Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков
С помощью специального локального диффеоморфизма описано подмногообразие компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков выделенных собственных значений. Также предъявлены формулы некоторых специальных однопараметрических возмущений данной жордановой структуры. За допомогою спецiа...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124108 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков / А.А. Бондарь // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 24-32. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124108 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бондарь, А.А. 2017-09-20T11:06:33Z 2017-09-20T11:06:33Z 2012 Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков / А.А. Бондарь // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 24-32. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124108 517.9 С помощью специального локального диффеоморфизма описано подмногообразие компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков выделенных собственных значений. Также предъявлены формулы некоторых специальных однопараметрических возмущений данной жордановой структуры. За допомогою спецiального локального дифеоморфiзму описано пiдмноговид компактних операторiв з фiксованою структурою жорданових блокiв видiлених власних значень. Також подано формули деяких спецiальних однопараметричних збурень даної жорданової структури. Using special local diffeomorphism a submanifold of compact operators with the fixed structure of Jordan blocks is described. Also, explicit formulas of some special one-parameter perturbations of Jordan structure are given. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков Параметризацiя пiдмноговиду компактних операторiв з фiксованою структурою жорданових блокiв Parametrization of submanifold of compact operators with fixed Jordan blocks structure Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков |
| spellingShingle |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков Бондарь, А.А. |
| title_short |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков |
| title_full |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков |
| title_fullStr |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков |
| title_full_unstemmed |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков |
| title_sort |
параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков |
| author |
Бондарь, А.А. |
| author_facet |
Бондарь, А.А. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Параметризацiя пiдмноговиду компактних операторiв з фiксованою структурою жорданових блокiв Parametrization of submanifold of compact operators with fixed Jordan blocks structure |
| description |
С помощью специального локального диффеоморфизма описано подмногообразие компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков выделенных собственных значений. Также предъявлены формулы некоторых специальных однопараметрических возмущений данной жордановой структуры.
За допомогою спецiального локального дифеоморфiзму описано пiдмноговид компактних операторiв з фiксованою структурою жорданових блокiв видiлених власних значень. Також подано формули деяких спецiальних однопараметричних збурень даної жорданової структури.
Using special local diffeomorphism a submanifold of compact operators with the fixed structure of Jordan blocks is described. Also, explicit formulas of some special one-parameter perturbations of Jordan structure are given.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124108 |
| citation_txt |
Параметризация подмногообразия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков / А.А. Бондарь // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 24-32. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bondarʹaa parametrizaciâpodmnogoobraziâkompaktnyhoperatorovsfiksirovannoistrukturoižordanovyhblokov AT bondarʹaa parametrizaciâpidmnogovidukompaktnihoperatorivzfiksovanoûstrukturoûžordanovihblokiv AT bondarʹaa parametrizationofsubmanifoldofcompactoperatorswithfixedjordanblocksstructure |
| first_indexed |
2025-11-26T16:33:31Z |
| last_indexed |
2025-11-26T16:33:31Z |
| _version_ |
1850628199144226816 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.9
c©2012. А.А. Бондарь
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ПОДМНОГООБРАЗИЯ КОМПАКТНЫХ
ОПЕРАТОРОВ С ФИКСИРОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ
ЖОРДАНОВЫХ БЛОКОВ
С помощью специального локального диффеоморфизма описано подмногообразие компактных опе-
раторов с фиксированной структурой жордановых блоков выделенных собственных значений. Так-
же предъявлены формулы некоторых специальных однопараметрических возмущений данной жор-
дановой структуры.
Ключевые слова: многообразие компактных операторов, жорданова форма.
1. Введение. В работе [1] В.И. Арнольд впервые рассмотрел многообразие ве-
щественных симметричных матриц с фиксированными кратностями выбранных соб-
ственных значений. Он нашел формулу его коразмерности, которая зависит толь-
ко от кратностей выбранных собственных значений и не зависит от размерности
объемлющего пространства. Эти результаты были обобщены для случая компакт-
ных вещественных самосопряжённых операторов в работе [2], где введен локаль-
ный диффеоморфизм, распрямляющий многообразие Арнольда. Дальнейшее изуче-
ние свойств многообразия Арнольда и локального диффеоморфизма осуществлено
Я.М. Дымарским [3], [4]. В работе [5] автором было дано неявное задание подмного-
образия компактных операторов с фиксированной структурой жордановых блоков
выделенных ненулевых собственных значений. Здесь предложена параметризация
этого подмногообразия, полученная при помощи специального диффеоморфизма.
