Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей
Получено аналитическое решение смешанной задачи о симметричной деформации изотропного полупространства, на границе которого приложена нагрузка, распределенная по круговой области V , вне V – нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения на всей граничной плоскости отсут...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124136 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей / Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 251-259. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860100171663147008 |
|---|---|
| author | Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Залётов, С.В. |
| author_facet | Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Залётов, С.В. |
| citation_txt | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей / Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 251-259. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Получено аналитическое решение смешанной задачи о симметричной деформации изотропного полупространства, на границе которого приложена нагрузка, распределенная по круговой области V , вне V – нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения на всей граничной плоскости отсутствуют. Приведены формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещений в упругом полупространстве и на его границе. Частными случаями рассматриваемой задачи являются задача Буссинеска, задача о действии сосредоточенной силы на полупространство с упруго закрепленной границей, а также первая основная задача теории упругости, когда коэффициент пропорциональности напряжений и перемещений на границе обращается в нуль, а распределенная по круговой области нагрузка не зависит от угловой координаты.
Отримано аналiтичний розв’язок змiшаної задачi щодо симетричної деформацiї iзотропного пiвпростору, до границi якого докладено навантаження, розподiлене по круговiй областi V , поза V – нормальнi напруження i перемiщення пропорцiйнi, дотичнi напруження на всiй граничнiй площинi вiдсутнi. Наведено формули для компонент тензора напружень i вектора перемiщень у пружному пiвпросторi i на його границi. Окремими випадками розглянутої задачi є задача Буссiнеска, задача про дiю зосередженої сили на пiвпростiр з пружно закрiпленою границей, а також перша основна задача теорiї пружностi, коли коефiцiєнт пропорцiйностi напружень i перемiщень на границi перетворюється в нуль, а розподiлене по круговiй областi навантаження не залежить вiд кутової координати.
It was obtained analytic solution mixed problem about axisymmetric deformation of an isotropic halfspace, on boundary wich the load is distributed in a circular domain V , outside V – the normal stresses and displacements are proportional, the shear stresses on the boundary plane are absent. Presented formulas for the components of the stresses tensor and displacements vector in an elastic half-space and on its boundary. Particular cases of task are Boussinesqs problem, problem of a concentrated force to elastic half-space with a fixed boundary and the first primary problem of the theory of elasticity, when the coefficient proportionality of stresses and displacements at the border is zero, and distributed in a circular area of the load does not depend on the angular coordinate.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:28:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2012. Том 25
УДК 539.3
c©2012. Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧАОДЕЙСТВИИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
НАГРУЗКИ НА ИЗОТРОПНОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО С
УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ
Получено аналитическое решение смешанной задачи о симметричной деформации изотропного по-
лупространства, на границе которого приложена нагрузка, распределенная по круговой области
V , вне V – нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения
на всей граничной плоскости отсутствуют. Приведены формулы для компонент тензора напряже-
ний и вектора перемещений в упругом полупространстве и на его границе. Частными случаями
рассматриваемой задачи являются задача Буссинеска, задача о действии сосредоточенной силы на
полупространство с упруго закрепленной границей, а также первая основная задача теории упруго-
сти, когда коэффициент пропорциональности напряжений и перемещений на границе обращается
в нуль, а распределенная по круговой области нагрузка не зависит от угловой координаты.
Ключевые слова: теория упругости, осесимметричная смешанная задача, изотропное полупро-
странство, аналитическое решение.
1. Введение. Осесимметричная задача для упругого полупространства, к гра-
нице которого приложена равномерно распределенная по круговой области нагруз-
ка, исследовалась С.П. Тимошенко, Дж. Гудьером. В монографии [1] приведены
аналитические формулы для напряжений и перемещений на границе изотропного
полупространства. Другой способ решения задачи о симметричной деформации изо-
тропного полупространства с упруго закрепленной границей вне области приложе-
ния нормальной нагрузки предложен в работе [2], в которой на основе аналитическо-
го решения трехмерной задачи [3] построены формулы для случая осевой симметрии
путём преобразования компонент тензора напряжений при переходе от прямоуголь-
ной к цилиндрической системе координат. В данной работе получено точное реше-
ние краевой осесимметричной задачи для полупространства с упруго закрепленной
границей, приведены аналитические формулы, которые позволяют рассчитать на-
пряжения и перемещения в произвольных точках на границе и внутри изотропного
тела.
