Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123990 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы / Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 115-124 . — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859461414693896192 |
|---|---|
| author | Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| author_facet | Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| citation_txt | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы / Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 115-124 . — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| first_indexed | 2025-11-24T04:24:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 517.5
c©2011. Д.А Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
КЛАССЫ ОРЛИЧА-СОБОЛЕВА И НИЖНИЕ Q-ГОМЕОМОРФИЗМЫ
При условии типа Кальдерона на функцию ϕ показано, что непрерывные отображения f класса
Орлича-Соболева W 1,ϕ
loc обладают (N)-свойством Лузина на почти всех гиперплоскостях. В частно-
сти, сказанное относится к отображениям класса Соболева f ∈ W 1,p
loc при p > n− 1. На этой основе
показано, что гомеоморфизмы f с конечным искажением, принадлежащие указанным классам
W 1,ϕ
loc , в частности, f ∈ W 1,p
loc , p > n− 1, являются так называемыми нижними Q-гомеоморфизмами
при Q(x), равной внешней дилатации Kf (x). Последнее обстоятельство дает возможность при-
менить ранее развитую теорию к изучению локального и граничного поведения гомеоморфизмов
конечного искажения в классах Орлича-Соболева.
Ключевые слова:модули и емкости, отображения с ограниченным и конечным искажением,
нижние Q-гомеоморфизмы, свойства Лузина и Сарда, классы Соболева, классы Орлича-Соболева.
1. Введение. Основная цель работы – установить связь между отображениями
с конечным искажением в классах Орлича–Соболева с так называемыми нижними
Q-гомеоморфизмами, теория граничного поведения которых была развита авторами
ранее, см. монографию [15]. В дальнейшем D – область в Rn, n > 2, m – мера Лебега
Rn. Следуя Орличу, для заданной выпуклой возрастающей функции ϕ : [0,∞) →
[0,∞), ϕ(0) = 0, обозначим символом Lϕ пространство всех функций f : D → R
таких, что ∫
D
ϕ
( |f(x)|
λ
)
dm(x) < ∞ (1)
при некотором λ > 0, см., напр., монографию [10]. Пространство Lϕ называется
пространством Орлича. Другими словами, Lϕ есть конус над классом всех функций
g : D → R таких, что ∫
D
ϕ (|g(x)|) dm(x) < ∞, (2)
который называется классом Орлича.
Классом Орлича-Соболева W 1,ϕ
loc (D) называется класс всех локально интегриру-
емых функций f , заданных в D, с первыми обобщёнными производными, градиент
∇f которых локально принадлежит классу Орлича. Заметим, что по определению
W 1,ϕ
loc ⊂ W 1,1
loc . Как обычно, мы пишем f ∈ W 1,p
loc , если ϕ(t) = tp, p > 1. Известно,
что непрерывная функция f , после изменения на множестве нулевой меры, принад-
лежит классу W 1,p
loc тогда и только тогда, когда f ∈ ACLp, т.е., если f локально
абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных координатным осям,
а первые частные производные f локально интегрируемы в степени p, см. [16]. По-
нятие обобщенной производной было введено Соболевым и теперь развивается при
более широких предположениях.
115
Д.А Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
Далее, если f – локально интегрируемая вектор-функция n вещественных пере-
менных x1, . . . , xn, f = (f1, . . . , fm), fi ∈ W 1,1
loc , i = 1, . . . , m, и
∫
D
ϕ (|∇f(x)|) dm(x) < ∞, (3)
где |∇f(x)| =
√
m∑
i=1
n∑
j=1
(
∂fi
∂xj
)2
, то мы также пишем f ∈ W 1,ϕ
loc . Мы также используем
обозначение W 1,ϕ
loc в случае более общих функций ϕ, чем в классах Орлича, всегда
предполагавших выпуклость функции ϕ.
