Об одном обобщении теоремы о среднем
Изучаются искаженные уравнения свертки на гиперболическом диске. Получен аналог теоремы о среднем для собственных функций лапласиана. Вивчаються викривленi рiвняння згортки на гiперболiчному диску. Отримано аналог теореми про середнє для власних функцiй лапласiана. We study the distorted equation of...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124091 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном обобщении теоремы о среднем / Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. Х225-233ХХ . — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124091 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Трипольская, Н.А. Волчков, Вит.В. 2017-09-19T20:39:41Z 2017-09-19T20:39:41Z 2012 Об одном обобщении теоремы о среднем / Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. Х225-233ХХ . — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124091 517.444 Изучаются искаженные уравнения свертки на гиперболическом диске. Получен аналог теоремы о среднем для собственных функций лапласиана. Вивчаються викривленi рiвняння згортки на гiперболiчному диску. Отримано аналог теореми про середнє для власних функцiй лапласiана. We study the distorted equation of the convolution on the hyperbolic disk. Obtain an analogue of the mean value theorem for the eigenfunctions of the Laplacian. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Об одном обобщении теоремы о среднем Про одне узагальнення теореми про середнє A generalization of the mean value theorem Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об одном обобщении теоремы о среднем |
| spellingShingle |
Об одном обобщении теоремы о среднем Трипольская, Н.А. Волчков, Вит.В. |
| title_short |
Об одном обобщении теоремы о среднем |
| title_full |
Об одном обобщении теоремы о среднем |
| title_fullStr |
Об одном обобщении теоремы о среднем |
| title_full_unstemmed |
Об одном обобщении теоремы о среднем |
| title_sort |
об одном обобщении теоремы о среднем |
| author |
Трипольская, Н.А. Волчков, Вит.В. |
| author_facet |
Трипольская, Н.А. Волчков, Вит.В. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Про одне узагальнення теореми про середнє A generalization of the mean value theorem |
| description |
Изучаются искаженные уравнения свертки на гиперболическом диске. Получен аналог теоремы о среднем для собственных функций лапласиана.
Вивчаються викривленi рiвняння згортки на гiперболiчному диску. Отримано аналог теореми про середнє для власних функцiй лапласiана.
We study the distorted equation of the convolution on the hyperbolic disk. Obtain an analogue of the mean value theorem for the eigenfunctions of the Laplacian.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124091 |
| citation_txt |
Об одном обобщении теоремы о среднем / Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 24. — С. Х225-233ХХ . — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT tripolʹskaâna obodnomobobŝeniiteoremyosrednem AT volčkovvitv obodnomobobŝeniiteoremyosrednem AT tripolʹskaâna proodneuzagalʹnennâteoremiproserednê AT volčkovvitv proodneuzagalʹnennâteoremiproserednê AT tripolʹskaâna ageneralizationofthemeanvaluetheorem AT volčkovvitv ageneralizationofthemeanvaluetheorem |
| first_indexed |
2025-11-24T02:27:34Z |
| last_indexed |
2025-11-24T02:27:34Z |
| _version_ |
1850838139106492416 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 24
УДК 517.444
c©2012. Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ
Изучаются искаженные уравнения свертки на гиперболическом диске. Получен аналог теоремы о
среднем для собственных функций лапласиана.
Ключевые слова: гиперболическая плоскость, уравнение свертки, теорема о среднем.
1. Введение. Пусть Rn – вещественное евклидово пространство размерности
n ≥ 2 с евклидовой нормой | · |, 4 – оператор Лапласа в Rn. Известная теорема
о шаровых средних для уравнения Гельмгольца утверждает, что для того, чтобы
функция f ∈ C(Rn) была решением уравнения
4f + λ2f = 0, (1)
необходимо и достаточно, чтобы при всех x ∈ Rn и r > 0 выполнялось равенство
∫
|u|≤r
f(x + u)du = (2π)n/2rnIn/2(λr)f(x), (2)
где Iν(z) = Jν(z)/zν , Jν – функция Бесселя первого рода (см., например, 1, глава
4, § 3,4). В частности, при λ = 0 из (2) следует классическая теорема о среднем
для гармонических функций. Кроме того, если Т – радиальное распределение в
Rn с компактным носителем (т.е. Т инвариантно относительно вращений в Rn, см.
например [2, часть 1] ), равенство (1) влечет соотношение
(f ∗ T )(x) = 2
n
2
−1Γ
(n
2
)
T̃ (λ)f(x), (3)
где Г – гамма-функция, T̃ – сферическое преобразование распределения Т, то есть,
T̃ (λ) =< T, In/2−1(λ|x|) >, λ ∈ C.
