О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье
Получены достаточные условия представления функций в виде интеграла Фурье в Rⁿ от функции, принадлежащей пространству L1 ⋂ Lp при 0 < p < 2. Эти условия даны в терминах совместного поведения "норм" функций из однородных пространств Бесова. Отримано достатнi умови зображення функцiй у...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124121 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 125-132. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859828436788314112 |
|---|---|
| author | Коломойцев, Ю.С. |
| author_facet | Коломойцев, Ю.С. |
| citation_txt | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 125-132. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Получены достаточные условия представления функций в виде интеграла Фурье в Rⁿ от функции, принадлежащей пространству L1 ⋂ Lp при 0 < p < 2. Эти условия даны в терминах совместного поведения "норм" функций из однородных пространств Бесова.
Отримано достатнi умови зображення функцiй у виглядi iнтеграла Фур’є в Rⁿ вiд функцiї, що належить простору L1 ⋂ Lp при 0 < p < 2. Цi умови подано в термiнах спiльної поведiнки "норм" функцiй iз однорiдних просторiв Бєсова.
The sufficient conditions for the representation of functions as an Fourier integral in Rⁿ of a function belonging to the space L1 ⋂ Lp for 0 < p < 2 are obtained. These conditions are given in terms of the simultaneous behavior of the "norms" of functions in homogeneous Besov spaces.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:31:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 517.55
c©2012. Ю.С. Коломойцев
О КЛАССЕ ФУНКЦИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ
В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Получены достаточные условия представления функций в виде интеграла Фурье в Rn от функции,
принадлежащей пространству L1 ∩ Lp при 0 < p < 2. Эти условия даны в терминах совместного
поведения "норм" функций из однородных пространств Бесова.
Ключевые слова: интеграл Фурье, пространства Lp, 0 < p < 2, пространства Бесова.
1. Введение. Пусть Rn – n-мерное евклидово пространство элементов x =
(x1, . . . , xn) со скалярным произведением (x, ξ) = x1ξ1 + · · · + xnξn и нормой |x| =
(x, x)
1
2 . Как обычно, пространство Lp(Rn) состоит из измеримых функций f(x),
x ∈ Rn, для которых при 0 < p < ∞
‖f‖p =
( ∫
Rn
|f(x)|pdx
) 1
p
< ∞,
а при p = ∞
‖f‖∞ =ess sup
x∈Rn
|f(x)| < ∞.
Через C0(Rn) обозначим класс непрерывных функций f таких, что lim
|x|→∞
f(x) = 0.
Если
f(ξ) =
∫
Rn
g(x)ei(x,ξ)dx, g ∈ L1(Rn), (1)
то пишут f ∈ A(Rn). Задача о представлении функции в виде абсолютно сходяще-
гося интеграла Фурье имеет важное значение в разных вопросах анализа. Данная
задача изучалась многими математиками (см., напр., [1-8] и монографию [9, гл. 6],
в которых содержится ряд достаточных и необходимых условий принадлежности
функции f пространству A(Rn)).
В недавних работах [6] и [7] (см. также обзор [8, раздел 10]) были получены
новые достаточные условия представления функции в виде абсолютно сходящегося
интеграла Фурье в Rn, а также показана применимость и точность полученных
условий. Приведем здесь основной результат статьи [6].
Теорема A. Пусть f : R → C локально абсолютно непрерывна на R и f ∈
C0(R). Если f ∈ Lp0(R), f ′ ∈ Lp1(R) и
1
p0
+
1
p1
> 1,
125
Ю.С. Коломойцев
то f ∈ A(R), а при
1
p0
+
1
p1
< 1
такая функция может не принадлежать A(R).
В настоящей работе изучаются классы функций f , для которых имеет место
представление (1) при дополнительном предположении g ∈ L1 ∩Lp(Rn), где 0 < p <
2. Точнее, мы будем изучать следующий класс функций:
Ap(Rn) = { f : f = ĝ, g ∈ L1 ∩ Lp(Rn) },
где
ĝ(y) =
∫
Rn
g(x)ei(x,y)dx
– преобразование Фурье функции g.
