Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью

Рассмотрена задача о поперечных колебаниях цилиндрического сосуда с упругим плоским дном и жидкостью со свободной поверхностью. Проведен анализ присоединенной массы жидкости и влияния упругости дна на устойчивость движения твердого тела. Розглянуто задачу про поперечні коливання циліндричної посудин...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Труды Института прикладной математики и механики
Date:	2011
Main Author:	Дидок, Н.К.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123985
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью / Н.К. Дидок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 71-80. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123985
record_format	dspace
spelling	Дидок, Н.К. 2017-09-17T16:55:13Z 2017-09-17T16:55:13Z 2011 Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью / Н.К. Дидок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 71-80. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123985 533.6.013.42 Рассмотрена задача о поперечных колебаниях цилиндрического сосуда с упругим плоским дном и жидкостью со свободной поверхностью. Проведен анализ присоединенной массы жидкости и влияния упругости дна на устойчивость движения твердого тела. Розглянуто задачу про поперечні коливання циліндричної посудини з плоским пружним дном та рідиною з вільною поверхнею. Проведено аналіз приєднаної маси рідини та впливу пружності дна на стійкість руху твердого тіла. The problem about transvere oscillation of cylindrical vessel with flat elastic bottom and a liquid with free surface is considered. The analysis oa added mass of liquid and influence of bottom elasticity on stability of rigid body movement carried out. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью Поперечні коливання циліндра з пружним дном та рідиною із вільною поверхнею Transverse oscillations of cylindrical vessel with flat elastic bottom and a liquid with a free surface Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью
spellingShingle	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью Дидок, Н.К.
title_short	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью
title_full	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью
title_fullStr	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью
title_full_unstemmed	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью
title_sort	задача л.н. сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью
author	Дидок, Н.К.
author_facet	Дидок, Н.К.
publishDate	2011
language	Russian
container_title	Труды Института прикладной математики и механики
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
title_alt	Поперечні коливання циліндра з пружним дном та рідиною із вільною поверхнею Transverse oscillations of cylindrical vessel with flat elastic bottom and a liquid with a free surface
description	Рассмотрена задача о поперечных колебаниях цилиндрического сосуда с упругим плоским дном и жидкостью со свободной поверхностью. Проведен анализ присоединенной массы жидкости и влияния упругости дна на устойчивость движения твердого тела. Розглянуто задачу про поперечні коливання циліндричної посудини з плоским пружним дном та рідиною з вільною поверхнею. Проведено аналіз приєднаної маси рідини та впливу пружності дна на стійкість руху твердого тіла. The problem about transvere oscillation of cylindrical vessel with flat elastic bottom and a liquid with free surface is considered. The analysis oa added mass of liquid and influence of bottom elasticity on stability of rigid body movement carried out.
