Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств
В рамках модели геометрически и физически нелинейного деформирования анизотропных упругих сред кубической системы, базирующейся на представлениях упругого потенциала с квадратичными и кубическими членами по деформациям и на основе методики разложения функции волновых смещений по малому параметру в в...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123987 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств / Н.В. Жоголева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 91-98. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123987 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Жоголева, Н.В. 2017-09-17T16:59:23Z 2017-09-17T16:59:23Z 2011 Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств / Н.В. Жоголева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 91-98. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123987 539.3:534.1 В рамках модели геометрически и физически нелинейного деформирования анизотропных упругих сред кубической системы, базирующейся на представлениях упругого потенциала с квадратичными и кубическими членами по деформациям и на основе методики разложения функции волновых смещений по малому параметру в виде акустического числа Маха, построены аналитические представления нелинейных: вторых гармоник монохроматических упругих волн Стоунли для волновода в виде идеально контактирующих разнотипных монокристаллических полу пространств класса m3m кубической системы. В рамках численно-аналитических исследований нелинейных волновых эффектов проанализированы амплитудно-частотные характеристики волновых перемещений во вторых гармониках для волновода, образуемого полу пространствами из монокристаллов BaF2 и Ge. Используемый в работе подход ранее применен в работах для анализа нелинейных ангармонических возмущений в волнах Лява, а также в сдвиговых волнах, локализованных в кристаллическом слое между кристаллическими полупространствами. У рамках моделі геометрично і фізично нелінійного деформування анізотропних пружних середовищ кубічної системи, що базується на зображеннях пружного потенціалу з квадратичними та кубічними членами по деформаціях, а також на основі методики розкладання функції хвильових зсувів за малим параметром у вигляді акустичного числа Маха, побудовано аналітичні зображення нелінійних других гармонік монохроматичних пружних хвиль Стоунлі для хвилеводу у вигляді ідеально контактуючих різнотипних монокристалічних півпросторів класу шЗт кубічної системи. У рамках чисельно-аналітичних досліджень нелінійних хвильових ефектів проаналізовано амплітудно-частотні характеристики хвильових переміщень у других гармоніках для хвилеводу, що утворюється з монокристалічних півпросторів BaF2 і Ge. Підхід, що використовується в роботі, був раніше застосований для аналізу нелінійних ангармонічних збурень у хвилях Лява, а також у зсувних хвилях локалізованих у кристалічному шарі між кристалічними півпросторами. The model of geometrically and physically nonlinear anisotropic elastic cubic system solids deformation is used. It based on the elastic potential presentation with quadratic and cubic deformation members. The method of wave displacement function expansion in terms of small parameter (acoustic Mach number) is applied. The nonlinear second harmonics analytical representations for the monochromatic elastic Stoneley waves are built. The waveguide is two different type monocrystal halfspaces of m3m class cubic system with the ideal contact between them. The wave displacement amplitude-frequency characteristics have been analyzed for the second harmonics for the case of BaF2 and Ge monocrystal halfspaces. The method exloited in the work was used for the Love waves and for the locallized in a crystal layer between two crystal halfspaces shear waves nonlinear anharmonic disturbances in previous works. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств Другі гармоніки нелінійних монохроматичних хвиль Стоунлі біля поверхні контакта анізотропних півпросторів Nonlinear monochromatic Stoneley wave second harmonics at the contact of the anisotropic halfspaces surface Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств |
| spellingShingle |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств Жоголева, Н.В. |
| title_short |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств |
| title_full |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств |
| title_fullStr |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств |
| title_full_unstemmed |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств |
| title_sort |
вторые гармоники нелинейных монохроматических волн cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств |
| author |
Жоголева, Н.В. |
| author_facet |
Жоголева, Н.В. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Другі гармоніки нелінійних монохроматичних хвиль Стоунлі біля поверхні контакта анізотропних півпросторів Nonlinear monochromatic Stoneley wave second harmonics at the contact of the anisotropic halfspaces surface |
| description |
В рамках модели геометрически и физически нелинейного деформирования анизотропных упругих сред кубической системы, базирующейся на представлениях упругого потенциала с квадратичными и кубическими членами по деформациям и на основе методики разложения функции волновых смещений по малому параметру в виде акустического числа Маха, построены аналитические представления нелинейных: вторых гармоник монохроматических упругих волн Стоунли для волновода в виде идеально контактирующих разнотипных монокристаллических полу пространств класса m3m кубической системы. В рамках численно-аналитических исследований нелинейных волновых эффектов проанализированы амплитудно-частотные характеристики волновых перемещений во вторых гармониках для волновода, образуемого полу пространствами из монокристаллов BaF2 и Ge. Используемый в работе подход ранее применен в работах для анализа нелинейных ангармонических возмущений в волнах Лява, а также в сдвиговых волнах, локализованных в кристаллическом слое между кристаллическими полупространствами.
