0,
k = 0, 1, . . . .
Положим F (x) = (1 + x)−µ− 1
2 . Тогда (см. (6))
Ap = (sh r)−µ− 1
2
dp
dtp
(
(1 + τ(t))−µ− 1
2
)∣∣∣∣
t=0
= (sh r)−µ− 1
2
dp
dtp
(F (τ(t)))
∣∣∣∣
t=0
.
Используем формулу
(F (τ(t)))(p) =
p∑
m=0
F (m)(τ(t))
m!
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k(τ(t))k(τm−k(t))(p), p ≥ 0
(см. [7, доказательство теоремы 2.11]). Поскольку τ(0) = 0,
(F ◦ τ)(p) (0) =
p∑
m=1
F (m)(0)
m!
(τm)(p) (0), p ≥ 1. (7)
Положив в формуле
(f1 . . . fm)(p) =
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
f
(k1)
1 . . . f (km)
m
f1 = . . . = fm = τ , получим
(τm)(p) =
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
τ (k1) . . . τ (km), m ≥ 1. (8)
Из (7) и (8) находим
(F ◦ τ)(p) (0) =
p∑
m=1
F (m)(0)
m!
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
τ (k1)(0) . . . τ (km)(0), p ≥ 1.
60
Об асимптотических свойствах функций Лежандра
Таким образом,
Ap = (sh r)−µ− 1
2
p∑
m=1
F (m)(0)
m!
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
τ (k1)(0) . . . τ (km)(0), p ≥ 1.
Учитывая, что
F (m)(0) = (−1)m
(
1
2
+ µ
)
m
и
τ (k)(0) =
1
k + 1
ck(r) = dk(r)
(см. (1)), из (3) и (4) получаем (2) для Reµ < 1
2 . Общий случай следует отсюда
стандартным методом продолжения по параметру (см. [6, 2.8 (30)] и [1, глава 2, § 10,
пункт 10.3, доказательство формулы (10.61)]). Таким образом, теорема 1 доказана.
¤
1. Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. – Рига: Зинатне, 1974. – 272 с.
2. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic Publi-
shers, 2003. – 454 pp.
3. Волчкова Н.П. Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса // Труды ИПММ
НАН Украины. – 2010. – Т. 20. – С. 34-38.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces
and the Heisenberg group. – London: Springer, 2009. – 671 pp.
5. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций – М: ИЛ, 1952. – 476 с.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М: Наука, 1973. – Т. 1. – 294 с.
7. Nessel R.J., Wickeren E. Local Multiplier Criteria in Banach Spaces // Mathematica Balkanica.
New Series. – 1988. – V. 2. – Fasc. 2-3. – P. 114-132.
N.P. Volchkova
On asymptotic properties of the Legendre functions.
Asymptotic properties the Legendre functions P µ
λ (t) as λ → ∞ are studied. An analog of the Bessel
asymptotic expansion for t ∈ (1;+∞) is obtained.
Keywords: the Legendre functions, the Ferrers functions, asymptotic expansion.
Н.П. Волчкова
Про асимптотичнi властивостi функцiй Лежандра.
Вивчаються асимптотичнi властивостi функцiй Лежандра P µ
λ (t) при λ → ∞. Одержано аналог
асимптотичного ряду Бесселя для t ∈ (1;+∞).
Ключовi слова: функцiї Лежандра, функцiї Феррерса, асимптотичний ряд.
Донецкий национальный технический ун-т
valeriyvolchkov@gmail.com
Получено 10.05.11
61
|