В дальнейшем ‖f ′(x)‖ обозначает матричную норму якобиевой матрицы f ′ отоб-
ражения f в точке x ∈ D,
‖f ′(x)‖ = sup
h∈Rn,|h|=1
|f ′(x) · h|,
Jf (x) = detf ′(x) – якобиан отображения f в точке x. Напомним, что гомеоморфизм
f между областями D и D′ в Rn, n > 2, называется отображением с конечным
искажением, если f ∈ W 1,1
loc , Jf ∈ L1
loc, и
‖f ′(x)‖n 6 K(x) · Jf (x) (4)
для некоторой почти всюду конечной функции K. В дальнейшем Kf (x) обозначает
наименьшую функцию K(x) > 1 в (4), т.е., мы полагаем Kf (x) = ‖f ′(x)‖n/Jf (x)
при Jf (x) 6= 0, Kf (x) = 1 при f ′(x) = 0 и Kf (x) = ∞ в остальных точках. Впервые
понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для f ∈
W 1,2
loc в работе [9]. В дальнейшем условие f ∈ W 1,2
loc было заменено требованием f ∈
W 1,1
loc , предполагающим дополнительно, что Jf ∈ L1
loc, см. монографию [8].
Заметим, что упомянутое выше дополнительное условие Jf ∈ L1
loc излишне в слу-
чае гомеоморфизмов. Действительно, для каждого гомеоморфизма f между обла-
стями D и D′ в Rn, имеющего п.в. частные производные в D, существует множество
E лебеговой меры нуль, такое что f обладает (N)-свойством в D \ E и
∫
A
Jf (x) dm(x) = |f(A)| (5)
для каждого измеримого по Лебегу множества A ⊂ D \ E, см., напр., пункты 3.1.4,
3.1.8 и 3.2.5 в [3]. На этой основе, по неравенству Гёльдера легко проверить, в част-
ности, что если f ∈ W 1,1
loc – гомеоморфизм и Kf ∈ Lq
loc для некоторого q > n− 1, то
также f ∈ W 1,p
loc для некоторого p > n− 1.
2. Предварительные замечания. В настоящей статье Hk, k = 1, . . . , n − 1
обозначает k -мерную меру Хаусдорфа в Rn, n > 2, см., напр., [7]. Если Hk1(A) < ∞,
то Hk2(A) = 0 для любого k2 > k1, см. VII.1.В в [7]. Величина
dimHA = sup
Hk(A)>0
k
116
Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы
называется хаусдорфовой размерностью множества A. В работе [5] было показано,
что для любых p и q ∈ (0, n) множество A такое, что dimHA = p, может быть отобра-
жено при помощи квазиконформного отображения f пространства Rn на множество
B c dimHB = q.
Напомним, что k-мерным направлением Γ в пространстве Rn называется класс
эквивалентности всех k-мерных плоскостей в Rn, которые могут быть получены одна
из другой при помощи параллельного переноса. Каждая (n − k)-мерная плоскость
T , ортогональная k-мерной плоскости P пересекает P в единственной точке X(P).
Пусть E – подмножество Γ. Тогда X(E) будет обозначать множество всех точек
X(P), P ∈ E. Ясно, что (n− k)-мерная мера множества X(E) не зависит от выбора
плоскости T ; обозначим её символом µn−k(E). В дальнейшем будем говорить, что
некоторое свойство имеет место для почти каждой плоскости Γ, если множество E,
состоящее из всех плоскостей P, для которых это свойство нарушается, таково, что
µn−k(E) = 0.
Следующее замечательное свойство функций f класса Соболева W 1,p
loc доказано
в монографии [6], см. теорему 5.5 разд. 5.5 гл. II, и может быть распространено на
классы Орлича-Соболева. Нижеприведенное утверждение непосредственно следует
из теоремы Фубини и известного критерия принадлежности функций классу Со-
болева W 1,1
loc в терминах пространства ACL (функций, абсолютно непрерывных на
линиях), см., напр., разд. 1.1.3 в [16], а также комментарии во введении.
Предложение 1. Пусть U – открытое множество в Rn и f : U → Rm, m > 1,
– отображение класса Орлича–Соболева W 1,ϕ
loc (U), где функция ϕ : [0,∞) → [0,∞)
возрастает. Тогда для любого k-мерного направления Γ, для почти каждой k-
мерной плоскости P ∈ Γ, k = 1, 2, . . . , n−1, сужение отображения f на множество
P ∩ U является отображением класса W 1,ϕ
loc (P ∩ U).
