Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности
В данной работе получена оценка искажения отношения |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') при отображениях с неограниченной характеристикой квазиконформности. У данiй роботi отримано оцiнку спотворення вiдношення |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') при вiдображеннях з не обмеженою характеристикою квазiконформностi....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124106 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 11-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124106 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. 2017-09-20T11:03:14Z 2017-09-20T11:03:14Z 2012 Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 11-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124106 517.5 В данной работе получена оценка искажения отношения |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') при отображениях с неограниченной характеристикой квазиконформности. У данiй роботi отримано оцiнку спотворення вiдношення |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') при вiдображеннях з не обмеженою характеристикою квазiконформностi. In this article, one estimate of the distortion of ratio |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') under mappings with unbounded characteristics of quasiconformnality are obtained. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности Оцiнки спотворень для вiдображень з необмеженою характеристикою квазiконформностi Estimates of mappings for distortions with unlimited characteristics of quasiconformness Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| spellingShingle |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| title_short |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| title_full |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| title_fullStr |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| title_full_unstemmed |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| title_sort |
оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности |
| author |
Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| author_facet |
Афанасьева, Е.С. Салимов, Р.Р. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Оцiнки спотворень для вiдображень з необмеженою характеристикою квазiконформностi Estimates of mappings for distortions with unlimited characteristics of quasiconformness |
| description |
В данной работе получена оценка искажения отношения |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') при отображениях с неограниченной характеристикой квазиконформности.
У данiй роботi отримано оцiнку спотворення вiдношення |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') при вiдображеннях з не обмеженою характеристикою квазiконформностi.
In this article, one estimate of the distortion of ratio |f(y)-f(x)|/d(f(x),∂D') under mappings with unbounded characteristics of quasiconformnality are obtained.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124106 |
| citation_txt |
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности / Е.С. Афанасьева, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 11-15. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT afanasʹevaes ocenkiiskaženiidlâotobraženiisneograničennoiharakteristikoikvazikonformnosti AT salimovrr ocenkiiskaženiidlâotobraženiisneograničennoiharakteristikoikvazikonformnosti AT afanasʹevaes ocinkispotvorenʹdlâvidobraženʹzneobmeženoûharakteristikoûkvazikonformnosti AT salimovrr ocinkispotvorenʹdlâvidobraženʹzneobmeženoûharakteristikoûkvazikonformnosti AT afanasʹevaes estimatesofmappingsfordistortionswithunlimitedcharacteristicsofquasiconformness AT salimovrr estimatesofmappingsfordistortionswithunlimitedcharacteristicsofquasiconformness |
| first_indexed |
2025-11-27T02:21:38Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:21:38Z |
| _version_ |
1850793839525101568 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.5
c©2012. Е.С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
ОЦЕНКИ ИСКАЖЕНИЙ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ
С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ
КВАЗИКОНФОРМНОСТИ
В данной работе получена оценка искажения отношения |f(y)−f(x)|
d(f(x),∂D′) при отображениях с неограни-
ченной характеристикой квазиконформности.
Ключевые слова: Модуль семейства кривых, квазиконформные отображения, Q-гомеоморфизмы.
1. Введение. В последнее время активно развивается теория так называемых
Q-гомеоморфизмов. В статье [1], для квазиконформных отображений было получе-
но модульное неравенство, которое впоследствии и легло в основу определения Q-
гомеоморфизмов, введенных О. Мартио. Основной целью теории Q-гомеоморфизмов
является изучение взаимосвязей свойств отображения f и свойств функции Q(x) в
модульном неравенстве. Развитие этой теории начиналось в работах [5]-[6]. Высо-
кий уровень абстракции теории Q-отображений позволяет применять эту теорию ко
всем современным классам отображений, где удается установить оценку модуля с
подходящей функцией Q(x), связанной с теми или иными характеристиками (дила-
тациями) отображений, в том числе, к отображениям с конечным искажением по
Иванцу и отображениям с конечным искажением длины, см., напр., [4] и [7].
Напомним следующие определения, которые можно найти в [2], [7]. Борелева
функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства кривых Γ в Rn,
пишут ρ ∈ admΓ, если ∫
γ
ρ(x) ds ≥ 1
для всех локально спрямляемых кривых γ ∈ Γ. Модуль семейства кривых Γ есть
величина
M(Γ) := inf
ρ∈adm Γ
∫
Rn
ρn(x) dm(x).
Напомним также, что гомеоморфизм f : D → D′ между двумя областями в Rn,
n ≥ 2, называется K-квазиконформным, 1 ≤ K < ∞, если
K−1M(Γ) ≤ M(f(Γ)) ≤ KM(Γ) (1)
для любого семейства кривых Γ в D.
Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, и пусть Q : D → [1,∞] – измеримая по Лебегу
функция. Гомеоморфизм f : D → Rn = Rn
⋃{∞} называется Q-гомеоморфизмом,
если
M(f(Γ)) ≤
∫
D
Q(x) · ρn(x) dm(x) (2)
11
Е.С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
для любого семейства Γ кривых в D и любой допустимой функции ρ для Γ. Здесь m
обозначает меру Лебега в Rn. Это понятие является естественным обобщением гео-
метрического определения квазиконформного отображения по Вяйсяля, см., напр.,
разд. 13.1 и 34.6 в [2].
Одной из целей данной работы является получение аналога следующего резуль-
тата при n ≥ 2 из работы Ю. Вяйсяля для более общих классов, см. теорему 18.1
в [2]. Указанный выше результат впервые был получен в работе Ф. Геринга, см.
теорему 11 в [3] при n = 3.
Теорема Ф. Геринга–Ю. Вяйсяля. Для каждого K ≥ 1 и n ∈ N, n ≥ 2,
существует функция θn
K : (0, 1) → R1 со следующими свойствами:
1) θn
K – возрастающая;
2) lim
r→0
θn
K(r) = 0;
3) lim
r→1
θn
K(r) = ∞;
4) Пусть D и D′ – собственные подобласти в Rn и пусть f : D → D′ – K-
квазиконформный гомеоморфизм. Если x и y – точки в D такие, что 0 < |y− x| <
d(x, ∂D), тогда
|f(y)− f(x)|
d(f(x), ∂D′)
и
|f(y)− f(x)|
d(f(y), ∂D′)
≤ θn
K
( |y − x|
d(x, ∂D)
)
.
2. Предварительные замечания. Начнем с краткого изложения необходимых
определений и теорем, которые можно найти, напр., в [2]. Область A ⊂ Rn – коль-
цо, если Rn \ A состоит в точности из двух компонент. Если компонентами Rn \ A
являются C0 и C1, то A = R(C0, C1). Каждое кольцо A = R(C0, C1) ассоциируется с
семейством кривых ΓA = ∆(B0, B1, A), где B0 = C0 ∩A и B1 = C1 ∩A – компоненты
∂A.
Пусть r > 0, Φn(r) – множество всех колец A = R(C0, C1) в Rn со следующими
свойствами:
1) C0 содержит нуль и точку a такую, что |a| = 1;
2) C1 содержит ∞ и точку b такую, что |b| = r.
Тогда
Hn(r) = inf M(ΓA),
где инфимум берется по всем кольцам A ∈ Φn(r).
Следующий результат также доказан Ю. Вяйсяля, см. теорему 11.7 в [2].
Предложение 1. Функция Hn : (0,∞) → R1 обладает следующими свойствами:
1) Hn – убывающая;
2) lim
r→∞Hn(r) = 0;
3) lim
r→0
Hn(r) = ∞;
4) Hn(r) > 0 для каждого r > 0.
Следующий результат может быть найден в работе [2], см. теорему 11.9.
12
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности
Предложение 2. Предположим, что A = R(C0, C1) – кольцо и что a, b ∈ C0 и
c, ∞ ∈ C1. Тогда
M(ΓA) ≥ Hn
( |c− a|
|b− a|
)
. (3)
3. Основные результаты.
Теорема 1. Пусть D и D′ – собственные подобласти в Rn, f : D → D′ –
Q-гомеоморфизм с условием
qx(t) ≤ M(x), (4)
где qx(t) – среднее значение функции Q(x) по сфере |z − x| = t и M(x) : D → [1,∞].
Если x и y – точки в D такие, что 0 < |y − x| < d(x, ∂D) = d, тогда
|f(y)− f(x)|
d′
≤ Θ
(
x,
|y − x|
d
)
, (5)
|f(y)− f(x)|
d′′
≤ Θ
(
y,
|y − x|
d
)
, (6)
где d′ = d(f(x), ∂D′), d′′ = d(f(y), ∂D′), Θ(x, t) = 1/H−1
n
(
ωn−1 M(x)
(ln 1
t
)n−1
)
, где ωn−1 –
нормированная (n− 1)-мерная хаусдорфова мера сферы Sn−1 в Rn.