issn	1683-4720
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123985
citation_txt	Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью / Н.К. Дидок // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 71-80. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT didoknk zadačalnsretenskogodlâcilindričeskogososudasuprugimdnomižidkostʹûsosvobodnoipoverhnostʹû AT didoknk poperečníkolivannâcilíndrazpružnimdnomtarídinoûízvílʹnoûpoverhneû AT didoknk transverseoscillationsofcylindricalvesselwithflatelasticbottomandaliquidwithafreesurface
first_indexed	2025-11-27T01:29:44Z
last_indexed	2025-11-27T01:29:44Z
_version_	1850791036722348032
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22 УДК 533.6.013.42 c©2011. Н.К. Дидок ЗАДАЧА Л.Н. СРЕТЕНСКОГО ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА С УПРУГИМ ДНОМ И ЖИДКОСТЬЮ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Рассмотрена задача о поперечных колебаниях цилиндрического сосуда с упругим плоским дном и жидкостью со свободной поверхностью. Проведен анализ присоединенной массы жидкости и влияния упругости дна на устойчивость движения твердого тела. Ключевые слова: гидроупругость, твёрдое тело, устойчивость, модальный анализ, частотное уравнение. 1. Введение. В 1951 году Л.Н. Сретенский рассмотрел задачу о плоских ко- лебаниях прямоугольного сосуда с идеальной жидкостью, под действием упругой силы [1]. Чуть позже в более общей постановке рассмотрел аналогичную задачу Н.Н. Моисеев [2]. По-видимому, эти работы были первыми публикациями по дина- мике тела с жидкостью в предположении, что жидкость тяжёлая и имеет совбодную поверхность. При исследовании частотного уравнения Л.Н. Сретенский в статье [1] сделал вывод о возможности развивающихся колебаний твёрдого тела и жидкости. Н.Н. Моисеев в работе [2] показал ошибочность данного утверждения. В связи с тем, что Л.Н. Сретенский был первым, кто поставил и исследовал задачу о коле- бании открытого сосуда с жидкостью под действием упругой силы, в литературе эту задачу часто называют задачей Л.Н. Сретенского. Некоторые обобщения зада- чи Л.Н. Сретенского сделал Г.К. Пожарицкий [3]. Он показал, что в случае, когда на твёрдое тело наложены связи, допускающие только поступательные перемеще- ния тела из положения равновесия, то если потенциальная энергия затвердевшей системы имеет минимум в положении равновесия, то равновесие будет устойчиво [3]. Дальнейшее развитие задача Л.Н. Сретенского получила в работах Ю.Н. Ко- нонова, который провёл обобщение этой задачи на случай многослойной идеальной жидкости и многослойной жидкости, разделённой упругими пластинами в цилин- дрическом сосуде с абсолютно жёстким дном [4]. В данной работе на основе модального анализа задача Л.Н. Сретенского обобща- ется на случай, когда цилиндрический сосуд с идеальной жидкостью имеет упругое основание. Собственные и вынужденные осесимметричные колебания упругого дна прямого кругового цилиндрического сосуда и идеальной жидкости со свободной по- верхностью были рассмотрены в работах М.П. Петренко [5, 6]. В статье [7] на основе подхода Л.В. Докучаева результаты [5] были обобщены на случай цилиндрического сосуда произвольного поперечного сечения. С позиций функционального анализа эта задача рассмотрена в монографии Н.Д. Копачевского, С.