Заметим, что здесь класс W 1,ϕ
loc корректно определен для почти всех k-мерных
плоскостей, поскольку частные производные являются борелевскими функциями;
кроме того, классы Соболева являются инвариантными относительно преобразова-
ний квазиизометрии и, в частности, относительно вращений систем координат, см.,
напр., разд. 1.1.7 in [16].
Напомним также мало известную теорему Фаделя, см. [2], которая позволяет рас-
пространить хорошо известные теоремы Меньшова-Геринга-Лехто на плоскости, а
также теорему Вяйсяля в пространстве Rn, n > 3, см., напр., [4], [17] и [20], о диффе-
ренцируемости почти всюду открытых отображений класса Соболева на открытые
отображения классов Орлича-Соболева в Rn, n > 3. Напомним, что отображение
f : Ω → Rn называется открытым, если образ любого открытого множества в Ω
является открытым множеством в Rn.
Предложение 2. Пусть Ω – открытое множество в Rn, n > 3, и f : Ω → Rn
– непрерывное открытое отображение. Если f имеет почти всюду полный диффе-
ренциал на Ω относительно n − 1 переменной, то f имеет полный дифференциал
почти всюду в Ω.
Наконец, приведём следующий результат Кальдерона, см., напр., [1], с. 208.
117
Д.А Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
Предложение 3. Пусть ϕ : [0,∞) → [0,∞) – возрастающая функция, такая
что ϕ(0) = 0 и для некоторого натурального k > 2
A : =
∞∫
0
[
t
ϕ(t)
] 1
k−1
dt < ∞. (6)
Предположим, что f : G → R – непрерывная функция, заданная в области G ⊂ Rk
класса W 1,ϕ(G). Тогда для каждого куба C ⊂ G, рёбра которого ориентированы
вдоль координатных осей, выполняется условие
diam (f(C)) 6 αkA
k−1
k
∫
C
ϕ (|∇f |) dm(x)
1
k
, (7)
где αk – некоторая постоянная, зависящая только от k.
Замечание 1. Функция (t/ϕ(t))1/(k−1) может иметь в нуле неинтегрируемую осо-
бенность. Однако, ясно, что поведение функции ϕ вблизи нуля не существенно. Дей-
ствительно, пусть
A∗ : =
[
1
ϕ(1)
] 1
k−1
+
∞∫
1
[
t
ϕ(t)
] 1
k−1
dt < ∞ (8)
и пусть ϕ∗(t) ≡ ϕ(1) при t ∈ (0, 1), ϕ∗(0) = 0 и ϕ∗(t) = ϕ(t) при t > 1. Применяя
предложение 3 к однопараметрическому семейству функций ϕλ(t) = ϕ(t)+λ·[ϕ∗(t)−
ϕ(t)], λ ∈ [0, 1), мы получаем при λ → 1 соотношение (7) с заменами A 7→ A∗ и
ϕ 7→ ϕ∗.
На основе предложения 3 Кальдерон доказал следующую лемму, которую также
можно вывести на основе теоремы Степанова.
Лемма 1. Пусть Ω – открытое множество в Rk, k > 2, f : Ω → R – непре-
рывная функция класса W 1,ϕ
loc (Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) – возрастающая функция,
удовлетворяющая условию
A :=
∞∫
1
[
t
ϕ(t)
] 1
k−1
dt < ∞. (9)
Тогда f имеет полный дифференциал почти всюду в Ω.
3. Дифференцируемость открытых отображений. Во-первых, комбинируя
лемму 1 с предложением 1, получаем следующее заключение.
Теорема 1. Пусть Ω – открытое множество в Rn, n > 3, f : Ω → R – непре-
рывная функция класса W 1,ϕ
loc (Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) – возрастающая функция,
такая что ∞∫
1
[
t
ϕ(t)
] 1
n−2
dt < ∞. (10)
118
Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы
Тогда на почти каждой гиперплоскости, параллельной произвольной фиксирован-
ной гиперплоскости, отображение f : Ω → Rm имеет почти всюду полный диффе-
ренциал.
