Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними
В роботi вивчається лебегiвська структура, тополого-метричнi та фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових величин, представлених рядами Люрота (L-зображеннями) за розподiлами своїх цифр L-зображення i навпаки. Доведено, що випадкова величина з незалежними L-символами має або чисто дискретний, або...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2011
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124051 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними / Ю.І. Жихарєва, М.В. Працьовитий // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 73-85. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124051 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Жихарєва, Ю.І. Працьовитий, М.В. 2017-09-19T15:18:46Z 2017-09-19T15:18:46Z 2011 Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними / Ю.І. Жихарєва, М.В. Працьовитий // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 73-85. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124051 519.21+511.72 В роботi вивчається лебегiвська структура, тополого-метричнi та фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових величин, представлених рядами Люрота (L-зображеннями) за розподiлами своїх цифр L-зображення i навпаки. Доведено, що випадкова величина з незалежними L-символами має або чисто дискретний, або чисто абсолютно неперервний, або чисто сингулярно неперервний розподiл; знайдено критерi належностi кожному з чистих типiв. Доведено, що переважна бiльшiсть цих розподiлiв є сингулярними, тобто зосередженими на множинах нульової мiри Лебега (фракталах). Описано тополого-метричнi властивостi спектрiв розподiлiв випадкових величин, та властивостi х функцiй розподiлу. В работе изучается лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства распределений случайных величин, представленных рядами Люрота (L-представлениями) по делениям своих цифр L-представления и наоборот. Доказано, что случайная величина с независимыми L-символами имеет или чисто дискретное, или чисто абсолютно непрерывное, или чисто сингулярно непрерывное распределение; найдены критерии принадлежности каждому из чистых типов. Доказано, что подавляющее большинство этих распределений является сингулярными, то есть сосредоточенными на множествах нулевой меры Лебега (фракталах). Описаны тополого-метрические свойства спектров распределений случайных величин, и свойства их функций распределения. In the paper we consider the distributions of random variables represented by the L¨uroth series (L-representation). We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of these random variables depending on distributions of their “digits” of the L-representation, and vice versa. We prove that random variable with independent L-symbols has a pure discrete, pure absolutely continuous or pure singularly continuous distribution; the criteria (necessary and sufficient conditions) for random variable to be of each pure type of probability distributions are found. We prove that “overwhelming” majority of these probability distributions are singular, i.e., they are concentrated on sets of zero Lebesgue measure (fractals).We describe topological and metric properties of the spectra of distributions of random variables as well as properties of their probability distribution functions. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними Cвойства распределения случайной величины, L-символы которой в представлении знакоположительным рядом Люрота, независимы Properties of distribution of random variable with independent L-symbols of representation by the positive Luroth series Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними |
| spellingShingle |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними Жихарєва, Ю.І. Працьовитий, М.В. |
| title_short |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними |
| title_full |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними |
| title_fullStr |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними |
| title_full_unstemmed |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними |
| title_sort |
властивості розподілу випадкової величини, l-символи якої в зображенні знакододатним рядом люрота, є незалежними |
| author |
Жихарєва, Ю.І. Працьовитий, М.В. |
| author_facet |
Жихарєва, Ю.І. Працьовитий, М.В. |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Cвойства распределения случайной величины, L-символы которой в представлении знакоположительным рядом Люрота, независимы Properties of distribution of random variable with independent L-symbols of representation by the positive Luroth series |
| description |
В роботi вивчається лебегiвська структура, тополого-метричнi та фрактальнi властивостi розподiлiв випадкових величин, представлених рядами Люрота (L-зображеннями) за розподiлами своїх цифр L-зображення i навпаки. Доведено, що випадкова величина з незалежними L-символами має або чисто дискретний, або чисто абсолютно неперервний, або чисто сингулярно неперервний розподiл; знайдено критерi належностi кожному з чистих типiв. Доведено, що переважна бiльшiсть цих розподiлiв є сингулярними, тобто зосередженими на множинах нульової мiри Лебега (фракталах). Описано тополого-метричнi властивостi спектрiв розподiлiв випадкових величин, та властивостi х функцiй розподiлу.
В работе изучается лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства распределений случайных величин, представленных рядами Люрота (L-представлениями) по делениям своих цифр L-представления и наоборот. Доказано, что случайная величина с независимыми L-символами имеет или чисто дискретное, или чисто абсолютно непрерывное, или чисто сингулярно непрерывное распределение; найдены критерии принадлежности каждому из чистых типов. Доказано, что подавляющее большинство этих распределений является сингулярными, то есть сосредоточенными на множествах нулевой меры Лебега (фракталах). Описаны тополого-метрические свойства спектров распределений случайных величин, и свойства их функций распределения.