Отметим, что некоторые достаточные и необходимые условия принадлежности
функций пространству Ap(Rn) содержатся в монографии [9, гл. 6]. Отметим так-
же, что интегрируемая функция f принадлежит Ap(Rn) тогда и только тогда, когда
f̂ ∈ L1∩Lp(Rn). Это свойство преобразования Фурье является основным инструмен-
том, например, в теории мультипликаторов степенных рядов в пространствах Харди
Hp(Dn), 0 < p < 1 (см. [9, гл. 7], [10]), а также при исследовании аппроксимации
функций семействами линейных полиномиальных операторов, являющихся заменой
средних Фурье в пространствах Lp(Tn), 0 < p < 1 (см., напр., [11]). В настоящей
работе мы обобщим теорему A, а также ее многомерный аналог на классы функций
Ap(Rn), 0 < p < 2. При этом мы также получим достаточные условия в терминах
дробных производных.
2. Определения и обозначения. Мы будем использовать стандартные обо-
значения для пространства распределений умеренного роста S ′(Rn) и для соответ-
ствующего пространства пробных функций S (Rn).
Формулировки основных теорем настоящей работы даны в терминах "норм"
функций из однородных пространств Бесова Ḃs
p,q(Rn). Чтобы дать определение этих
пространств введем в рассмотрение функцию ϕ ∈ S (Rn) такую, что suppϕ ⊂ {ξ ∈
Rn : 1/2 ≤ |ξ| ≤ 2}, ϕ(ξ) > 0 при 1/2 < |ξ| < 2 и
∞∑
k=−∞
ϕ(2−kξ) = 1 при ξ 6= 0.
Введем также функцию ϕk соотношением
ϕ̂k(ξ) = ϕ(2−kξ).
Пусть
Ṡ (Rn) = {ϕ ∈ S (Rn) : (Dνϕ̂)(0) = 0 для всех ν ∈ Nn ∪ {0}} ,
а Ṡ ′(Rn) – пространство всех непрерывных линейных функционалов на Ṡ (Rn).
126
О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье
Будем говорить, что f ∈ Ṡ ′(Rn) принадлежит однородному пространству Бесова
Ḃs
p,q, если
‖f‖Ḃs
p,q
=
( ∞∑
k=−∞
2sqk‖ϕk ∗ f‖q
p
) 1
q
< ∞
(с обычной модификацией при q = ∞, т.е. ‖f‖Bs
p,∞ = supk∈Z 2sk‖ϕk ∗ f‖p).
Напомним, что при 1 ≤ p < ∞ и k ∈ N ∪ {0}
Ẇ k
p (Rn) = {f ∈ Ṡ ′(Rn) :
∑
|ν|1=k
‖Dνf‖p < ∞},
где производные Dνf = ∂|ν|1f
∂x
ν1
1 ...∂xνn
n
(|ν|1 = ν1 + · · · + νn, νj ∈ N ∪ {0}) понимаются в
обобщенном смысле. Если p = ∞, то мы будем иметь дело с пространствами
Ċk(Rn) = {f : Dνf ∈ C(Rn) для всех |ν|1 = k},
при этом
‖f‖Ċk =
∑
|ν|1=k
‖Dνf‖∞.
Здесь Dν – классические производные.
Далее всюду буквой C будем обозначать положительные константы, зависящие
от указанных параметров.
3. Формулировки результатов.
Теорема 1. Пусть 0 < p < 2, 0 < ql, rl ≤ ∞, σl < n(1/l − 1 + 1/ql), sl >
n(1/l − 1 + 1/rl) и σl < sl, где l = 1, p, и функция f ∈ C0(Rn). Предположим, что
q1 = r1 = 2 или
1− θ1
q1
+
θ1
r1
>
1
2
, θ1 =
n/2− σ1
s1 − σ1
и qp = rp = 2 или
1− θp
qp
+
θp
rp
>
1
2
, θp =
n(1/p− 1/2)− σp
sp − σp
.
Если, дополнительно, f ∈ Ḃσl
ql,∞ ∩ Ḃsl
rl,∞, l = 1, p, то f ∈ Ap(Rn).