Г. Крейна, Нго Зуй Кана [8]. В работе [9] представлены экспериментальные исследования динамических про- цессов в жёстком цилиндрическом сосуде с упругим днищем, частично заполненном 71 Н.К. Дидок жидкостью. 2. Постановка задачи. Рассматривается механическая система в виде цилин- дрического сосуда произвольного поперечного сечения Ω, заполненного идеальной несжимаемой жидкостью плотности ρ (рис.1). Боковая стенка сосуда предполагает- ся абсолютно твёрдой, а днище представляет собой жестко защемленную по контуру γ упругую изотропную пластину с изгибной жесткостью D и подверженную растя- гивающему усилию T в срединной поверхности. Объём, занимаемый жидкостью в невозмущенном состоянии, обозначим через V . Рассмотрим в линейной постановке поперечные колебания данной механической системы под действием упругой силы. Движение жидкости будем предполагать по- тенциальным, а совместные колебания жидкости и днища – безотрывными. Предва- рительное натяжение и жесткость пластины будем считать достаточно большими. При отсутствии предварительного натяжения (T = 0) в монографии [8] получены условия на величину изгибной жёсткости, при которых существует решение задачи на собственные колебания. Введем неинерциальную систему координат Рис. 1. Рассматриваемая механическая система O′xyz, жестко связанную с цилиндром. Ось O′z направим вдоль образующей боковой поверхно- сти цилиндра противоположно вектору ускоре- ния силы тяжести g, а плоскость O′xy располо- жим посредине между днищем и свободной по- верхностью жидкости (ось O′y перпендикуляр- на плоскости чертежа и на рисунке не обозначе- на). Для исследования поперечных колебаний цилиндрического сосуда введем неподвижную систему координат OXY Z, совпадающую в по- ложении равновесия с O′xyz. Будем считать, что механическая система может дви- гаться только вдоль оси OX. Этого всегда можно добиться, накладывая на систему дополнительные связи (например, располагая сосуд с жидкостью на тележке, дви- жущейся по рельсам). Перемещения по оси OX обозначим через X. 3. Вывод основных уравнений. Полная система уравнений относительных движений жидкости и упругой пластины имеет вид [8, 10] ∆ϕ = 0, (1) ρgW1 = −ρ ∂ϕ ∂t ∣∣∣∣ z=h + Q̃− ρxẌ, (2) χ0 ∂2W2 ∂t2 + D∆2 2W2 − T∆2W2 − ρgW2 = ρ ∂ϕ ∂t ∣∣∣∣ z=−h + 2ρgh− Q̃ + ρxẌ, (3) с граничными условиями ∂ϕ ∂ν ∣∣∣∣ Σ = 0, (4) 72 Задача Л.Н. Сретенского для цилиндра с упругим дном ∂ϕ ∂z ∣∣∣∣ z=h = ∂W1 ∂t , ∂ϕ ∂z ∣∣∣∣ z=−h = ∂W2 ∂t , (5) W2\|γ = 0, ∂W2 ∂ν ∣∣∣∣ γ = 0, (6) ∫ Ω W1dΩ = ∫ Ω W2dΩ, (7) Wl < ∞, ∇Wl < ∞. (8) Здесь W1 и W2 – возмущение свободной поверхности и нормальный прогиб дни- ща, соответственно; Σ – боковая поверхность цилиндрического сосуда; ν – внешняя нормаль к Σ; χ0 = ρ0δ0; ρ0 и δ0 – соответственно толщина и плотность материала пластины; ∆2 – двумерный оператор Лапласа (по переменным x и y); Q̃ – произ- вольная функция времени. Из теоремы об изменении количества движения системы получим следующее уравнение, описывающее движение сосуда с жидкостью вдоль оси OX MẌ + ρ ∫ V dvx dt dV = −cX, (9) где M = M1 + M2, M1 – масса твердого тела и упругой пластины, M2 – масса жидкости, c – коэффициент жесткости пружины. Под интегралом в формуле (9) стоит проекция на ось OX полной производной скоростей жидкости v = v(t, x, y, z) по времени, которая в переменных Эйлера имеет вид dv dt = ∂v ∂t + (v · ∇)v. (10) Поскольку в линейной постановке функция v и её частные производные по всем