У рамках моделі геометрично і фізично нелінійного деформування анізотропних пружних середовищ кубічної системи, що базується на зображеннях пружного потенціалу з квадратичними та кубічними членами по деформаціях, а також на основі методики розкладання функції хвильових зсувів за малим параметром у вигляді акустичного числа Маха, побудовано аналітичні зображення нелінійних других гармонік монохроматичних пружних хвиль Стоунлі для хвилеводу у вигляді ідеально контактуючих різнотипних монокристалічних півпросторів класу шЗт кубічної системи. У рамках чисельно-аналітичних досліджень нелінійних хвильових ефектів проаналізовано амплітудно-частотні характеристики хвильових переміщень у других гармоніках для хвилеводу, що утворюється з монокристалічних півпросторів BaF2 і Ge. Підхід, що використовується в роботі, був раніше застосований для аналізу нелінійних ангармонічних збурень у хвилях Лява, а також у зсувних хвилях локалізованих у кристалічному шарі між кристалічними півпросторами.
The model of geometrically and physically nonlinear anisotropic elastic cubic system solids deformation is used. It based on the elastic potential presentation with quadratic and cubic deformation members. The method of wave displacement function expansion in terms of small parameter (acoustic Mach number) is applied. The nonlinear second harmonics analytical representations for the monochromatic elastic Stoneley waves are built. The waveguide is two different type monocrystal halfspaces of m3m class cubic system with the ideal contact between them. The wave displacement amplitude-frequency characteristics have been analyzed for the second harmonics for the case of BaF2 and Ge monocrystal halfspaces. The method exloited in the work was used for the Love waves and for the locallized in a crystal layer between two crystal halfspaces shear waves nonlinear anharmonic disturbances in previous works.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123987 |
| citation_txt |
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Cтоунли у поверхности контакта анизотропных полупространств / Н.В. Жоголева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 91-98. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT žogolevanv vtoryegarmonikinelineinyhmonohromatičeskihvolnctounliupoverhnostikontaktaanizotropnyhpoluprostranstv AT žogolevanv drugígarmoníkinelíníinihmonohromatičnihhvilʹstounlíbílâpoverhníkontaktaanízotropnihpívprostorív AT žogolevanv nonlinearmonochromaticstoneleywavesecondharmonicsatthecontactoftheanisotropichalfspacessurface |
| first_indexed |
2025-11-24T21:31:19Z |
| last_indexed |
2025-11-24T21:31:19Z |
| _version_ |
1850498154908090368 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 539.3:534.1
c©2011. Н.В. Жоголева
ВТОРЫЕ ГАРМОНИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ
ВОЛН СТОУНЛИ У ПОВЕРХНОСТИ КОНТАКТА
АНИЗОТРОПНЫХ ПОЛУПРОСТРАНСТВ
В рамках модели геометрически и физически нелинейного деформирования анизотропных упругих
сред кубической системы, базирующейся на представлениях упругого потенциала с квадратичны-
ми и кубическими членами по деформациям и на основе методики разложения функции волновых
смещений по малому параметру в виде акустического числа Маха, построены аналитические пред-
ставления нелинейных вторых гармоник монохроматических упругих волн Стоунли для волново-
да в виде идеально контактирующих разнотипных монокристаллических полупространств класса
m3m кубической системы. В рамках численно-аналитических исследований нелинейных волновых
эффектов проанализированы амплитудно-частотные характеристики волновых перемещений во
вторых гармониках для волновода, образуемого полупространствами из монокристаллов BaF2 и
Ge. Используемый в работе подход ранее применен в работах для анализа нелинейных ангармони-
ческих возмущений в волнах Лява, а также в сдвиговых волнах, локализованных в кристалличе-
ском слое между кристаллическими полупространствами.
