О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)

О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)

Получены точные двусторонние оценки приближения функций обобщенными l₁-средними Бохнера-Рисса и Абеля-Пуассона в пространствах Харди Hp(Dⁿ). Отримано точні двосторонні оцінки наближення функцій узагальненими l₁-середніми Бохнера-Рісса і Абеля-Пуассона у просторах Харді Hp(Dⁿ). We obtain sharp two-si...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Труды Института прикладной математики и механики
Datum:2011
1. Verfasser: Коломойцев, Ю.С.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2011
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123991
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ) / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 125-130. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123991
record_format dspace
spelling Коломойцев, Ю.С.
2017-09-17T17:10:45Z
2017-09-17T17:10:45Z
2011
О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ) / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 125-130. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
1683-4720
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123991
517.55
Получены точные двусторонние оценки приближения функций обобщенными l₁-средними Бохнера-Рисса и Абеля-Пуассона в пространствах Харди Hp(Dⁿ).
Отримано точні двосторонні оцінки наближення функцій узагальненими l₁-середніми Бохнера-Рісса і Абеля-Пуассона у просторах Харді Hp(Dⁿ).
We obtain sharp two-sided estimates of approximation of functions by generalized l₁-Bochner-Riesz and Abel-Poisson means in Hardy spaces Hp(Dn).
ru
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Труды Института прикладной математики и механики
О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
Про деякі методи підсумовування степеневих рядів у просторах Харді Hp(Dⁿ)
On some summability methods for power series in Hardy space Hp(Dn)
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
spellingShingle О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
Коломойцев, Ю.С.
title_short О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
title_full О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
title_fullStr О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
title_full_unstemmed О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ)
title_sort о некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах харди hp(dⁿ)
author Коломойцев, Ю.С.
author_facet Коломойцев, Ю.С.
publishDate 2011
language Russian
container_title Труды Института прикладной математики и механики
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format Article
title_alt Про деякі методи підсумовування степеневих рядів у просторах Харді Hp(Dⁿ)
On some summability methods for power series in Hardy space Hp(Dn)
description Получены точные двусторонние оценки приближения функций обобщенными l₁-средними Бохнера-Рисса и Абеля-Пуассона в пространствах Харди Hp(Dⁿ). Отримано точні двосторонні оцінки наближення функцій узагальненими l₁-середніми Бохнера-Рісса і Абеля-Пуассона у просторах Харді Hp(Dⁿ). We obtain sharp two-sided estimates of approximation of functions by generalized l₁-Bochner-Riesz and Abel-Poisson means in Hardy spaces Hp(Dn).