[2, часть 1, глава 7, формула (7.9)].
Указанные факты допускают интересные обобщения для однородных
пространств. Ряд результатов в этом направлении получено Т.Уиллмором,
Р.Годеманом, С.Хелгасоном и др. (см. [3], [4], [5, глава 4, § 2], [6, разделы 11.3, 12.4]).
Теоремы о среднем играют важную роль в ряде вопросов анализа, дифферен-
циальных уравнений, интегральной геометрии и других областях. Например, при
изучении ядер различных сверточных операторов возникает необходимость в обоб-
щениях формулы (3) для других типов свертки. В данной работе получен аналог
теоремы о среднем для свертки вида
(f1 × f2)(z) =
∫
G
f1(g(0))f2(g−1z)
(
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
)s
dg, (4)
225
Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков
где G – группа конформных автоморфизмов единичного круга, < z, g0 >= z · g(0),
s ∈ R. При s = 0 равенство (4) дает свертку на гиперболической плоскости H2(R) [5,
введение, § 4.3].Теория уравнений свертки на областях в H2(R) развита в [6, глава
15, 20]. В общем случае свертку (4) можно рассматривать как аналог искаженного
уравнения свертки на C [6, глава 12]. Локальные аспекты соответствующей теории
в настоящее время еще не разработаны.
2. Формулировка основного результата. Пусть D – открытый круг |z| < 1 в
R2 со стандартной структурой многообразия (т.е.D рассматривается как подмного-
образие R2) и с римановой структурой, задаваемой метрическим тензором
gi,j(z) =
δi,j
(1− |z|2)2 ,
(δi,j – символ Кронекера). Это риманово многообразие изометрично вещественной
гиперболической плоскости H2 постоянной секционной кривизны – 4 [5, введение].
Группа G действует на D посредством отображений
g(z) =
az + b
bz + a
, |a|2 − |b|2 = 1. (5)
Отображения (5) вместе с z → z порождают все изометрии D. Риманова мера на D
имеет вид
dµ(z) =
dm(z)
(1− |z|2)2 ,
где dm – мера Лебега в R2. Как обычно, считаем, что мера Хаара dg на G нормиро-
вана соотношением
∫
G
f(g(0))dg =
∫
D
f(z)dµ(z), f ∈ L1(D; µ), (6)
(см. [5, введение, § 4.3]).
Пусть d(·, ·) – функция расстояния на D. Для 0 < R ≤ ∞ положим
BR = {z ∈ D : d(0, z) < R}, BR = {z ∈ D : d(0, z) ≤ R}.
Нам требуются следующие классы функций и распределений в BR: L1,loc – сово-
купность локально интегрируемых функций в BR; RA(BR) – класс вещественно-
аналитических функцмй; E ′(BR) – пространство распределений с компактным но-
сителем; E ′\(BR) – множество радиальных распределений из E ′(BR).
Пусть T ∈ E ′\(BR). Введем четную целую функцию F(T ) с помощью равенства
F(T )(λ) =< T,Hλ >, λ ∈ C, (7)
где
Hλ(z) = (1− |z|2)−sF (s +
1− iλ
2
; s +
1 + iλ
2
; 1;
|z|2
|z|2 − 1
),
226
Об одном обобщении теоремы о среднем
F (α; β; γ; z) – аналитическое продолжение на C \ [1;∞) гипергеометрического ряда
∞∑
k=0
Γ(α + k)Γ(β + k)Γ(γ)
Γ(α)Γ(β)Γ(γ + k)
zk
k!
. |z| < 1.
Кроме того, положим
r(T ) = inf{r > 0 : suppT ⊂ Br}.
Для f ∈ C∞(BR) определим свертку
(f × T )(g−1(0)) =
〈
T, f(g−1z)
(
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
)s〉
, g−1(0) ∈ BR−r(T ), (8)
где ветвь степени выделяется условием 1s = 1.
Указанное определение корректно и, в случае, когда Т-функция, совпадает с (4)
(см. лемму 1 ниже).
Наконец, определим дифференциальный оператор L следующим образом:
L = LH2 + A1 + A2, (9)
где LH2 – оператор Лапласа-Бельтрами на H2,
A1 = −4s2|z|2Id, A2 = −4s(1− |z|2)
(
z
∂
∂z
− z
∂
∂z
)
, (10)
Id – тождественный оператор.
Основным результатом данной работы является следующая теорема.