In the paper we consider the distributions of random variables represented by the L¨uroth series (L-representation). We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of these random variables depending on distributions of their “digits” of the L-representation, and vice versa. We prove that random variable with independent L-symbols has a pure discrete, pure absolutely continuous or pure singularly continuous distribution; the criteria (necessary and sufficient conditions) for random variable to be of each pure type of probability distributions are found. We prove that “overwhelming” majority of these probability distributions are singular, i.e., they are concentrated on sets of zero Lebesgue measure (fractals).We describe topological and metric properties of the spectra of distributions of random variables as well as properties of their probability distribution functions.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124051 |
| citation_txt |
Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними / Ю.І. Жихарєва, М.В. Працьовитий // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2011. — Т. 23. — С. 73-85. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT žiharêvaûí vlastivostírozpodíluvipadkovoíveličinilsimvoliâkoívzobraženníznakododatnimrâdomlûrotaênezaležnimi AT pracʹovitiimv vlastivostírozpodíluvipadkovoíveličinilsimvoliâkoívzobraženníznakododatnimrâdomlûrotaênezaležnimi AT žiharêvaûí cvoistvaraspredeleniâslučainoiveličinylsimvolykotoroivpredstavleniiznakopoložitelʹnymrâdomlûrotanezavisimy AT pracʹovitiimv cvoistvaraspredeleniâslučainoiveličinylsimvolykotoroivpredstavleniiznakopoložitelʹnymrâdomlûrotanezavisimy AT žiharêvaûí propertiesofdistributionofrandomvariablewithindependentlsymbolsofrepresentationbythepositivelurothseries AT pracʹovitiimv propertiesofdistributionofrandomvariablewithindependentlsymbolsofrepresentationbythepositivelurothseries |
| first_indexed |
2025-11-26T01:39:32Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:39:32Z |
| _version_ |
1850599839715295232 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2011. Том 23
УДК 519.21+511.72
c©2011. Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
ВЛАСТИВОСТI РОЗПОДIЛУ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ,
L-СИМВОЛИ ЯКОЇ В ЗОБРАЖЕННI ЗНАКОДОДАТНИМ
РЯДОМ ЛЮРОТА, Є НЕЗАЛЕЖНИМИ
В роботi вивчається лебегiвська структура, тополого-метричнi та фрактальнi властивостi роз-
подiлiв випадкових величин, представлених рядами Люрота (L-зображеннями) за розподiлами
своїх “цифр” – L-зображення i навпаки. Доведено, що випадкова величина з незалежними L-
символами має або чисто дискретний, або чисто абсолютно неперервний, або чисто сингулярно
неперервний розподiл; знайдено критерiї належностi кожному з чистих типiв. Доведено, що “пе-
реважна” бiльшiсть цих розподiлiв є сингулярними, тобто зосередженими на множинах нульової
мiри Лебега (фракталах). Описано тополого-метричнi властивостi спектрiв розподiлiв випадкових
величин, та властивостi їх функцiй розподiлу.
Ключовi слова: розклади чисел в знакододатнi ряди Люрота, геометрiя L-зображення, абсо-
лютно неперервний розподiл, сингулярний розподiл, лебегiвська структура розподiлу, ортогональ-
нi розподiли.
Вступ. У 1883р. J. Lüroth [13] довiв, що кожне x ∈ (0, 1] є сумою ряду:
x =
1
d1
+
1
d1(d1 − 1)d2
+ ... +
1
d1(d1 − 1)d2(d2 − 1)...dn−1(dn−1 − 1)dn
+ ..., (1)
де (dn) – деяка послiдовнiсть натуральних чисел, бiльших 1. Цим самим була по-
будована ще одна (крiм s-кових розкладiв, зображень чисел рядами Кантора [8]
та рядами Сiльвестера [16] тощо) модель дiйсного числа з використанням нату-
ральних чисел та рядiв. Це дозволило розширити використання рiзних форм “iс-
нування” дiйсного числа для моделювання та дослiдження рiзних математичних
об’єктiв (множин, функцiй, операторiв, мiр, динамiчних систем тощо [6]). Дослiд-
женню та застосуванням розкладiв (1) присвячено небагато дослiджень. Розгляд
рiзних аспектiв цих питань можна знайти у кiлькох джерелах [7, 9, 10, 14, 12, 11],
в яких також розглядався i знакозмiнний аналог розкладiв Люрота. Розклади чи-
сел в ряди Люрота, як ряди Остроградського 1-го та 2-го видiв [1, 3], ряди Енгеля
[4], Q̃∞-зображення [5], вiдносяться ко класу систем зображень чисел з нульовою
надлишковiстю i нескiнченним алфавiтом. Його принциповою вiдмiннiстю є “само-
подiбна геометрiя”. Зазначимо, що енциклопедичною в цьому вiдношеннi є стаття
Серпiнського [15], де вказується кiлька рiзних способiв розкладу чисел у додатнi та
знакозмiннi ряди, члени яких є числами, оберненими до натуральних.
Теорема 1. [2] Для довiльного числа x ∈ (0, 1] iснує єдина послiдовнiсть нату-
ральних чисел (dn), dn = dn(x) така, що
x =
1
d1 + 1
+
∞∑
n=2
1
d1(d1 + 1)d2(d2 + 1)...dn−1(dn−1 + 1)(dn + 1)
. (2)
73
Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
Рiвнiсть (2) скорочено записуватимемо у формi x = ∆L
d1d2...dn... i називатимемо
L-зображенням числа x, при цьому dn – його n-тою L-цифрою, або L-символом.
1. Геометрiя L-зображення дiйсних чисел.
Означення 1. Нехай (c1, c2, ..., cm) – фiксований впорядкований набiр натураль-
них чисел. Цилiндром рангу m з основою c1c2...cm називається множина
∆L
c1c2...cm
:= {x : x = ∆L
c1c2...cmdm+1dm+2..., dm+i ∈ N}.
Цилiндри мають наступнi в л а с т и в о с т i:
1. ∆L
c1c2...cm
=
∞⋃
i1=1
...
∞⋃
ik=1
∆L
c1...cmi1i2...ik
∀k ∈ N .
2. Цилiндр ∆L
c1c2...cm
є пiвiнтервалом з кiнцями
inf ∆L
c1...cm
= 1
c1+1 + 1
c1(c1+1)(c2+1) + ... + 1
c1(c1+1)...cm−1(cm−1+1)(cm+1) = am;
max∆L
c1...cm
= am +
1
bm
, де bm = c1(c1 + 1)...cm(cm + 1).
3. Довжина цилiндра виражається формулою
∣∣∆L
c1...cm
∣∣ =
1
c1(c1 + 1)...cm(cm + 1)
=
m∏
i=1
1
ci(ci + 1)
.
Зауваження. З властивостей 1 i 3 та аксiоми Кантора випливає, що для довiльної
послiдовностi натуральних чисел (cn) перерiз
∞⋂
m=1
∆L
c1c2...cm... = x ≡ ∆L
c1c2...cm...
є точкою пiвiнтервалу (0, 1] i вибiр її позначення є природним.
4. Якщо dj(a) = dj(b) при j < m i dm(a) > dm(b), то a < b.