Ключевые слова: составные анизотропные тела, гармонические волны, волны Стоунли, гео-
метрическая и физическая нелинейность, вторые гармоники.
1. Постановка задачи. Рассматривается волноводная структура, которая от-
несена к системе нормированных прямоугольных координат Ox1x2x3 и составлена
из двух идеально контактирующих полупространств, занимающих области V1 =
{−∞ < x1, x2 < ∞,−∞ < x3 < 0} и V2 = {−∞ < x1, x2 < ∞, 0 < x3 < ∞}.
Физико-механические свойства компоненты Vp волновода характеризуются матрич-
ными упругими постоянными второго порядка c
(p)
ij и третьего порядка c
(p)
ijk, а так-
же плотностью ρ(p). Кристаллографические направления компонент Vp являются
коллинеарными. Для анализа нелинейных ангармонических эффектов при распро-
странении локализованных волн Стоунли вдоль координатного направления Ox1
у поверхности контакта V1 и V2 используется модель физически и геометрически
нелинейного динамического деформирования упругих монокристаллических мате-
риалов класса m3m кубической системы, базирующаяся на представлениях упругих
потенциалов Up и нелинейных компонент тензоров ε
(p)
ij механических деформаций
для тел Vp в тензорной форме
Up =
1
2
c
(p)
jqrkε
(p)
jq ε
(p)
rk +
1
6
c
(p)
jqrklmε
(p)
jq ε
(p)
rk ε
(p)
lm (j, k, l, m, q, r = 1, 3), (1)
ε
(p)
jk =
1
2
(u(p)
l,k + u
(p)
k,j + u
(p)
l,j u
(p)
l,k ), (2)
в которых ul компоненты векторов волновых упругих перемещений.
Отнесенные к нормирующему амплитудному параметру безразмерные компонен-
ты тензоров механических напряжений σ
(p)
jd представляются в виде сумм линейных
91
Н.В. Жоголева
составляющих σ
(p,l)
jd и нелинейных возмущений σ
(p,n)
jd , то есть
σ
(p)
jd = σ
(p,l)
jd + σ
(p,n)
jd ,
где
σ
(p,l)
jd = c
(p)
jdrku
(p)
r,k , (3)
σ
(p,n)
jd =
1
2
c
(p)
jdrku
(p)
l,r u
(p)
l,k + c
(p)
pdrku
(p)
j,pu
(p)
r,k +
1
2
c
(p)
jdrklmu
(p)
r,ku
(p)
l,m.
Уравнения движения для рассматриваемых монокристаллических тел Vp при
отсутствии объемных сил соответственно можно представить в тензорной форме
ρ(p)ü
(p)
j − σ
(p,l)
jd,d = σ
(p,n)
jd,d (j = 1, 3). (4)
В работе применяется методика последовательных приближений [1-2] для отыс-
кания малых нелинейных ангармонических возмущений u
(p,n)
j в представлении ком-
плексных функций волновых упругих смещений
u
(p)
j = u
(p,l)
j + u
(p,n)
j , (5)
где |u(p,n)
j | ∼ δ|u(p,l)
j |, а в качестве малого параметра δ выступает акустическое число
Маха.