переменным считаются бесконечно малыми первого порядка, то величиной конвек- тивной составляющей (v · ∇)v в выражении (10) можно пренебречь, как бесконечно малой более высокого порядка, чем ∂v/∂t. Отсюда следует, что в линейном при- ближении полную производную скорости по времени (10) можно отождествлять с частной (локальной). В уравнении (3) функция W2 представляет собой сумму статического и динами- ческого прогибов днища. Статический прогиб определяется из краевой задачи D∆2 2W2 − T∆2W2 − ρgW2 = 2ρgh с граничными условиями (6). Далее будем рассматривать динамическую часть уравнения (3) и под W2 пони- мать только динамическую компоненту прогиба. Общее решение уравнения (1), ограниченное в объёме V и удовлетворяющее гра- ничному условию непротекания (4), для цилиндрической полости имеет вид [10] 73 Н.К. Дидок ϕ(t, x, y, z) = a0 + a1z + ∞∑ n=1 [ Aneknz + Bne−knz ] ψn(x, y), (11) где a0, a1, An и Bn – некоторые функции времени; ψn(x, y) и kn – собственные функ- ции и соответствующие им собственные числа краевой задачи о колебании идеаль- ной жидкости в цилиндрическом сосуде с жёсткой боковой поверхностью ∆2ψ + k2ψ = 0 в области Ω, (12) ∂ψ ∂ν ∣∣∣∣ γ = 0. (13) Функции ψn(x, y) (n = 1, 2, ...) вместе с константой образуют полную ортогональ- ную систему на множестве функций из L2, удовлетворяющих условию (13) [11]. Это позволяет представить функцию W1 в виде следующего разложения в обобщенный ряд Фурье W1 = W10(t) + ∑ n W1n(t)ψn(x, y). (14) Здесь W10(t) = 1 S ∫ Ω W1dΩ, W1n(t) = 1 N2 n ∫ Ω W1ψndΩ, S = mes Ω, N2 n = ∫ Ω ψ2 ndΩ. Подставив разложение (11), (14) в (5) и воспользовавшись ортогональностью функций ψn, получим a1 = Ẇ10 = Ẇ20, An = Ẇ1neκn/2 − Ẇ2ne−κn/2 2kn sinhκn , Bn = Ẇ1ne−κn/2 − Ẇ2neκn/2 2kn sinhκn , (15) где W20(t) = 1 S ∫ Ω W2dΩ, W2n(t) = 1 N2 n ∫ Ω W2ψndΩ, κn = 2knh. Используя выражения (15), уравнения движения (2) и (3) можно привести к виду    ρgW1 = −ρhẄ20 + ρ ∑ n Ẅ2n − coshκnẄ1n kn sinhκn ψn + Q∗ − ρxẌ, χ0 ∂2W2 ∂t2 + D∆2 2W2 − T∆2W2 − ρgW2 = = −ρhẄ20 + ρ ∑ n Ẅ1n − coshκnẄ2n kn sinhκn ψn −Q∗ + ρxẌ, (16) 74 Задача Л.Н. Сретенского для цилиндра с упругим дном Из (11) следует соотношение ∂vx ∂t = ∂2ϕ ∂t∂x = ∑ n ( Ȧneknz + Ḃne−knz ) ∂ψn ∂x , с учётом которого уравнение (9) примет вид MẌ + ρ ∑ n Cn ( Ẅ1n − Ẅ2n ) = −cX, (17) здесь Cn = 1 k2 n ∫ Ω ∂ψn ∂x dΩ, Q∗ = Q̃− ρȧ0. 4. Метод решения. Система (16) представляет собой систему интегро-диф- ференциальных уравнений относительно функций W1 и W2. Введем векторную функ- цию W = (W1; W2) и представим систему (16) в виде обобщенного волнового урав- нения [12] A ∂2W ∂t2 + CW = f. (18) Здесь A и C, соответственно, инерционный и упругий операторы, включающие в себя не только дифференциальные уравнения, но и граничные условия (5)–(8) (через область определения этих операторов): A =   ∑ n cnψnFn ρhF0 − ∑ n bnψnFn −∑ n bnψnFn χ0 + ρhF0 + ∑ n cnψnFn   , C = ( ρg 0 0 D∆2 2 − T∆2 − ρg ) , f = ( −ρxẌ ρxẌ ) , F0[Wl] = 1 S ∫ Ω WldΩ, Fn[Wl] = 1 N2 n ∫ Ω WlψndΩ, bn = ρ kn sinhκn , cn = ρ kn tanhκn . Для определенных в области Ω двумерных векторных функций u и v введем скалярное произведение по формуле (u, v) = ∫ Ω u1v1dΩ + ∫ Ω u2v2dΩ. Краевые задачи для консервативных механических систем всегда описываются самосопряженными операторами [13]. В этом случае, когда оператор C самосопря- жен, оператор A положительно определен, все собственные числа ω2 k соответствую- щего (18) однородного уравнения действительны и изолированы, а его собственные функции wk попарно ортогональны по кинетической и потенциальной энергиям 75 Н.