В случае p = 1, используя вложения между пространствами Бесова и простран-
ствами риссовых потенциалов (см., напр., [12, c. 188]), получаем:
Следствие 1. Пусть 0 < q ≤ ∞, 1 < r < ∞, s > n/r и функция f ∈ C0(Rn).
Предположим, что q = r = 2 или
(
1− n
2s
)
1
q
+
(
n
2s
)
1
r
>
1
2
.
Если, дополнительно, f ∈ Lq, а (−∆)s/2f ∈ Lr, то f ∈ A(Rn).
127
Ю.С. Коломойцев
Легко видеть, что при s = n = 1 получаем основной результат работы [6], а при
q = r = 2 – известную теорему типа Берлинга (см. [1] и [2]).
В следующем предложении показана точность полученных утверждений.
Предложение. Пусть 0 < p < 2, 1 ≤ ql, rl ≤ ∞, σl, sl ∈ N ∪ {0}, σl < n(1/l − 1 +
1/ql), sl > n(1/l − 1 + 1/rl) и σl < sl, где l = 1, p. Если
1− θ1
q1
+
θ1
r1
<
1
2
, θ1 =
n/2− σ1
s1 − σ1
(2)
или
1− θp
qp
+
θp
rp
<
1
2
, θp =
n(1/p− 1/2)− σp
sp − σp
,
то найдется функция f ∈ C0 ∩ Ḃσl
ql,∞ ∩ Ḃsl
rl,∞, l = 1, p, но f 6∈ Ap(Rn).
4. Вспомогательные утверждения. Обозначим через {e0
j}n
j=1 стандартный
базис в Rn, а через
∆m
uj
f(x) =
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)kf(x + (2k −m)uje
0
j )
– m-ую симметричную разность по j-й переменной с шагом uj . Тогда ∆m
u1,··· ,un
f(x) =
(
∏n
j=1 ∆m
uj
)f(x) – смешанная разность.
Следующая лемма играет ключевую роль при доказательстве теоремы 1.
Лемма 1. Пусть 0 < p < 2 и f ∈ C0(Rn). Если при некотором m ∈ N
∞∑
s1=−∞
· · ·
∞∑
sn=−∞
2(1− l
2
)|s|1‖∆m
π
2s1 ,··· , π
2sn
(f)‖l
2 < ∞, l = 1, p,
то f ∈ Ap(Rn).
Здесь и далее |s|1 = s1 + · · ·+ sn.
Лемма 1 при p = 1 доказана в [4, лемма 4], а также в [5, теорема 3]. Общий
случай p ∈ (0, 2) доказан в [9, теорема 6.4.2].
Приведем теперь некоторые известные факты об однородных пространствах Бе-
сова. Прежде всего, дадим одно эквивалентное определение этих пространств (см.,
напр., [12, с. 188] или [13, c. 343]).
Лемма 2. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞ и s > 0. Если m ∈ N и m > s, то
‖f‖∗
Ḃs
p,q
=
( ∫
Rn
|h|−sq sup
|t|≤|h|
‖∆m
t1,...,tn(f)‖q
p
dh
|h|n
) 1
q
является эквивалентной квазинормой в Ḃs
p,q (с обычной модификацией при q = ∞).
Отметим, что в [12, с. 188] и [13, c. 343] данная лемма рассматривается только в
случае 1 ≤ q ≤ ∞. Если 0 < q < 1 доказательство леммы проходит по той же схеме,
что и в [12, c. 184] с учетом очевидных изменений, которые касаются специфики
случая 0 < q < 1.
128
О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье
Мы будем использовать следующие вложения для пространств Бесова (см., напр.,
[11, с. 346] и [3, гл. 3 и гл. 11]).
Лемма 3. (i) Пусть 0 < p0 ≤ p1 ≤ ∞, 0 < q ≤ ∞, s0, s1 ∈ R, s1 ≤ s0 и
s0 − n
p0
= s1 − n
p1
. Тогда
Ḃs0
p0,q ⊂ Ḃs1
p1,q.