2. Постановка задачи. Рассматривается смешанная задача теории упругости
о деформации изотропного полупространства, на границе которого действует рас-
пределенная по круговой области нагрузка, удовлетворяющая условиям осевой сим-
метрии; вне области приложения нагрузки нормальные напряжения и перемещения
пропорциональны; касательные напряжения на всей плоскости, ограничивающей
полупространство, отсутствуют; напряжения на бесконечности обращаются в нуль.
Совместим начало цилиндрической системы координат r,Θ, z с центром круго-
вой области приложения нагрузки (рис. 1). Ось z направим вертикально вверх.
В случае осесимметричной деформации система уравнений теории упругости для
251
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов
Рис. 1. Изотропное полупространство z ≥ 0 с упруго закрепленной границей
изотропного тела [1] сводится к уравнению
∇2∇2Φ(r, z) = 0. (1)
Здесь Φ(r, z) – функция напряжения Лява, оператор ∇2 имеет вид
∇2 =
∂2
∂r2
+
1
r
∂
∂r
+
∂2
∂z2
.
Компоненты тензора напряжений σr(r, z), σθ(r, z), σz(r, z), τrz(r, z) и вектора пе-
ремещений u(r, z), w(r, z) через функцию Φ(r, z) выражаются следующими форму-
лами:
σr =
∂
∂z
(ν∇2Φ− ∂2Φ
∂r2
), (2)
σΘ =
∂
∂z
(ν∇2Φ− 1
r
∂Φ
∂r
), (3)
σz =
∂
∂z
((2− ν)∇2Φ− ∂2Φ
∂z2
), (4)
τrz =
∂
∂r
((1− ν)∇2Φ− ∂2Φ
∂z2
), (5)
u = −1 + ν
E
∂2Φ
∂r∂z
, (6)
w =
1
2G1
(2(1− ν)∇2Φ− ∂2Φ
∂z2
), (7)
где модуль сдвига G1 = E/2(1 + ν), E – модуль Юнга, ν – коэффициент Пуассона.
Граничные условия для верхнего упругого полупространства z ≥ 0 запишем в
виде
σz(r, 0) = −q(r), r < a; (8)
σz(r, 0) = kw(r, 0), r > a; (9)
τrz(r, 0) = 0, r < ∞, (10)
252
Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство
где q(r) – интенсивность нагрузки, распределенной по кругу радиуса a, k – посто-
янный коэффициент.
Таким образом, решение задачи сводится к определению функции Φ(r, z), для
которой в плоскости z = 0 выполняются граничные условия (8)-(10) при подстановке
в них компонент тензора напряжений и перемещения w в соответствии с формулами
(4), (5), (7).
