Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле
В работе исследуются условия существования нового класса полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Построено одно частное решение рассматриваемой задачи, которое зависит от четырех независимых параметров и выража...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124080 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 116-123. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124080 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1240802025-02-09T16:50:52Z Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле Випадок iнтегровностi рiвнянь руху гiростата в магнiтному полi The case of integrability of gyrostat motion equation in magnetic field Зыза, А.В. В работе исследуются условия существования нового класса полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Построено одно частное решение рассматриваемой задачи, которое зависит от четырех независимых параметров и выражается в виде функций, полученных обращением эллиптических интегралов Лежандра третьего рода. У роботi дослiджуються умов iснування нового класу полiномiальних розв’язкiв диференцiальних рiвнянь задачi про рух гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнета-Лондона. Побудовано один частинний розв’язок цiєї задачi, який залежить вiд чотирьох незалежних параметрiв i виражається у виглядi функцiй, отриманих оберненням елiптичних iнтегралiв Лежандра третього роду. In this paper we investigate the existence conditions for a new class of polynomial solutions of a differential equation related of the problem a gyrostat motion in magnetic field accounting for the Bernett-London effect. One particular solution of this problem depending on four independent parameters is constructed. This solution is represented in a form of functions obtained by the inversion of elliptic Legandre integrals of the third kind. 2012 Article Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 116-123. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124080 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе исследуются условия существования нового класса полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Построено одно частное решение рассматриваемой задачи, которое зависит от четырех независимых параметров и выражается в виде функций, полученных обращением эллиптических интегралов Лежандра третьего рода. |
| format |
Article |
| author |
Зыза, А.В. |
| spellingShingle |
Зыза, А.В. Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Зыза, А.В. |
| author_sort |
Зыза, А.В. |
| title |
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_short |
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_full |
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_fullStr |
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| title_sort |
случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124080 |
| citation_txt |
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. 116-123. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT zyzaav slučajintegriruemostiuravnenijdviženiâgirostatavmagnitnompole AT zyzaav vipadokintegrovnostirivnânʹruhugirostatavmagnitnomupoli AT zyzaav thecaseofintegrabilityofgyrostatmotionequationinmagneticfield |
| first_indexed |
2025-11-28T03:37:05Z |
| last_indexed |
2025-11-28T03:37:05Z |
| _version_ |
1850003723131027456 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 531.38
c©2012. А.В. Зыза
СЛУЧАЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В работе исследуются условия существования нового класса полиномиальных решений дифферен-
циальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-
Лондона. Построено одно частное решение рассматриваемой задачи, которое зависит от четырех
независимых параметров и выражается в виде функций, полученных обращением эллиптических
интегралов Лежандра третьего рода.
Ключевые слова: полиномиальное решение, первые интегралы, гиростат, эффект Барнетта-
Лондона, эллиптические интегралы Лежандра, уравнения класса Кирхгофа.
Введение. Классическая задача о движении гиростата в поле силы тяжести
[1] имеет многочисленные обобщения в динамике твердого тела [2]. Особый инте-
рес представляет задача о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффек-
та Барнетта-Лондона [3-5], поскольку уравнения движения допускают только два
первых интеграла и к ним не применима теория Якоби интегрирования уравнений
динамики [1].
Так как правые части уравнений движения гиростата в магнитном поле с уче-
том эффекта Барнетта-Лондона при определенных условиях аналогичны правым
частям уравнений Кирхгофа, то оказалось возможным построение частных реше-
ний различных классов и уравнений движения гиростата в магнитном поле [6-9] на
основе свойств полиномиальных решений, рассмотренных в [10-12].
В данной статье начато изучение нового класса полиномиальных решений урав-
нений движений гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона.
Отличие этого класса решений от решений [6-9] состоит в различных свойствах вспо-
могательных переменных от времени, что приводит к обращению различных типов
эллиптических интегралов Лежандра.
