Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания
В динамической системе, являющейся математической моделью автоколебаний вибрационного горения в приближении одной степени свободы, рассматривается задача самовозбуждения автоколебаний механизмом запаздывания сгорания. С помощью приближенного метода малого параметра, адаптированного для дифференциаль...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124070 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания / Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 3-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124070 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Басок, Б.И. Авраменко, А.А. Гоцуленко, В.В. 2017-09-19T19:47:54Z 2017-09-19T19:47:54Z 2012 Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания / Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 3-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124070 517.928: 533.6.013.2 В динамической системе, являющейся математической моделью автоколебаний вибрационного горения в приближении одной степени свободы, рассматривается задача самовозбуждения автоколебаний механизмом запаздывания сгорания. С помощью приближенного метода малого параметра, адаптированного для дифференциально-разностных уравнений, получены асимптотические соотношения для автоколебательных периодических решений в рассматриваемой динамической системе. У динамiчнiй системi, що є математичною моделлю автоколивань вiбрацiйного горiння в наближеннi одного ступеня волi, розглядається задача самозбудження автоколивань механiзмом запiзнення згорання. За допомогою наближеного методу малого параметра, адаптованого для диференцiально-рiзницевих рiвнянь, одержано асимптотичнi спiввiдношення для автоколивальних перiодичних розв'язкiв розглянутої динамiчної системи. In a dynamic system is a mathematical model vibrational combustion oscillations in the approximation of one degree freedom, the problem of self oscillation mechanism of retardation of combustion. With the help an approximate method small parameter, adjusted for the differential-difference equations, we obtain asymptotic relations for oscillatory periodic solutions in this dynamic system. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания Асимптотичний аналiз автоколивань при напiрному перемiщеннi газу, збуджених запiзненням згорання Asymptotic analysis of oscillations in the pressure moving the gas excited by the combustion delay Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания |
| spellingShingle |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания Басок, Б.И. Авраменко, А.А. Гоцуленко, В.В. |
| title_short |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания |
| title_full |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания |
| title_fullStr |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания |
| title_full_unstemmed |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания |
| title_sort |
асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания |
| author |
Басок, Б.И. Авраменко, А.А. Гоцуленко, В.В. |
| author_facet |
Басок, Б.И. Авраменко, А.А. Гоцуленко, В.В. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Асимптотичний аналiз автоколивань при напiрному перемiщеннi газу, збуджених запiзненням згорання Asymptotic analysis of oscillations in the pressure moving the gas excited by the combustion delay |
| description |
В динамической системе, являющейся математической моделью автоколебаний вибрационного горения в приближении одной степени свободы, рассматривается задача самовозбуждения автоколебаний механизмом запаздывания сгорания. С помощью приближенного метода малого параметра, адаптированного для дифференциально-разностных уравнений, получены асимптотические соотношения для автоколебательных периодических решений в рассматриваемой динамической системе.
У динамiчнiй системi, що є математичною моделлю автоколивань вiбрацiйного горiння в наближеннi одного ступеня волi, розглядається задача самозбудження автоколивань механiзмом запiзнення згорання. За допомогою наближеного методу малого параметра, адаптованого для диференцiально-рiзницевих рiвнянь, одержано асимптотичнi спiввiдношення для автоколивальних перiодичних розв'язкiв розглянутої динамiчної системи.