Таким образом, определение комплексных функций волновых упругих переме-
щений в рассматриваемом случае сводится к однородной спектральной краевой
задаче для составляющих u
(p,l)
1 (x1, x3, t), u
(p,l)
3 (x1, x3, t) линейных локализованных
волн Стоунли
ρ(p)u
(p,l)
j − c
(p)
jdrku
(p,l)
r,dk = 0 (j = 1, 3); (6)
(σ(1,l)
3j )x3=0 = σ
(2,l)
3j )x3=0, (u(1,l)
j )x3=0 = u
(2,l)
j )x3=0, (7)
|u(p,l)
j | → x3 → −∞,
а также неоднородной краевой задаче для определения комплексных функций на-
пряженности ~u(p,n) нелинейных ангармонических возмущений (вторых гармоник ло-
кализованных волн Стоунли), включающей систему неоднородных уравнений
ρ(p)ü
(p,n)
j − c
(p)
jdrku
(p,n)
r,dk = c
(p)
jdrku
(p,l)
q,dku(p,l)
q,r + (8)
+c
(p)
bdrk(u
(p,l)
j,db u
(p,l)
r,k + u
(p,l)
r,dk u
(p,l)
j,b ) + c
(p)
jdrkqmu
(p,l)
r,dk u(p,l)
q,m (j = 1, 3)
и краевые условия на границе x3 = 0 контакта компонент Vp
u
(2,n)
j = u
(1,n)
j , (9)
(σ(1,l)
3j )~u(1)=~u(1,n) + (σ(1,n)
3j )~u(1)=~u(1,l) = (σ(2,l)
3j )~u(2)=~u(2,n) + (σ(2,n)
3j )~u(2)=~u(2,l)(i = 1, 3).
92
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Стоунли
При решении спектральной задачи (6), (7) получены представления комплекс-
ных функций волновых перемещений u
(p,l)
j (j = 1; j = 3) для линейных лока-
лизованных волн (в компоненте Vp) с нормированным безразмерным амплитудным
параметром u
(0)
p , имеющие вид:
u
(p,l)
1 = u(0)
p e−i(ωt−kx1)(A(p)
1 e(α
(p)
1 x3) + B
(p)
1 e(α
(p)
2 x3)), (10)
u
(p,l)
3 = u(0)
p e−i(ωt−kx1)(A(p)
3 e(α
(p)
1 x3) + B
(p)
3 e(α
(p)
2 x3).
Представления (10) далее используются в задаче поиска соответствующих нели-
нейных ангармонических возмущений. В развернутой тензорной форме соотноше-
ния неоднородной граничной задачи (8), (9) относительно компонент комплексного
вектора напряженности вторых гармоник локализованных волн Стоунли для ком-
поненты Vp в рассматриваемой структуре имеют вид:
ρ(p)ü
(p,n)
1 −c
(p)
11 u
(p,n)
1,11 −c
(p)
44 u
(p,n)
1,33 −∆(p)
8 u
(p,n)
3,31 = ∆(p)
1 u
(p,l)
1,1 u
(p,l)
1,11+∆(p)
2
(
u
(p,l)
1,1 u
(p,l)
1,33+2u
(p,l)
1,3 u
(p,l)
1,31
)
+
+∆(p)
3
(
u
(p,l)
1,3 u
(p,l)
3,33 + u
(p,l)
3,1 u
(p,l)
3,11 + u
(p,l)
3,3 u
(p,l)
1,33
)
+ ∆(p)
4
(
u
(p,l)
1,3 u
(p,l)
3,11 + u
(p,l)
3,1 u
(p,l)
3,33 + u
(p,l)
3,1 u
(p,l)
1,31
)
+
+
(
∆(p)
4 + ∆(p)
5
)(
u
(p,l)
1,1 u
(p,l)
3,31 + u
(p,l)
3,3 u
(p,l)
3,31
)
+ ∆(p)
5 u
(p,l)
3,3 u
(p,l)
1,11 , (11)
ρ(p)ü
(p,n)
3 −c
(p)
11 u
(p,n)
3,33 −c
(p)
44 u
(p,n)
3,11 −∆(p)
8 u
(p,n)
1,13 = ∆(p)
1 u
(p,l)
3,3 u
(p,l)
3,33+∆(p)
2
(
u
(p,l)
3,3 u
(p,l)
3,11+2u
(p,l)
3,1 u
(p,l)
3,13
)
+
+∆(p)
3
(
u
(p,l)
3,1 u
(p,l)
1,11 + u
(p,l)
1,3 u
(p,l)
1,33 + u
(p,l)
1,1 u
(p,l)
3,11
)
+ ∆(p)
4
(
u
(p,l)
3,1 u
(p,l)
1,33 + u
(p,l)
1,3 u
(p,l)
1,11 + u
(p,l)
1,3 u
(p,l)
3,13
)
+
+
(
∆(p)
4 + ∆(p)
5
)(
u
(p,l)
3,3 u
(p,l)
1,13 + u
(p,l)
1,1 u
(p,l)
1,13
)
+ ∆(p)
5 u
(p,l)
1,1 u
(p,l)
3,33 .