5. Має мiсце рiвнiсть:
∣∣∆L
c1...cm
∣∣ = i(i + 1)
∣∣∆L
c1...cmi
∣∣ .
6.
∞∑
j=a+1
∣∣∣∆L
c1...cmj
∣∣∣ = a
∣∣∆L
c1...cma
∣∣.
7.
∣∣∆L
c1...cma
∣∣ =
∞∑
j=a(a+1)
∣∣∣∆L
c1...cmj
∣∣∣.
8.
∣∣∣∆L
c1...cm(i+1)
∣∣∣ =
2i
i + 2
∣∣∆L
c1...cmi1
∣∣ .
9. Якщо a < b i dj(a) = dj(b) при j < m, але dm(a) 6= dm(b), то
1) (a, b] ⊂ ∆L
d1(a)...dm−1(a), 2) ∆L
d1(a)...dm−1(a)dm(b)(dm+1(b)+1) ⊂ (a, b].
Теорема 2. Множина C ≡ C[L, V ] = {x : x = ∆L
d1d2...dn... , dn(x) ∈ V ⊂ N} є:
1. пiвiнтервалом (0, 1], коли V = N ;
2. нiде не щiльною незамкненою множиною нульової мiри Лебега, яка з точ-
нiстю до злiченної множини спiвпадає зi своїм замиканням, коли V 6= N .
74
Властивостi розподiлу випадкової величини
3. самоподiбною, якщо V – скiнченна, i N -самоподiбною, якщо V – нескiнченна
множина, причому її самоподiбна (N -самоподiбна) розмiрнiсть αs є числом
αs = sup
n
x :
∑
v:V 3v≤n
(
1
v(v + 1)
)x
= 1
. (3)
Доведення. Твердження 1 є очевидним. 2. Нехай V 6= N . Легко бачити, що
C ⊂
⋃
d1∈V
∆L
d1
, C ⊂
⋃
d1∈V
. . .
⋃
dn∈V
∆L
d1d2...dn
≡ Fn ⊂ Fn−1, n ≥ 2,
C =
∞⋂
k=1
Fk = lim
k→∞
Fk.
Доведемо нiде не щiльнiсть C. Нехай (a, b) – довiльний iнтервал з (0, 1]. Очевид-
но, що цилiндр ∆L
d1(b)...dm(b)dm+1(b)+1 ⊂ (a, b), де dm(b) 6= dm(a). Тодi iнтервал (α, β),
кiнцi якого спiвпадають з кiнцями цилiндра ∆L
d1(b)...dm(b)(dm+1(b)+1)v, де v ∈ N\V , не
мiстить точок множини C. Отже, множина C є нiде не щiльною за означенням.
Доведемо нуль-мiрнiсть C. Справдi, для мiри Лебега λ виконується
λ(C) ≤
∑
d1∈V
. . .
∑
dn∈V
|∆L
d1...dn
| =
∑
d1∈V
. . .
∑
dn∈V
n∏
i=1
1
di(di + 1)
= bn → 0 (n →∞),
де 0 < bn =
∑
v∈V 6=N
1
v(v + 1)
< 1. Отже, λ(C) = 0.
3. Оскiльки C =
⋃
v∈V
[∆L
v ∩ C] i
1) C
kv∼ ∆L
v ∩ C, де kv =
1
v(v + 1)
, 2) (∆L
vi
∩ C) ∩ (∆L
vj
∩ C) = ∅,
то C є самоподiбною, якщо V – скiнченна; N -самоподiбною, якщо V – нескiнченна.
За означенням самоподiбна (N -самоподiбна) розмiрнiсть її визначається. ¤
Розглянемо узагальнення множини C[L, V ], а саме:
C[L, (Vn)] = {x : x = ∆L
d1d2...dn... , dn(x) ∈ Vk ⊂ N, n = 1, 2, . . .}
Очевидно, що множина C[L, (Vn)] є: 1) пiвiнтервалом (0, 1], якщо всi Vn = N, n ∈
N ; 2) об’єднанням цилiндрiв рангу m, якщо Vj = N при j > m; 3) нiде не щiльною
множиною, якщо Vn 6= N нескiнченну кiлькiсть разiв.
2. Розподiл L-символiв рiвномiрно розподiленої величини.
Теорема 3. Якщо випадкова величина (в.в.) τ має рiвномiрний розподiл на [0, 1],
то її L-символи τk (k = 1, 2, ...) є незалежними i однаково розподiленими, причому
P{τk = i} =
1
i(i + 1)
, i = 1, 2, ... .
75
Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
Доведення. Оскiльки τ має рiвномiрний розподiл на [0, 1], то
1. P{τ = a} = 0 для довiльного a ∈ [0, 1] i
2. P{τ ∈ (a, b)} = P{τ ∈ [a, b]} = P ([a, b]) = b − a, зокрема для довiльного
цилiндра ∆L
c1...cm
, згiдно властивостi цилiндрiв, має мiсце рiвнiсть
P (∆L
c1...cm
) = |∆L
c1...cm
| =
m∏
i=1
1
ci(ci + 1)
.
Враховуючи неперервнiсть розподiлу в.в. τ та властивостi цилiндрiв, маємо
P{τ1 = i} = P{τ ∈ ∆i} = P (∆i) = |∆i| = 1
i(i + 1)
;
P{τ2 = i} = P{τ ∈
∞⋃
j=1
∆ji} =
∞∑
j=1
|∆ji| =
∞∑
j=1
1
j(j+1)i(i+1) = 1
i(i+1) ; . . . ;
P{τk+1 = i} = P{τ ∈
∞⋃
j1=1
...
∞⋃
jk=1
∆L
j1...jki} =
∞∑
j1=1
...
∞∑
jk=1
|∆L
j1...jki| = 1
i(i+1) .