In a dynamic system is a mathematical model vibrational combustion oscillations in the approximation of one degree freedom, the problem of self oscillation mechanism of retardation of combustion. With the help an approximate method small parameter, adjusted for the differential-difference equations, we obtain asymptotic relations for oscillatory periodic solutions in this dynamic system.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124070 |
| citation_txt |
Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении газа, возбуждаемых запаздыванием сгорания / Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 3-12. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT basokbi asimptotičeskiianalizavtokolebaniiprinapornomperemeŝeniigazavozbuždaemyhzapazdyvaniemsgoraniâ AT avramenkoaa asimptotičeskiianalizavtokolebaniiprinapornomperemeŝeniigazavozbuždaemyhzapazdyvaniemsgoraniâ AT goculenkovv asimptotičeskiianalizavtokolebaniiprinapornomperemeŝeniigazavozbuždaemyhzapazdyvaniemsgoraniâ AT basokbi asimptotičniianalizavtokolivanʹprinapirnomuperemiŝennigazuzbudženihzapiznennâmzgorannâ AT avramenkoaa asimptotičniianalizavtokolivanʹprinapirnomuperemiŝennigazuzbudženihzapiznennâmzgorannâ AT goculenkovv asimptotičniianalizavtokolivanʹprinapirnomuperemiŝennigazuzbudženihzapiznennâmzgorannâ AT basokbi asymptoticanalysisofoscillationsinthepressuremovingthegasexcitedbythecombustiondelay AT avramenkoaa asymptoticanalysisofoscillationsinthepressuremovingthegasexcitedbythecombustiondelay AT goculenkovv asymptoticanalysisofoscillationsinthepressuremovingthegasexcitedbythecombustiondelay |
| first_indexed |
2025-11-26T22:51:46Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:51:46Z |
| _version_ |
1850779066927415296 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 517.928: 533.6.013.2
c©2012. Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ АВТОКОЛЕБАНИЙ ПРИ
НАПОРНОМ ПЕРЕМЕЩЕНИИ ГАЗА, ВОЗБУЖДАЕМЫХ
ЗАПАЗДЫВАНИЕМ СГОРАНИЯ
В динамической системе, являющейся математической моделью автоколебаний вибрационного го-
рения в приближении одной степени свободы, рассматривается задача самовозбуждения автоколе-
баний механизмом запаздывания сгорания. С помощью приближенного метода малого параметра,
адаптированного для дифференциально-разностных уравнений, получены асимптотические соот-
ношения для автоколебательных периодических решений в рассматриваемой динамической систе-
ме.
Ключевые слова: запаздывание сгорания, асимптотический метод, неустойчивость, квазили-
нейная система, вибрационное горение, автоколебания.
1. Введение. Периодические автоколебательные процессы в детерминирован-
ных нелинейных диссипативных системах – одна из фундаментальных проблем со-
временного естествознания. Значительные проблемы возникают перед практиками,
когда они сталкиваются с явлением возбуждения термоакустических автоколебаний
и автоколебаний вибрационного горения, соответственно возникающих при конвек-
тивном теплоподводе или при сжигании топливных смесей в самых разных тепловых
агрегатах – от простейших топочных устройств до камер горения воздухонагрева-
телей доменных печей и камер сгорания мощных современных ракетных двигате-
лей. С большим сомнением этот процесс сегодня можно назвать управляемым [1].
Неустойчивость возникает при сжигании и угольной пыли, и нефти, и бензина, и
пропан – бутановой смеси, и водорода. Так что исходное агрегатное состояние и
состав горючего не имеет принципиального значения. Автоколебания давления не
только создают большую знакопеременную механическую нагрузку на конструкцию
топочного устройства, нередко приводящую к ее механическому разрушению, но и
изменяют условия теплообмена. В камерах сгорания, надежно работающих в стаци-
онарном режиме, при возникновении автоколебаний резко возрастает поток тепла в
стенки, что нередко приводит к их термическому разрушению.
Математическая формализация рассмотренных выше задач приводит к нели-
нейным уравнениям гидродинамического типа [2, 8]. Однако в случае, когда длина
волны периодических распределенных по пространству автоколебаний существенно
больше размеров системы, в которой они возбуждаются, можно перейти от исходной
распределенной математической модели к динамической системе, определяемой си-
стемой обыкновенных дифференциальных уравнений (модель с сосредоточенными
параметрами) [3].