К. Дидок (Awj , wk) = 0 (Cwj , wk) = 0 j 6= k. (19) Если же j = k, то (Cwk, wk) = ω2 k (Awk, wk) . (20) Собственные формы совместных колебаний пластин и жидкости wk образуют полный базис, т.е. любую функцию W , квадратично интегрируемую, удовлетворя- ющую краевым условиям (5)–(8) и такую, что CW существует почти всюду на Ω, можно представить в виде ряда W = ∞∑ k=1 pk (t) wk, (21) сходящегося, во всяком случае, по энергетической норме или в среднем [12, 13]. Модальный анализ заключается в том, что решение неоднородного уравнения (18) ищется в виде разложения в ряд (21) по собственным формам wk = (w1k; w2k). Собственные формы колебаний днища и свободной поверхности (соответствую- щие k-й собственной частоте ωk) получим по методике, изложенной в статье [7]: w1,k = 2∑ i=1 Ai { qω2 khζ0 ik0 g(q + ρω2 kh) + ∑ n ω2 kdnζ0 ikn (dn − τn) ( ω2 k − ω̃2 n ) coshκn ψn } + q2 + 2ρω2 kh ρg(q2 + ρω2 kh) Q, w2,k = 2∑ i=1 Ai { w0 i − ρω2 khζ0 i0 q + ρω2 kh + ∑ n τnζ0 in (dn − τn) ψn } + Q q + ρω2 kh , где q = χ0ω 2 k + ρg, τn = ρω2 k tanhκn kn · ω2 k − ω̃2 n cothκn ω2 k − ω̃2 n , dn = ( Dk2 n + T ) k2 n − q, ζ0 ik0 = F0[w0 i ], ζ0 ikn = Fn[w0 i ]; функции w0 i представляют собой ограниченные независимые решения однородного уравнения D∆2 2w 0 i−T∆2w 0 i−qw0 i = 0, а неизвестные константы A1, A2 и Q с точностью до постоянного множителя определяются из следующей системы линейных уравнений [7]   a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33     A1 A2 Q   = 0, (22) в которой a1i = w0 i ∣∣ γ − qω2 khζ0 ik0 q + ρω2 kh + ∑ n τnζ0 ikn (dn − τn) ψn\|γ , a2i = ∂w0 i ∂ν ∣∣∣∣ γ , a3i = q ( g − ω2 kh ) g ( q + ρω2 kh )ζ0 ik0, a13 = 1 q + ρω2 kh , a23 = 0, a33 = ρ ( g − ω2 kh )− ( q + ρω2 kh ) g ( q + ρω2 kh ) (i = 1, 2). 76 Задача Л.Н. Сретенского для цилиндра с упругим дном Из равенства нулю определителя однородной системы линейных уравнений (22) следует чатотное уравнение для ωk. Далее собственные формы и частоты будем считать известными. Подставляя разложение (21) в уравнение (18), умножая левую и правую части этого уравнения на wk и интегрируя по области Ω с учетом (19) и (20), получа- ем счетную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для обобщенной координаты pk, характеризующей деформацию днища и возмущение свободной поверхности при возбуждении k-го тона колебаний µk ( p̈k + ω2 kpk ) = fk (t) (k = 1, 2, ...). (23) Здесь µk = (Awk, wk) = ρhSζ2 1k0 + (χ0 + ρh)Sζ2 2k0+ + 2∑ l=1 N2 n [ (χ0 + cn) ζ2 2kn + cnζ2 1kn − 2bnζ1knζ2kn ] , ζlk0 = F0[wlk], ζlkn = Fn[wlk], fk = (f, wk) = α̃kẌ, α̃k = ρ ∫ Ω (w2k − w1k) xdΩ = ρ ∑ n Cn (ζ2kn − ζ1kn). Последнее равенство вытекает из равенства Cn = 1 k2 n ∫ Ω ∂ψn ∂x dΩ = ∫ Ω ψnxdΩ, ко- торое является непосредственным следствием первой формулы Грина, применяемой к функциям ψn, удовлетворяющим краевой задаче (12), (13). Для того, чтобы система (23) стала замкнутой, необходимо ещё уравнение для поперечного перемещения сосуда X, которое получим из уравнения (17). Для это- го присутствующие в (17) коэффициенты Ẅln преобразуем с учетом разложения функций Wl в ряд по собственным формам (21). В итоге получим счетную систему обыкновенных дифференциальных уравнений    µk ( p̈k + ω2 kpk ) = α̃kẌ, MẌ + cX = ∑ k α̃kp̈k. (24) Разрешив систему (24) относительно p̈k, получим (M1 + M2x) Ẍ + cX = − ∑ k α̃kω 2 kpk, где через 77 Н.