Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2
В работе изучены некоторые проблемы сходимости общих пространственных гомеоморфизмов. В частности, здесь доказана теорема о сходимости обратных отображений, а также теорема о гомеоморфности предельного отображения. У роботi вивчено деякi проблеми збiжностi загальних просторових гомеоморфiзмiв. Зокре...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124128 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 / В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 181-184. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124128 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Рязанов, В.И. Севостьянов, Е.А. 2017-09-20T11:45:17Z 2017-09-20T11:45:17Z 2012 Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 / В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 181-184. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124128 531.38 В работе изучены некоторые проблемы сходимости общих пространственных гомеоморфизмов. В частности, здесь доказана теорема о сходимости обратных отображений, а также теорема о гомеоморфности предельного отображения. У роботi вивчено деякi проблеми збiжностi загальних просторових гомеоморфiзмiв. Зокрема, тут доведено теорему про збiжнiсть обернених вiдображень, а також теорему про гомеоморфнiсть граничного вiдображення. It was studied some convergence problems for general spatial homeomorphisms in the paper. In particular, it was proved here the theorem on convergence of inverse mappings as well as the theorem on a homeomorphic limit mapping. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 Теореми збiжностi гомеоморфiзмiв в Rⁿ, n ≥ 2 About convergence of homeomorphisms in Rⁿ, n ≥ 2 Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 |
| spellingShingle |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 Рязанов, В.И. Севостьянов, Е.А. |
| title_short |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 |
| title_full |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 |
| title_fullStr |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 |
| title_full_unstemmed |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 |
| title_sort |
теоремы сходимости гомеоморфизмов в rⁿ, n ≥ 2 |
| author |
Рязанов, В.И. Севостьянов, Е.А. |
| author_facet |
Рязанов, В.И. Севостьянов, Е.А. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Теореми збiжностi гомеоморфiзмiв в Rⁿ, n ≥ 2 About convergence of homeomorphisms in Rⁿ, n ≥ 2 |
| description |
В работе изучены некоторые проблемы сходимости общих пространственных гомеоморфизмов. В частности, здесь доказана теорема о сходимости обратных отображений, а также теорема о гомеоморфности предельного отображения.
У роботi вивчено деякi проблеми збiжностi загальних просторових гомеоморфiзмiв. Зокрема, тут доведено теорему про збiжнiсть обернених вiдображень, а також теорему про гомеоморфнiсть граничного вiдображення.
It was studied some convergence problems for general spatial homeomorphisms in the paper. In particular, it was proved here the theorem on convergence of inverse mappings as well as the theorem on a homeomorphic limit mapping.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124128 |
| citation_txt |
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rⁿ, n ≥ 2 / В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 181-184. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT râzanovvi teoremyshodimostigomeomorfizmovvrnn2 AT sevostʹânovea teoremyshodimostigomeomorfizmovvrnn2 AT râzanovvi teoremizbižnostigomeomorfizmivvrnn2 AT sevostʹânovea teoremizbižnostigomeomorfizmivvrnn2 AT râzanovvi aboutconvergenceofhomeomorphismsinrnn2 AT sevostʹânovea aboutconvergenceofhomeomorphismsinrnn2 |
| first_indexed |
2025-11-25T22:43:39Z |
| last_indexed |
2025-11-25T22:43:39Z |
| _version_ |
1850570088635170816 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 531.38
c©2012. В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов
ТЕОРЕМЫ СХОДИМОСТИ ГОМЕОМОРФИЗМОВ В Rn, n ≥ 2.
В работе изучены некоторые проблемы сходимости общих пространственных гомеоморфизмов.
В частности, здесь доказана теорема о сходимости обратных отображений, а также теорема о
гомеоморфности предельного отображения.
Ключевые слова: гомеоморфизмы, сходимость отображений, обратные отображения.