2. Постановка задачи. Математические модели с сосредоточенными парамет-
рами рассмотренных выше задач термогидрогазодинамики в приближении одной
степени свободы, с учетом процессов запаздывания сгорания топлива, сводятся к
3
Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко
следующей динамической системе [9-13]:
dx
dt = α (H (x)− y) ,
dy
dt = β
(
x(t−∆)− ξ
∣∣∣H0−y
H0−η
∣∣∣
a)
,
(1)
где H (x) = η − γΨ(x− ξ); Ψ(x) = x (x− b1) (x− b2); b1 · b2 < 0, H0, η = const; γ,
∆, ξ > 0; 0 ≤ a < 1. Асимптотический анализ автоколебаний в системе (1) при от-
сутствии запаздывания ∆ = 0 рассматривался в [10], а стабилизация неустойчивого
положения равновесия системы (1) параметрическими колебаниями – изучалась в
[11]. В данной работе рассматривается асимптотический анализ периодических ре-
шений системы (1) при ∆ > 0 и одновременном стремлении параметров γ и a к
нулю.
3. Построение асимптотических разложений автоколебаний. Согласно
выше приведенным предположениям, полагаем, что
γ =
∑
k≥0
γkε
k+1, a =
∑
k≥0
akε
k+1; γ0, a0 > 0. (2)
Однородная часть линейной порождающей системы, соответствующей системе
(1), имеет следующий характеристический квазиполином
λ2 + αβ exp (−∆λ) = 0. (3)
Несложно проверить, что квазиполином (3) имеет резонансные корни (т.е. корни
вида λ = ±iω) лишь при выполнении соотношения
∆ = 2πn/
√
αβ (n ≥ 1, n ∈ N) . (4)
Предполагая (4) выполненным, получим, что линейная порождающая система
(т.е. система (1) при ε = 0) имеет двухпараметрическое семейство периодических
решений с периодом T0 = 2π/ω0
x0 (t) = ξ + C0 [ϕ1 exp {i (ω0t + C1)}+ ϕ̄1 exp {−i (ω0t + C1)}] ,
y0 (t) = η + C0 [ϕ2 exp {i (ω0t + C1)}+ ϕ̄2 exp {−i (ω0t + C1)}] ,
(5)
где C0, C1 – произвольные вещественные постоянные; ϕ1 = i
√
α, ϕ2 =
√
β – ком-
поненты собственного вектора однородной части линейной порождающей системы,
соответствующие корню λ = iω0; ω0 =
√
αβ, i =
√−1.
Нам необходимо найти периодические решения основной системы (1), близкие к
периодическим решениям порождающей системы (5), такие, чтобы при ε → 0 они
стремились к (5). Периодические решения системы (1), если они существуют, имеют,
вообще говоря, период T , отличный от T0. Но при достаточно малых значениях
4
Асимптотический анализ автоколебаний вызванных запаздыванием сгорания
ε > 0 это отличие будет иметь порядок O(ε). Поэтому правомерно представить T в
следующем виде:
T = T0
(
1 + h1ε + h2ε
2 + ...
)
.
Чтобы упростить решение задачи, сделаем в системе (1) замену переменных
X =
√
β (x− ξ) , Y =
√
α (y − η) , τ = ω0
(
1 + h1ε + h2ε
2 + ...
)−1
t. (6)
Тогда решение системы (1), близкое к одному из порождающих периодических
решений (5) будет иметь период 2π, не зависящий от ε. Постоянные h1, h2,... подле-
жат определению. После замены (6) система (1) запишется в форме
dX/dτ =
(
1 +
∞∑
k=1
hkε
k
)[
−Y − γ(ε)
√
αΨ
(
X√
β
)]
,
dY /dτ =
(
1 +
∞∑
k=1
hkε
k
)[
X (τ −∆′ (ε)) + ξ
√
β
(
1−
∣∣∣1− Y√
α(H0−η)
∣∣∣
a(ε)
)]
,
(7)
где ∆′ (ε) = ω0∆
(
1 + h1ε + h2ε
2 + ...
)−1.