(ii) Пусть k ∈ N ∪ {0} и 1 ≤ p < ∞. Тогда
Ẇ k
p ⊂ Ḃk
p,∞ и Ċk ⊂ Ḃk
∞,∞.
Здесь и далее символ ⊂ обозначает непрерывное вложение.
Чтобы показать точность основного результата статьи нам понадобится следую-
щая функция-мультипликатор
mα, β(x) = ρ(x)
ei|x|α
|x|β ,
где ρ является C∞-функцией на Rn, равной 0 при |x| ≤ 1 и 1 при |x| ≥ 2, а α, β > 0.
Отметим, что функция mα, β была предметом специального изучения в работах [14-
17] и [18, гл. 4, 7.4].
Доказательство утверждений следующей леммы см. в [17, предложение 5.1] (см.
также [14] и [16]).
Лемма 4. Пусть α, β > 0 и α 6= 1.
(i) Функция mα, β ∈ A(Rn) тогда и только тогда, когда β > nα
2 .
(ii) Если β > nα
2 и mα, β = K̂α, β, то при α > 1
|Kα, β(x)| ³ |x|β−n+nα/2
1−α , |x| → ∞,
а при α < 1
|Kα, β(x)| ³ |x|β−n+nα/2
1−α + γ(x), |x| → 0,
где функция γ ∈ C1(Rn) и γ(x) ≥ 0.
В частности, если 0 < p < 2 и (α− 1)(1
p − 1
2) ≥ β
n − 1
2 , то mα, β 6∈ Ap(Rn).
Отметим, что достаточные условия принадлежности функции mα,β простран-
ству Ap(Rn) сразу вытекают из теоремы 1 и леммы 3(ii).
5. Доказательства результатов.
Доказательство теоремы 1. Покажем сначала, что если f ∈ C0 ∩ Ḃ
n( 1
l
− 1
2
)
2,l ,
l = 1, p, то f ∈ Ap(Rn).
129
Ю.С. Коломойцев
Действительно, используя леммы 1 и 2, находим
∞∑
s1=−∞
· · ·
∞∑
sn=−∞
2(1− l
2
)|s|1‖∆m
π
2s1 ,··· , π
2sn
(f)‖l
2 =
=
∞∑
k=−∞
∑
max si=k
2(1− l
2
)|s|1‖∆m
π
2s1 ,··· , π
2sn
(f)‖l
2 ≤
≤ C
∞∑
k=−∞
2n(1− l
2
)k sup
|h|≤ π
2k
‖∆m
h1,··· ,hn
(f)‖l
2 ≤
≤ C‖f‖l
Ḃ
n(1/l−1/2)
2,p
.
Таким образом, для того, чтобы доказать принадлежность функции f классу
Ap(Rn), достаточно проверить, что
∞∑
k=−∞
2n(1− l
2
)k‖ϕk ∗ f‖l
2 =
∞∑
k=0
+
−1∑
k=−∞
= S
(l)
1 + S
(l)
2 < ∞, l = 1, p. (3)
Мы проверим (3) только для l = 1. При l = p выполнимость условия (3) прове-
ряется аналогичным образом.
Далее для простоты записи положим σ1 = σ, s1 = s, q1 = q и r1 = r.
1) Рассмотрим сначала случай 0 < q, r ≤ 2. Пусть s′ = s − n(1
r − 1
2). Используя
вложение Ḃs
r,∞ ⊂ Ḃs′
2,∞ (см. лемму 3 (i)), находим
S
(1)
1 ≤ sup
j∈N∪{0}
2s′j‖ϕj ∗ f‖2
∞∑
k=0
2(n
2
−s′)k ≤
≤ ‖f‖
Ḃs′
2,∞
∞∑
k=0
2(n
r
−s)k ≤ C‖f‖Ḃs
r,∞
.
(4)
Аналогичным образом, используя вложение Ḃσ
q,∞ ⊂ Ḃσ′
2,∞, где σ′ = σ − n(1
q − 1
2),
получаем
S
(1)
2 ≤ C‖f‖Ḃσ
q,∞
. (5)
Объединяя (4) и (5), имеем (3) при l = 1.