В дальнейшем, в расширенном пространстве Rn = Rn
⋃{∞} мы используем сфе-
рическую (хордальную) метрику h(x, y) : = |π(x)−π(y)| , где π – стереографическая
проекция пространства Rn на сферу Sn(1
2en+1,
1
2) в Rn+1, т.е.
h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x 6= ∞ 6= y, h(x,∞) =
1√
1 + |x|2
.
Ясно, что расширенное пространство Rn гомеоморфно единичной сфере Sn в
Rn+1. Сферический (хордальный) диаметр множества E ⊂ Rn есть величина
h(E) = sup
x,y∈E
h(x, y) .
Для точки z ∈ Rn и множества E ⊆ Rn мы также определим расстояние h(z, E)
как точную нижнюю грань h(z, y) по всем y ∈ E, а для множеств F ⊆ Rn и E ⊆ Rn
– расстояние h(F, E) как точную нижнюю грань h(z, y) по всем z ∈ F и y ∈ E. В
дальнейшем B ∗(x0, ρ), x0 ∈ Rn, ρ ∈ (0, 1), обозначает шар {x ∈ Rn : h(x, x0) < ρ}
относительно сферической метрики.
Начнём с простого следствия из теоремы Брауэра об инвариантности области.
Следствие 1. Пусть U – открытое множество в Rn и f : U → Rn – непре-
рывное инъективное отображение. Тогда f – гомеоморфизм множества U на мно-
жество V = f(U).
Доказательство. Пусть y0 ∈ f(U) и x0 := f −1(y0). Полагаем B = B ∗(x0, ε0), где
0 < ε0 < h(x0, ∂U). Тогда B ⊂ U. Заметим, что отображение f0 := f |B инъектив-
но, непрерывно и отображает компакт B в хаусдорфово топологическое простран-
ство Rn. Следовательно, f0 является гомеоморфизмом множества B на топологиче-
ское пространство f0(B) относительно индуцированной топологии Rn (см. теорему
41.III.3 в [5]). По теореме Брауэра об инвариантности областей (см. теорему 4.7.16
в [7]), f отображает шар B на область в Rn гомеоморфно. Следовательно, отобра-
жение f −1(y) непрерывно в точке y0 и, значит, отображение f : U → Rn является
гомеоморфизмом. ¤
Ядром последовательности открытых множеств Ωl ⊂ Rn, l = 1, 2, . . . называ-
ется открытое множество
181
В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов
Ω0 = Kern Ωl : =
∞⋃
m=1
Int
( ∞⋂
l=m
Ωl
)
,
где Int A обозначает множество, состоящее из всех внутренних точек A; другими
словами, Int A есть объединение всех открытых шаров внутри A относительно сфе-
рической метрики.
Следующее предложение для случая плоскости было доказано в работе [1], см.
также предложение 2.7 в монографии [2].
Предложение 1. Пусть gl : D → D ′
l , D ′
l := gl(D) – последовательность го-
меоморфизмов, заданных в области D ⊆ Rn. Предположим, что последователь-
ность gl сходится локально равномерно при l → ∞ к инъективному отображению
g : D → D ′ := g(D) ⊂ Rn относительно сферической метрики. Тогда отображение g
является гомеоморфизмом и, кроме того, D ′ ⊂ KernD ′
l .
Доказательство. Заметим, прежде всего, что отображение g непрерывно как
локально равномерный предел непрерывных отображений, см. теорему 13.VI.3 в [4].
Тогда g является гомеоморфизмом по следствию 1.
Пусть y0 ∈ D ′. Рассмотрим сферический шар B∗(z0, ρ), где z0 := g−1(y0) ∈ D и
ρ < h(z0, ∂D). Тогда, ввиду компактности сферы ∂B∗(z0, ρ),
r0 : = min
z∈∂B∗(z0,ρ)
h(y0, g(z)) > 0 .