c
(1)
44
(
u
(1,n)
1,3 + u
(1,n)
3,1
)
x3=0
− c
(2)
44
(
u
(2,n)
1,3 + u
(2,n)
3,1
)
x3=0
=
(
∆(2)
2 u
(2,l)
3,1 u
(2,l)
3,3 + ∆(2)
3 u
(2,l)
1,1 u
(2,l)
3,1 +
+∆(2)
4
(
u
(2,l)
1,1 u
(2,l)
1,3 + u
(2,l)
1,3 u
(2,l)
3,3
))
x3=0
− (
∆(1)
2 u
(1,l)
3,1 u
(1,l)
3,3 + ∆(1)
3 u
(1,l)
1,1 u
(1,l)
3,1 +
+∆(1)
4
(
u
(1,l)
1,1 u
(1,l)
1,3 + u
(1,l)
1,3 u
(1,l)
3,3
))
x3=0
, (12)
(
c
(1)
12 u
(1,n)
1,1 +c
(1)
11 u
(1,n)
3,3
)
x3=0
−(
c
(2)
12 u
(2,n)
1,1 +c
(2)
11 u
(2,n)
3,3
)
x3=0
=
1
2
(
∆(2)
1 (u(2,l)
3,3 )2 +∆(2)
2 (u(2,l)
3,1 )2+
∆(2)
3 (u(2,l)
1,3 )2 + 2∆(2)
4 u
(2,l)
1,3 u
(2,l)
3,1 + ∆(2)
5
(
u
(2,l)
1,1 )2 + 2u
(2,l)
1,1 u
(2,l)
3,3
))
x3=0
− 1
2
(
∆(1)
1 (u(1,l)
3,3 )2+
+∆(1)
2 (u(1,l)
3,1 )2 + ∆(1)
3 (u(1,l)
1,3 )2 + 2∆(1)
4 u
(1,l)
1,3 u
(1,l)
3,1 + ∆(1)
5
(
u
(1,l)
1,1 )2 + 2u
(1,l)
1,1 u
(1,l)
3,3
))
x3=0
,
(
u
(1,n)
j
)
x3=0
− (
u
(3,n)
j
)
x3=0
= 0 (j = 1, 3).
В соотношениях (12), (13) использованы обозначения:
∆(p)
1 = 3c
(p)
11 + c
(p)
111, ∆(p)
2 = c
(p)
12 + 2c
(p)
44 + c
(p)
155, ∆(p)
3 = c
(p)
11 + c
(p)
155,
∆(p)
4 = c
(p)
44 + c
(p)
155, ∆(p)
5 = c
(p)
12 + c
(p)
112, ∆(p)
6 = c
(p)
44 + c
(p)
456,
93
Н.В. Жоголева
∆(p)
7 = c
(p)
12 + c
(p)
144, ∆(p)
8 = c
(p)
12 + c
(p)
44 .
