О приближении периодических функций полиномами Стечкина
В статье дан отрицательный ответ на предположение об оценке снизу приближения периодических функций полиномами Стечкина. Тем самым доказано, что эти полиномы существенно отличаются от классических полиномов Джексона. У статті дано негативну відповідь на припущення про оцінку знизу наближення періоди...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123992 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О приближении периодических функций полиномами Стечкина / О.В. Котова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 131-134. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859609627428126720 |
|---|---|
| author | Котова, О.В. |
| author_facet | Котова, О.В. |
| citation_txt | О приближении периодических функций полиномами Стечкина / О.В. Котова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 131-134. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | В статье дан отрицательный ответ на предположение об оценке снизу приближения периодических функций полиномами Стечкина. Тем самым доказано, что эти полиномы существенно отличаются от классических полиномов Джексона.
У статті дано негативну відповідь на припущення про оцінку знизу наближення періодичних функцій поліномами Стечкіна. Тим самим доведено, що ці поліноми істотно відрізняються від класичних поліномів Джексона.
In the paper we give a negative answer to the assumption of an estimate from below of approximation for periodic functions by Stechkin’s polynomials. Thus proved that these polinomials are different significantly from the classical Jackson’s polynomials.
|
| first_indexed | 2025-11-28T09:25:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 22
УДК 517.5
c©2011. О.В. Котова
О ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ПОЛИНОМАМИ СТЕЧКИНА
В статье дан отрицательный ответ на предположение об оценке снизу приближения периодических
функций полиномами Стечкина. Тем самым доказано, что эти полиномы существенно отличают-
ся от классических полиномов Джексона.
Ключевые слова: тригонометрические полиномы Стечкина, формулы Кардано, модуль гладко-
сти периодической функции, пространство C∗.
1. Введение. f ∈ C∗, если она непрерывна на всей прямой и 2π-периодическая,
‖f‖ = max
x∈R
|f(x)|. Ряд Фурье f пишут в виде
f ∼
∞∑
k=−∞
ckek, ck = ck(f) = 1
2π
π∫
−π
f(x)e−ikxdx, ek = ek(x) = eikx.
Гладкость функции измеряют модулями гладкости разных порядков
ωs(f, h) = sup
0<δ≤h
‖
s∑
ν=0
(−1)ν
(
s
ν
)
f(·+ νδ)‖ (s ∈ N).
По теореме Вейерштрасса для любой функции f ∈ C∗ найдется последователь-
ность тригонометрических полиномов
τn(x) =
n∑
ν=−n
ck,neikx, (n = 1, 2, . . .),
сходящихся равномерно к f , а по теореме Джексона
ET
n (f) = inf
τn
‖f − τn‖ ≤ 3ω1(f ; 1
n)
Н.И. Ахиезер доказал, что
ET
n (f) ≤ 10ω2(f ; 1
n),
а С.Б. Стечкин построил полиномы, для которых в подобном неравенстве вместо ω2
стоит ωs, где s – заранее выбранное любое натуральное число не менее двух.
Р.М. Тригуб нашел точный порядок приближения при n → ∞ разными клас-
сическими методами суммирования рядов Фурье. Для полиномов Джексона – это
ω2(f ; 1
n) (По поводу изложенного выше см.[1] п.п. 4.6 и 8.2)
Профессор В.И. Иванов в докладе на конференции, посвященной 90-летию С.Б.
Стечкина (Москва, август 2010), сформулировал вопрос о справедливости подобных
оценок приближения снизу полиномами Стечкина при четных s ≥ 2 (Этот доклад
есть в Интернете, см.[2])
131
О.В. Котова
В настоящей статье дается отрицательный ответ на этот вопрос при s = 2.
При s = 2 полиномы Стечкина имеют вид
τ2,8n(f, x) =
1
2πα4,n
π∫
−π
(2f(x + t)− f(x + 2t))D4
n(t)dt, (1)
где Dn(t) = sin(n+ 1
2
)t
sin t
2
, α4,n = 1
2π
π∫
−π
D4
n(t)dt.
2. Основной результат.
Теорема. Неравенство
ω2(f ; 1
n) ≤ c‖f − τ2,8n(f)‖
с константой c, не зависящей от f и n, не верно.
Доказательство. Доказательство проводим методом от противного.