Теорема 1. Пусть T ∈ E ′\(D), R ∈ (r(T ), +∞] и Lf = −(λ2 + 4s2 + 1)f в BR при
некотором λ ∈ C. Тогда
f × T = F(T )(λ)f, в BR−r(T ). (11)
Отметим, что при s = 0 утверждение теоремы 1 совпадает с теоремой о среднем
для H2 и является известным (см. [5, глава 4, §2]).
3. Вспомогательные утверждения. Прежде всего установим корректность
определения (8). Обозначим через SO(2) группу вращений R2.
Лемма 1. Пусть T ∈ E ′\(BR), f ∈ C∞(BR). Тогда функция
θ(g) =
〈
T, f(g−1z)
(
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
)s〉
, g ∈ G : g−1(0) ∈ BR−r(T ),
постоянна на правых классах смежности группы G по подгруппе SO(2) и является,
таким образом, функцией от g−1(0). Кроме того, если T ∈ (L1,loc ∩ E ′\(BR)), то
(f × T )(z) =
∫
G
f(g(0))T (g−1(z))
(
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
)s
dg, z ∈ BR−r(T ). (12)
227
Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков
Доказательство. Для τ ∈ SO(2) имеем
θ(τg) =
〈
T, f(g−1τ−1z)
(
1− < z, τg(0) >
1− < τg(0), z >
)s〉
=
=
〈
T, f(g−1τ−1z)
(
1− < τ−1z, g(0) >
1− < g(0), τ−1z >
)s〉
.
Отсюда и из радиальности получаем θ(τg) = θ(g), что доказыват первое утвержде-
ние. Далее, пусть T ∈ (L1,loc ∩ E ′\(BR)). Тогда
(f × T )(g−1(0)) =
∫
D
T (z)f(g−1z)
(
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
)s
dµ(z). (13)
Прямое вычисление показывает (см.(5)), что
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
=
1− < g−1(0), g−1z >
1− < g−1z, g−1(0) >
. (14)
Используя (13), (14), инвариантность dµ относительно G и (6), получаем
(f × T )(g−1(0)) =
∫
D
T (z)f(g−1z)
(
1− < g−1(0), g−1z >
1− < g−1z, g−1(0) >
)s
dµ(z) =
=
∫
D
T (gw)f(w)
(
1− < g−1(0), w >
1− < w, g−1(0) >
)s
dµ(w) =
=
∫
G
f(h(0))T (gh(0))
(
1− < g−1(0), h(0) >
1− < h(0), g−1(0) >
)s
dh.
Теперь учитывая, что T (gh(0)) = T (h−1g−1(0)), приходим к (12). ¤
Наша дальнейшая цель – установить инвариантность L относительно "искажен-
ных сдвигов" (см.(12)). Доказательство этого факта удобно разбить на несколько
лемм.
Лемма 2. Имеет место равенство
LH2(f1f2) = f1LH2f2 + f2LH2f1 + 4(1− |z|2)2
(
∂f1
∂z
∂f2
∂z
+
∂f1
∂z
∂f2
∂z
)
.
Доказательство. Оператор LH2 имеет вид
LH2 = (1− |z|2)24, (15)
где 4-лапласиан в R2(см.[5, введение, § 4.3]). Отсюда
LH2(f1f2) = f1LH2f2 + f2LH2f1 + 2(1− |z|2)2
(
∂f1
∂x
∂f2
∂x
+
∂f1
∂y
∂f2
∂y
)
.
228
Об одном обобщении теоремы о среднем
Учитывая, что
∂f
∂x
=
∂f
∂z
+
∂f
∂z
,
∂f
∂y
= i
(
∂f
∂z
− ∂f
∂z
)
,
получаем требуемое. ¤
Всюду ниже считаем, что выполнено условие (5). Положим
g(z) = g−1(z) =
az − b
a− bz
,
us =
(
1− < z, g(0) >
1− < g(0), z >
)s
=
( |a|2 − abz
|a|2 − abz
)s
.
Лемма 3. Имеет место равенство
LH2(us)(z) = −4s2|a|2|b|2
(
1− |z|2
|a|2 − abz
)2
us−1(z). (16)
Доказательство. Имеем
∂us
∂z
= − sab
|a|2 − abz
us−1(z),
∂us
∂z
=
sab
|a|2 − abz
us(z). (17)
Из (17) находим
∂2us
∂z∂z
=
sab
|a|2 − abz
∂us
∂z
= − s2|a|2|b|2
(|a|2 − abz)2
us−1(z).