1. Постановка задачи. Рассмотрим движение гиростата с неподвижной точкой
в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона. Эффект Барнетта-Лондона
состоит в том, что первоначально ненамагниченные и сверхпроводящие твердые те-
ла при движении в магнитном поле намагничиваются вдоль оси вращения. Возни-
кающая при вращении намагниченность линейно зависит от угловой скорости тела.
Магнитный момент тела при взаимодействии с внешним магнитным полем будет
стремиться к направлению вектора напряженности магнитного поля. При этом вза-
имодействие вызванной вращением тела намагниченности с внешним магнитным
полем приводит к прецессии вектора кинетического момента тела вокруг вектора
поля [5].
Уравнения движения гиростата запишем в векторном виде [3, 4], с учетом мо-
116
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле
мента ньютоновских сил
Aω̇ = (Aω + λ)× ω + Bω × ν + ν × (Cν − s),
ν̇ = ν × ω.
(1)
Эти уравнения допускают два первых интеграла
ν · ν = 1, (Aω + λ) · ν = k0. (2)
Изменение полной энергии гиростата определяется соотношением
[(Aω · ω)− 2(s · ν) + (Cν · ν)]• = 2(Bω × ν) · ω, (3)
поэтому уравнения (1) не имеют интеграла энергии.
В уравнениях (1)-(3) обозначения таковы: A – тензор инерции гиростата в непо-
движной точке; ω – угловая скорость гиростата; ν – единичный вектор, характе-
ризующий направление магнитного поля; λ – гиростатический момент; s — вектор,
коллинеарный вектору обобщенного центра масс; B и C – постоянные симметрич-
ные матрицы третьего порядка; k0 – постоянная интеграла площадей; точка над
переменными означает относительную производную.
Поскольку для уравнений (1) в общем случае допустимы только два первых ин-
теграла (2), то для этих дифференциальных уравнений недостаточно построение
дополнительного первого интеграла [1]. Если же для динамического уравнения из
(1) имеет место равенство B = αE (E – единичная матрица, α – некоторый пара-
метр), то из соотношения (3) вытекает интеграл энергии для уравнений (1). Тогда
уравнения (1) по своей структуре будут совпадать с уравнениями задачи о движении
гиростата в поле потенциальных и гироскопических сил и относиться к уравнениям
класса Кирхгофа [13]. То есть в этом случае полученные для уравнений (1) резуль-
таты следует сопоставлять с результатами [2].
Запишем уравнения (1) и первые интегралы (2) в скалярном виде, полагая A =
diag(A1, A2, A3), B = diag(B1, B2, B3), C = diag(C1, C2, C3), ω = (ω1, ω2, ω3), ν =
(ν1, ν2, ν3), s = (s1, s2, 0), λ = (λ1, λ2, 0):
A1ω̇1 = (A2 −A3)ω2ω3 + λ2ω3 + B2ω2ν3 −B3ω3ν2 + s2ν3 + (C3 − C2)ν2ν3,
A2ω̇2 = (A3 −A1)ω1ω3 − λ1ω3 + B3ω3ν1 −B1ω1ν3 − s1ν3 + (C1 − C3)ν1ν3,
A3ω̇3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1 + B1ω1ν2 −B2ω2ν1 + s1ν2 − s2ν1+
+ (C2 − C1)ν1ν2,
(4)
ν̇1 = ω3ν2 − ω2ν3, ν̇2 = ω1ν3 − ω3ν1, ν̇3 = ω2ν1 − ω1ν2; (5)
ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1, (A1ω1 + λ1)ν1 + (A2ω2 + λ2)ν2 + A3ω3ν3 = k0. (6)
Поставим задачу об исследовании условий существования у уравнений (4), (5)
117
А.В. Зыза
решений следующего вида
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) =
n∑
k=0
bkσ
k, ω2
3 = R(σ) =
m∑
i=0
ciσ
i,
ν1 = ϕ(σ) =
l∑
j=0
ajσ
j , ν2 = ψ(σ) =
n1∑
i=0
giσ
i,
ν3 =
κ(σ)
σ
ω3, κ(σ) =
m1∑
j=0
fjσ
j ,
(7)
где n, m, l, n1, m1 – натуральные числа или нули; bk, ci, aj , gi, fj – неизвестные посто-
янные, подлежащие определению.