Доказательство. Здесь и далее B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x−x0| < r}. Пусть f : D →
D′, a x, y – точки в D такие, что 0 < |y − x| < d. Пусть также A = {z | |y − x| <
|z − x| < d} – сферическое кольцо, тогда A ⊂ D. Полагая f(C0) = f(B(x, |y − x|))
и f(C1) = Cf(B(x, d)), имеем f(A) = R(f(C0), f(C1)). Здесь f(C0) содержит f(x) и
f(y), a f(C1) содержит ∞. По предложению 2, см. теорему 11.9 в [2],
M(f(ΓA)) ≥ Hn
(
d′
|f(y)− f(x)|
)
, (7)
M(f(ΓA)) ≥ Hn
(
d′′
|f(y)− f(x)|
)
, (8)
где Hn(r) = inf M(ΓA) для r > 0.
С другой стороны M(f(ΓA)) ≤ ∫
D
Q(z)ρn(z)dm(z), поскольку f – Q-гомеомор-
физм. Пусть
ρ(z) =
{
1
|z−x| ln d
|y−x|
, если z ∈ A,
0, если z 6∈ A.
Тогда ρ(z) – допустимая функция для ΓA по теореме 5.7 работы [2] и, следовательно,
M(f(ΓA)) ≤
(
ln
d
|y − x|
)−n ∫
A
Q(z)
dm(z)
|z − x|n . (9)
13
Е.С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
Следовательно, по теореме Фубини, см. теорему 2.6.2 в [8, c. 130].
∫
A
Q(z)
dm(z)
|z − x|n = ωn−1
d∫
|y−x|
qx(t)
t
dt.
Используя условия (4), (7) и (9), получаем
Hn
(
d′
|f(y)− f(x)|
)
≤ ωn−1 M(x)(
ln d
|y−x|
)n−1 . (10)
Так как Hn – убывающая функция по (11.7) в [2], то из (10) получаем
|f(y)− f(x)|
d′
≤ 1/H−1
n
ωn−1 M(x)(
ln d
|y−x|
)n−1
.
Таким образом, доказано соотношение (5). Рассуждая аналогичным образом, при-
ходим к (6). ¤
Из теоремы 1 следует следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть D и D′ – собственные подобласти в Rn, f : D → D′ –
Q-гомеоморфизм и для почти всех t ∈ [0, d]
qx(t) ≤ M,
где qx(t) – среднее значение функции Q(x) по сфере |z − x| = t и M – некоторая
положительная постоянная. Если x и y – точки в D такие, что 0 < |y − x| <
d(x, ∂D) = d, то
|f(y)− f(x)|
d′
≤ ΘM
( |y − x|
d
)
,
|f(y)− f(x)|
d′′
≤ ΘM
( |y − x|
d
)
,
где ΘM (t) = 1/H−1
n
(
ωn−1M
(ln 1
t
)n−1
)
.
1. Bishop C.J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int.
J. Math. Math. Sci. – 2003. – Vol. 22. – P. 1397-1420.
2. Väisälä J. Lectures on n−Dimensional Quasiconformal Mappings. Lecture Notes in Math. – 229. –
Berlin: Springer–Verlag, 1971.
3. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. –
Vol. 103. – P. 353-393.
4. Iwaniec T., Martin G. Geometrical Function Theory and Non–Linear Analysis. – Oxford: Clarendon
Press, 2001.
5. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Q-homeomorphisms // Contemporary Math. –
2004. – Vol. 364. – P. 193-203.
14
Оценки искажений для отображений с неограниченной характеристикой квазиконформности
6. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci.
Fenn. Ser. A1. – 2005. – Vol. 30, № 1. – P. 49-69.
7. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. Springer
Monographs in Mathematics. – New York: Springer, 2009.
8. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
O. S. Afanas’eva, R.R. Salimov
Estimates of mappings for distortions with unlimited characteristics of quasiconformness.
In this article, one estimate of the distortion of ratio |f(y)−f(x)|
d(f(x),∂D′) under mappings with unbounded
characteristics of quasiconformnality are obtained.
Keywords: Moduli of curves families, quasiconformal mappings, Q-homeomorphisms.
О.С. Афанасьєва, Р. Р. Салiмов
Оцiнки спотворень для вiдображень з необмеженою характеристикою квазiконформ-
ностi.
У данiй роботi отримано оцiнку спотворення вiдношення |f(y)−f(x)|
d(f(x),∂D′) при вiдображеннях з не обме-
женою характеристикою квазiконформностi.
Ключовi слова: Модуль сiмей кривих, квазiконформнi вiдображення, Q-гомеоморфiзми.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
es.afanasjeva@yandex.ru
ruslan623@yandex.ru
Получено 10.10.12
15
|