issn 1683-4720
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123991
citation_txt О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dⁿ) / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 125-130. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kolomoicevûs onekotoryhmetodahsummirovaniâstepennyhrâdovvprostranstvahhardihpdn
AT kolomoicevûs prodeâkímetodipídsumovuvannâstepenevihrâdívuprostorahhardíhpdn
AT kolomoicevûs onsomesummabilitymethodsforpowerseriesinhardyspacehpdn
first_indexed 2025-11-26T03:03:02Z
last_indexed 2025-11-26T03:03:02Z
_version_ 1850609712361373696
fulltext ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22 УДК 517.55 c©2011. Ю.С. Коломойцев О НЕКОТОРЫХ МЕТОДАХ СУММИРОВАНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ Hp(Dn) Получены точные двусторонние оценки приближения функций обобщенными `1-средними Бохне- ра-Рисса и Абеля-Пуассона в пространствах Харди Hp(Dn). Ключевые слова: средние Бохнера-Рисса, средние Абеля-Пуассона, модуль гладкости, простран- ства Харди, поликруг. 1. Введение. Пусть Rn – n-мерное вещественное евклидово пространство, |x|q = (xq 1+· · ·+xq n) 1 q , |x| = |x|1, Rn + – подмножество точек из Rn с неотрицательными коор- динатами, Zn – с целыми координатами, Zn + = Zn ∩Rn +, x+ = max{x, 0}. Единичный поликруг в Cn обозначим через Dn = { z = (z1 . . . , zn) ∈ Cn : |zj | < 1, j = 1, . . . , n}, D = D1. Пусть β > 0, положим ( β 0 ) = 1 и ( β k ) = β(β−1)...(β−k+1) k! , k ∈ N. Через C обо- значим некоторые положительные константы, зависящие от указанных параметров. Запись A(f, ε) ³ B(f, ε) будет обозначать двустороннее неравенство с положитель- ными константами, не зависящими от f и ε. Аналитическая в единичном поликруге Dn функция f принадлежит Hp(Dn), если ‖f‖Hp = sup 0<ρ<1 (∫ Tn |f(ρz)|pdσn(z) ) 1 p < ∞, где σn – нормированная мера Лебега на единичном торе Tn = { z = (z1 . . . , zn) ∈ Cn : |zj | = 1, j = 1, . . . , n}, инвариантная относительно поворота. Для каждой функции f ∈ Hp(Dn) на торе Tn существует почти всюду радиаль- ная граничная функция, которую мы также обозначим через f , причем f ∈ Lp(Tn) и ‖f‖Hp = ‖f‖p, где ‖·‖p – (квази-)норма в пространстве Lp(Tn) (см., например, [1]). Любая функция из Hp(Dn), p > 0, раскладывается в поликруге Dn в абсолютно сходящийся степенной ряд f(z) = ∑ k∈Zn + ckz k, где zk = zk1 1 . . . zkn n , ck = ck1,...,kn – коэффициенты ряда Тейлора функции f . Пусть f ∈ Hp(Dn), 0 < p < ∞. Если β ∈ N ∪ ((1/p− 1)+,∞) и h̄ = (h1, . . . , hn) ∈ Rn, то дробная разность ∆β h̄ f(z) = ∞∑ ν=0 ( β ν ) (−1)νf(eiνh1z1, . . . , e iνhnzn) 125 Ю.С. Коломойцев определена почти всюду и ∆β h̄ f ∈ Hp(Dn). В случае, когда h1 = · · · = hn = h, h ∈ R, дробную разность функции f обозначим через ∆̃β hf , т.