Подставим выражения (7) в уравнения (4), (5) и интегралы (6)
σ̇ = (ϕ′(σ))−1 · (ψ(σ)−Q(σ)κ(σ)σ−1)
√
R(σ); (8)
ψ′(σ)(ψ(σ)σ −Q(σ)κ(σ)) = ϕ′(σ)σΦ(σ), Φ(σ) = σκ(σ)− ϕ(σ);
(R(σ)(κ(σ)σ−1)2)′σΦ(σ) = 2ψ′(σ)κ(σ)(Q(σ)ϕ(σ)− ψ(σ)σ2);
}
(9)
2A1σ
2Φ(σ) = ψ′(σ)(κ(σ){(C3 − C2)ψ(σ) + B2Q(σ) + s2}+
+{(A2 −A3)Q(σ)−B3ψ(σ) + λ2}σ);
(10)
A2Q
′(σ)σΦ(σ) = ψ′(σ)(κ(σ){(C1 − C3)ϕ(σ)−B1σ
2 − s1}+
+ {(A3 −A1)σ2 + B3ϕ(σ)− λ1}σ);
A3R
′(σ)Φ(σ) = 2ψ′(σ)(ψ(σ){(C2 − C1)ϕ(σ) + B1σ
2 + s1}+
+ Q(σ){(A1 −A2)σ2 −B2ϕ(σ) + λ1} − λ2σ
2 − s2ϕ(σ));
(11)
(ϕ2(σ) + ψ2(σ)− 1)σ2 + R(σ)κ2(σ) = 0; (12)
(A1σ
2 + λ1)ϕ(σ)σ + (A2Q(σ) + λ2)ψ(σ)σ + A3R(σ)κ(σ) = k0σ. (13)
В уравнениях (8)-(11) штрихом обозначена производная по вспомогательной пе-
ременной σ. После интегрирования уравнений (9)-(11) зависимость σ от времени t
находим из уравнения (8).
2. Новое частное решение. Рассмотрим случай, когда максимальные степени
полиномов из (7) таковы: n = 3,m = 6, l = 2, n1 = 3,m1 = 1. Тогда
ω1 = σ2, ω2 = Q(σ) = b3σ
3 + b2σ
2 + b1σ + b0,
ω2
3 = R(σ) = c6σ
6 + c5σ
5 + c4σ
4 + c3σ
3 + c2σ
2 + c1σ + c0,
ν1 = ϕ(σ) = a2σ
2 + a1σ + a0, ν2 = ψ(σ) = g3σ
3 + g2σ
2 + g1σ + g0,
ν3 = κ(σ)σ−1
√
R(σ), κ(σ) = f1σ + f0.
(14)
118
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле
Подставим полиномы из (14) в первое кинематическое уравнение из (9), дина-
мическое уравнение (10), интегралы (12), (13) и потребуем выполнения полученных
равенств при всех σ. В результате получим систему условий на параметры, суще-
ствование решения которой при g2 6= 0, g1 6= 0 дает дополнительные ограничения.
Запишем некоторые из них
A3 = A2, B3 = B2, C3 − C2 = 0,
(B2b0 + s2)f0 = 0, (B2b0 + s2)f1 + B2(b1f0 − g0) + λ2 = 0.