Периодические решения системы (7) периода 2π ищем в виде асимптотических
рядов
X (τ) =
∞∑
k=0
Xk (τ) εk, Y (τ) =
∞∑
k=0
Yk (τ) εk. (8)
Подставив разложения (8) в уравнения (7), разложив обе части полученных ра-
венств по степеням ε и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях ε, при-
дем к бесконечной рекуррентной системе линейных дифференциально – разностных
уравнений относительно неизвестных 2π – периодических коэффициентов Xk(τ) и
Yk(τ) (k ≥ 0) разложений (8). Однако для этого необходимо выполнить ряд проме-
жуточных выкладок. Рассмотрим формальный степенной ряд z =
∞∑
k=0
zkε
k, тогда
zn =
∞∑
k=0
ψnk (z0, z1, ..., zk) εk, (при n ∈ N) ψn0 (z0) = zn
0 , ψn1 (z0, z1) = nzn−1
0 z1, ...,
z (z − s0) (z − s1) =
∑
k≥0
σk (z0, z1, ..., zk; s0, s1) εk,
σ0 (z0; s0, s1) = z0 (z0 − s0) (z0 − s1) ,
σ1 (z0, z1; s0, s1) = z0 (z0 − s0) z1 + z0z1 (z0 − s1) + z1 (z0 − s0) (z0 − s1) ,
.......................................................................................................
r∏
k=0
(z − k) =
∑
k≥0
vr,k (z0, z1, ..., zk) εk, где vr,0(z0) = z0 (z0 − 1) ... (z0 − r) , ...
5
Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко
Для дальнейших построений систему (7) удобно представить в векторной форме
dZ
dτ
=
(
1 +
∞∑
k=1
hkε
k
)
(
A1Z (τ) + A2Z
(
τ −∆′ (ε)
)
+ εΦ(Z, ε)
)
, (9)
где Z(τ) =
[
X(τ)
Y (τ)
]
, A1 =
[
0 −1
0 0
]
, A2 =
[
0 0
1 0
]
, Φ(Z, ε) =
[
ϕ1 (Z, ε)
ϕ2 (Z, ε)
]
,
ϕ1 (Z, ε) = −√αγ(ε)
ε Ψ
(
X√
β
)
, ϕ2 (Z, ε) = ξ
√
β
ε
(
1−
∣∣∣1− Y√
α(H0−η)
∣∣∣
a(ε)
)
.
С учетом приведенных выше соотношений относительно арифметических опера-
ций над формальными степенными рядами получаем, что
τ −∆′ (ε) = (τ − ω0∆)− ω0∆
∞∑
k=1
ψ−1,k (1, h1, ..., hk) εk, откуда
Z
(
τ −∆′ (ε)
)
=
∞∑
k=0
∞∑
j=0
∞∑
i=0
(−1)k
k!
Z(k)
j (τ − ω0∆)dki (h1, ..., hi+1) εi+j+k,
где dki (h1, ..., hi+1) = ψki (ψ−1,1 (1, h1) , ψ−1,2 (1, h1, h2) , ..., ψ−1,i+1 (1, h1, ..., hi+1)).
Таким образом, окончательно приходим к следующей системе уравнений:
dZm
dτ
= A1Zm (τ) + A2Zm (τ − ω0∆) + Fm (τ) , (m ≥ 0) , (10)
где (при m ≥ 1) Fm(τ) =
m−1∑
i=0
hm−i(A1Zi (τ) + Φi−1 + A2Ei) + A2
∑
i+j+k=m
i≥0,j·k>0
eijk +
Φm−1, F0 = 0, Φ−1 = 0, Er =
∑
i+j+k=r
i,j,k≥0
eijk (при r ≥ 0), eijk = dkj
(−1)k
k! Z(k)
i (τ − ω0∆),
Φ(Z, ε) =
∞∑
k=0
Φkε
k, Φk = Φk (Z0,Z1, ...,Zk), Z (τ) =
∞∑
k=0
Zk (τ) εk.
Далее получим выражения для компонент ϕ1,k (Z) и ϕ2,k (Z) вектора Φk. Имеем,
т.к.
Ψ
(
X√
β
)
= β−3/2
∑
k≥0
σk
(
X0, X1, ..., Xk; b1
√
β, b2
√
β
)
εk,
то ϕ1,k (Z) = −α1/2β−3/2µk, где µk =
k∑
i=0
γk−iσi
(
X0, X1, ..., Xi; b1
√
β, b2
√
β
)
.