Отсюда и из (15) следует (16). ¤
Лемма 4. Пусть Φ(z) = f(gz)us(z). Тогда
∂Φ
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
us(z)
(a− bz)2
− sabf(gz)
us−1(z)
|a|2 − abz
, (18)
∂Φ
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
us(z)
(a− bz)2
+ sabf(gz)
us(z)
|a|2 − abz
. (19)
Доказательство. Поскольку g – голоморфное отображение,
∂
∂z
(f ◦ g) =
∂f
∂z
(gz)
∂g
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
1
(a− bz)2
, (20)
∂
∂z
(f ◦ g) =
∂f
∂z
(gz)
∂g
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
1
(a− bz)2
. (21)
Из (20), (21), (17) получаем (18) и (19). ¤
229
Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков
Лемма 5. Пусть a1(z) = −4s2|z|2, a2(z) = −4s(1− |z|2). Тогда
a1(gz) = a1(z) +
4s2|a|2(1− |z|2)2
||a|2 − abz|2 (2z(Re(ab)− |b|2Rez)− |b|2(1− |z|2)), (22)
(a− bz)2a2(gz)g(z) =
4sab(1− |z|2)2
|a|2 − abz
+ a2(z)z, (23)
(a− bz)2a2(gz)g(z) =
4sab(1− |z|2)2
|a|2 − abz
+ a2(z)z. (24)
Доказательство. Соотношения (22)-(24) получается непосредственным вычис-
лением с использованием равенства |a|2 − |b|2 = 1. ¤
Следующее утверждение дает отмеченную выше инвариантность L относительно
"искаженных сдвигов".
Лемма 6. Оператор L обладает обобщенным свойством инвариантности от-
носительно группы G:
L(f(gz)us(z)) = (Lf)(gz)us(z). (25)
Доказательство. По лемме 2
LH2((f ◦ g)us) = (f ◦ g)LH2(us) + usLH2(f ◦ g)+
+4(1− |z|2)2
(
∂us
∂z
∂
∂z
(f ◦ g) +
∂us
∂z
∂
∂z
(f ◦ g)
)
.
Поскольку g является движением H2,
LH2(f ◦ g) = (LH2f) ◦ g.
Тогда из (16)-(19) находим
LH2((f ◦ g)us) = us(LH2f) ◦ g − 4s2|a|2|b|2
(
1− |z|2
|a|2 − abz
)2
us−1(z)f(gz)+
+4(1− |z|2)2
(
sabus(z)
(|a|2 − abz)(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)− sabus−1(z)
(|a|2 − abz)(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)
)
. (26)
Используя (10) и лемму 3, получаем
A1((f ◦ g)us)(z) = a1(z)us(z)f(gz), (27)
A2((f ◦ g)us)(z) = a2(z)
(
zus(z)
(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)− zus(z)
(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)−
230
Об одном обобщении теоремы о среднем
− sz
|a|2 − abz
(abus−1(z) + abus(z))f(gz)
)
. (28)
Соотношения (26)-(28) дают
L((f ◦ g)us) = us(LH2f) ◦ g + c1(z)f(gz) + c2(z)
∂f
∂z
(gz) + c3(z)
∂f
∂z
(gz), (29)
где
c1(z) = a1(z)us(z)−4s2|a|2|b|2
(
1− |z|2
|a|2 − abz
)2
us−1(z)− sza2(z)
|a|2 − abz
(abus−1(z)+abus(z)),
c2(z) =
4sab(1− |z|2)2us(z)
(|a|2 − abz)(a− bz)2
+
za2(z)us(z)
(a− bz)2
,
c3(z) = −4sab(1− |z|2)2us−1(z)
(|a|2 − abz)(a− bz)2
− za2(z)us(z)
(a− bz)2
.
С другой стороны,
(Lf)(gz)us(z) = us(z)(LH2f)(gz) + us(z)a1(gz)f(gz)+
+us(z)a2(gz)g(z)
∂f
∂z
(gz)− us(z)a2(gz)g(z)
∂f
∂z
(gz). (30)
Сравнивая (29) с (30), из леммы 5 видим, что имеет место соотношение (25). ¤
Доказательство теоремы 1. Сначала найдем радиальные собственные функции
оператора L.
Лемма 7. Пусть λ ∈ C и радиальная функция f : D → C является гладким
решением уравнения
Lf = −(λ2 + 4s2 + 1)f. (31)
Тогда
f(z) = f(0)Hλ(z) (31∗)
Доказательство. Полагая f(z) = ϕ(ρ), где ρ = |z|, имеем
∂f
∂z
=
1
2
ϕ′(ρ)
ρ
z,
∂f
∂z
=
1
2
ϕ′(ρ)
ρ
z,
(LH2f)(z) = (1− ρ2)2
(
ϕ′′(ρ) +
ϕ′(ρ)
ρ
)
.