Параметризация имеет определенные преимущества перед неявным заданием. В на-
стоящей работе с ее помощью дается описание некоторых специальных однопара-
метрических возмущений данной жордановой структуры.
2. Обозначения и определения. Пусть X – банахово пространство над полем
C, а Lc – банахово пространство компактных операторов, действующих в X. Пусть
J ∈ Lc фиксированный компактный оператор со спектром σ и ненулевое собственное
значение λ ∈ σ фиксировано. Пусть Pλ есть проекционный оператор Рисса, отвеча-
ющий λ, а Pσ\λ – проекционный оператор Рисса, отвечающий σ \ λ. Пространство
X = X(1) ⊕ X(2), где X(1) = Pλ(X) – инвариантное подпространство, отвечающее
собственному значению λ, а X(2) = Pσ\λ(X) – инвариантное подпространство, отве-
чающее остальной части спектра σ. Разложение пространства X порождает разло-
жение пространства операторов: Lc = L11
c ⊕L12
c ⊕L21
c ⊕L22
c . Произвольный оператор
B ∈ Lc при этом имеет блочное представление
B =
[
B1,1 B1,2
B2,1 B2,2
]
. (1)
Автор признателен Я.М. Дымарскому за постановку проблемы и постоянную поддержку.
24
Параметризация подмногообразия компактных операторов
В частности, в каноническом базисе подпространства X(1) оператор J имеет блоч-
но-диагональный вид
J =
[
J(λ) 0
0 A2,2
]
,
где J(λ) есть прямая сумма жордановых блоков, отвечающих собственному значе-
нию λ.
Пусть алгебраическая кратность λ равняется m, а геометрическая кратность
равняется s, тогда конечномерный оператор B1,1 имеет порядок m и блочное пред-
ставление
B1,1 =
[
Bij
]s
i,j=1
, (2)
которое порождено жордановой структурой J(λ).
В дальнейшем мы будем отождествлять операторы в X(1) и матрицы порядка
m. Матричное пространство L11
c мы наделяем эрмитовой структурой с помощью
скалярного произведения (A,B) = Trace(A · B∗), где B∗ – матрица, полученная из
B транспонированием и комплексным сопряжением.
Обозначим через k := {k1, ..., ks} вектор, чьи компоненты являются размерами
жордановых блоков в J(λ) (k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ ks,
∑
ki = m). Через Nε(J) ⊂ Lc обозна-
чим ε-окрестность оператора J . Мы изучаем подмножество Lc(J, ε, λ, k) компактных
операторов A ∈ Nε(J), имеющих в окрестности λ единственное собственное значение
λ′, которому отвечают жордановы блоки J(A, λ′) той же структуры, что и J(λ).
Пусть Orb(A) – орбита произвольной фиксированной матрицы A ∈ L11
c под дей-
ствием группы GL(m,C) всех невырожденных матриц порядка m. Рассмотрим спе-
циальное семейство матриц A = J(λ) + F , отличающихся от исходной жордановой
тем, что в некоторых местах вместо нулей стоят голоморфные функции параметров,
обращающиеся в нуль при нулевых значениях параметров.
0
0 0 0
0 0 0
0 0
Рис. 1. Нормальная форма
* * *
*
* * *
* *
Рис. 2. Матрица из касательного пространства
При этом блочная (см. (2)) матрица F имеет вид, описанный на рис. 1: каж-
дый пунктирный отрезок означает ряд одинаковых чисел, а в незаполненных ме-
стах подразумеваются нули. Множество всех матриц на рис. 1 образует линейное
подпространство L11
k
⊂ L11
c размерности d = k1 + 3k2 + ... + (2s − 1)ks. Это под-
пространство ортогонально и трансверсально орбите Orb(J(λ)) [6]. Далее нам по-
надобится касательное пространство TJ(λ)Orb к орбите J(λ), состоящее из матриц
вида [C, J(λ)] := C · J(λ)− J(λ) ·C [6]. Мы утверждаем, что произвольная матрица
25
А.А. Бондарь
S ∈ TJ(λ)Orb имеет вид, описанный на рис. 2: сумма элементов на указанных отрез-
ках равна нулю, все остальные элементы (∗) являются произвольными. Во-первых,
очевидно, что подпространство таких матриц имеет коразмерность d в пространстве
L11
c . Во-вторых, вышеуказанные матрицы ортогональны матрицам из подпростран-
ства L11
k
. Остается вспомнить, что подпространство L11
k
является ортогональным и
трансверсальным к орбите Orb(J(λ)).