Также с помощью разложения
|1− h|a (ε) = 1 +
∑
n≥1
hn (−1)n
n!
n−1∏
k=0
(a(ε)− k) =
∑
n≥1
∑
k≥1
(−1)n+1hn
n!
vn−1,kε
k,
6
Асимптотический анализ автоколебаний вызванных запаздыванием сгорания
где vn−1,k = vn−1,k (0, a0, ..., ak−1), получается представление
ϕ2,k (Z) = ξ
√
β
∑
m+i−1=k
m≥1,i≥0
∑
n≥1
(−1)n+1 vn−1,m (0, a0, ..., am−1) ψni (Y0, Y1, ..., Yi)
n!α
n
2 |H0 − η|n
.
Полученные соотношения показывают, что F0 = 0 и при m ≥ 1
Fm (τ) = Fm
(
{hk}m
k=1 ;
{
Z(k)
j (τ − ω0∆)
}j+k≤m−1
j,k≥0
; {Zk (τ)}m−1
k=0
)
. (11)
Из (11) следует, что если функции {Zk (τ)}m−1
k=0 уже вычислены, то Fm (τ) – из-
вестная 2π – периодическая функция, зависящая от параметров {hk}m
k=1, и система
(10) является линейной неоднородной относительно Zm (τ). Т.к. характеристическое
уравнение системы (10) имеет корень λ = i, а функция Fm (τ) имеет период 2π, то
мы имеем резонансный случай. Поэтому, чтобы система (10) имела 2π – периоди-
ческое решение, необходимо коэффициенты {hk}m
k=1 выбрать специальным образом.
Для этого нам понадобится следующий результат [4].
Теорема 1. Рассмотрим линейную неоднородную систему с постоянным за-
паздыванием ∆ > 0, причем F (τ + 2π) = F (τ)
dZ
dτ
= A1Z (τ) + A2Z (τ −∆) + F (τ) ,
предполагая также, что характеристический квазиполином ее однородной части
имеет резонансный корень λ = iω. Тогда для отсутствия вековых членов (т.е.
слагаемых вида τm exp (iωτ) при m ≥ 1) в решении данной системы необходимо и
достаточно выполнения следующего условия:
2π/ω∫
0
F (τ) · Z∗ (τ) dτ = 0,
где Z∗ (τ) – периодическое решение с периодом T = 2π/ω сопряженной системы
−dZ∗
dτ
= AT
1 Z∗ (τ) + AT
2 Z∗ (τ + ∆) .
Причем собственные значения характеристических квазиполиномов исходной и со-
пряженной системы являются попарно комплексно сопряженными. Таким обра-
зом, множества их резонансных собственных значений совпадают.
Вещественное 2π – периодическое решение однородной части системы (10), как
нетрудно проверить, можно записать в форме
Zm (τ) = C0,m
[
Γ0 exp {i (τ + C1,m)}+ Γ0 exp {−i (τ + C1,m)}] ,
где C0,m, C1,m – вещественные произвольные постоянные, Γ0 =
[
i 1
]T .
7
Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко
Следовательно, обозначив через Rm (τ) произвольное частное 2π – периодиче-
ское решение системы (10), в случае его существования, можно исходя из этого,
получить двухпараметрическое семейство периодических решений
Zm (τ) = C0,m
[
Γ0 exp {i (τ + C1,m)}+ Γ0 exp {−i (τ + C1,m)}] + Rm (τ) . (12)
Обозначим через Z∗m (τ) периодическое решение сопряженной для (10) системы.
Тогда, как нетрудно проверить Z∗m (τ) = −iΓ0 exp (−iτ).
Согласно приведенной теореме 1, необходимое и достаточное условие существо-
вания в системе (10) 2π – периодического решения, имеет вид
2π∫
0
Fm (τ) · Z∗m (τ)dτ = 0 (m ≥ 1). (13)
Покажем с помощью метода математической индукции, что выбором параметров
hk, C0,k и C1,k условие (13) действительно можно удовлетворить. При m = 0 условие
(13) выполняется автоматически. Допустим, что (13) уже удовлетворено при m =
n− 1, тогда при m = n согласно (12) имеем Fn (τ) = Fn (τ) = (τ, hn, C0,n−1, C1,n−1).