Наконец, комбинируя теорему 1 с результатом Фаделя (предложение 2), прихо-
дим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть Ω – открытое множество в Rn, n > 3, f : Ω → Rn –
непрерывное открытое отображение класса W 1,ϕ
loc (Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) – воз-
растающая функция, удовлетворяющая условию (10). Тогда отображение f имеет
почти всюду полный дифференциал в Ω.
4. Условия Лузина и Сарда на поверхностях.
Теорема 3. Пусть Ω – открытое множество в Rk, k > 2, и пусть f : Ω →
Rm, m > 1, – непрерывное отображение класса W 1,ϕ(Ω), где ϕ : [0,∞) → [0,∞) –
возрастающая функция, такая что
A :=
∞∫
1
[
t
ϕ(t)
] 1
k−1
dt < ∞. (11)
Тогда для каждого измеримого множества E ⊂ Ω выполняется условие
Hk(f(E)) ≤ γk,m Ak−1
∗
∫
E
ϕ∗ (|∇f |) dm(x), (12)
где γk,m = (mαk)k, αk – постоянная из (7), зависящая только от k, A∗ = A +
1/[ϕ(1)]1/(k−1), ϕ∗(0) = 0, ϕ∗(t) ≡ ϕ(1) при t ∈ (0, 1) и ϕ∗(t) = ϕ(t) при t > 1.
Доказательство теоремы 3 основано на следующей лемме.
Лемма 2. При условиях теоремы 3 для каждого куба C ⊂ Ω с рёбрами, парал-
лельными координатным осям, выполнено условие
diam (f(C)) 6 mαk A
k−1
k∗
∫
C
ϕ∗ (|∇f |) dm(x)
1
k
, (13)
где αk – постоянная из (7), зависящая только от k, а величины A∗ и ϕ∗ определены
в теореме 3.
Доказательство леммы 2. Докажем (13) индукцией по m = 1, 2, . . .. Действи-
тельно, при m = 1 соотношение (13) имеет место ввиду предложения 3 и заме-
чания 1. Предположим, что (13) справедливо при некотором m = l и докажем
это при m = l + 1. Рассмотрим произвольный вектор ~V = (v1, v2, . . . , vl, vl+1) в
Rl+1, а также векторы ~V1 = (v1, v2, . . . , vl, 0) и ~V2 = (0, 0, . . . , 0, vl+1). По неравен-
ству треугольника |~V | = |~V1 + ~V2| ≤ |~V1| + |~V2|. Таким образом, обозначая через
Pr1 ~V = ~V1 и Pr2 ~V = ~V2 проекции векторов из Rl+1 на координатную гиперплос-
кость yl+1 = 0 и на (l + 1)-ю координатную ось в Rl+1, соответственно, мы получим,
119
Д.А Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
что diam f(C) 6 diamPr1f(C) + diamPr2f(C), и, применяя (13) при m = l и m = 1,
мы приходим к неравенству (13) при m = l + 1 в виду монотонности функции ϕ. ¤
Доказательство теоремы 3. Ввиду счетной аддитивности интеграла и меры,
не ограничивая общности рассуждений, мы можем считать, что множество E огра-
ничено и что E ⊂ Ω, т.е., что E – компакт в Ω. Для каждого ε > 0 существует
открытое множество ω ⊂ Ω такое, что E ⊂ ω и |ω \ E| < ε, см. теорему III (6.6)
в [19]. Учитывая замечание, сделанное выше, мы можем считать, что ω компакт и,
следовательно, отображение f равномерно непрерывно в ω. Следовательно, ω может
быть покрыто счётным набором замкнутых ориентированных кубов Ci, внутренно-
сти которых попарно не пересекаются, и таких, что diam f(Ci) < δ для каждого
предписанного заранее δ > 0 и
∣∣∣∣
∞⋃
i=1
∂Ci
∣∣∣∣ = 0.