Таким образом, L11
c является прямой суммой ортогональных подпространств:
L11
c = L11
k
⊕ TJ(λ)Orb; произвольная матрица B1,1 ∈ L11
c единственным образом
представима в виде
B1,1 = F (B1,1) + S(B1,1), (3)
где F : L11
c → L11
k
, S : L11
c → TJ(λ)Orb ортогональные проекторы.
Разложения (1) и (3) порождают проекторы
F̂ , Ŝ : Lc → Lc,
F̂ (B) :=
[
F (B1,1) 0
0 B2,2
]
, Ŝ(B) :=
[
S(B1,1) B1,2
B2,1 0
]
.
3. Основные теоремы. Для исследования многообразия операторов рассмот-
рим отображение малой окрестности нуля
Ψ : Lc ⊃ N(0) → Lc, Ψ(B) :=
(
I +
(
Ŝ(B)
)T
)(
J + F̂ (B)
)(
I +
(
Ŝ(B)
)T
)−1
. (4)
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
1. Ψ(0) = J .
2. Операторы J + F̂ (B) и Ψ(B) подобны.
3. Отображение Ψ инвариантно относительно подпространств L11
c и L22
c .
4. Отображение Ψ голоморфно в нуле.
5. Отображение Ψ является диффеоморфизмом некоторой малой окрестности
N(0) на шаровую окрестность Nε(J) достаточно малого радиуса ε.
6. Сужение отображения Ψ на подпространство L11
c локально отображает ка-
сательное пространство TJ(λ)Orb на Orb(J(λ)).
Доказательство. Первое, второе и третье утверждения следуют непосредствен-
но из формулы (4).
Под голоморфностью отображения Ψ мы понимаем определение из [7]. Голо-
морфность Ψ следует из линейности отображений Ŝ и F̂ и формулы (4).
26
Параметризация подмногообразия компактных операторов
Чтобы доказать пятое утверждение, найдем производную DΨ(0) в точке 0 ∈ Lc
и докажем, что она является линейным изоморфизмом. С этой целью разложим
(I + (Ŝ(B))T )−1 в ряд и выделим линейную часть:
Ψ(B) = (I + (Ŝ(B))T )(J + F̂ (B))(I + (Ŝ(B))T )−1 =
= (I + (Ŝ(B))T )(J + F̂ (B))(I − (Ŝ(B))T + ((Ŝ(B))T )2 − . . .) =
= J + F̂ (B) + (Ŝ(B))T · J − J · (Ŝ(B))T + o(B),
где o(B) – бесконечно малая второго порядка. Поэтому
DΨ(0)B = F̂ (B) +
[
(Ŝ(B))T , J
]
= (5)
=
(
F (B1,1) +
[
(S(B1,1))T , J(λ)
]
BT
2,1 ·A2,2 − J(λ) ·BT
2,1
A2,2 ·BT
1,2 −BT
1,2 · J(λ) B2,2
)
.
Покажем, что DΨ(0) является биекцией. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
уравнение
DΨ(0)B = C (6)
имело единственное решение B при любых C ∈ Lc. Уравнение (6) равносильно си-
стеме операторных уравнений:
F (B1,1) +
[
(S(B1,1))T , J(λ)
]
= C1,1,
B2,2 = C2,2,
BT
2,1 ·A2,2 − J(λ) ·BT
2,1 = C1,2,
A2,2 ·BT
1,2 −BT
1,2 · J(λ) = C2,1.
Заметим, что уравнения независимы и каждое содержит в качестве неизвестного
один из блоков разложения (1). Последние два уравнения являются уравнениями ти-
па Сильвестра. Поскольку λ не является собственным значением оператора A2,2, то
указанные уравнения имеют единственные решения B2,1, B1,2 при любых C1,2, C2,1
[8]. Остается показать, что первое уравнение системы имеет единственное решение.