(15)
Тогда в силу (15) динамическое уравнение (10) упрощается
Φ(σ) = ψ′(σ)(2A1)−1µ, µ = B2(b2f0 + b1f1 − g1). (16)
Соотношения (16) позволяют упростить другие уравнения исследуемой систе-
мы. В начале исключим функцию Φ(σ) из уравнений (9), (11). Затем подставим в
полученные уравнения и уравнения (12), (16) полиномы из (14). Требование того,
чтобы полученные равенства при условиях (15) были тождествами по σ, приводит к
следующей системе уравнений на параметры задачи и коэффициенты решения (14):
g3 − b3f1 = 0, g2 − (b3f0 + b2f1) = 0, b0 = 0, s2 = 0,
3g3µ + 2A1(a2 − f1) = 0, g2µ + A1(a1 − f0) = 0, g1µ + 2A1a0 = 0,
g1 − b2f0 − b1f1 − µa2A
−1
1 = 0, g0 − b1f0 − µa1(2A1)−1 = 0
3c6f1µ(2A1)−1 − b3a2 + g3 = 0, c0 = 0, c1 = 0,
(5c5f1 + 4c6f0)µ(2A1)−1 − 2(b3a1 + b2a2 − g2) = 0,
(4c4f1 + 3c5f0)µ(2A1)−1 − 2(b3a0 + b2a1 + b1a2 − g1) = 0,
(3c3f1 + 2c4f0)µ(2A1)−1 − 2(b2a0 + b1a1 − g0) = 0,
(2c2f1 + c3f0)µ(2A1)−1 − 2b1a0 = 0, C1 − C2 = β,
3A2b3µ(2A1)−1 − (βa2 −B1)f1 −B2a2 + (A1 −A2) = 0,
A2b2µA−1
1 − (βa2 −B1)f0 − βa1f1 −B2a1 = 0,
A2b1µ(2A1)−1 − (βa0 − s1)f1 − βa1f0 −B2a0 + λ1 = 0,
βa0 − s1 = 0, 3A2µc6(2A1)−1 − (B1 − βa2)g3 + (B2a2 + A2 −A1)b3 = 0,
5A2µc5(4A1)−1 + (βa2 −B1)g2 + βa1g3 + (B2a2 + A2 −A1)b2 + B2a1b3 = 0,
A2µc4A
−1
1 + (βa2 −B1)g1 + βa1g2 + (B2a2 + A2 −A1)b1+
+B2a1b2 + (B2a0 − λ1)b3 = 0,
3A2µc3(4A1)−1 + (βa2 −B1)g0 + βa1g1 + B2a1b1 + (B2a0 − λ1)b2 + λ2 = 0,
A2µc2(2A1)−1 + βa1g0 + (B2a0 − λ1)b1 = 0,
a2
0 + g2
0 − 1 + c2f
2
0 = 0.
(17)
Система алгебраических уравнений (17) разрешима относительно A1, A2, a1, λ2.
Считая ξ = A1 −A2 6= 0 и γ = 3A1 − 2A2 6= 0, запишем соотношения (15) и решение
119
А.В. Зыза
системы (17) в виде:
C3 = C2, A3 = A2, B3 = B2, B1 = k̃B2,
k̃ = −3A2
1 − 10A1A2 + 6A2
2
A1A2
, β = −2ξB2
2
A2
1
,
f1 = −A1A2
γB2
, f0 =
2ξA2a1
γ2
,
b3 = −ξa1B2
λ2A2
, b2 =
(a1B2)2(5A2
1 − 6A1A2 + 2A2
2)
2γλ2A1A2
,
b1 = −ξ(a1B2)3(A2
1 + 2A1A2 − 2A2
2)
γ2λ2A2
1A2
, b0 = 0,
a2 = −A1
B2
, a0 =
2((γλ2)2A1 − ξ(a1B2)4)
(γa1)2B3
2
,
c6 = −
(
ξa1B2
λ2A2
)2
, c5 =
ξ(a1B2)3(5A2
1 − 6A1A2 + 2A2
2)
γλ2
2A1A2
2
,
c4 =
4γ3(λ2A1)2(A1 − 2A2)− (a1B2)4(3A3
1(11A1 − 20A2) + 4A2
2(4A
2
1 + 6A1A2 − 3A2
2))
(2γλ2A1A2)2
,
c3 = −ξa1B2(2γ3λ2