Структура краевой задачи относительно u
(n)
j позволяет заключить, что вторыми
гармониками линейных локализованных волн Стоунли априори будут волны P−SV
типа. Компоненты u
(p,n)
j (j = 1, j = 3) комплексного вектора волновых перемеще-
ний во вторых гармониках определяются из краевой задачи (11), (12) в аналитиче-
ской форме методами компьютерной алгебры на основе разработанного алгоритма.
Они представляются в виде подчиняемой граничным условиям (12) суммы част-
ного решения системы уравнений (11) общего решения соответствующей системы
однородных уравнений.
Таким образом, компоненты вектор-функции волновых динамических переме-
щений во вторых гармониках локализованных волн Стоунли в итоге имеют пред-
ставления:
u(p,n)
q = (u(0))2
(
β(p)
q exp((α(p)
1 + α
(p)
2 )x3) + (χ(p)
q1 x3 + χ
(p)
q2 )exp(2α(p)
1 x3)+ (13)
+(ϕ(p)
q1 x3 + ϕ
(p)
q2 )exp(2α
(p)
2 x3) + µ
(p)
q1 exp(γ(p)
1 x3) + µ
(p)
q2 exp(γ(p)
2 x3)
)
exp(−2i(ωt− kx1))
(p = 1, 2), q ∈ {1, 3}.
Они содержат коэффициенты µ
(p)
qj , β
(p)
q , χ
(p)
qj , ϕ
(p)
qj , которые получены в аналитиче-
ской форме методами компьютерной алгебры и имеют крайне громоздкий вид.
Представления (13) являются основой для численных исследований различных
характеристик нелинейных ангармонических возмущений волн Стоунли.
2. Численный анализ амплитудно-частотных эффектов для вторых
гармоник.Численные исследования амплитудно-частотных зависимостей для функ-
ций перемещений в нелинейных вторых гармониках волн Стоунли проведены для
волновода, образуемого идеально контактирующими полупространствами V1 из мо-
нокристалла Ge и V2 из монокристалла BaF2. Компоненты данного волновода ха-
рактеризуются следующими независимыми физико-механическими постоянными:
c
(1)
11 = 12, 92c∗, c
(1)
12 = 4, 79c∗, c
(1)
44 = 6, 7c∗,
c
(1)
111 = −71, 0c∗, c
(1)
112 = −38, 9c∗, c
(1)
123 = −1, 8c∗, c
(1)
144 = −2, 3c∗,
c
(1)
456 = −5, 3c∗, c
(1)
155 = −29, 2c∗, ρ(1) = 5, 32ρ∗;
c
(2)
11 = 9, 04c∗, c
(2)
12 = 4, 06∗, c
(2)
44 = 2, 53c∗,
c
(2)
111 = −58, 4c∗, c
(2)
112 = −29, 9c∗, c
(2)
123 = −20, 6c∗, c
(2)
144 = −12, 1c∗,
c
(2)
456 = −2, 71c∗, c
(2)
155 = −8, 89c∗, ρ(2) = 4, 893ρ∗.
Здесь полагается c∗ = 1010 (N/m2) и ρ∗ = 103 (kg/m3).
В процессе анализа нелинейных волновых эффектов рассчитывались распреде-
ления нормированных амплитуд упругих смещений |u(l)
1 /u(0)|, |u(l)
3 /u(0)| в линейных
94
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Стоунли
волнах Стоунли и в их вторых гармониках |u(n)
1 /(u(0))2|, |u(n)
3 /(u(0))2| по толщине
волновода в интервале, включающем подобласть x3/R∗ ∈ [−10; 0] полупространства
V1 и подобласть x3/R∗ ∈ [0; 10] в полупространстве V2.
Рассчитанные распределения функций волновых упругих смещений в линейных
волнах Стоунли с относительными длинами λ/R∗ = 15, λ/R∗ = 17 и λ/R∗ = 20
представлены на рис.1.-рис.3, а соответствующие нормированные функции интен-
сивности их нелинейных ангармонических возмущений |u(n)
1 /(u(0))2|, |u(n)
3 /(u(0))2|
соответственно представлены на рис.4.-рис.6. Здесь λ – длина волны.