3. Аналитическое решение осесимметричной смешанной задачи теории
упругости. Будем искать решение дифференциального уравнения (1) с помощью
интегрального преобразования Ханкеля. Обозначим через Q трансформанту функ-
ции Φ(r, z)
Q(z, t) =
∫ ∞
0
Φ(r, z)rJ0(rt)dr, (11)
здесь J0(rt) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Согласно формуле обращения функция Φ(r, z) записывается в виде
Φ(r, z) =
∫ ∞
0
Q(z, t)tJ0(rt)dt. (12)
Умножим левую часть уравнения (1) на rJ0(rt) и проинтегрируем по r от нуля
до бесконечности, получим дифференциальное уравнение
d4Q
dz4
− 2t2
d2Q
dz2
+ t4Q = 0. (13)
Ограниченное на бесконечности решение уравнения (13) имеет вид
Q(z, t) = (A + Bz)e−tz. (14)
С учетом соотношений (14), (12), вычислим касательное напряжение, определя-
емое формулой (5), и, приравняв его нулю на границе полупространства, найдем
связь между коэффициентами A и B :
B =
1
2ν
At. (15)
Введем функцию
β(r) = {q(r)+kw(r,0),r<a
0,r>a , (16)
с помощью которой граничные условия (8), (9) запишем следующим образом:
σz(r, 0) = −β(r) + kw(r, 0), r < ∞. (17)
Применим к равенству (17) интегральное преобразование Ханкеля, получим
σz = −β + kw. (18)
В формуле (18) черта над величиной обозначает трансформанту соответствующей
функции. Принимая во внимание формулы (4), (7), (12), вычислим трансформанты
253
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов
функций σz, w и подставим их в равенство (18). В результате получим соотношение,
из которого найдем
A = − 2νβ
t2(t + χ)
, (19)
где
χ =
2k(1− ν2)
E
. (20)
Таким образом, функция Q записывается в виде
Q = −β(2ν + tz)
t2(t + χ)
e−tz. (21)
Из равенств (12), (21) находим функцию напряжений
Φ(r, z) = −
∫ ∞
0
β(2ν + tz)
t(t + χ)
e−tzJ0(rt)dt. (22)
Подставив Φ(r, z) в формулы (2)-(7), определим компоненты тензора напряжений
и вектора перемещений в изотропном полупространстве
u(r, z) = −1 + ν
E
∫ ∞
0
β(t)(1− 2ν − zt)e−tzJ1(rt)
tdt
t + χ
, (23)
w(r, z) = −1 + ν
E
∫ ∞
0
β(t)(2ν − 2− zt)e−tzJ0(rt)
tdt
t + χ
, (24)
σz(r, z) = −
∫ ∞
0
β(t)t2(1 + zt)e−tzJ0(rt)
dt
t + χ
, (25)
σr(r, z) =
∫ ∞
0
β(t)t2(1− zt)e−tzJ0(rt)
t2dt
t + χ
−
−1
r
∫ ∞
0
β(t)(1− 2ν − zt)e−tzJ1(rt)
tdt
t + χ
, (26)
σΘ(r, z) = 2ν
∫ ∞
0
β(t)e−tzJ0(rt)
t2dt
t + χ
+
+
1
r
∫ ∞
0
β(t)(1− 2ν − zt)e−tzJ1(rt)
tdt
t + χ
, (27)
τrz(r, z) = −z
∫ ∞
0
β(t)t3e−tzJ1(rt)
dt
t + χ
. (28)
Устремив в формулах (23)-(28) координату z к нулю, вычислим перемещения и
напряжения на границе полупространства
u(r, 0) = −(1 + ν)(1− 2ν)
E
∫ ∞
0
β(t)J1(rt)
tdt
t + χ
, (29)
254
Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство
w(r, 0) =
2(1− ν2)
E
∫ ∞
0
β(t)J0(rt)
tdt
t + χ
, (30)
σz(r, 0) = −
∫ ∞
0
β(t)J0(rt)
t2dt
t + χ
, (31)
σr(r, 0) =
∫ ∞
0
β(t)J0(rt)
t2dt
t + χ
− 1− 2ν
r
∫ ∞
0
β(t)J1(rt)
tdt
t + χ
, (32)
σΘ(r, 0) = 2ν
∫ ∞
0
β(t)J0(rt)
t2dt
t + χ
+
1− 2ν
r
∫ ∞
0
β(t)J1(rt)
tdt
t + χ
, (33)
τrz(r, z) = 0. (34)
Как следует из равенства (34), касательные напряжения на границе обращаются в
нуль. Преобразовав соотношение (31) к виду
σz(r, 0) = −
∫ ∞
0
βJ0(rt)
t(t + χ− χ)dt
t + χ
= (35)
= −
∫ ∞
0
βtJ0(rt)dt + χ
∫ ∞
0
βJ0(rt)
tdt
t + χ
= −β(r) + kw(r, 0),
убеждаемся, что граничные условия для напряжения σz тождественно удовлетво-
ряются.