2A
3
1 − (a1B2)4(A3
1(5A1 + 4A2)− 4A2
2(5A2
1 − 4A1A2 + A2
2)))
γ3λ2
2A
3
1A
2
2
,
c2 =
ξ(a1B2)2(2(γ2λ2A1)2A2 − ξ(a1B2)4(A3
1(A1 + 4A2)− 4A3
2(2A1 −A2)))
(γ2λ2A2
1A2)2
,
c1 = 0, c0 = 0,
g3 =
ξa1A1
γλ2
, g2 = −a2
1B2(9A2
1 − 14A1A2 + 6A2
2)
2γ2λ2
,
g1 = −2((γλ2)2A1 − ξ(a1B2)4)
γ2λ2a1B2
2
,
g0 =
(γ2λ2A1)2 − 2ξ2(a1B2)4(A2
1 + 2A1A2 − 2A2
2)
γ4λ2A2
1B2
,
λ1 =
2(γλ2)2A3
1 − ξ(a1B2)4(A2
1 + 2A1A2 − 2A2
2)
(γA1a1B2)2
,
s1 = −4ξ((γλ2)2A1 − ξ(a1B2)4)
(γA1a1)2B2
, s2 = 0.
(18)
Здесь B2 – отличный от нуля действительный корень уравнения
(a2
1γ)2B6
2 − (a2
1λ2(A1 − 2A2))2B4
2 − (2λ2
2A1γ)2 = 0.
Решение (14) при условиях (18) будет действительным, например, если
λ2 = B2, A1 > A2, c2 > 0. (19)
120
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле
Зависимость σ от времени находим из (8):
σ̇ = a−1
1 σ
√
c6σ4 + c5σ3 + c4σ2 + c3σ + c2. (20)
Приведем численный пример решения (14), (18)-(20) уравнений (4), (5). Пусть
A1 =
3
2
A2, A3 = A2 = a, B1 =
3
2
B2, λ2 = B2,
B3 = B2 = −5a
√
6
4a2
1
, (a > 0, a1 6= 0).
(21)
Тогда из (18), (20) получим:
C3 = C2, C1 − C2 = −25a
6a4
1
,
s =
a
a4
1
(
5
√
6
6
, 0, 0
)
, λ =
a
a2
1
(
23
12
,−5
√
6
4
, 0
)
;
(22)
ω1 = σ2, ω2 = −σ
2
(
a1σ
2 +
17
√
6
12
σ +
13
6a1
)
,
ω2
3 =
σ2
4
R∗(σ), R∗(σ) = −a2
1σ
4 − 17
√
6
6
a1σ
3 − 171
8
σ2 − 41
√
6
36a1
σ +
431
36a2
1
,
ν1 =
√
6
5
a2
1σ
2 + a1σ −
√
6
5
,
ν2 =
1
5
(
−
√
6
5
a3
1σ
3 − 21
10
a2
1σ
2 +
√
6a1σ +
62
15
)
,
ν3 =
a1(
√
6a1σ + 2)
25
√
R∗(σ).
(23)
Так как функция σ = σ(t) находится из уравнения
σ̇ =
σ
2a1
√
R∗(σ), (24)
то действительность решения (21)-(24) вытекает из условия, что подкоренная функ-
ция в (24) при σ = 0 – положительная. При этом σ(t) – функция, полученная в
результате обращения эллиптического интеграла третьего рода.
Приведенный пример (23), (24) характеризуется одним произвольным парамет-
ром a1. Зависимость всех переменных задачи от времени находим подстановкой
σ = σ(t) в равенства (23).
Решение (23), (24) обладает одним примечательным свойством. Если начальное
значение σ0 выбрать в окрестности σ = 0 (например σ0 < 0), то при a1 < 0 в си-
лу (24) σ̇
∣∣
σ0
> 0, то есть переменная σ возрастает и стремится к нулевому значению.