Тогда в силу леммы 2 мы получим, что
Hk
δ (f(E)) ≤ Hk
δ (f(ω)) 6
∞∑
i=1
[ diam f(Ci)]
k 6
6 γk,mAk−1
∗
∫
ω
ϕ∗ (|∇f |) dm(x).
Наконец, ввиду абсолютной непрерывности неопределённого интеграла, произволь-
ности ε и δ > 0, получаем (12). ¤
Следствие 1. При условиях теоремы 3, отображение f обладает (N)-свойст-
вом Лузина, более того, f является абсолютно непрерывным относительно k-
мерной хаусдорфовой меры.
По теореме 3, см. также теорему VII.3 в [7], мы получаем следующее заключение
типа Сарда.
Следствие 3. При условиях теоремы 3, Hk(f(E)) = 0, если |∇f | = 0 на изме-
римом множестве E ⊂ Ω, и потому dimH f(E) 6 k, а dim f(E) 6 k − 1.
Далее ∇k обозначает k-мерный градиент сужения отображения f на k-мерную
плоскость P . Комбинируя предложение 1 и следствие 2, получаем следующее утвер-
ждение.
Предложение 4. Пусть k = 2, . . . , n−1, U – открытое множество в Rn, n > 3,
и пусть f : U → Rm, m > 1, – отображение класса W 1,ϕ
loc (U), где ϕ : [0,∞) → [0,∞)
– возрастающая функция, такая что
∞∫
1
[
t
ϕ(t)
] 1
k−1
dt < ∞. (14)
Тогда для каждого k-мерного направления Γ и почти всех k-мерных плоскостей
P ∈ Γ, сужение отображения f на множество P ∩ U обладает (N)-свойством,
более того, является локально абсолютно непрерывным относительно k-мерной
120
Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы
хаусдорфовой меры. Кроме того, на почти всех P ∈ Γ, Hk(f(E)) = 0 как только
∇kf = 0 на множестве E ⊂ P .
Наиболее важным для нас частным случаем предложения 4 является следующее
утверждение.
Теорема 4. Пусть U – открытое множество в Rn, n > 3, ϕ : [0,∞) → [0,∞)
– возрастающая функция с условием (10). Тогда любое непрерывное отображение
f : U → Rm, m > 1, класса W 1,ϕ
loc обладает (N)-свойством, более того, локально
абсолютно непрерывно относительно (n− 1)-мерной хаусдорфовой меры на почти
всех гиперплоскостях P, параллельных произвольной фиксированной гиперплоско-
сти P0. Кроме того, на почти всех таких P, Hn−1(f(E)) = 0, если |∇f | = 0 на
E ⊂ P.
Заметим, что, если условие вида (10) имеет место для некоторой возрастающей
функции ϕ, то функция ϕ∗ = ϕ(c t) при c > 0 также удовлетворяет соотношению
(10). Кроме того, хаусдорфовы меры являются квазиинвариантными при квазиизо-
метриях, см., напр., разд. 1.1.7 в [16].
По свойству Линделефа в Rn, см., напр., теорему Линделефа в разд. I.5.XI в
[14], множество U \ {x0} может быть покрыто счётным числом открытых сегментов
сферических колец в U \ {x0} с центром в точке x0, и каждый такой сегмент может
быть отображён на прямоугольный параллелепипед в Rn посредством квазиизомет-
рии. Следовательно, применяя теорему 4 к каждому такому параллелепипеду по
отдельности, мы получаем следующее заключение.
Следствие 4. При условии (10) любое непрерывное отображение f ∈ W 1,ϕ
loc об-
ладает (N)-свойством относительно (n− 1)-мерной меры Хаусдорфа, более того,
локально абсолютно непрерывно на почти всех сферах S с центром в заданной
предписанной точке x0 ∈ Rn. Кроме того, на почти всех таких сферах S выполне-
но условие Hn−1(f(E)) = 0 как только |∇f | = 0 на множестве E ⊂ S.