Если при заданной конкретной нагрузке q(r) вычисление трансформанты β(t)
затруднительно, то в построенном решении (23)-(34) можно вернуться от трансфор-
манты к оригиналу функции β(r), применив формулу обращения. В частности, для
вертикального перемещения на границе полупространства из соотношения (30) най-
дем
w(r, 0) =
2(1− ν2)
E
∫ ∞
0
[
∫ ∞
0
β(ξ)ξJ0(ξt)dξ]J0(rt)
tdt
t + χ
=
=
2(1− ν2)
E
∫ a
0
β(ξ)g1w(ξ, r)dξ, (36)
g1w(ξ, r) = ξ
∫ ∞
0
J0(ξt)J0(rt)
tdt
t + χ
. (37)
Для определения функции β(r) в круге r < a используем равенство (16). Из него
с учетом формул (36), (37), (20) получим интегральное уравнение
β(r) = q(r) +
∫ a
0
β(ξ)gw(ξ, r)dξ, r < a, (38)
ядро которого определяется соотношением
gw(ξ, r) = χg1w(ξ, r). (39)
Итак, решение осесимметричной задачи (8)-(10) определяется формулами (23)-
(34), причем функция β(r) находится из интегрального уравнения (38). При k = 0
255
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов
параметр χ обращается в нуль, а задача (8)-(10) трансформируется в первую ос-
новную задачу, решение которой впервые было получено Тередзавой. Приведенное
в монографии [4] решение Тередзавы следует из формул (25)-(28), если в них пара-
метр χ приравнять нулю. Если χ 6= 0, а на упруго закрепленной границе действует
сосредоточенная сила P , то устремив радиус круга a к нулю, найдем, что функ-
ция β(t) равна P/2π, а полученные результаты (25)-(36) совпадают с формулами,
опубликованными в работах [5-7].
4. Решение интегрального уравнения в случае нагрузки, равномерно
распределенной по круговой области. Численная реализация решения смешан-
ной задачи (8)-(10) при известном законе распределения нагрузки q(r) в заданной
круговой области начинается с решения интегрального уравнения (38). Оно пред-
ставляет собой неоднородное уравнение Фредгольма второго рода, которое, как из-
вестно [8], имеет единственное решение, если коэффициент, стоящий перед инте-
гральным оператором, не является собственным значением ядра.
Решение интегрального уравнения может быть представлено в виде бесконечного
ряда Неймана [8]
β(r) =
∞∑
n=0
Knq(r), r ∈ V1.
Здесь K – интегральный оператор уравнения (38). Можно показать, что при условии
конечности области приложения нагрузки норма оператора меньше единицы, ряд
Неймана сходится и является единственным решением интегрального уравнения [9].
Численно решение уравнения (38) осуществляется методом последовательных
приближений с помощью равенств
β[0](r) = q(r), β[j+1](r) = q(r) +
∫ a
0
gw(r, ξ)β[j](ξ)dξ, ξ ≥ 0. (40)
Исследуем задачу в случае, когда к границе полупространства приложена рас-
пределенная по круговой области нагрузка постоянной интенсивности q0. Преобра-
зуем интегральное уравнение (38), разделив левую и правую части на q0 и введя
неизвестную безразмерную функцию β̃(r) = β(r)/q0 , получим
β̃(r) = 1 +
∫ a
0
β̃(ξ)gw(r, ξ)dξ. (41)
В равенствах (40) также перейдем к безразмерной функции β̃(r), разделив правые
и левые части на q0.
При вычислении интеграла в правой части уравнения (41) область интегриро-
вания r ∈ [0, a] разбивается на элементарные отрезки длиной h. При численном
решении уравнения (41) методом последовательных приближений в соотношениях
(40) положим β[0] = 1, заменим интеграл суммой произведений значений подынте-
гральной функции на величину элементарного отрезка h и найдем значение β̃[1] в
первом приближении. При реализации метода последовательных приближений на
ПК расчет значения функции β̃ в точке (r,0) продолжается до момента выполнения
256
Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство
условия (β̃[N ] − β̃[N−1])/β̃[N ] ≤ ε, где ε – заданная точность вычисления.