Рис. 1. Распределение нормированных значений |u(l)
1 |/u(0), |u(l)
3 |/u(0) при λ/R∗ = 15
Рис. 2. Распределение нормированных значений |u(l)
1 |/u(0), |u(l)
3 |/u(0) при λ/R∗ = 17
Рис. 3. Распределение нормированных значений |u(l)
1 |/u(0), |u(l)
3 |/u(0) при λ/R∗ = 20
95
Н.В. Жоголева
Рис. 4. Распределение нормированных значений |u(n)
1 |/(u(0))2, |u(n)
3 |/(u(0))2 при λ/R∗ = 15
Рис. 5. Распределение нормированных значений |u(n)
1 |/(u(0))2, |u(n)
3 |/(u(0))2 при λ/R∗ = 17
Рис. 6. Распределение нормированных значений |u(n)
1 |/(u(0))2, |u(n)
3 |/(u(0))2 при λ/R∗ = 20
96
Вторые гармоники нелинейных монохроматических волн Стоунли
Одним из свойств указанных распределений для линейных волн Стоунли яв-
ляется постепенное уменьшение относительной амплитуды с ростом относительной
длины волны. Для u
(l)
1 /u(0) максимальное значение при указанных λ достигается
на поверхности контакта полупространств. Поведение u
(l)
3 /u(0) для областей V1 и V2
значительно отличается по достигаемым максимальным значениям. В частности,
при рассматриваемых λ в полупространстве из монокристалла BaF2 достигаемый
локальный максимум вдвое меньше соответствующего значения для полупростран-
ства германия. Области по толщине рассматриваемой волноводной структуры, в ко-
торых достигаются максимальные значения |u(l)
3 /u(0)|, расположены приблизитель-
но на расстоянии λ/5 от поверхности контакта полупространств. Рис.1-3 показыва-
ют, что в исследуемом диапазоне относительных длин линейных обобщенных волн
Стоунли амплитудные формы распределений нормированных значений u
(l)
1 , u
(l)
3 в
незначительной мере зависят от параметра λ/R∗, но существенно различаются по
абсолютной величине.
Характеризуя распределения интенсивностей волновых перемещений u
(n)
1 /(u(0))2,
u
(n)
3 /(u(0))2 по координате Ox3 во вторых гармониках локализованных волн Стоун-
ли различной относительной длины, можно сделать следующие выводы. Для второй
гармоники интенсивные перемещения u
(n)
1 /(u(0))2 локализуются в полупространстве
V2 и достигают максимальных значений в зоне x3/R∗ = 2, что соответствует рас-
стоянию двух относительных длин волны. Максимальная интенсивность перемеще-
ний u
(n)
3 /(u(0))2 превышает аналогичную характеристику перемещений u
(n)
1 /(u(0))2
и достигается в полупространстве V2 вблизи плоскости контакта полупространств
x3 = 0.
1. Зарембо Л. К., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика. – М.: МГУ, 1984. – 104 с.
2. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в
твердых телах // УФН – 1970. – Т. 102, Вып. 4. – С. 549-586.
3. Жоголева Н.В. Комбинационные вторые гармоники нелинейных волн Лява в кристаллическом
слое на кристаллическом полупространстве // Актуальные проблемы механики деформируе-
мого твердого тела. Матер. VI Междунар. н.к. – Донецк : Юго-Восток, 2010. – С 149-153.
4. Сторожев В.И., Н.В. Щербак. Анализ нелинейных ангармонических возмущений для упругих
SH-волн, локализованных в кристаллическом слое между анизотропными полупространствами
// Труды Института прикладной математики и механики. – Том 19. – 2009. – С. 234-243.