Уравнение
F (B1,1) +
[
(S(B1,1))T , J(λ)
]
= C1,1
будет иметь единственное решение при любых C1,1, тогда и только тогда, когда
соответствующее однородное уравнение
F (B1,1) +
[
(S(B1,1))T , J(λ)
]
= 0 (7)
будет иметь только тривиальное решение B1,1 = 0. Поскольку
F (B1,1) ∈ L11
k
⊥ TJ(λ) 3
[
(S(B1,1))T , J(λ)
]
,
то уравнение (7) эквивалентно системе
{
F (B1,1) = 0 ∈ L11
k
,[
(S(B1,1))T , J(λ)
]
= 0 ∈ TJ(λ)Orb.
(8)
27
А.А. Бондарь
0
0 0 0
0 0 0
0 0
Рис. 3. Решение уравнения AX = XB.
Из второго уравнения системы (8) следует, что блочная матрица (S(B1,1))T имеет
вид, изображенный на рис. 1 [9]. Поэтому, матрица S(B1,1) имеет вид, изображен-
ный на рис. 3. В то же самое время, по определению, S(B1,1) ∈ TJ(λ)Orb, то есть
S(B1,1) должна иметь вид, изображенный на рис. 2. Это возможно только в том слу-
чае, когда матрица S(B1,1) является нулевой. Поэтому уравнение (7) имеет только
тривиальное решение B1,1 = 0. ¤
Перейдем к исследованию многообразия операторов. Нам понадобится линейное
подпространство
T := {B| B1,1 ∈ T 11} ⊂ Lc, где
T 11 := {(λ′ − λ)I} ⊕ TJ(λ)Orb ⊂ L11
c , λ′ ∈ C.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
1. Подмножество Lc(J, ε, λ, k) ⊂ Lc определяется следующим образом:
Lc(J, ε, λ, k) = Ψ(T ∩N(0)).
2. Подмножество Lc(J, ε, λ, k) ⊂ Lc является аналитическим подмногообразием
комплексной коразмерности
co dimLc(J, ε, λ, k) =
(
k1 + 3k2 + 5k3 + . . . + (2s− 1)ks
)− 1.
3. Касательное пространство TJLc(J, ε, λ, k) = T.
4. Отображение Ψ локально отображает касательное пространство
TJLc(J, ε, λ, k) на Lc(J, ε, λ, k).
Доказательство. Покажем вначале справедливость теоремы для конечномерно-
го случая. Для этого мы будем использовать сужение Ψ11 отображения Ψ на под-
пространство L11
c . Обозначим через V m(k) ⊂ L11
c множество всех матриц, у которых
жордановы формы отличаются от J(λ) возможно лишь собственным значением, т.е.
V m(k) является “пачкой матриц с жордановой формой J(λ)” в терминологии [6].
Обозначим через Lm
c (k, ε) = V m(k) ∩ Nε(J(λ)) окрестность матрицы J(λ) в пачке
V m(k). Таким образом, Lm
c (k, ε) является сужением Lc(J, ε, λ, k) на L11
c .
28
Параметризация подмногообразия компактных операторов
Локальное пересечение пачки матриц с семейством матриц Арнольда является
интервалом
Lm
c (k, ε) ∩ {J(λ) + L11
k
} = J(λ) + {(λ′ − λ)I, |λ′ − λ| < ε}. (9)
Поскольку семейство {J(λ) + L11
k
} трансверсально орбите Orb(J(λ)) и размерность
подпространства L11
k
равна коразмерности Orb(J(λ)), то пересечение (9) содержит
все матрицы из семейства Арнольда, подобные матрицам из Lm
c (k, ε). Далее приме-
няя проекцию F к прообразу (Ψ11)−1(Lm
c (k, ε)), мы получим
F ((Ψ11)−1(Lm
c (k, ε))) = {(λ′ − λ)I}.