К. Дидок M2x = M2 − ∑ k α̃2 k µk (25) обозначена присоединенная масса жидкости при движении сосуда вдоль оси OX. Через M̃ обозначим сумму в правой части равенства (25). Поскольку µk > 0, то M2x ≤ M2. В случае абсолютно жесткого основания M̃ = ρ ∑ k C2 nkn tanhκn N2 n . Если собственные функции ψn оказываются ортогональны x (Cn ≡ 0), имеет место равен- ство M2x = M2. В этом случае, как следует из первого уравнения (24), собственные частоты системы будут совпадать с собственными частотами колебаний жидкости и упругого основания в неподвижном сосуде. Соответствующие этим частотам глав- ные колебания не могут возбуждаться движением твердого тела и не оказывают на него влияния. При поступательном движении – это те колебания, которые не изменяют положения центра масс механической системы. Например, если сосуд яв- ляется прямоугольным параллелепипедом, и упругая сила действует вдоль одной из сторон параллелепипеда, то возбуждаются только упругие колебания пластинки и свободной поверхности, несимметричные относительно соответствующей плоскости симметрии сосуда. Если сосуд осесимметричный (прямой круговой или коаксиаль- ный цилиндр), то возбуждаются только одноузловые несимметричные колебания [10, 14]. 5. Частотное уравнение. Положив в (24) X = X0e iσt, pk = pk0e iσt и x = σ2, получим следующее уравнение для частот σ поперечных колебаний системы Mx− c = x2 ∑ k α̃2 k µk ( x− ω2 k ) . (26) Рис. 2. Графики левой и правой частей уравнения (26) Полученное частотное уравнение позволяет провести аналитические и численные исследования частотного спектра, в зависимости от глубины заполнения жидкости, её плотности, упругих параметров пластины, и устойчивости положения равновесия. Представив левую и правую части уравнения (26), соответственно, как функ- ции F1(x) и F2(x) (рис.2), проведем графическое исследование этого уравнения [14]. 78 Задача Л.Н. Сретенского для цилиндра с упругим дном Штриховой линией на рисунке обозначены асимптоты кривой F = F2(x). Из приве- денного рисунка видно, что высокие частоты колебаний системы σ2 k весьма близки к собственным частотам колебаний свободной поверхности жидкости и упругой пла- стинки в неподвижном сосуде ω2 k. Как было отмечено ранее [2, 3], наличие свободной поверхности не нарушает устойчивость положения равновесия. Покажем, что влияние упругости основания цилиндра совместно со свободной поверхностью также не приведёт к потере устой- чивости. В случае затвердевшей жидкости (α̃2 k = 0 для всех k = 1, 2, ...) уравнение (26) имеет единственное решение σ2 = ω2 0 = c/M . Из рис.2 следует, что наличие свобод- ной поверхности жидкости и упругости днища (α̃2 k 6= 0) может только уменьшить запас устойчивости, так как сдвигает корни влево. Наибольший интерес представ- ляет вопрос о возможности пересечения графиков функций F = F1(x) и F = F2(x) в левой полуплоскости, что будет соответствовать неустойчивости положения рав- новесия. Чтобы показать, что графики не пересекаются в левой полуплоскости, за- метим, что прямая F = F1(x) имеет тангенс угла наклона равный полной массе системы M , а функция F = F2(x) монотонна при x < 0 и имеет наклонную асимп- тоту с тангенсом угла наклона M̃ . Так как F1(0) = −c < 0 = F2(0) и M̃ ≤ M2 < M , то графики функций F = F1(x) и F = F2(x) в левой полуплоскости не пересекаются. Таким образом, упругость днища совместно со свободной поверхностью в рамках необходимых условий не приводит к потере устойчивости положения равновесия данной механической системы. 