Оскiльки остання ймовiрнiсть не залежить вiд k, а лише вiд i, то τk є незалеж-
ними i однаково розподiленими. ¤
3. Лебегiвська структура розподiлу випадкової величини з незалежни-
ми L-символами. Розглядається в.в. ξ = ∆L
τ1τ2...τn..., L-символи τn якої є незалеж-
ними i мають розподiли P{τn = i} = pin ≥ 0; p1n + ... + pin + ... = 1.
Теорема 4. Якщо символи L-зображення в.в. ξ є незалежними, то розподiл
ξ є або чисто дискретним, або чисто неперервним, причому чисто дискретним є
тодi i тiльки тодi, коли
M =
∞∏
k=1
max
i
{pik} > 0.
Множина атомiв дискретно розподiленої в.в. ξ складається з точки x0 такої,
що pdj(x0)j = max
i
{pik}, i всiх точок x, якi мають властивiсть pdj(x)j > 0 для
довiльного j ∈ N i iснує таке m ∈ N , що dj(x) = dj(x0) при j ≥ m.
Доведення. З незалежностi τk i єдиностi L-зображення випливає, що
P{ξ = ∆L
c1c2...cm...} =
∞∏
k=1
pckk, тобто P{ξ = x} =
∞∏
j=1
pdj(x)j .
Спочатку доведемо н е о б х i д н i с т ь: якщо M > 0, то розподiл ξ є чисто
дискретним. Оскiльки P{ξ = x0} = M , то P{ξ = x0} > 0.
Якщо pdk(x′)k > 0 ∀ k ∈ N i L-зображення точки x′ вiдрiзняється вiд зображення
точки x0 не бiльше, нiж першими (m− 1) L-символами, то
P{ξ = x′} =
m−1∏
k=1
pdk(x′)k ·
∞∏
k=m
pdk(x0)k =
m−1∏
k=1
pdk(x′)k ·
M
m∏
k=1
pdk(x0)k
.
76
Властивостi розподiлу випадкової величини
Нехай Am – множина всiх точок x′, L-цифри яких спiвпадають з L-цифрами
точки x0, починаючи з m. Тодi послiдовнiсть множин Am має властивостi:
1. {x0} = A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ Am ⊂ Am+1 ⊂ ...
2. P{ξ ∈ Am} =
∑
d1∈N
. . .
∑
dm−1∈N
(
m−1∏
k=1
pdk(x′)k · M
m∏
k=1
pdk(x0)k
)
=
=
M
m∏
k=1
pdk(x0)k
→ 1(m →∞).
Отже, злiченна множина A = lim
m→∞Am =
∞⋃
m=1
Am є носiєм розподiлу в.в. ξ, тобто
розподiл є дискретним.
Д о с т а т н i с т ь. Якщо ξ має дискретний розподiл, то iснує x′ таке, що
0 < P{ξ = x′} =
∞∏
k=1
pdk(x′)k ≤
∞∏
k=1
max
i
{pik} = M. ¤
Лема 1. Функцiя розподiлу (ф.р.) в.в. ξ подається у виглядi
Fξ(x) = βd1(x)1 +
∞∑
k=2
(
βdk(x)k
k−1∏
j=1
pdj(x)j
)
, де βdk(x)k =
∞∑
j=dk+1
pjk, k ∈ N.
Доведення. Згiдно з означенням ф.р. Fξ(x) = P{ξ < x}.
Подiя {ξ < x} є об’єднанням несумiсних подiй {τ1 > d1(x)},
{τ1 = d1(x) ∧ τ2 > d2(x)}, . . . , {τj = dj(x), j = 1, k − 1 ∧ τk > dk(x)}, . . . .
Тому
P{ξ < x} =
∞∑
k=1
P{τj = dj(x), j = 1, k − 1 ∧ τk > dk(x)}.
Але з незалежностi випадкових подiй τk отримаємо
P{τj = dj(x), j = 1, k − 1 ∧ τk > dk(x)} = βdk(x)k
k−1∏
j=1
pdj(x)j .
А отже, Fξ(x) = P{ξ < x} = βd1(x)1 +
∞∑
k=2
(
βdk(x)k
k−1∏
j=1
pdj(x)j
)
. ¤
Наслiдок. Прирiст δ ф.р. Fξ на цилiндрi ∆L
c1c2...cm
обчислюється за формулою
δ ≡ δ(∆L
c1c2...cm
) =
m∏
i=1
pcii.
Лема 2. Якщо в точцi x0 = ∆L
d1d2...dn... ф.р. Fξ має похiдну, то
F ′
ξ(x0) =
∞∏
i=1
(di(di + 1)pdii) ≡ A(x0).
77
Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
Справдi, оскiльки F ′
ξ(x0) iснує, то
F ′
ξ(x0) = lim
x′<x0<x′′
x′′−x′→0
Fξ(x′′)− Fξ(x′)
x′′ − x′
= lim
n→∞
δ(∆L
d1...dm
)
|∆L
d1...dm
| = lim
m→∞
m∏
i=1
(di(di + 1)pdii) .
Лема 3. Спектр Sξ розподiлу в.в. ξ (тобто його мiнiмальний замкнений носiй) є
замиканням множини
Bξ = {x : x = ∆L
d1d2...dn..., де pdn(x)n > 0 ∀n ∈ N} = C[L, (Vn)].
Доведення. Взагалi кажучи, Bξ не є замкненою, тому для доведення леми досить
показати, що Bξ ⊂ Sξ i кожна внутрiшня точка [0, 1]\Bξ не належить Sξ.
Покажемо, що точка x′, для якої мають мiсце спiввiдношення pdj(x′)j > 0 для
будь-якого j ∈ N , належить спектру Sξ.
Згiдно з означенням, x′ є точкою росту ф.р. Fξ, якщо для будь-якого ε > 0
виконується нерiвнiсть Fξ(x′+ε)−Fξ(x′−ε) > 0. Оскiльки для довiльного ε > 0 легко
вказати цилiндр ∆L
c1c2...cm
, який мiстить x′, (pcii > 0) повнiстю належить iнтервалу
(x′ − ε, x′ + ε), то для приростiв виконуються нерiвностi
Fξ(x′ + ε)− Fξ(x′ − ε) ≡ δ
(
(x′ − ε, x′ + ε)
) ≥ δ(∆L
c1c2...cm
) =
m∏
i=1
pcii > 0.