Из разложения (3) и утверждения 5 теоремы 1 вытекает, что подмножество Lm
c (k, ε)
определяется следующим образом:
Lm
c (k, ε) = Ψ11(T 11 ∩N11(0)), (N11(0) ⊂ L11
c ) (10)
и является аналитическим подмногообразием комплексной коразмерности
co dimLm
c (k, ε) =
(
k1 + 3k2 + 5k3 + . . . + (2s− 1)ks
)− 1.
Производная (5) отображения Ψ переводит матрицу B1,1 из касательного про-
странства T0(T 11) = T 11 в матрицу
DΨ(0)B1,1 = (λ′ − λ)I + [(S(B1,1))T , J(λ)], (11)
где [(S(B1,1))T , J(λ)] ∈ TJ(λ)Orb. Поскольку Ψ является локальным диффеоморфиз-
мом, то касательное пространство
TJ(λ)L
m
c (k, ε)) := DΨ(0)(T 11) = {(λ′ − λ)I} ⊕ TJ(λ)Orb = T 11. (12)
Рассмотрение конечномерного случая завершено.
Применим теперь к малому оператору B ∈ T ∩N(0) отображение Ψ:
Ψ(B) = (I + (Ŝ(B))T )(J + F̂ (B))(I + (Ŝ(B))T )−1 =
=
(
I +
[
S(B1,1) B2,1
B1,2 0
]T
)
·
[
J(λ) + (λ′ − λ)I 0
0 A2,2 + B2,2
]
·
·
(
I +
[
S(B1,1) B2,1
B1,2 0
]T
)−1
.
Мы видим, что Ψ(T ∩ N(0)) ⊂ Lc(A, ε, λ, k). При малом возмущении спектры диа-
гональных блоков J(λ) + (λ′ − λ)I и A2,2 + B2,2 не пересекаются. Учитывая, что
Ψ локальный диффеоморфизм, и применяя (10), мы получаем утверждения 1 и 2
теоремы.
29
А.А. Бондарь
Из определения (5) отображения DΨ(0) следует, что
TALc(A, ε, λ, k) = DΨ(0)(T ) =
=
{[
(λ′ − λ)I + [(S(B1,1))T , J(λ)] BT
2,1 ·A2,2 − J(λ) ·BT
2,1
A2,2 ·BT
1,2 −BT
1,2 · J(λ) B2,2
]
, B ∈ T
}
.
Из теоремы 1 и равенств (11), (12) мы получаем, что касательное пространство
TALc(A, ε, λ, k) = T.
Наконец, последнее утверждение теоремы непосредственно вытекает из утвержде-
ний один и три. ¤
Утверждения теоремы легко переформулировать для случая конечного количе-
ства отслеживаемых ненулевых собственных значений.
4. Однопараметрические возмущения. В приложениях часто встречают-
ся однопараметрические возмущения (семейства) операторов, которые сохраняют
или изменяют специальным образом жорданову структуру исходного оператора. Ис-
пользуя локальный диффеоморфизм Ψ мы можем выписать явно некоторые из этих
возмущений.
Обозначим через Ty ⊂ Lc линейное подпространство блочных операторов ви-
да (1), где B1,1 ∈ TJ(λ)Orb, а остальные блоки произвольные. Пусть Im блочный
оператор вида (1), где блоки B1,2, B2,1, B2,2 нулевые, а блок B1,1 – единичная мат-
рица порядка m. Обозначим через S2m−1 ⊂ Cm сферу (вещественной размерности
2m− 1) нормированных собственных векторов J , отвечающих собственному значе-
нию λ. В частности, u ∈ S2m−1. Пусть N(u) ⊂ S2m−1 малая окрестность u.
Опишем однопараметрические семейства операторов зависящих от малого пара-
метра t ∈ C, которые сохраняют жорданову структуру выделенного собственного
значения.
Теорема 3. Предположим, что
γ(t) ∈ C, γ(0) = 0,
B(t) ∈ Ty ⊂ Lc, B(0) = 0
произвольные аналитические функции. Справедливы следующие утверждения:
1. При возмущении
C(t) = Ψ(J + γ(t) · Im + B(t))− J, C(0) = 0
оператора J оператор A(t) := J + C(t) имеет собственное значение λ(t) =
λ + γ(t), которому отвечают жордановы блоки той же структуры, что и
J(λ).