Таблица. Решение интегрального уравнения при χ = 0.2
r/a β[1] β[2] β[3] β[4]
0.1 1.152372557 1.173434865 1.176242749 1.176612134
0.2 1.152190827 1.173168979 1.175961794 1.176328994
0.3 1.150497113 1.171129351 1.173869579 1.174229522
0.4 1.147895626 1.168002513 1.170663543 1.171012603
0.5 1.144303284 1.163700313 1.166255578 1.166590183
0.6 1.139588403 1.158082021 1.160504769 1.160821390
0.7 1.133540487 1.150922573 1.153185499 1.153480610
0.8 1.125801740 1.141839479 1.143913865 1.144183851
0.9 1.115675264 1.130087646 1.131940976 1.132181815
1 1.101270535 1.113644499 1.115230753 1.115436759
Изложенный метод решения интегрального уравнения позволяет найти значение
функции β(r) в произвольной точке области 0 < r < a. В таблице приведены числен-
ные значения безразмерной функции β̃ до четвертого приближения включительно.
Из таблицы видно, что при χ = 0.2 итерационный процесс быстро сходится: разница
между численными значениями функции β в третьем и четвертом приближениях
меньше 0.0004. Численное исследованые при χ = 1; 1.8 показывают, что с ростом
χ сходимость замедляется и для достижения такой же точности требуется большее
количество итераций.
Рис. 2. Зависимость функции β̃(r) от радиальной координаты
1− χ = 0.2; 2− χ = 1; 3− χ = 1.8
На рис. 2 построена зависимость β̃ от безразмерной радиальной координаты
257
Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов
r̃ = r/a для значений параметра χ, равных 0,2; 1; 1,8 м−1. Из рисунка видно, что
с ростом параметра χ значения функции β̃(r) увеличиваются. Плавное изменение
функции β̃(r) показывает, что при численных исследованиях функция β в окрест-
ности [rk, rk+1] произвольной точки области r < 1 может быть аппроксимирована
линейным отрезком, проходящим через точки rk, β̃(rk) и rk+1, β̃(rk+1), где rk, rk+1 –
соседние узлы выбранной координаты r, в которых предварительно рассчитываются
изложенным выше методом значения β̃(rk), β̃(rk+1).
На практике решение задачи (3) может быть использованно для расчета про-
странственного напряженно-деформированного состояния массива горных пород при
разработке пластовых месторождений полезных ископаемых, а также при оценке
прочности деталей с тонкими перфорированными прослойками.
1. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1975. – 576 с.
2. Залётов В.В., Сторожев В.И., Хапилова Н.С. Решение смешанной задачи теории упругости
для изотропного полупространства в цилиндрической системе координат // Современные про-
блемы механики сплошной среды. Тр. ХII Международной конференции. – Ростов-на-Дону,
Россия: ЮФУ, 2008. – Т. 1. – С. 81-85.
3. Залётов В.В. Аналитическое решение смешанной задачи теории упругости для изотропного
полупространства // Труды ИПММ НАН Украины. – Т. 14. – 2007. – С. 74-82
4. Новацкий В.И. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 872 с.
5. Залетов В.В. Осесимметричная задача теории упругости для изотропного полупространства,
лежащего на упругом основании, при действии сосредоточенной силы // Труды ИПММ НАН
Украины. – 2004. – Т. 9. – C. 61-67.
6. Залетов В.В., Хапилова Н.С. Закономерности распределения перемещений в изотропном полу-
пространстве, лежащем на упругом основании, при действии сосредоточенной силы // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2010. – Т. 20. – C. 65-73.
7. Хапилова Н.С., Залетов В.В. Симметричная деформация упругого полупространства при сме-
шанных граничных условиях // Математические проблемы механики неоднородных структур.
VIII Международная научная конференция, 14-17 сентября 2010г. – Львов: Институт приклад-
ных проблем механики и математики им. Я.С. Подстригача, 2010. – С. 96-97.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. – М.: Наука, 1978. – 832 с.
9. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1984. – 752 с.
N. S. Khapilova, V.V. Zaletov, S.V. Zaletov
Axisymmetric deformation of an isotropic half-space at elastic fixing of boundary outside
domain of application normal load.