5. Нижние Q-гомеоморфизмы и классы Орлича-Соболева. Напомним,
что отображение g : X → Y между метрическими пространствами X и Y называется
липшицевым, если dist (g(x1), g(x2)) 6 M · dist (x1, x2) для некоторой постоянной
M < ∞ и всех x1, x2 ∈ X. Говорят, что отображение g : X → Y билипшицево, если,
оно, во–первых, липшицево, во–вторых, M∗ · dist (x1, x2) 6 dist (g(x1), g(x2)) для
некоторой постоянной M∗ > 0 и всех x1, x2 ∈ X.
Следующее утверждение является ключевым для дальнейшего исследования.
Теорема 5. Пусть D и D′ – области в Rn, n > 3, ϕ : [0,∞) → [0,∞) – воз-
растающая функция с условием (10). Тогда каждый гомеоморфизм f : D → D′
конечного искажения класса W 1,ϕ
loc является нижним Q-гомеоморфизмом в произ-
вольной точке x0 ∈ D с Q(x) = Kf (x).
Определение нижнего Q-гомеоморфизма можно найти, напр., в [11] и [15].
Доказательство. Обозначим через B (борелево) множество всех точек x ∈ D,
где отображение f имеет полный дифференциал f ′(x) и Jf (x) 6= 0. Применяя тео-
рему Кирсбрауна и используя единственность аппроксимативного дифференциала,
121
Д.А Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
см., напр., разд. 2.10.43 и теорему 3.1.2 в [3], заключаем, что множество B пред-
ставляет собой счётное объединение борелевских множеств Bl, l = 1, 2, . . ., таких,
что отображения fl = f |Bl
являются билипшицевыми гомеоморфизмами, см., напр.,
лемму 3.2.2 и теоремы 3.1.4 и 3.1.8 в [3]. Без ограничения общности, можно считать,
что множества Bl попарно не пересекаются. Обозначим также через B∗ оставшееся
множество всех точек x ∈ D, где f имеет полный дифференциал, однако, f ′(x) = 0.
По построению множество B0 := D \ (B
⋃
B∗) имеет Лебегову меру нуль, см.
лемму 1 и предложения 1 и 2. Следовательно, AS(B0) = 0 для почти всех гипер-
поверхностей S в Rn и, в частности, для почти всех сфер Sr := S(x0, r) с центром
в точке x0 ∈ D, см. теорему 2.11 в [13] или лемму 8.1 в [15]. Таким образом, по
следствию 3, получим AS∗r (f(B0)) = 0, а также AS∗r (f(B∗)) = 0 для почти всех Sr,
где S∗r = f(Sr).
Пусть Γ обозначает семейство всех пересечений сфер Sr, r ∈ (ε, ε0), ε0 < d0 =
sup
x∈D
|x − x0|, с областью D. Для произвольной функции ρ∗ ∈ adm f(Γ) такой, что
ρ∗ ≡ 0 вне f(D), полагаем ρ ≡ 0 вне D и на B0, и
ρ(x) : = ρ∗(f(x))‖f ′(x)‖ при x ∈ D \B0.
На каждом Bl, l = 1, 2, . . ., согласно разд. 1.7.6 и лемме 3.2.2 в [3] получаем, что
∫
Sr
ρn−1 dA =
∫
Sr
ρn−1
∗ (f(x))‖f ′(x)‖n−1 dA > 1
для почти всех Sr, и, следовательно, ρ ∈ ext adm Γ.
Используя замену переменных на каждом Bl, l = 1, 2, . . ., см., напр., теорему
3.2.5 в [3], ввиду счётной аддитивности интеграла, получаем оценку
∫
D
ρn(x)
Kf (x)
dm(x) 6
∫
f(D)
ρn
∗ (x) dm(x),
что и завершает доказательство. ¤
Следствие 5. Каждый гомеоморфизм с конечным искажением в Rn, n > 3,
класса W 1,p
loc при p > n − 1 является нижним Q-гомеоморфизмом в каждой точке
x0 ∈ D с Q(x) = Kf (x).
На основе (5) по неравенству Гельдера также получаем следующее.