Далее, найдётся достаточно большое целое число N такое, что gl(z0) ∈ B∗(y0, r0/2)
для всех l ≥ N и, кроме того,
B ∗(y0, r0/2) ∩ gl(∂B ∗(z0, ρ)) = B ∗(y0, r0/2) ∩ ∂gl(B ∗(z0, ρ)) = ∅
поскольку gl → g на компактном множестве ∂B ∗(z0, ρ). Следовательно, в силу связ-
ности шаров,
B ∗(y0, r0/2) ⊂ gl(B ∗(z0, ρ)) ∀ l ≥ N ,
см., напр., теорему 46.I.1 в [5]. Следовательно, y0 ∈ Kern D ′
l , т.е., D ′ ⊂ Kern D ′
l в
силу произвольности y0. ¤
Замечание 1. В частности, из предложения 1 следует, что D ′ := g(D) ⊆ Rn, если
D ′
l := gl(D) ⊆ Rn при всех l = 1, 2, . . . .
Следующее утверждение для плоского случая может быть найдено в работе [3],
см. также лемму 2.16 в монографии [2].
Лемма 1. Пусть D – область в Rn, l = 1, 2, . . . , и пусть fl – последователь-
ность гомеоморфизмов D в Rn такая, что fl сходится при l → ∞ локально рав-
номерно к гомеоморфизму f из D в Rn относительно сферической метрики. Тогда
также f−1
l → f−1 локально равномерно в области f(D).
Доказательство. В силу предложения 1, для фиксированного компакта C ⊂
f(D), имеем, что C ⊂ fl(D) для всех l ≥ l0 = l0(C). Полагаем gl = f−1
l , g = f−1.
182
Теоремы сходимости гомеоморфизмов в Rn
Заметим, что локально равномерная сходимость gl → g эквивалентна так называ-
емой непрерывной сходимости, означающей, что gl(ul) → g(u0) для каждой сходя-
щейся последовательности ul → u0 в f(D); см., напр., теоремы 20.VIII.2 и 21.X.4
в [4]. Итак, пусть ul ∈ f(D), l = 0, 1, 2, . . . и ul → u0 при l → ∞. Покажем, что
zl := g(ul) → z0 := g(u0) при l →∞.
Хорошо известно, что каждое метрическое пространство является L∗-простран-
ством, т.е., пространством со сходимостью (см. теорему 21.II.1 в [4]); в частности,
аксиома Урысона в компактных пространствах утверждает, что zl → z0 при l →∞
тогда и только тогда, когда для каждой сходящейся подпоследовательности zlk → z∗,
имеет место равенство z∗ = z0 (см., напр., определение 20.I.3 в [4]). Следовательно,
достаточно доказать равенство z∗ = z0 для каждой сходящейся подпоследователь-
ности zlk → z∗ при k → ∞. Пусть D0 – подобласть области D такая, что z0 ∈ D0 и
D0 – компактное подмножество D. По предложению 1, f(D0) ⊂ Kernfl(D0) и, следо-
вательно, u0 вместе с некоторой своей окрестностью принадлежит flk(D0) при всех
k ≥ K. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что ulk ∈ flk(D0),
т.е., zlk ∈ D0 при всех k = 1, 2, . . . и, следовательно, z∗ ∈ D. В силу непрерывной
сходимости fl → f , мы получим, что flk(zlk) → f(z∗), т.е., flk(glk(ulk)) = ulk → f(z∗).
Из последнего соотношения вытекает, что u0 = f(z∗), т.е., f(z0) = f(z∗) и, значит,
z∗ = z0. ¤
Следующее утверждение на плоскости было доказано в работе [6], см. предло-
жение 2.6 в монографии [2].
Теорема 1. Пусть D – область в Rn, n ≥ 2, fm, m = 1, 2, . . . , – последователь-
ность гомеоморфизмов D в Rn, сходящаяся локально равномерно к дискретному
отображению f : D → Rn относительно сферической метрики. Тогда f – гомео-
морфизм D в Rn.
Доказательство. Прежде всего, докажем от противного, что f – инъективно.
Действительно, предположим, что существуют x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 такие, что
f(x1) = f(x2) и x1 6= ∞. Полагаем Bt = B(x1, t). Пусть t0 – некоторое число та-
кое, что Bt ⊂ D и x2 6∈ Bt при каждом t ∈ (0, t0]. По теореме Жордана-Брауэра, см.