Якщо точка x′ ∈ [0, 1]\Bξ не є кiнцем жодного з цилiндрiв i iснує pdj(x′)j = 0,
то згiдно з наслiдком леми x′ належить iнтервалу сталостi функцiї ∇c1c2...cm ≡
int∆c1c2...cm . Розглянувши ε > 0 таким, що (x′ − ε, x′ + ε) ⊂ ∇c1c2...cm , матимемо
Fξ(x′ + ε)− Fξ(x′ − ε) ≤ δ(∆L
c1c2...cm
) = 0, тобто x′ /∈ Sξ. ¤
Теорема 5. Спектр Sξ розподiлу в.в. ξ є: 1) вiдрiзком [0, 1], якщо матриця ‖pik‖
нулiв не мiстить; 2) об’єднанням вiдрiзкiв, якщо ‖pik‖ мiстить нулi у скiнченнiй
кiлькостi стовпцiв; 3) нiде не щiльною множиною, мiра Лебега якої обчислюється
за формулою
λ(Sξ) =
∞∏
k=1
Wk, де Wk =
∑
i:pik>0
1
i(i + 1)
, k ∈ N, (4)
якщо матриця ‖pik‖ мiстить нулi у нескiнченнiй кiлькостi стовпцiв.
Доведення. Твердження 1) є очевидним. 2) Нехай pik > 0 для i ∈ N, k ≥ m.
Оскiльки
P{ξ ∈ ∆L
c1...cmim+1...im+n
} =
( ∏
ci:pcii>0
pcii
)
·
m+n∏
j=m+1
pijj > 0
для довiльного набору натуральних чисел (im+1, ..., im+n), n ∈ N, то Fξ є строго
зростаючою на кожному з цилiндрiв ∆L
c1...cm
, для яких pckk > 0, k = 1, m− 1. Тобто
в цьому випадку Sξ є замиканням множини
⋃
ci:pcii>0
∆L
c1...cm
.
78
Властивостi розподiлу випадкової величини
3) Виходячи з означення спектра Sξ i наслiдку з леми 1, для кожного k ∈ N
маємо Sξ
⋂
∆L
d1...dk
= ∅, якщо ∃m ≤ k: pdmm = 0,
Sξ
⋂
∆L
d1...dk
6= ∅, якщо
k∏
j=1
pdjj > 0.
Тому
λ(Sξ) = 1−
∑
d1:pd11=0
|∆L
d1
| −
∑
d1:pd11>0
d2:pd22=0
|∆L
d1d2
| − . . .−
∑
d1,...,dk−1:
k−1∏
j=1
pdjj>0
dk:pdkk=0
|∆L
d1...dk
| =
= 1−M1 −W1M2 −W1W2M3 − . . . = W1 −W1M2 −W1W2M3 − . . . =
= W1W2 −W1W2M3 − . . . =
∞∏
k=1
Wk, де Mk = 1−Wk. ¤
Теорема 6. Неперервна (M = 0) в.в. ξ з незалежними L-символами має або
чисто абсолютно неперервний, або чисто сингулярно неперервний розподiл.
Доведення. Нехай δ = (δ1...δm), де m ∈ N , (δ1, ..., δm) – деякий впорядкований на-
бiр натуральних чисел. Tm
δ -перетворенням точки x = ∆L
d1...dk... називатимемо точку
∆L
δ1...δmd1...dk... ≡ Tm
δ (x). Очевидно, що Tm
δ -перетворення має єдину iнварiантну точку
x0, яка має чисто перiодичне L-зображення з перiодом (δ1...δm) : x0 = ∆L
(δ1...δm).
Tm
δ -перетворенням множини E називається множина Tm
δ -образiв всiх x ∈ E:
Tm
δ (E) =
{
x : ∆L
δ1...δmd1...dk..., де ∆L
d1...dk... ∈ E
}
.
Легко бачити, що Tm
δ ((0; 1]) = ∆L
δ1...δm
i Tm
δ -перетворення є перетворенням подiб-
ностi з коефiцiєнтом k =
m∏
i=1
1
δi(δi + 1)
. Очевидно, що λ [Tm
δ (E)] = kλ(E), а тому,
λ [Tm
δ (E)] i λ(E) рiвнi нулю одночасно.
Через Tm(x) позначимо множину всiх образiв x пiд дiєю Tm
δ -перетворення, де δ
пробiгає множину всеможливих наборiв довжини m натуральних чисел.
Нехай E – борелiвська множина з (0; 1], T 0(x) ≡ x, T – множина всеможливих
перетворень Tm для всiх скiнченних значень m. Оскiльки подiя A = {ξ ∈ T (E)} є
залишковою множиною вiдносно всiх σ-алгебр Bk, породжених першими τ1, ..., τk,
то за законом 0 i 1 Колмогорова P (A) = 0 або P (A) = 1.
Можливi випадки: 1) iснує множина E мiри Лебега нуль така, що P{ξ ∈ E} > 0;
2) такої множини E немає, тобто для кожної E: з λ(E) = 0 випливає P{ξ ∈ E} = 0.
У першому випадку P{ξ ∈ T (E)} = 1 i λ{T (E)} = 0, тобто ξ має чисто син-
гулярно неперервний розподiл; у другому – чисто абсолютно неперервний, згiдно з
означенням. Отже, розподiл в.в. ξ є чистим. ¤
79
Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
Лема 4. Для довiльного набору дiйсних чисел p1, p2, ..., pk, ... таких, що pi ≥ 0,
i ∈ N,
∞∑
i=1
pi = 1, виконується
∞∏
k=1
(k(k + 1)pk)
pk ≥ 1,
причому рiвнiсть має мiсце лише при pi = (i(i + 1))−1 ∀i ∈ N.