е. ∆β h̃ f = ∆̃β hf, где h̃ = (h, . . . , h). Модули гладкости, соответствующие разностям ∆β h̄ f и ∆̃β hf , определяют следу- ющим образом: ωβ(f, ε)p = sup |hj |≤ε j=1,...,n ‖∆β h̄ f‖p, ω̃β(f, ε)p = sup |h|≤ε ‖∆̃β hf‖p. (1) В настоящей работе мы будем изучать вопросы приближения функции f ∈ Hp(Dn) ее обобщенными средними Бохнера-Рисса Rβ,δ ε (f, z) = ∑ k∈Zn + (1− (ε|k|)β)δ +ckz k (2) и обобщенными средними Абеля-Пуассона P β ε (f, z) = ∞∑ ν=1 ( β ν ) (−1)ν+1f(e−νεz). (3) Отметим, что средние (2), называемые еще `1-средними Бохнера-Рисса, по своим свойствам существенно отличаются от сферических средних Бохнера-Рисса, кото- рые определяют по формуле Sβ,δ ε (f, z) = ∑ k∈Zn + (1− (ε|k|2)β)δ +ckz k. (4) Известно (см. [2], [3]), что при четном β > 0 средние (4) сходятся в Hp(Dn), 0 < p < 1, тогда и только тогда δ > n(1/p− 1/2)− 1/2. Мы покажем (см. ниже теорему 1), что сходимость, а также оценки приближения функций средними (2) и (3) от размерно- сти n не зависят. Отметим, что аппроксимативные свойства средних (2), (3) и (4) изучались в работах [2]-[12]. В частности, в работах [4]-[7] были получены точные двусторонние оценки приближения функций средними (2) и (3) в пространствах Hp(D). Точные оценки приближения средними (4) в Hp(Dn), n ≥ 1, можно найти в [2], [3], [9]-[12]. В работах [6] и [7] (см. также [13]) был получен следующий результат. Теорема A. Пусть f ∈ Hp(D), 0 < p < ∞, β ∈ N ∪ ((1/p − 1)+,∞) и δ > (1/p− 1)+. Тогда ‖f − P β ε (f)‖p ³ ‖f −Rβ, δ ε (f)‖p ³ ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1). 126 О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dn) В работе [13] изучались вопросы приближения средними (2) и (3) в случае функ- ций нескольких переменных. В частности, в [13] была получена следующая теорема. Теорема B. Пусть f ∈ Hp(Dn), 0 < p < ∞, β ∈ N ∪ ((1/p − 1)+,∞) и δ > (n/min(1, p)− 1)+. Тогда (i) C1ω̃β(f, ε)p ≤ ‖f − P β ε (f)‖p ≤ C2ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1); (ii) C1ω̃β(f, ε)p ≤ ‖f −Rβ,δ ε (f)‖p ≤ C2ωβ(f, ε)p, ε ∈ (0, 1), где C1 и C2 – некоторые положительные константы, не зависящие от f и ε. Используя одно простое свойство мультипликаторов степенных рядов, мы полу- чим точные оценки приближения функций средними (2) и (3) через модуль гладко- сти (1). Следующая теорема является основным результатом настоящей работы. Теорема 1. Пусть f ∈ Hp(Dn), 0 < p < ∞, β ∈ N ∪ ((1/p − 1)+,∞) и δ > (1/p− 1)+. Тогда ‖f − P β ε (f)‖p ³ ‖f −Rβ, δ ε (f)‖p ³ ω̃β(f, ε)p, ε ∈ (0, 1). (5) 2. Вспомогательные утверждения. Далее с каждой функцией ϕ : Rn 7→ C и числом ε ∈ R мы будем связывать мультипликатор Λϕ ε , определяемый по правилу: Λϕ ε f(z) = ∑ k ϕ(εk)ckz k. В следующей лемме установлена связь между специальными мультипликатора- ми в пространствах Hp(Dn), n ≥ 2, и Hp(D). Лемма 1. Пусть ϕ0, ψ0 : R 7→ C, ϕ(x) = ϕ0(|x|), ψ(x) = ψ0(|x|), x ∈ Rn +, и C – некоторая положительная константа, зависящая только от ϕ0, ψ0 и p. Неравенство ‖Λϕ0 h f‖p ≤ C‖Λψ0 ε f‖p (6) имеет место для любой функции f ∈ Hp(D) и для всех h, ε ∈ R, если и только если неравенство ‖Λϕ hf‖p ≤ C‖Λψ ε f‖p (7) имеет место для любой функции f ∈ Hp(Dn) и для всех h, ε ∈ R. Доказательство. Сформулированную выше лемму нетрудно получить повторяя доказательство теоремы 1 статьи [14]. Поскольку при доказательстве основного ре- зультата настоящей статьи нам понадобятся приведенные ниже рассуждения, мы даем краткое доказательство леммы 1. 