Отсюда
(Lf)(z) = (1− ρ2)2
(
ϕ′′(ρ) +
ϕ′(ρ)
ρ
)
− 4s2ρ2ϕ(ρ).
231
Н.А. Трипольская, Вит.В. Волчков
Следовательно, уравнение (31) можно переписать в виде
(1− ρ2)2
(
ϕ′′(ρ) +
ϕ′(ρ)
ρ
)
− ϕ(ρ)(4s2ρ2 − λ2 − 4s2 − 1) = 0. (32)
Обозначим ν = 1−iλ
2 . Из (32) для функции ψ(ρ) = (1−ρ2)−νϕ(ρ) получаем уравнение
ρ(1− ρ2)ψ′′(ρ) + ψ′(ρ)(1− ρ2(4ν + 1))− 4(ν2 − s2)ρψ(ρ) = 0. (33)
С другой стороны, гипергеометрическая функция h(ρ) = F (α, β; γ, ρ2) удовлетворя-
ет уравнению
ρ(1− ρ2)h′′(ρ) + h′(ρ)(2γ − 1− (2α + 2β + 1)ρ2)− 4αβρh(ρ) = 0, (34)
(см. [7, глава 2, формула 2.1(1)]). Сравнивая (33) с (34) и учитывая гладкость ψ в
нуле, заключаем, что
f(z) = f(0)(1− ρ2)νF (ν + s; ν − s; 1; ρ2). (35)
Равенство (35) и формула
F (α; β; γ; z) = (1− z)−αF (α; γ − β; γ;
z
z − 1
)
(см. [7, глава 2,формула 2.9(3)]) дают (31*). ¤
Перейдем к доказательству теоремы 1. Поскольку L является эллиптическим
оператором (см. (9) и (15)), то f ∈ RA(BR). Зафиксируем g ∈ G такое, что gBr(T ) ⊂
BR. Пусть ε0 = sup{ε > 0 : gBr(T ) ⊂ BR−ε}. Для z ∈ Br(T )+ε0 положим
fg(z) =
∫
SO(2)
f(g−1τz)
(
1− < τz, g(0) >
1− < g(0), τz >
)s
dτ, (36)
где dτ – мера Хаара на SO(2), нормированная соотношением
∫
SO(2)
dτ = 1. (37)
Определение fg показывает, что
fg ∈ RA\(Br(T )+ε0); fg(0) = f(g−1(0)). (38)
Кроме того,
fg(z) =
∫
SO(2)
f(g−1τz)
(
1− < z, τ−1g(0) >
1− < τ−1g(0), z >
)s
dτ. (39)
Из (39) и леммы 6 получаем
(Lfg)(z) = −(λ2 + 4s2 + 1)fg(z).
Тогда (см. (7), (38) и лемму 7) fg(z) = f(g−1(0))Hλ(z) и < T, fg >=
f(g−1(0))F(T )(λ). Теперь из (36), (37), (8) и радиальности Т следует (11). Таким
образом, теорема 1 доказана. ¤
232
Об одном обобщении теоремы о среднем
1. Курант Р. Уравнения с частными производными. – М. Мир, 1964.
2. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – 2003.
3. Willmore T.J. Mean value theorem in harmonic Riemann spaces. – J.London Math. Soc., 1950. –
V. 25. – P. 54-57.
4. Godement R. Une generalization du theoreme de la moyenne pour les fonctions harmoiques. –
C.R.Acad. Sci. Paris. – 1952. – V. 234. – P. 2137-2139
5. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М. Мир, 1987.
6. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Function on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. – 2009.
7. Бейтмен Высшие транцендентные функции. – Том 1. – 1965.
N.A. Tripolskaya, Vit. V. Volchkov
A generalization of the mean value theorem.
We study the distorted equation of the convolution on the hyperbolic disk. Obtain an analogue of the
mean value theorem for the eigenfunctions of the Laplacian.
Keywords: hyperbolic plane, the equation of the convolution, theorem of the mean.
Н.А. Трипольська, Вiт. В. Волчков
Про одне узагальнення теореми про середнє.
Вивчаються викривленi рiвняння згортки на гiперболiчному диску. Отримано аналог теореми про
середнє для власних функцiй лапласiана.
Ключовi слова: гiперболiчна площина, рiвняння згортки, теорема про середнє.
Донецкий национальный ун-т
nadya_tna@e-mail.ua
Получено 22.03.12
233
|