Дане твердження є наслiдком леми 3.8.1 [6].
Якщо Ni(x, k) – кiлькiсть символiв i в L-зображеннi x до k-го мiсця включно, то
границя (якщо вона iснує) lim
k→∞
Ni(x, k)k−1 = νi(x) називається частотою символа
i в L-зображеннi x.
Число x, для якого частота νi(x) = (i(i+1))−1 ∀i ∈ N, називається L-нормальним.
Використовуючи посилений закон великих чисел, можна довести, що множина
H всiх L-нормальних чисел вiдрiзка [0; 1] має мiру Лебега рiвну 1.
Теорема 7. Неперервний розподiл (M = 0) в.в. ξ є число абсолютно неперерв-
ним тодi i тiльки тодi, коли виконуються умови:
∞∏
k=1
[ ∑
i:pik>0
1
i(i + 1)
]
> 0, (i)
−
∞∑
k=1
∑
i:pik>0
1
i(i + 1)
ln i(i + 1)pik < ∞, (ii)
∞∑
k=1
∑
i:pik>0
1
i(i + 1)
ln2 i(i + 1)pik < ∞. (iii)
Доведення. Якщо добуток (i) розбiгається до нуля, то ξ має сингулярний роз-
подiл канторiвського типу. Тому вважатимемо, що має мiсце нерiвнiсть (i).
Вiдомо, що ф.р. майже скрiзь має скiнченну похiдну. Множину таких точок зi
спектра Sξ позначимо через H. Вона складається з двох частин H0 i H+, в першу
з яких входять такi x, що F ′
ξ(x) = 0, а в другу – такi x, що 0 < F ′
ξ(x) < ∞. Якщо
λ(H+) = 0, то розподiл ξ є сингулярним, в протилежному випадку, враховуючи
чистоту, ξ матиме абсолютно неперервний розподiл.
Нехай G – множина L-нормальних точок, в яких похiдна F ′
ξ(x) скiнченна, тодi
λ(G) = 1. Якщо x0 – довiльна точка з G, то, згiдно з лемою 2,
F ′
ξ(x0) = A(x0) = eB(x0), де B(x0) =
∞∑
k=1
ln (dk(dk + 1)pdkk) =
∞∑
k=1
τk. (5)
Для кожного конкретного x0 ряд (5) – числовий ряд. Випадковий вибiр x0 ∈ Sξ
веде до випадкового числа A(x0). Тому на (5) можна дивитись як на ряд з незалеж-
них в.в. τk = ln (dk(dk + 1)pdkk), якi набувають значень
g1k = ln (2p1k) , g2k = ln (6p2k) , ..., gsk = ln (s(s + 1)psk) , ... .
80
Властивостi розподiлу випадкової величини
Оскiльки F ′(x0) < ∞ рiвносильно тому, що (5) збiгається, а F ′(x0) = 0 рiвносильно
B(x0) = −∞, причому x0 ∈ H0 чи x0 ∈ H+ не залежить вiд будь-якої скiнченної
кiлькостi перших L-символiв x0, то подiя A = {”ряд (5) збiгається”} (рiвносильна
“хвiст” ряду (5) збiгається") є залишковою i згiдно з законом “0 та 1” P (A) = 0
або P (A) = 1. Тому факту: F (x) майже скрiзь на Sξ має скiнченну похiдну, мож-
на дати iнтерпретацiю в термiнах збiжностi ряду (5). Справдi, якщо розподiл в.в.
τk вибрати таким, щоб pdkk набували значень p1k, p2k, ..., psk, ... з ймовiрностями
1
2
,
1
6
, ...,
1
s(s + 1)
, ..., то матимуть мiсце рiвностi
P{x : 0 < B(x) < ∞} =
λ(H+)
λ(Sξ)
, P{x : B(x) = −∞} =
λ(H0)
λ(Sξ)
.
Таким чином, iнша iнтерпретацiя того факту, що Fξ(x) має на Sξ скiнченну похiдну
майже скрiзь, полягає в тому, що коли x ∈ Sξ вибрано випадково так, що його L-
символи dk(x) набувають значень 1, 2, ..., s, ... з ймовiрностями
1
2
,
1
6
, ...,
1
s(s + 1)
, ...,
то з ймовiрнiстю 1 випадковий ряд (iii) збiгається або розбiгається до −∞ i навпаки.
Тому F ′
ξ(x) = 0 (0 < F ′
ξ(x) < ∞) майже скрiзь на Sξ рiвносильно збiжностi (розбiж-
ностi) з ймовiрнiстю 1 випадкового ряду (5). Знайдемо необхiднi й достатнi умови
збiжностi останнього з ймовiрнiстю 1.
За законом “0 та 1” для залишкових подiй можливi два взаємнодоповнюючi i
виключаючi випадки: 1. P{x : τk(x) → 0, k → ∞} = 0, 2. P{x : τk(x) → 0, k →
∞} = 1. Якщо має мiсце 1, то з ймовiрнiстю 1 ряд (5) розбiгається, F ′
ξ(x) = 0 майже
скрiзь, тобто Fξ(x) – сингулярна, i при цьому порушується одна з умов (i)-(iii).
У випадку 2 очевидно, що множина
G′ = {x : τk(x) → 0, k →∞} =
{
x : pdk(x)k →
1
k(k + 1)
, k →∞
}
має ту ж мiру Лебега, що й Sξ. Оскiльки математичне сподiвання τk дорiвнює
M [τk] =
∑
i:pik>0
1
i(i + 1)
ln i(i + 1)pik, то умова (ii) рiвносильна збiжностi ряду з мате-
матичних сподiвань τk:
∞∑
k=1
M [τk] =
∞∑
k=1
∑
i:pik>0
1
i(i + 1)
ln i(i + 1)pik. (6)
Враховуючи, що дисперсiя D[τk] = M [τ2
k ]−M2[τk] i те, що iз збiжностi (6) випливає
збiжнiсть ряду
∞∑
k=1
M2[τk], приходимо до висновку, що з умови (iii) слiдує збiжнiсть
ряду з дисперсiй в.в. τk, тобто
∞∑
k=1
D[τk]. Тодi за теоремою Колмогорова (про два
ряди) з умов (i)-(iii) випливає збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 випадкового ряду (5), що
дає абсолютну неперервнiсть розподiлу ξ.