Условие (13), записанное в комплексной форме, распадается на два вещественных,
где Fn =
[
f1,n f2,n
]T
2π∫
0
[f2,n (τ, hn, C0,n−1, C1,n−1) cos τ + f1,n (τ, hn, C0,n−1, C1,n−1) sin τ ]dτ = 0,
2π∫
0
[f2,n (τ, hn, C0,n−1, C1,n−1) cos τ − f1,n (τ, hn, C0,n−1, C1,n−1) sin τ ]dτ = 0.
(14)
В системе (14) два уравнения и три неизвестных, поэтому полагая например
C1,n−1 = 0, из (14) можно определить C0,n−1 и hn.
Таким образом, все системы из (10) для определения Zm(τ) (m ≥ 1) представля-
ют собой линейные неоднородные дифференциально – разностные системы с одина-
ковой однородной частью и неоднородностями периода 2π. Так как в нашем случае,
как выше уже отмечалось, имеет место резонанс, то для существования периодиче-
ского решения в (10) необходимо удовлетворить условие (13). После чего частное 2π
– периодическое решение Rm(τ) системы (10) может быть найдено методом неопре-
деленных коэффициентов [4] с предварительным разложением функции Fm(τ) в ряд
Фурье.
4. Анализ автоколебаний в случае бесконечно малого запаздывания. В
рассматриваемом случае в системе (1) при ε → 0 запаздывание ∆ = kε, k > 0. Тогда
воспользовавшись разложением Тейлора
x (t−∆) = x (t)− kε
dx (t)
dt
+ O
(
ε2
)
при ε → 0,
8
Асимптотический анализ автоколебаний вызванных запаздыванием сгорания
выполнив также в системе (1) замену переменных (6) при hk = 0 ∀k ≥ 1, она с
точностью до O
(
ε2
)
запишется в следующем виде:
dX/dτ = −Y − εγ0
√
αΨ
(
X√
β
)
,
dY /dτ = X + ε
[
kω0Y − ξa0
√
β ln
∣∣∣1− Y√
α(H0−η)
∣∣∣
]
.
(15)
При ε = 0 система (15) является консервативной. Известно, что определенными
возмущениями консервативную систему можно превратить в автоколебательную,
причем предельный цикл которой будет близким к одной из замкнутых фазовых
траекторий исходной невозмущенной консервативной системы. В этом отношении
имеет место следующий результат [5].
Теорема 2. Рассматривается система при ε → 0
dx
dt
= −y + εf1 (x, y) ,
dy
dt
= x + εf2 (x, y) .
Положим `A = {(x, y) : x = A cos (t) , y = A sin (t) , 0 ≤ t < 2π} , `A – окружность с
центром в начале координат и радиусом A. Пусть также F (A) =
∮
`A
f1 (x, y)dy −
f2 (x, y) dx. Тогда если функция F (A) имеет простой положительный корень A∗,
то при малых ε > 0 рассматриваемая система имеет предельный цикл Γε ' `A∗ ,
устойчивый при dF
dA
∣∣
A=A∗ < 0 и неустойчивый, если dF
dA
∣∣
A=A∗ > 0.
В нашем случае:
f1 (X,Y ) = −γ0
√
αΨ
(
X√
β
)
, f2 (X, Y ) = kω0Y − ξa0
√
β ln
∣∣∣∣1−
Y√
α (H0 − η)
∣∣∣∣,
и, как нетрудно проверить
F (A) = πA2
[
kω0 − γ0α
1/2β−3/2
(
3
4
A2 + βb1b2
)]
+ (16)
+a0ξ
√
βA
2π∫
0
ln
∣∣∣∣1−
A sin τ√
α (H0 − η)
∣∣∣∣ sin τdτ.
Вычислим интеграл, зависящий от параметра I (r) =
2π∫
0
ln (1 + r sin τ) sin τdτ, вос-
пользовавшись для этого правилом Лейбница дифференцирования под знаком ин-
теграла. Имеем,
I (0) = 0,
dI
dr
=
2π∫
0
sin2 τ
1 + r sin τ
dτ =
2π
r2
[
1√
1− r2
− 1
]
⇒
9
Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко
I (r) =
r∫
0
dI
dr
dr = 2π
r∫
0
1
r2
[
1√
1− r2
− 1
]
dr =
2π
r
[
1−
√
1− r2
]
.