Предположим, что указанное неравенство верно. Найдем коэффициенты поли-
нома τ2,8n(f). Для этого понадобится следующий частный случай леммы 1 из [3]:
D4
n(t) = e−4int
8n∑
m=0
βmeimt, (2)
lim
n→∞
α4,n
n3 = 16
π
∞∫
0
(
sin t
t
)4
dt,
где βm = 4
[ m
2n+1 ]∑
ν=0
(−1)ν (m−ν(2n+1)+3)!
ν!(4−ν)!(m−ν(2n+1))! , α4,n = β4n = (2n+1)(8n2+8n+3)
3 .
Подставляя разложение (2) в (1), получаем
τ2,8n(f) =
8n∑
k=0
µk,nckek,
где
µk,n = 1
2πα4,n
π∫
−π
(2eikt − e2ikt)D4
n(t)dt.
Так как βm = 0 при |m− 4n| > 4n, общая формула при всех k, имеет вид:
µk,n = 1
2πβ4n
π∫
−π
8n∑
m=0
βm(2eit(m+k−4n) − eit(m+2k−4n))dt =
=
{
2β4n−k
β4n
при |k| ∈ (2n, 4n],
2β4n−k−β4n−2k
β4n
при |k| ≤ 2n
=
132
О приближении периодических функций полиномами Стечкина
=
−9k3+6(2n+1)k2+16n3+24n2+14n−3
(2n+1)(8n2+8n+3)
при |k| ∈ [0, n),
7k3−18(2n+1)k2+8(6n2+6n+1)k+3(2n+1)
(2n+1)(8n2+8n+3)
при |k| ∈ [n, 2n),
(4n−k+1)(4n−k+2)(4n−k+3)
(2n+1)(8n2+8n+3)
при |k| ∈ [2n, 4n].
Представим µk,n = µ|k|,n в виде ψn
( |k|
n
)
.
ψn(x) =
−9x3+6 2n+1
n
x2+16+ 24
n
+ 14
n2− 3
n3
16+ 24
n
+ 14
n2 + 3
n3
при |x| ∈ [0, 1),
7x3−18 2n+1
n
x2+8 6n2+6n+1
n2 x+3 2n+1
n3
16+ 24
n
+ 14
n2 + 3
n3
при |x| ∈ [1, 2),
(4−x+ 1
n
)(4−x+ 2
n
)(4−x+ 3
n
)
16+ 24
n
+ 14
n2 + 3
n3
при |x| ∈ [2, 4].
Найдем x 6= 0, при котором ψn(x) = 1. Для этого решаем кубическое уравнение
по формулам Тартальи-Кардано (см., например, [4], стр. 195-199).
7x3 − 182n+1
n x2 + 86n2+6n+1
n2 x− 82n2+3n+1
n2 = 0.
Рассмотрим уравнение
Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0,
где A = 7, B = −182n+1
n , C = 86n2+6n+1
n2 , D = −82n2+3n+1
n2 .
Дискриминант S этого уравнения равен
4(3AC−B2)3+(2B3−9ABC+27A2D)2
2916A6 = −16(756n6+2268n5+3321n4+2862n3+1557n2+504n+100)
64827n6 < 0,
тогда все корни уравнения имеют вид
2
√
−p
3 cos(ϕ+lπ
3 )− B
3A , l = 0, 1, 2;
где p = 3AC−B2
3A2 , q = 2B3−9ABC+27A2D
27A3 , ϕ = arctan(−2
q
√−S).
Окончательно корень уравнения, лежащий в интервале [1, 2), запишется в виде:
x = xn = −4
√
3
√
24n2+24n+13
21n cos(ϕ+π
3 ) + 6(2n+1)
7n ,
ϕ = arctan(7
√
3
√
756n6+2268n5+3321n4+2862n3+1557n2+504n+100
9(26n3+39n2+37n+12)
),
lim
n→∞xn = x0 = −4
√
2
7 cos(1
3 arctan 7
√
7
13 ) + 4
√
6
7 sin(1
3 arctan 7
√
7
13 ) + 12
7 ≈ 1.387.
Так как xn ∈ [1, 2) не является рациональным, то выберем последовательность
натуральных чисел {kn}n∈N такую, что kn
n < xn < kn+1
n .
Поскольку
sup
|x|∈[0,4],n∈N
|ψn(x)|+ |ψ′n(x)| < ∞,
133
О.В. Котова
(функция ψn(x) ограничена как полином третьей степени с ограниченными коэф-
фициентами),
то по теореме Лагранжа о среднем
lim
n→∞ψn
(
kn
n
)
= 1.