Нехай ряд (ii) розбiгається, що рiвносильно розбiжностi ряду (6). Тодi можливi
випадки: 1) iснує ε ∈ (0; 1) таке, що 1 − ε < i(i + 1)pij ∀i ∈ N,∀j ∈ N ; 2) такого ε
81
Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
немає, тобто для кожного ε ∈ (0; 1) iснує множина J = {j1, ..., jk, ...}, jk+1 > jk, для
кожного елемента jk якої iснує ik таке, що ik(ik + 1)pikjk
< 1− ε.
У випадку 1) в.в. {dk(dk +1)pdkk} є вiдокремленими вiд 0. Тодi за теоремою Кол-
могорова (про три ряди), враховуючи лему 4, випадковий ряд (5) з ймовiрнiстю 1
розбiгається, оскiльки не виконується необхiдна умова збiжностi (ряд з математич-
них сподiвань розбiгається). Тому розподiл ξ є сингулярним.
У випадку 2) ф.р. Fξ(x) в.в. ξ може мати вiдмiнну вiд нуля похiдну лише на
множинi чисел, L-зображення яких на нескiнченнiй кiлькостi мiсць не може вико-
ристовувати одного чи кiлькох L-символiв, а така множина згiдно з теоремою 5 має
мiру Лебега нуль, що рiвносильно сингулярностi розподiлу ξ.
Якщо ж розбiгається ряд (iii), то розбiгається ряд (ii) i наведенi мiркування
приводять до попереднього висновку. ¤
Наслiдок. Неперервний розподiл (M = 0) в.в. ξ є число сингулярно неперервним
тодi i тiльки тодi, коли порушується хоча б одна з умов (i)-(iii).
4. Тополого-метричнi властивостi сингулярного розподiлу ξ. Нагадаємо
[6], що сингулярнi розподiли за своїми тополого-метричними властивостями спек-
трiв бувають трьох типiв. Сингулярний розподiл в.в. називається: 1) розподiлом
канторiвського типу (або C-типу), якщо його спектр Sξ є множиною нульової
мiри Лебега. 2) розподiлом салемiвського типу (або S-типу), якщо його спектр
Sξ мiстить вiдрiзки; 3) розподiлом квазiканторiвського типу (або K-типу), якщо
спектр Sξ є нiде не щiльною множиною додатної мiри Лебега.
Теорема 8. Сингулярний розподiл в.в. ξ є сингулярним розподiлом: 1) С-типу
тодi i тiльки тодi, коли добуток (4) розбiгається; 2) S-типу тодi i тiльки то-
дi, коли матриця ||pik|| має скiнченну кiлькiсть стовпцiв, якi мiстять нулi; 3)
K-типу тодi i тiльки тодi, коли (4) збiгається, а матриця ||pik|| мiстить нескiн-
ченну кiлькiсть стовпцiв, якi мiстять нулi.
Доведення. Теорема 8 є наслiдком теореми 5. Справдi, якщо матриця ||pik||
має лише скiнченну кiлькiсть стовпцiв, якi мiстять нулi, то спектр розподiлу ξ
є об’єднанням вiдрiзкiв i сам розподiл належить S-типу. Якщо ж таких стовпцiв
нескiнченна кiлькiсть, то спектр є нiде не щiльною множиною. При цьому нульової
мiри Лебега, якщо добуток (4) розбiгається до нуля, тобто ξ має розподiл С-типу,
i додатної мiри при збiжностi добутку (4), тобто розподiл ξ належить до K-типу.
Оскiльки наведенi умови є несумiсними, то це доводить теорему. ¤
5. Випадковi величини з однаково розподiленими L-символами. Нехай
ξ0 = ∆L
τ1τ2...τk... – в.в., L-символи τk якої є незалежними i однаково розподiленими,
тобто P{τk = i} = pik = pi. Як випливає з попереднього, розподiл в.в. ξ0 є або
виродженим (дискретним розподiлом з одним атомом), коли max
i
pi = 1; або рiв-
номiрним, коли pi =
1
i(i + 1)
для кожного i ∈ N ; або сингулярно неперервним – в
рештi випадкiв. Таким чином, властивiсть сингулярностi розподiлу є домiнуючою у
дослiджуваному класi.
82
Властивостi розподiлу випадкової величини
Теорема 9. Має мiсце рiвнiсть
1∫
0
Fξ0(x)dx =
∞∑
i=1
βi
i(i+1)
1−
∞∑
i=1
pi
i(i+1)
. (7)
Доведення. Використовуючи адитивну властивiсть iнтеграла Лебега, маємо
I ≡
1∫
0
Fξ0(x)dx =
∞∑
i=1
1
i∫
1
i+1
[βi + piFξ0(∆
L
d2d3...dn...)]dx =
=
∞∑
i=1
βi
i(i + 1)
+
( ∞∑
i=1
pi
i(i + 1)
)
·
1∫
0
Fξ0(x)dx.
А тому (
1−
∞∑
i=1
pi
i(i + 1)
)
· I =
∞∑
i=1
βi
i(i + 1)
.
Звiдси отримуємо (7). ¤
Нехай стохастичний вектор
(
p
(i)
k
)
задає розподiл в.в. ξ
(i)
0 , i ∈ {1, 2}.
Теорема 10. Якщо
(
p
(1)
k
)
6=
(
p
(2)
k
)
, то розподiли в.в. ξ
(1)
0 i ξ
(2)
0 ортогональнi.