2) Рассмотрим случай 0 < q < 2 < r ≤ ∞. Сумма S
(1)
2 оценивается так же, как в
(5).
Оценим сумму S
(1)
1 . Обозначая λ = r(2−q)
2(r−q) и применяя неравенство Гельдера,
130
О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье
находим
S
(1)
1 ≤
∞∑
k=0
2
n
2
k‖ϕk ∗ f‖1−λ
q ‖ϕk ∗ f‖λ
r ≤
≤
(
sup
j∈Z
2σj‖ϕj ∗ f‖q
)1−λ(
sup
j∈Z
2sj‖ϕj ∗ f‖r
)λ ∞∑
k=0
2(n
2
−(1−λ)σ−λs)k =
= ‖f‖1−λ
Ḃσ
q,∞
‖f‖λ
Ḃs
r,∞
∞∑
k=0
2
qr(s−σ)
r−q
( 1
2
−(1−θ1) 1
q
−θ1
1
r
)k ≤ C‖f‖1−λ
Ḃσ
q,∞
‖f‖λ
Ḃs
r,∞
.
(6)
Таким образом, объединяя (5) и (6), снова получаем (3) с l = 1.
3) Случай 2 < q ≤ ∞, 0 < r < 2 доказывается аналогично. ¤
Доказательство предложения. Мы ограничимся случаем p = 1. При 0 < p < 2
доказательство аналогично. Как и в приведенном выше доказательстве положим
σ1 = σ, s1 = s, q1 = q и r1 = r.
В качестве функции, удовлетворяющей условиям предложения, рассмотрим функ-
цию f = mα,β .
Используя вложения из леммы 3 (ii), нетрудно проверить, что f ∈ Ḃσ
q,∞ ∩ Ḃs
r,∞,
если {
β − σ(α− 1) > n
q ,
β − s(α− 1) > n
r .
(7)
Пусть ε′ и ε′′ – некоторые достаточно малые положительные числа. Положим
α =
s− n
r + n
q − σ + ε′ − ε′′
s− σ
и
β =
n( s
q − σ
r ) + ε′s− ε′′s
s− σ
.
Варьируя соответствующим образом ε′ и ε′′, можно добиться того, чтобы выполня-
лись неравенства (7) и α, β > 0, α 6= 1.
Далее, из (2) и (7) имеем
αn
2
> β − ((1− θ1)ε′ + θ1ε
′′) .
Следовательно, мы можем выбрать α и β так, чтобы αn
2 > β. В этом случае, в силу
леммы 4 (i), f 6∈ A(Rn). ¤
1. Beurling A. Sur les integrales de Fourier absolument convergentes et leur application à fonctionelle
Proc. IX Congrès de Math. Scand. (Helsingfors, 1938) – P. 345-366.
2. Löfström J. Besov spaces in the theory of approximation // Ann. Mat. Pura Appl. – 1970. – 85. –
P. 93-184.
3. Peetre J. New Thoughts on Besov Spaces. – Durham, NC: Duke University Press, 1976.
4. Тригуб Р.М. Aбсолютная сходимость интегралов Фурье, суммируемость рядов Фурье и при-
ближение полиномами функций на торе // Изв. Aкaд. Нaук СССР, Сер. Maт. – 1980. – 44,
№6. – С. 1378-1408.
131
Ю.С. Коломойцев
5. Бесов О.В. К теореме Хермандера о мультипликаторах Фурье // Тр. МИАН. – 1986. – 173. –
С. 3–13.
6. Liflyand E. On absolute convergence of Fourier integrals // Real Anal. Exchange. – 2010. – 36, №2.
– P. 353-360.
7. Kolomoitsev Yu., Liflyand E. Sufficient conditions for absolute convergence of multiple Fourier
integrals // ArXiv: http://arxiv.org/abs/1108.5470v. – 2010.
8. Liflyand E., Samko S. and Trigub R. The Wiener algebra of absolutely convergent Fourier integrals:
an overview // Anal. Math. Phys. – 2012. – 2, №1. – P. 1-68.
9. Trigub R.M., Belinsky E.S. Fourier Analysis and Approximation of Functions. – Kluwer-Springer,
2004.