Таким образом, (16) окончательно можно записать в следующем виде:
F (A) = A2
(
q0 − q1A
2
)
+ q2
(
1−
√
1− q3A2
)
, (17)
где
q0 = π
[
kω0 − γ0α
1/2β−1/2b1b2
]
, q1 =
3π
4
γ0α
1/2β−3/2, (18)
q2 = 2πω0a0ξ (H0 − η) , q3 =
1
α (H0 − η)2
.
Отметим, что согласно теореме 2, при анализе условий разрешимости уравнения
F (A) = 0 нужно рассматривать лишь случай положительных корней. Можно пока-
зать, что необходимым и достаточным условием существования у функции (17) при
qi > 0 (∀i = 0; 3) положительного корня A∗ > 0 является выполнение следующего
неравенства q1 − q0q3 ≥ q2
3q2, при этом
0 < A∗ ≤ (
q3 + q−1
0 q2q
2
3
)−1/2
, (19)
причем равенство A∗ = A∗max =
(
q3 + q−1
0 q2q
2
3
)−1/2 достигается при q1 = q0q3 + q2
3q2.
Также непосредственной проверкой устанавливается, что в рассматриваемой задаче
dF
dA
∣∣
A=A∗ < 0. Следовательно, используя теорему 2, приходим к следующему резуль-
тату. Динамическая система (1) при условиях (2) и ∆ = kε, ε → 0 имеет орбитально
асимптотически устойчивое периодическое решение, амплитуда которого определя-
ется соотношениями (18) – (19).
В [10] было доказано существование автоколебательных решений в системе (1)
при отсутствии запаздывания (∆ = 0). В этом случае с физической точки зре-
ния единственным механизмом возбуждения автоколебаний является "отрицатель-
ное" сопротивление [7], накладывающее известные дополнительные условия [9-10]
на вид функции H(x). Однако, согласно (18)-(19), запаздывание ∆ = kε увеличи-
вает амплитуду автоколебаний и является самостоятельным механизмом возбуж-
дения автоколебаний. Даже при отсутствии положительной обратной связи в виде
"отрицательного" сопротивления, запаздывание может приводить к возбуждению
автоколебаний. Проиллюстрируем это на примере уравнения Ван дер Поля:
d2x
dt2
− sign (ε) |ε| (1− x2 (t)
) dx
dt
+ x (t−∆) = 0, ∆ = k |ε| , k ≥ 0. (20)
Хорошо известно, что уравнение (20) при ε < 0, ε → −0 и ∆ = 0 периодическо-
го решения не имеет (отсутствует "отрицательное" сопротивление и запаздывание).
Однако введение даже сколь угодно малого запаздывания (0 < k < 1) приводит к
появлению периодического решения с амплитудой A∗ = 2
√
1− k. Однако, соглас-
но теореме 2, данное решение является неустойчивым. В этом случае в уравнении
10
Асимптотический анализ автоколебаний вызванных запаздыванием сгорания
(20) механизм запаздывания приводит к жесткой потери устойчивости [6] нулевого
положения равновесия.
При ε > 0, ε → +0 и ∆ > 0 в (20) действуют два механизма автоколебаний:
"отрицательное" сопротивление и запаздывание. В этом случае соотношения (17)-
(19) позволяют вычислить амплитуду A∗ = 2
√
k + 1 установившихся периодических
автоколебаний, определяемых уравнением (20).
5. Заключение. В системе обыкновенных дифференциально-разностных урав-
нений, являющейся математической моделью автоколебаний вибрационного горения
в приближении одной степени свободы, рассмотрена задача асимптотического ана-
лиза автоколебаний.
В случае конечного запаздывания установлено, что автоколебания в рассматри-
ваемой системе (1) возбуждаются лишь при условии существования резонансных
корней у характеристического квазиполинома соответствующей порождающей ли-
нейной системы. С помощью метода Линдштедта-Пуанкаре, адаптированного для
дифференциально-разностных уравнений, получены асимптотические разложения
для периодических автоколебательных решений.