Доведення. Одним з носiїв розподiлу ξ
(i)
0 є множина
M (i) ≡ M [p(i)
1 , p
(i)
2 , ..., p(i)
n , ...] = {x : νn(x) = p(i)
n , n = 1, 2, ...}, i ∈ {1, 2},
тобто P{ξ(i)
0 ∈ M (i)} = 1. Оскiльки при
(
p
(1)
k
)
6=
(
p
(2)
k
)
i M (1) ∩M (2) = ∅, то
P{ξ(1)
0 ∈ M (1)} = P{ξ(2)
0 ∈ [0; 1]\M (1)} = 1,
тобто розподiли ξ
(1)
0 i ξ
(2)
0 ортогональнi за означенням. ¤
1. Барановський О.М., Працьовитий М.В., Торбiн Г.М. Тополого-метричнi властивостi множин
дiйсних чисел з умовами на їх розклади в ряди Остроградського // Укр. мат. журн. – 2007. –
59, № 9. – С. 1155-1168.
2. Жихарєва Ю.I., Працьовитий М.В. Зображення чисел знакододатними рядами Люрота: ос-
нови тополого-метричної, фрактальної i ймовiрнiсної теорiй // Наук. часоп. НПУ iм. М.П.
Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. – 2008. – № 9. – С. 200-211.
3. Працьовита I.М. Ряди Остроградського 2-го виду i розподiли їх випадкових неповних сум //
Наук. часоп. НПУ iм. М.П. Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. – 2006. – № 7. – С. 174-189.
4. Працьовитий М.В., Гетьман Б.I. Ряди Енгеля та їх застосування // Наук. часоп. НПУ iм.
М.П. Драгоманова. Сер. 1. Фiз.-мат. науки. – 2006. – № 7. – С. 105-116.
83
Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
5. Працьовитий М.В., Лещинський О.Л. Властивостi випадкових величин, заданих розподiлами
елементiв свого Q̃∞-зображення // Теорiя ймовiрн. та мат. стат. – 1997. – № 57. – С. 134-139.
6. Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: Вид-
во НПУ iм. М.П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
7. Barrionuevo J., Burton R., Dajani K., Kraaikamp C. Ergodic properties of generalized Lüroth
series // Acta Arith. – 1996. – № 4 – P. 311-327.
8. Cantor G. Über die einfachen Zahlensysteme // Z. Math. Phys. – 1869. – Bd. 14. – S. 121-128.
9. Dajani K., Kraaikamp C. On approximation by Lüroth series // J. Théor. Nombres Bordeaux. –
1996. – 8, № 2. – P. 331-346.
10. Galambos J. Some remarks on the Lüroth expansion. // Czechoslovak Math. J. – 1972. – 22, № 2.
– P. 266-271.
11. Ganatsiou C. On some properties of the Lüroth-type alternating series representations for real
numbers // Int. J. Math. Math. Sci. – 2001. – 28, № 6. – P. 367-373.
12. Kalpazidou S., Knopfmacher A., Knopfmacher J. Metric properties of alternating Lüroth series //
Portugal. Math. – 1991. – 48, № 3. – P. 319-325.
13. Lüroth J. Uber eine eindeutige Entwickelung von Zahlen in eine unendliche Reihe // Math. Ann.
– 1883. – 21. – P. 411-423.
14. Šalát T. Zur metrischen Theorie der Lürothschen Entwicklungen der reellen Zahlen // Czechoslovak
Math. J. 1968. – 18, № 3. – P. 489-522.
15. Sierpinski W. O kilku algorytmach dla rozwijania liczb rzeczywistych na szeregi // Sprawozdania
z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, WydziaÃl III. – 1911. – 4. – P. 56-77.
16. Sylvester J.J. On a point in the theory of vulgar fractions // Amer. J. Math. – 1880. – 3, № 4. –
P. 332-335. – Postscript, ibid 388-389.
Yu. Zhykharyeva, M. Pratsiovytyi
Properties of distribution of random variable with independent L-symbols of representation
by the positive Lüroth series.
In the paper we consider the distributions of random variables represented by the Lüroth series (L-
representation). We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of these random
variables depending on distributions of their “digits” of the L-representation, and vice versa. We prove
that random variable with independent L-symbols has a pure discrete, pure absolutely continuous or
pure singularly continuous distribution; the criteria (necessary and sufficient conditions) for random
variable to be of each pure type of probability distributions are found. We prove that “overwhelming”
majority of these probability distributions are singular, i.e., they are concentrated on sets of zero Lebesgue
measure (fractals). We describe topological and metric properties of the spectra of distributions of random
variables as well as properties of their probability distribution functions.
Keywords: expansions of numbers by positive Lüroth series, geometry of L-representation, absolutely
continuous probability distribution, singular probability distribution, Lebesgue structure of probability
distribution, ortogonal probability distributions.
Ю.И. Жихарева, М.В. Працевитый
Cвойства распределения случайной величины, L-символы которой в представлении
знакоположительным рядом Люрота, независимы.
В работе изучается лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства распре-
делений случайных величин, представленных рядами Люрота (L-представлениями) по делениям
своих “цифр” – L-представления и наоборот. Доказано, что случайная величина с независимыми
84
Властивостi розподiлу випадкової величини
L-символами имеет или чисто дискретное, или чисто абсолютно непрерывное, или чисто сингу-
лярно непрерывное распределение; найдены критерии принадлежности каждому из чистых типов.
Доказано, что “подавляющее” большинство этих распределений является сингулярными, то есть со-
средоточенными на множествах нулевой меры Лебега (фракталах). Описаны тополого-метрические
свойства спектров распределений случайных величин, и свойства их функций распределения.
Ключевые слова: разложения чисел в знакоположительные ряды Люрота, геометрия L-предста-
вления, абсолютно непрерывное распределение, сингулярное распределение, лебеговская структура
распределения, ортогональные распределения.
Нацiональний педагогiчний ун-т iм. М.П. Драгоманова
july2105@mail.ru
prats4@yandex.ru
Получено 14.12.11
85
|