121
А.В. Зыза
Это значение переменная σ достигает за бесконечный промежуток времени, так как
интеграл в левой части соотношения
∫ σ
σ0
du
u
√
R∗(u)
=
1
2a1
t
стремится к бесконечности при σ → 0. Это значит, что в силу формул (23) движение
гиростата асимптотически стремится к состоянию покоя. К аналогичному свойству
приходим и при σ0 > 0.
Заключение. Найдено частное решение полиномиального вида дифференци-
альных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта
Барнетта-Лондона. Полученное решение зависит от четырех свободных параметров
и описывает асимптотическое к покою движение гиростата.
По своей структуре оно отличается от ранее полученных решений [6-9].
1. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1965. – 221 c.
2. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: Изд-во
ДонНУ, 2010. – 364 с.
3. Самсонов В.А. О вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН. Механика твердого
тела. – 1984. – № 4. – С. 32-34.
4. Козлов В.В. К задаче о вращении твердого тела в магнитном поле // Изв. РАН. Механика
твердого тела. – 1985. – № 6. – С. 28-33.
5. Урман Ю.Н. Динамические эффекты, обусловленные вращательным движением сверхпровод-
ника в магнитном подвесе // Докл. АН СССР. – 1984. – Т. 276, №6. – С. 1402-1404.
6. Миронова Е.Н. О решении уравнений движения тела в магнитном поле на основе полиноми-
альных решений // Прикл. механика. – 2001. – Т. 37, вып. 2. – С. 105-113.
7. Зыза А.В. О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата в магнитном поле //
Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 61-70.
8. Зыза А.В. Об одном классе полиномиальных решений уравнений движения гиростата в маг-
нитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона // Вiсник Донецького унiверситету. Сер. А:
Природничi науки. – 2010. – № 1. – С. 52-56.
9. Зыза А.В. Об одном классе полиномиальных решений движения тела в магнитном поле //
Вiсник Донецького унiверситету. Сер. А: Природничi науки. – 2010. – № 2. – С. 19-23.
10. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с непо-
движной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 12-21.
11. Зыза А.В. Об одном классе полиномиальных решений уравнений Кирхгофа // Вiсник Донець-
кого унiверситету. Сер. А: Природничi науки. – 2006. – № 1. – С. 40-46.
12. Зыза А.В. Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа // Механика твердого
тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 103-109.
13. Харламов П.В., Мозалевская Г.В., Лесина М.Е. О различных представлениях уравнений Кирх-
гофа // Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31. – С. 3-17.
122
Случай интегрируемости уравнений движения гиростата в магнитном поле
A.V. Zyza
The case of integrability of gyrostat motion equation in magnetic field.
In this paper we investigate the existence conditions for a new class of polynomial solutions of a differential
equation related of the problem a gyrostat motion in magnetic field accounting for the Bernett-London
effect. One particular solution of this problem depending on four independent parameters is constructed.
This solution is represented in a form of functions obtained by the inversion of elliptic Legandre integrals
of the third kind.
Keywords: polynomial solution, first integrals, gyrostat, Barnett-London effect, Legandre integrals of
the third kind, Kirchoff equations.
О.В. Зиза
Випадок iнтегровностi рiвнянь руху гiростата в магнiтному полi.
У роботi дослiджуються умов iснування нового класу полiномiальних розв’язкiв диференцiальних
рiвнянь задачi про рух гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнета-Лондона. Побу-
довано один частинний розв’язок цiєї задачi, який залежить вiд чотирьох незалежних параметрiв i
виражається у виглядi функцiй, отриманих оберненням елiптичних iнтегралiв Лежандра третього
роду.
Ключовi слова: полiномiальний розв’язок, першi iнтеграли, гiростат, ефект Барнетта-
Лондона, елiптичнi iнтеграли Лежандра, рiвняння клаcу Кiрхгофа.
Донецкий национальный ун-т
3bl3a@mail.ru
Получено 27.03.12
123
|