2. Обратно, если аналитическая функция A(t) ∈ Lc (A(0) = J) сохраняет жор-
данову структуру, отвечающую выделенному собственному значению, то
существует единственная пара функций γ(t) и B(t), для которых A(t) ≡
Ψ(J + γ(t) · Im + B(t)).
30
Параметризация подмногообразия компактных операторов
3. Если w(t) ∈ N(u) ⊂ S2m−1, (w(0) = u) – аналитическая функция, то u(t) =(
I +
(
Ŝ(B(t))
)T
)
w(t) есть некоторое семейство нормированных собственных
векторов оператора A(t), соответствующих собственному значению λ(t).
Теперь опишем крайние случаи изменения жордановой структуры при возмущении.
Изучим случай “предельного расщепления” жордановой структуры.
Теорема 4. Предположим, что
γi(t) ∈ C, γi(0) = 0 (i = 1, ...,m),
γi(t) 6= γj(t) при i 6= j и t 6= 0
B(t) ∈ Ty ⊂ Lc, B(0) = 0
произвольные аналитические функции. Тогда при возмущении
C(t) = Ψ
J +
γ1(t) ... 0
... ... ...
0 ... γm(t)
0
0 0
+ B(t)
− J
оператора J оператор A(t) := J + C(t) имеет m различных простых собственных
значений λi = λ + γi(t), близких λ.
Рассмотрим случай “предельного укрупнения” жордановой структуры.
Теорема 5. Предположим, что
γi(t) ∈ C, γi(0) = 0, (i = 0, ..., s− 1),
B(t) ∈ Ty ⊂ Lc, B(0) = 0
произвольные аналитические функции. Пусть U(t) ∈ Lc произвольный оператор, у
которого элементы на местах (k1, k1 + 1), (k1 + k2, k1 + k2 + 1), ..., (
∑s−1
i=1 ki,∑s−1
i=1 ki + 1) соответственно равняются γ1(t), γ2(t), ..., γs−1(t), а остальные эле-
менты равны нулю. Тогда при возмущении
C(t) = Ψ (J + γ0(t) · Im + U(t) + B(t))− J
оператора J оператор A(t) := J + C(t) имеет единственное собственное значение
λ′ := λ+γ0(t), близкое λ, которому отвечает единственный блок жордана порядка
m.
1. Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функц. анализ и его прилож. – 1948. – 6, № 2. – С. 94-101.
2. Fujiwara D., Tanikawa M., Yukita Sh. The spectrum of Laplasian I // Proc. Jap. Acad. Ser. A. –
1978. – 54, № 4. – P. 87-91.
3. Дымарский Я.М. Метод многообразий в теории собственных векторов нелинейных операто-
ров // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2007. – Т. 24. – С. 3-159.
4. Dymarskii Ya.M. Local research of manifolds generated by families of self-adjoint operators //
Topology. – 2009. – 48. – P. 213-223.
5. Бондарь А.А.Подмногообразия компактных операторов с фиксированными жордановыми клет-
ками // Український математичний вiсник. – 2012. – Т. 9, №4. – С. 445-459.
31
А.А. Бондарь
6. Арнольд В.И. О матрицах, зависящих от параметров // Успехи математических наук. – 1971.
– 2, №2 (158). – С. 101-114.
7. Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. – М.: Мир, 1975. – 220 с.
8. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом
пространстве. – М.: Наука, 1970. – 535 c.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Физматлит, 2004. – 560 c.
A.A. Bondar
Parametrization of submanifold of compact operators with fixed Jordan blocks structure.
Using special local diffeomorphism a submanifold of compact operators with the fixed structure of
Jordan blocks is described. Also, explicit formulas of some special one-parameter perturbations of Jordan
structure are given.
Keywords: compact operators manifold, Jordan form.
О.О. Бондар
Параметризацiя пiдмноговиду компактних операторiв з фiксованою структурою жор-
данових блокiв.
За допомогою спецiального локального дифеоморфiзму описано пiдмноговид компактних опера-
торiв з фiксованою структурою жорданових блокiв видiлених власних значень. Також подано фор-
мули деяких спецiальних однопараметричних збурень даної жорданової структури.
Ключовi слова: пiдмноговид компактних операторiв, жорданова форма.
Луганский национальный ун-т имени Т. Шевченко
a.-bondar@mail.ru
Получено 27.11.11
32
|