10. Тригуб Р.М. Мультипликаторы в пространстве Харди Hp(Dm) при p ∈ (0, 1] и аппроксима-
тивные свойства методов суммирования степенных рядов // Матем. сб. – 1997. – 188, №4. –
C. 145-160.
11. Rukasov V.I., Runovski K.V., Schmeisser H.-J. // On convergence of families of linear polynomial
operators. – Funct. Approx. Comment. Math. – 2009. – 41, № 1. – P. 41-54.
12. Берг Й., Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введение. – М.: Мир, 1980.
13. Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир, 1986.
14. Wainger S. Special trigonometric series in k-dimensions // Mem. Amer. Math. Soc. – 59. – 1965.
15. Fefferman Ch. Inequalities for Strongly Singular Convolution Operators // Acta Math. – 1970. –
124 – P. 9-36.
16. Miyachi A. On some Fourier multipliers for Hp(Rn) // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sec. IA. – 1980. –
27. – P. 157–179.
17. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sec. IA. – 1981. – 28.
– P. 267–315.
18. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – М.: Мир,
1973.
Yu. S. Kolomoitsev
On a class of functions representable as a Fourier integral.
The sufficient conditions for the representation of functions as an Fourier integral in Rn of a function
belonging to the space L1 ∩ Lp for 0 < p < 2 are obtained. These conditions are given in terms of the
simultaneous behavior of the "norms" of functions in homogeneous Besov spaces.
Keywords: Fourier integral, the spaces Lp, 0 < p < 2, Besov spaces.
Ю.С. Коломойцев
Про клас функцiй, зображуваних у виглядi iнтеграла Фур’є.
Отримано достатнi умови зображення функцiй у виглядi iнтеграла Фур’є в Rn вiд функцiї, що
належить простору L1 ∩ Lp при 0 < p < 2. Цi умови подано в термiнах спiльної поведiнки "норм"
функцiй iз однорiдних просторiв Бєсова.
Ключовi слова: iнтеграл Фур’є, простори Lp, 0 < p < 2, простори Бєсова.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kolomus1@mail.ru
Получено 17.10.12
132
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124121 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:31:09Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коломойцев, Ю.С. 2017-09-20T11:32:19Z 2017-09-20T11:32:19Z 2012 О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье / Ю.С. Коломойцев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 125-132. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124121 517.55 Получены достаточные условия представления функций в виде интеграла Фурье в Rⁿ от функции, принадлежащей пространству L1 ⋂ Lp при 0 < p < 2. Эти условия даны в терминах совместного поведения "норм" функций из однородных пространств Бесова. Отримано достатнi умови зображення функцiй у виглядi iнтеграла Фур’є в Rⁿ вiд функцiї, що належить простору L1 ⋂ Lp при 0 < p < 2. Цi умови подано в термiнах спiльної поведiнки "норм" функцiй iз однорiдних просторiв Бєсова. The sufficient conditions for the representation of functions as an Fourier integral in Rⁿ of a function belonging to the space L1 ⋂ Lp for 0 < p < 2 are obtained. These conditions are given in terms of the simultaneous behavior of the "norms" of functions in homogeneous Besov spaces. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье Про клас функцiй, зображуваних у виглядi iнтеграла Фур’є On a class of functions representable as a Fourier integral Article published earlier |
| spellingShingle | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье Коломойцев, Ю.С. |
| title | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье |
| title_alt | Про клас функцiй, зображуваних у виглядi iнтеграла Фур’є On a class of functions representable as a Fourier integral |
| title_full | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье |
| title_fullStr | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье |
| title_full_unstemmed | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье |
| title_short | О классе функций, представимых в виде интеграла Фурье |
| title_sort | о классе функций, представимых в виде интеграла фурье |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124121 |
| work_keys_str_mv | AT kolomoicevûs oklassefunkciipredstavimyhvvideintegralafurʹe AT kolomoicevûs proklasfunkciizobražuvanihuviglâdiintegralafurê AT kolomoicevûs onaclassoffunctionsrepresentableasafourierintegral |