5. Сторожев В.I., Щербак Н.В. Нелiнiйнi другi гармонiки узагальнених хвиль Лява в анiзотроп-
ному шарi на анiзотропному пiвпросторi // Вiсник Донецького унiверситету. Сер.А: Природничi
науки. – 2008. – Вип.2 – С.75-80.
6. Сторожев В.И., Щербак Н.В. Нелинейные эффекты генерации высших гармоник упругих волн
сдвига в слое между разнородными полупространствами // Науковi працi УкрНДМI НАН
України. Випуск 5 (частина 1) / Пiд заг. ред. А.В. Анциферова. – Донецьк, УкрНДМI НАН
України, 2009. – С. 258-266.
7. Сторожев В.I., Щербак Н.В. Энергетические характеристики нелинейных вторых гармоник
поверхностных волн Лява в волноводе с кристаллическими компонентами кубической систе-
мы // Труды XI Международной конференции "Современные проблемы механики сплошной
среды" (Ростов-на-Дону, 26-29 ноября 2007г.). – Ростов-на-Дону, 2007. – Т. 2. – С. 173-177.
8. Storozhev V I., Shcherbak N. V. Nonlinear anharmonic effects for Love waves in structure "anisotropic
layer on the anisotropic halfspace"// Works of the second international conference "Nonlinear Dyna-
mics – 2007 Kharkov. – 2007. – P. 283-288.
97
Н.В. Жоголева
N.V. Zhogoleva
Nonlinear monochromatic Stoneley wave second harmonics at the contact of the anisotropic
halfspaces surface.
The model of geometrically and physically nonlinear anisotropic elastic cubic system solids deformation is
used. It based on the elastic potential presentation with quadratic and cubic deformation members. The
method of wave displacement function expansion in terms of small parameter (acoustic Mach number)
is applied. The nonlinear second harmonics analytical representations for the monochromatic elastic
Stoneley waves are built. The waveguide is two different type monocrystal halfspaces of m3m class cubic
system with the ideal contact between them. The wave displacement amplitude-frequency characteristics
have been analyzed for the second harmonics for the case of BaF2 and Ge monocrystal halfspaces. The
method exloited in the work was used for the Love waves and for the locallized in a crystal layer between
two crystal halfspaces shear waves nonlinear anharmonic disturbances in previous works.
Keywords: composited anisotropic bodies, harmonic waves, Stoneley waves, geometrical and physical
nonlinearity, second harmonics.
Н.В. Жоголева
Другi гармонiки нелiнiйних монохроматичних хвиль Стоунлi бiля поверхнi контакта
анiзотропних пiвпросторiв.
У рамках моделi геометрично i фiзично нелiнiйного деформування анiзотропних пружних сере-
довищ кубiчної системи, що базується на зображеннях пружного потенцiалу з квадратичними та
кубiчними членами по деформацiях, а також на основi методики розкладання функцiї хвильо-
вих зсувiв за малим параметром у виглядi акустичного числа Маха, побудовано аналiтичнi зоб-
раження нелiнiйних других гармонiк монохроматичних пружних хвиль Стоунлi для хвилеводу у
виглядi iдеально контактуючих рiзнотипних монокристалiчних пiвпросторiв класу m3m кубiчної
системи. У рамках чисельно-аналiтичних дослiджень нелiнiйних хвильових ефектiв проаналiзова-
но амплiтудно-частотнi характеристики хвильових перемiщень у других гармонiках для хвилеводу,
що утворюється з монокристалiчних пiвпросторiв BaF2 и Ge. Пiдхiд, що використовується в робо-
тi, був ранiше застосований для аналiзу нелiнiйних ангармонiчних збурень у хвилях Лява, а також
у зсувних хвилях локалiзованих у кристалiчному шарi мiж кристалiчними пiвпросторами.
Ключовi слова: складенi анiзотропнi тiла, гармонiчнi хвилi, хвилi Стоунлi, геометрична та
фiзична нелiнiйнiсть, другi гармонiки.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
zhogoleva.nadia@gmail.com
Получено 31.03.11
98
|