теорему 4.8.15 в [7], γm : = fm(∂Bt) = ∂fm(Bt) разбивает Rn на две компоненты
Cm := fm(Bt), C ∗
m = Rn \ Cm ,
для которых γm является общей границей. По построению ym := fm(x1) ∈ Cm и
zm := fm(x2) ∈ C ∗
m. Заметим, что шар B ∗(ym, h(ym, ∂Cm)) содержится внутри мно-
жества Cm и, следовательно, его замыкание лежит в Cm. Следовательно,
h(ym, ∂Cm) < h(ym, zm), m = 1, 2, . . . . (1)
В силу компактности множества ∂Cm = fm(∂Bt), найдётся последовательность
xm,t ∈ ∂Bt такая, что
fm(xm,t) , m = 1, 2, . . . . (2)
В силу компактности множества ∂Bt, для каждого t ∈ (0, t0] найдётся элемент
xt ∈ ∂Bt такой, что h(xmk,t, xt) → 0 при k →∞ для некоторой подпоследовательно-
183
В.И. Рязанов, Е.А. Севостьянов
сти mk. Поскольку локально равномерная сходимость непрерывных функций в мет-
рическом пространстве влечёт непрерывную сходимость, см., напр., теорему 21.X.3
в [4]), получаем, что
h(fmk
(xmk,t), f(xt)) → 0
при k →∞. Следовательно, из (1) и (2) имеем, что
h(f(x1), f(xt)) ≤ h(f(x1), f(x2)) ∀ t ∈ (0, t0] .
Однако, по предположению f(x1) = f(x2) и, следовательно, f(xt) = f(x1) для каж-
дого t ∈ (0, t0]. Последнее соотношение противоречит дискретности отображения f.
Следовательно, отображение f инъективно.
Осталось доказать, что отображения f и f −1 непрерывны. Отображение f непре-
рывно как локально равномерный предел непрерывных отображений, см., напр.,
теорему 13.VI.3 в [4]. Наконец, отображение f −1 непрерывно ввиду следствия 1. ¤
1. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On Beltrami equations with two characteristics // Comp.
Var. Ell. Equ. – 2009. – V. 54, no. 10. – P. 933-950.
2. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami Equation: A Geometric Approach,
Developments in Mathematics, 26. – New York: Springer, 2012.
3. Kolomoitsev Yu., Ryazanov V. Uniqueness of approximate solutions of the Beltrami equations //
Proc. Inst. Appl. Math. & Mech. NASU. – 2009. – V. 19. – P. 116-124.
4. Куратовский К. Топология, Т. 1. – М.: Мир, 1966.
5. Куратовский К. Топология, Т. 2. – М.: Мир, 1969.
6. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On strong solutions of the Beltrami equations // Comp. Var.
Ell. Equ. – 2010. – V. 55, no. 1-3. – P. 219-236.
7. Спеньер Э. Алгебраическая топология. – М.: Мир, 1971.
V. I. Ryazanov, E.A. Sevost’yanov
About convergence of homeomorphisms in Rn, n ≥ 2..
It was studied some convergence problems for general spatial homeomorphisms in the paper. In particular,
it was proved here the theorem on convergence of inverse mappings as well as the theorem on a
homeomorphic limit mapping.
Keywords: homeomorphisms, convergence of the mappings, inverse mappings.
В. I. Рязанов, Є.О. Севостьянов
Теореми збiжностi гомеоморфiзмiв в Rn, n ≥ 2. .
У роботi вивчено деякi проблеми збiжностi загальних просторових гомеоморфiзмiв. Зокрема, тут
доведено теорему про збiжнiсть обернених вiдображень, а також теорему про гомеоморфнiсть гра-
ничного вiдображення.
Ключовi слова: гомеоморфiзми, збiжнiсть вiдображень, оберненi вiдображення.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vlryazanov1@rambler.ru
esevostyanov2009@mail.ru
Получено 11.11.12
184
|