Следствие 6. В частности, каждый гомеоморфизм f с конечным искаже-
нием в Rn, n > 3 такой, что Kf ∈ Lq
loc при q > n − 1, является нижним Q-
гомеоморфизмом в каждой точке x0 ∈ D с Q(x) = Kf (x).
6. Заключительные замечания. Таким образом, вся теория граничного по-
ведения нижних Q-гомеоморфизмов в [12], см. также гл. 9 в [15], применима к клас-
сам Орлича–Соболева W 1,ϕ
loc с условием типа Кальдерона и, в частности, к клас-
сам Соболева W 1,p
loc при p > n − 1. Кроме того, во внутренних точках нижние Q-
гомеоморфизмы являются так называемыми кольцевыми Q∗-гомеоморфизмами с
122
Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы
Q∗ = Qn−1 и, таким образом, теория локального поведения последних также при-
менима в указанных классах, см. [18] и гл. 7 монографии [15].
1. Calderon A.P. On the differentiability of absolutely continuous functions // Riv. Math. Univ.
Parma. – 1951. – V. 2. – P. 203-213.
2. Fadell A.G. A note on a theorem of Gehring and Lehto // Proc. Amer. Math. Soc. – 1975. – V.
49. – P. 195-198.
3. Федерер Г. Геометрическая теория меры, Наука, Москва, 1987. – 760 с.
4. Gehring F.W., Lehto O. On the total differentiability of functions of a complex variable // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 1959. – V. 272. – P. 3-8.
5. Gehring F.W. and Väisälä J. Hausdorff dimension and quasiconformal mappings // J. London
Math. Soc. – 1973. – V. 6. – P. 504-512.
6. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщёнными производны-
ми и квазиконформные отображения, Наука, Новосибирск, 1983.
7. Hurewicz W. and Wallman H. Dimension Theory, Princeton Univ. Press, Princeton, 1948.
8. Iwaniec T., Martin G. Geometrical Function Theory and Non-Linear Analysis, Clarendon Press,
Oxford, 2001.
9. Iwaniec T., Sverák V. On mappings with integrable dilatation // Proc. Amer. Math. Soc. – 1993.
– V. 118. – P. 181-188.
10. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича, Гос. издат.
физ.-мат. лит., Москва, 1958.
11. Ковтонюк Д.А., Рязанов В.И. О нижних Q-гомеоморфизмах // Труды ИПММ НАН Украи-
ны. – 2005. – Т. 11. – С. 69-83.
12. Ковтонюк Д., Рязанов В. К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. матем. вестник. –
2008. – Т. 5, № 1. – С. 159-184.
13. Kovtonyuk D., Ryazanov V. On the theory of mappings with finite area distortion // J. d’Anal.
Math. – 2008. – V. 104. – P. 291-306.
14. Куратовский К. Топология. 1, Мир, Москва, 1966.
15. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory, Springer
Monographs in Mathematics, Springer, New York, 2009.
16. Maz’ya V. Sobolev Spaces, Springer-Verlag, Berlin (1985).
17. Menchoff D. Sur les differencelles totales des fonctions univalentes // Math. Ann. – 1931. – V. 105.
– P. 75-85.
18. Рязанов В.И., Севостьянов Е.А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеомор-
физмов // Сиб. матем. журн. – 2007. – Т. 48, № 6. – С. 1361-1376.
19. Сакс С. Теория интеграла, Издательство ИЛ, М., 1949. – 495 с.
20. Väisälä J. On quasiconformal mappings in space // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. – 1961.
– V. 298. – P. 1-36.
D.A. Kovtonyuk, V.I. Ryazanov, R.R. Salimov, E.A. Sevostyanov
The classes of Orlichz-Sobolev and lower Q-homeomorphisms.
It is shown that continuous mappings f in W 1,ϕ
loc under the Calderon type conditions on ϕ, in particular,
f ∈ W 1,p
loc , for p > n−1 have (N)-property on a.e. hyperplane. It is proved on this basis that under these
conditions on ϕ the mappings f with finite distortion in W 1,ϕ
loc are the so-called lower Q-homeomorphisms
where Q(x) is equal to the outer dilatation Kf (x). This makes possible to apply our theory of the local and
boundary behavior for the lower and ring Q-homeomorphisms to homeomorphisms with finite distortion
in the Orlicz-Sobolev classes.