1. Сретенский Л.Н. Колебание жидкости в подвижном сосуде // Изв. АН СССР. Отделение техн. наук. – 1951. – № 10. – С. 1483-1494. 2. Моисеев Н.Н. Движение твердого тела, имеющего полость, частично заполненную идеальной капельной жидкостью // Докл. АН СССР. – 1952. – 85, №4. – С. 719-722. 3. Пожарицкий Г.К. Задача минимума в задаче об устойчивости равновесия твердого тела с ча- стичным жидким наполнением // Прикл. математика и механика. – 1962. – 26, вып.4. – С. 593- 605. 4. Кононов Ю.Н. Про стiйкiсть i стабiлiзацiю руху твердого тiла та системи з’вязаних твердих тiл з порожнинами, якi мiстять багатошарову рiдину та пружнi включення: Автореф. дис... докт. фiз.-мат. наук: 01.02.01/IПММ НАНУ. – Донецьк, 2006. – 14 с. 5. Петренко М.П. Собственные колебания жидкости со свободной поверхностью и упругого днища цилиндрической полости // Прикл. механика. – 1969. – Т. 5, № 6. – С. 44-50. 6. Петренко М.П. Вынужденные колебания жидкости и упругого днища // Прикл. механика. – 1969. – Т. 6, № 6. – С. 127-131. 7. Карнаух А.Ю., Дидок Н.К. Собственные формы совместных колебаний упругого дна и жид- кости со свободной поверхностью // Тр. Ин-та прикл. матем. и мех. НАНУ. – 2010. – Т. 20. – С. 102-109. 8. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. – 416 с. 9. Лакиза В.Д. Исследование динамических процессов в жестком цилиндрическом сосуде с упру- гим дном, частично заполненном жидкостью // ПМ. – 2006. – Т. 42. – №11. – С. 102-109. 10. Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограни- ченного объема жидкости. – М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1966. – 270 с. 11. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. – М.: Машиностроение, 1968. – 532 с. 79 Н.К. Дидок 12. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. – М.: Машиностроение, 1987. – 232 с. 13. Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. М.: Наука, 1970. – 512 с. 14. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостями, содержащими жидкость. – М.: На- ука, 1965. – 439 с. N.C. Didok Transverse oscillations of cylindrical vessel with flat elastic bottom and a liquid with a free surface. The problem about transvere oscillation of cylindrical vessel with flat elastic bottom and a liquid with free surface is considered. The analysis oa added mass of liquid and influence of bottom elasticity on stability of rigid body movement carried out. Keywords: hydro-elasticity, rigid body, stability, modal analysis, frequency equation. М.К. Дiдок Поперечнi коливання цилiндра з пружним дном та рiдиною iз вiльною поверхнею. Розглянуто задачу про поперечнi коливання цилiндричної посудини з плоским пружним дном та рiдиною з вiльною поверхнею. Проведено аналiз приєднаної маси рiдини та впливу пружностi дна на стiйкiсть руху твердого тiла. Ключовi слова: гiдропружнiсть, тверде тiло, стiйкiсть, модальний аналiз, частотне рiвнян- ня. Донецкий национальный ун-т nick_di@rambler.ru Получено 05.05.11 80

Задача Л.Н. Сретенского для цилиндрического сосуда с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью

Institution

Similar Items