В силу предположения для последовательности функций fn(x) = eiknx = ekn ,
(n ∈ N) получаем
ω2
(
fn; 1
n
) ≤ c‖fn − τ2,8n(fn)‖ = c‖ekn − ψn
(
kn
n
)
ekn‖ = c|1− ψn
(
kn
n
) | → 0 (n →∞),
а левая часть
ω2
(
fn; 1
n
) ≥ max
x
|eiknx − 2eikn(x+ 1
n) + eikn(x+ 2
n)| =
= max
x
|eikn(x+ 1
n)
(
e−i kn
n − 2 + ei kn
n
)
| = 2
(
1− cos kn
n
) → 2(1− cosx0) = 1.63 6= 0.
Противоречие доказывает теорему. ¤
Предположительно, при s > 2 ответ будет тоже отрицательный.
1. R.M. Trigub, E.S. Belinsky Fourier Analysis and Approximation of functions, Kluwer-Springer, Berlin
– 2004. – MR2098384. ISBN:1-4020-2341-342-02 (41-02).
2. Доклад В.И. Иванова О работах С.Б. Стечкина по теории приближения функций. – URL: http://
www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=449.
3. R.M. Trigub Exact order of approximation of periodic functions by linear positive operators // East
journal on approximations – 2009. – volume 15, number 1. – P. 31-56.
4. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Справочная математическая библиотека. Высшая алгебра
(линейная алгебра, многочлены, общая алгебра).– М.: Физматгиз, 1962. – 300 c.
O.V. Kotova
The approximation of periodic functions by Stechkin’s polynomials.
In the paper we give a negative answer to the assumption of an estimate from below of approximation
for periodic functions by Stechkin’s polynomials. Thus proved that these polinomials are different
significantly from the classical Jackson’s polynomials.
Keywords: Stechkin’s trigonometric polinomials, Cardano’s formulas, modulus of smoothness of periodic
functions, space C∗.
О.В. Котова
Про наближення перiодичних функцiй полiномами Стечкiна.
У статтi дано негативну вiдповiдь на припущення про оцiнку знизу наближення перiодичних функ-
цiй полiномами Стечкiна. Тим самим доведено, що цi полiноми iстотно вiдрiзняються вiд класичних
полiномiв Джексона.
Ключовi слова: тригонометричнi полiноми Стечкiна, формули Кардано, модуль гладкостi пе-
рiодичної функцiї, простiр C∗.
Донецкий национальный ун-т
butkot83@mail.ru
Получено 19.03.11
134
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-123992 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T09:25:52Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Котова, О.В. 2017-09-17T17:12:41Z 2017-09-17T17:12:41Z 2011 О приближении периодических функций полиномами Стечкина / О.В. Котова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 22. — С. 131-134. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123992 517.5 В статье дан отрицательный ответ на предположение об оценке снизу приближения периодических функций полиномами Стечкина. Тем самым доказано, что эти полиномы существенно отличаются от классических полиномов Джексона. У статті дано негативну відповідь на припущення про оцінку знизу наближення періодичних функцій поліномами Стечкіна. Тим самим доведено, що ці поліноми істотно відрізняються від класичних поліномів Джексона. In the paper we give a negative answer to the assumption of an estimate from below of approximation for periodic functions by Stechkin’s polynomials. Thus proved that these polinomials are different significantly from the classical Jackson’s polynomials. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О приближении периодических функций полиномами Стечкина Про наближення періодичних функцій поліномами Стечкіна The approximation of periodic functions by Stechkin’s polynomials Article published earlier |
| spellingShingle | О приближении периодических функций полиномами Стечкина Котова, О.В. |
| title | О приближении периодических функций полиномами Стечкина |
| title_alt | Про наближення періодичних функцій поліномами Стечкіна The approximation of periodic functions by Stechkin’s polynomials |
| title_full | О приближении периодических функций полиномами Стечкина |
| title_fullStr | О приближении периодических функций полиномами Стечкина |
| title_full_unstemmed | О приближении периодических функций полиномами Стечкина |
| title_short | О приближении периодических функций полиномами Стечкина |
| title_sort | о приближении периодических функций полиномами стечкина |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/123992 |
| work_keys_str_mv | AT kotovaov opribliženiiperiodičeskihfunkciipolinomamistečkina AT kotovaov pronabližennâperíodičnihfunkcíipolínomamistečkína AT kotovaov theapproximationofperiodicfunctionsbystechkinspolynomials |