Keywords: moduli and capacities, mappings with bounded and finite distortion, lower Q-homeomorphisms,
123
Д.А Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов
Lusin and Sard properties, Sobolev classes, Orlicz-Sobolev classes.
Д.О. Ковтонюк, В.I. Рязанов, Р.Р. Салiмов, Є.О. Севостьянов
Класи Орлича-Соболєва та нижнi Q-гомеоморфiзми.
При умовi типу Кальдерона на функцiю ϕ показано, що неперервне вiдображення f класу W 1,ϕ
loc
має (N)-властивiсть Лузiна на майже всiх гiперплощинах; зокрема, сказане вище вiдноситься до
вiдображень класу Соболєва f ∈ W 1,p
loc при p > n− 1. На цiй засадi показано, що гомеоморфiзми f
зi скiнченним спотворенням, якi належать зазначеним класам W 1,ϕ
loc , зокрема, f ∈ W 1,p
loc , p > n− 1,
є так званими нижнiми Q-гомеоморфiзмами при Q(x), яка дорiвнює зовнiшнiй дилатацiї Kf (x).
Остання обставина дає можливiсть застосувати ранiше розвинуту теорiю до вивчення локальної
та граничної поведiнки гомеоморфiзмiв скiнченного спотворення в класах Орлича-Соболєва.
Ключовi слова: модулi й ємностi, вiдображення з обмеженим i скiнченним спотворенням,
нижнi Q-гомеоморфiзми, властивостi Лузiна i Сарда, класи Соболєва, класи Орлича-Соболєва.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
denis kovtonyuk@bk.ru, vlryazanov1@rambler.ru,
ruslan623@yandex.ru, brusin2006@rambler.ru
Получено 12.04.11
124
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123990 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T04:24:39Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. 2017-09-17T17:05:05Z 2017-09-17T17:05:05Z 2011 Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы / Д.А. Ковтонюк, В.И. Рязанов, Р.Р. Салимов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 115-124 . — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123990 517.5 ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы Класи Орлича- Соболева та нижні Q-гомеоморфізми The classes of Orlichz-Sobolev and lower Q-homeomorphisms Article published earlier |
| spellingShingle | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы Ковтонюк, Д.А. Рязанов, В.И. Салимов, Р.Р. Севостьянов, Е.А. |
| title | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы |
| title_alt | Класи Орлича- Соболева та нижні Q-гомеоморфізми The classes of Orlichz-Sobolev and lower Q-homeomorphisms |
| title_full | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы |
| title_fullStr | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы |
| title_full_unstemmed | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы |
| title_short | Классы Орлича-Соболева и нижние Q-гомеоморфизмы |
| title_sort | классы орлича-соболева и нижние q-гомеоморфизмы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123990 |
| work_keys_str_mv | AT kovtonûkda klassyorličasobolevainižnieqgomeomorfizmy AT râzanovvi klassyorličasobolevainižnieqgomeomorfizmy AT salimovrr klassyorličasobolevainižnieqgomeomorfizmy AT sevostʹânovea klassyorličasobolevainižnieqgomeomorfizmy AT kovtonûkda klasiorličasobolevatanižníqgomeomorfízmi AT râzanovvi klasiorličasobolevatanižníqgomeomorfízmi AT salimovrr klasiorličasobolevatanižníqgomeomorfízmi AT sevostʹânovea klasiorličasobolevatanižníqgomeomorfízmi AT kovtonûkda theclassesoforlichzsobolevandlowerqhomeomorphisms AT râzanovvi theclassesoforlichzsobolevandlowerqhomeomorphisms AT salimovrr theclassesoforlichzsobolevandlowerqhomeomorphisms AT sevostʹânovea theclassesoforlichzsobolevandlowerqhomeomorphisms |