127 Ю.С. Коломойцев Покажем, что из неравенства (6) следует неравенство (7). Для этой цели мы используем следующую срез-функцию для f ∈ Hp(Dn): fz(ζ) = f(ζz) = ∞∑ m=0 ζm ∑ |k|=m ckz k, ζ ∈ T, z ∈ Dn. (8) Замечая, что Λϕ hf(ζz) = Λϕ0 h fz(ζ), находим: ‖Λϕ hf‖p p = ∫ Tn |Λϕ hf(z)|pdσn(z) = ∫ Tn ∫ T |Λϕ hf(ζz)|pdσ1(ζ)σn(z) = = ∫ Tn ‖Λϕ0 h fz(·)‖p pdσn(z) ≤ Cp ∫ Tn ‖Λψ0 ε fz(·)‖p pdσn(z) = = Cp ∫ T ∫ Tn |Λψ0 ε f(ζz)|pdσ1(ζ)σn(z) = Cp‖Λψ ε f‖p p. Неравенство (7) сразу следует из неравенства (6). ¤ Из теоремы A и леммы 1 получаем следующее утверждение. Следствие 1. Пусть f ∈ Hp(Dn), 0 < p < ∞, β ∈ N ∪ ((1/p − 1)+,∞) и δ > (1/p− 1)+. Тогда ‖f − P β ε (f)‖p ³ ‖f −Rβ, δ ε (f)‖p, ε ∈ (0, 1). Для доказательства основного результата настоящей статьи нам также понадо- бятся следующие леммы. Лемма 2. Пусть f ∈ Hp(D), 0 < p < ∞, s ∈ N, ε ∈ (0, 1) и ρ = e− ε 2 . Тогда ‖f − P β ε (f)‖p ≤ Cεsp−1 ∫ π −π ‖∆β θ f(·)‖p p dθ |1− ρeiθ|sp , (9) где C – константа, не зависящая от f и ε. Доказательство. Неравенство (9) было получено при доказательстве теоремы 1 в работе [6] (см. также доказательство теоремы 1 в [13]). ¤ Лемма 3. (См. [13]). Пусть f ∈ Hp(Dn), 0 < p < ∞, λ, h ∈ R. Тогда ‖∆β λhf‖p p ≤ M(β, p)(|λ|+ 1)N(β,p)ω̃β(f, |h|)p p, где M(β, p) и N(β, p) – положительные константы, зависящие только от β и p. Лемма 4. (См. [15]). Пусть λ ≥ 0, γ > 0, γ − λ > 1 и 1/2 < R < 1. Тогда ∫ π 0 tλ|1−Reit|−γdt ≤ C(1−R)1+λ−γ , где C – константа, зависящая только от β и γ. 128 О некоторых методах суммирования степенных рядов в пространствах Харди Hp(Dn) 3. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим только случай 0 < p ≤ 1. При p > 1 доказательство теоремы аналогично приведенным ниже рассуждениям. Оценки снизу приближения средними (2) и (3) содержатся в теореме В. Здесь мы покажем, что эти оценки сразу следуют из теоремы A и леммы 1. Пусть f ∈ Hp(D) и |h| < ε. Из теоремы А получаем, что ‖∆β hf‖p ≤ C‖f − P β ε (f)‖p. (10) Если обозначить ϕ0(t) = (1− eit)β и ψ0(t) = (1 − e−t)β , t ∈ R+, то неравенство (10) можно переписать в следующем виде: ‖Λϕ0 h f‖p ≤ C‖Λψ0 ε f‖p. (11) Пусть теперь f ∈ Hp(Dn). Нетрудно заметить, что ∆̃β hf(z) = ∑ k ϕ(hk)ckz k, f(z)− P β ε (f, z) = ∑ k ψ(εk)ckz k, где ϕ(x) = ϕ0(|x|) и ψ(x) = ψ0(|x|), x ∈ Rn +. Таким образом, из (11) и леммы 1 сразу получаем оценки снизу в теореме 1. Перейдем к доказательству оценок сверху. Рассуждая по аналогии с доказатель- ством леммы 1, используя при этом срез-функцию (8), леммы 2 и 3, последовательно находим: ‖f − P β ε (f, ·)‖p p = ∫ Tn ‖fz(·)− P β ε (fz, ·)‖p pdσn(z) ≤ ≤ εsp−1 ∫ Tn ∫ π −π ‖∆β θ fz(·)‖p p dθσn(z) |1− ρeiθ|sp = = Cεsp−1 ∫ π −π ∫ T ‖∆̃β θ f(ζ(·))‖p p dσ1(ζ)dθ |1− ρeiθ|sp = = Cεsp−1 ∫ π −π ‖∆̃β θ f‖p p dθ |1− ρeiθ|sp ≤ ≤ Cεsp−1ω̃β(f, ε)p p ∫ π 0 ( θ ε + 1 )N dθ |1− ρeiθ|sp = = Cεsp−1ω̃β(f, ε)p p N∑ k=0 ( N k ) ε−k ∫ π 0 θk|1− ρeiθ|−spdθ, где ρ = e− ε 2 , N = N(β, p). Выбирая s > (N + 1)/p и применяя лемму 4 к интегралу в последнем равенстве мы получаем, что ‖f − P β ε (f, ·)‖p ≤ Cω̃β(f, ε)p. (12) Таким образом, из (12) и следствия 1 вытекают оценки сверху в соотношениях (5). Теорема 1 доказана. 