При бесконечно малом запаздывании динамическая система (1) приводится к
системе, близкой к консервативной. В этом случае ее предельный цикл аппрокси-
мируется одной из замкнутых фазовых траекторий порождающей консервативной
системы. При этом, даже при отсутствии механизма "отрицательного" сопротивле-
ния, проявляющегося в известных ограничениях [9-10] на вид функции H(x), перио-
дические решения в системе (1) возникают из-за наличия запаздывания ∆ = kε > 0.
1. Гладышев В.Н. Автоколебания при горении и термоядерных взаимодействиях. – Новосибирск:
НИЦ ОИГГМ, Изд-во СО РАН, 1999. – 135 с.
2. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ». – 2010. –
552 с.
3. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. Математические методы классической
механики. – М.: Наука, 1990. – 312 с.
4. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. – М.: Наука, 1969. – 287 с.
5. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука,
2000. – 149 с.
6. Арнольд В.И. Теория катастроф. – М.: Наука, 1990. – 128 с.
7. Харкевич А.А. Автоколебания. – М.: Гостехиздат, 1954. – 172 с.
8. Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Автоколебания в распределенной модели трубы Рийке // Сибир-
ский журнал индустриальной математики. – 2011. – Т. XIV, № 4(48). – С. 3-13.
9. Гоцуленко В.В. Математическое моделирование снижения амплитуд колебаний вибрационного
горения в крупных промышленных агрегатах // Математическое моделирование, РАН. – 2005.
– Т. 17. – № 11. – С. 16-24.
10. Гоцуленко В.В. Асимптотический анализ автоколебаний при напорном перемещении жидкостей
или газов в пневмо или гидросистеме // Труды ИПММ. – 2007. – Т. 14. – C. 56-62.
11. Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Стабилизация неустойчивого положения равновесия при теплопод-
воде параметрическими колебаниями // Труды ИПММ. – 2010. – Т. 21. – C. 19-31.
12. Басок Б.И., Гоцуленко В.В. Теория феномена Рийке в системе с сосредоточенными параметрами
// Акустический вестник. – 2010. – Т. 13, № 3. – C. 3-8.
13. Басок Б.И., Авраменко А.А., Гоцуленко В.В. Динамическое демпфирование автоколебаний в
модели регенеративного воздухонагревателя с сотовыми камерами горения // Доповiдi НАНУ.
– 2011. – № 4. – С. 73-79.
11
Б.И. Басок, А.А. Авраменко, В.В. Гоцуленко
B. I. Basok, A.A. Avramenko, V.V. Gotsulenko
Asymptotic analysis of oscillations in the pressure moving the gas excited by the
combustion delay.
In a dynamic system is a mathematical model vibrational combustion oscillations in the approximation
of one degree freedom, the problem of self oscillation mechanism of retardation of combustion. With
the help an approximate method small parameter, adjusted for the differential-difference equations, we
obtain asymptotic relations for oscillatory periodic solutions in this dynamic system.
Keywords: delay of combustion, the asymptotic method instability, the quasi-linear system vibration
combustion, self-oscillations.
Б. I. Басок, А.О. Авраменко, В.В. Гоцуленко
Асимптотичний аналiз автоколивань при напiрному перемiщеннi газу, збуджених за-
пiзненням згорання.
У динамiчнiй системi, що є математичною моделлю автоколивань вiбрацiйного горiння в наближен-
нi одного ступеня волi, розглядається задача самозбудження автоколивань механiзмом запiзнення
згорання. За допомогою наближеного методу малого параметра, адаптованого для диференцiально-
рiзницевих рiвнянь, одержано асимптотичнi спiввiдношення для автоколивальних перiодичних
розв’язкiв розглянутої динамiчної системи.
Ключовi слова: запiзнення згорання, асимптотичний метод, нестiйкiсть, квазiлiнiйна систе-
ма, вiбрацiйне горiння, автоколивання.
Ин-т технической теплофизики НАН Украины, Киев
gosul@ukr.net
Получено 22.12.11
12
|