129 Ю.С. Коломойцев 1. Рудин У. Теория функций в поликруге. – М.: Мир, 1974. – 160 с. 2. Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространствах Харди Hp(Dm) при p ∈ (0, 1] и аппроксиматив- ные свойства методов суммирования степенных рядов // ДАН. – 1994. – 335, № 6. – C. 697-699. 3. Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(Dm) при p ∈ (0, 1] и аппроксима- тивные свойства методов суммирования степенных рядов // Матем. сб. – 1997. – 188, № 4. – C. 145-160. 4. Стороженко Э.А. О теоремах типа Джексона в Hp, 0 < p < 1 // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1980. – 44, № 4. – С. 946-692. 5. Белинский Э.С. Сильная суммируемость периодических функций и теоремы вложения // ДАН. – 1993. – 332, № 2. – С. 133-134. 6. Прибегин С.Г. Об одном методе приближения в Hp, 0 < p < 1 // Матем. сб. – 2001. – 192, № 11. – C. 123-136. 7. Прибегин С.Г. Приближение функций из Hp, 0 < p ≤ 1, обобщенными средними Рисса с дроб- ным показателем // Матем. сб. – 2006. – 197, № 7. – C. 77-86. 8. Валашек Я. О приближениях в многомерных простраснтвах Харди Hp, 0 < p ≤ 1 // Сообщ. АН Гр. ССР. – 1982. – 105, № 1. – С. 21-24. 9. Тригуб Р.М. Абсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и при- ближение полиномами функций на торе // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1980. – 44, № 6. – C. 1378-1409. 10. Кузнецова О.И., Тригуб Р.М. Двусторонние оценки приближения функций средними Рисса и Марцинкевича // ДАН СССР. – 1980. – 251. – C. 34-36. 11. Trigub R.M., Belinsky E.S. Fourier Analysis and Approximation of Functions. – Kluwer-Springer, 2004. – 585 p. 12. Коломойцев Ю.С. О двусторонних оценках приближения функций обобщенными средними Бохнера-Рисса в Hp, 0 < p ≤ 1 // Труды ИПММ НАН Украины. – 2010. – 20. – С. 116–123. 13. Прибегин С.Г. О некоторых методах суммирования степенных рядов для функций из Hp(Dn), 0 < p < ∞ // Матем. сб. – 2009. – 200, № 2. – C. 89-106. 14. Савчук В.В., Савчук М.В. Норми мультиплiкаторiв i найкращi наближення голоморфних функ- цiй багатьох змiнних // Укр. Мат. Журн. – 2002. – 54, № 12. – С. 1669-1679. 15. Стороженко Э.А. Приближение функций класса Hp, 0 < p < 1 // Докл. АН Арм. ССР. – 1978. – 66, № 3. – С. 145–149. Yu.S. Kolomoitsev On some summability methods for power series in Hardy space Hp(Dn). We obtain sharp two-sided estimates of approximation of functions by generalized `1-Bochner-Riesz and Abel-Poisson means in Hardy spaces Hp(Dn). Keywords: Bochner-Riesz means, Abel-Poisson means, modulus of smoothness, Hardy spaces, polydisk. Ю.С. Коломойцев Про деякi методи пiдсумовування степеневих рядiв у просторах Хардi Hp(Dn). Отримано точнi двостороннi оцiнки наближення функцiй узагальненими `1-середнiми Бохнера- Рiсса i Абеля-Пуассона у просторах Хардi Hp(Dn). Ключовi слова: середнi Бохнера-Рiсса, середнi Абеля-Пуассона, модуль гладкостi, простори Хардi, полiкруг. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк Донецкий национальный ун-т kolomus1@mail.ru Получено 14.02.11 130

Ähnliche Einträge