It was obtained analytic solution mixed problem about axisymmetric deformation of an isotropic half-
space, on boundary wich the load is distributed in a circular domain V , outside V – the normal stresses
and displacements are proportional, the shear stresses on the boundary plane are absent. Presented
formulas for the components of the stresses tensor and displacements vector in an elastic half-space and
on its boundary. Particular cases of task are Boussinesqs problem, problem of a concentrated force to
elastic half-space with a fixed boundary and the first primary problem of the theory of elasticity, when
the coefficient proportionality of stresses and displacements at the border is zero, and distributed in a
circular area of the load does not depend on the angular coordinate.
Keywords: theory of elasticity, axisymmetric mixed problem, isotropic half-space, analytical solution.
258
Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство
Н.С. Хапiлова, В.В. Зальотов, С.В. Зальотов
Осесиметрична задача про дiю розподiленого навантаження на iзотропний пiвпростiр
з пружно закрiпленою границею.
Отримано аналiтичний розв’язок змiшаної задачi щодо симетричної деформацiї iзотропного пiв-
простору, до границi якого докладено навантаження, розподiлене по круговiй областi V , поза V –
нормальнi напруження i перемiщення пропорцiйнi, дотичнi напруження на всiй граничнiй площинi
вiдсутнi. Наведено формули для компонент тензора напружень i вектора перемiщень у пружному
пiвпросторi i на його границi. Окремими випадками розглянутої задачi є задача Буссiнеска, задача
про дiю зосередженої сили на пiвпростiр з пружно закрiпленою границей, а також перша основ-
на задача теорiї пружностi, коли коефiцiєнт пропорцiйностi напружень i перемiщень на границi
перетворюється в нуль, а розподiлене по круговiй областi навантаження не залежить вiд кутової
координати.
Ключовi слова: теорiя пружностi, осесиметрична змiшана задача, iзотропний пiвпростiр,
аналiтичний розв’язок.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
khapilova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 14.11.12
259
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124136 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:28:29Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Залётов, С.В. 2017-09-20T12:06:15Z 2017-09-20T12:06:15Z 2012 Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей / Н.С. Хапилова, В.В. Залётов, С.В. Залётов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2012. — Т. 25. — С. 251-259. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124136 539.3 Получено аналитическое решение смешанной задачи о симметричной деформации изотропного полупространства, на границе которого приложена нагрузка, распределенная по круговой области V , вне V – нормальные напряжения и перемещения пропорциональны, касательные напряжения на всей граничной плоскости отсутствуют. Приведены формулы для компонент тензора напряжений и вектора перемещений в упругом полупространстве и на его границе. Частными случаями рассматриваемой задачи являются задача Буссинеска, задача о действии сосредоточенной силы на полупространство с упруго закрепленной границей, а также первая основная задача теории упругости, когда коэффициент пропорциональности напряжений и перемещений на границе обращается в нуль, а распределенная по круговой области нагрузка не зависит от угловой координаты. Отримано аналiтичний розв’язок змiшаної задачi щодо симетричної деформацiї iзотропного пiвпростору, до границi якого докладено навантаження, розподiлене по круговiй областi V , поза V – нормальнi напруження i перемiщення пропорцiйнi, дотичнi напруження на всiй граничнiй площинi вiдсутнi. Наведено формули для компонент тензора напружень i вектора перемiщень у пружному пiвпросторi i на його границi. Окремими випадками розглянутої задачi є задача Буссiнеска, задача про дiю зосередженої сили на пiвпростiр з пружно закрiпленою границей, а також перша основна задача теорiї пружностi, коли коефiцiєнт пропорцiйностi напружень i перемiщень на границi перетворюється в нуль, а розподiлене по круговiй областi навантаження не залежить вiд кутової координати. It was obtained analytic solution mixed problem about axisymmetric deformation of an isotropic halfspace, on boundary wich the load is distributed in a circular domain V , outside V – the normal stresses and displacements are proportional, the shear stresses on the boundary plane are absent. Presented formulas for the components of the stresses tensor and displacements vector in an elastic half-space and on its boundary. Particular cases of task are Boussinesqs problem, problem of a concentrated force to elastic half-space with a fixed boundary and the first primary problem of the theory of elasticity, when the coefficient proportionality of stresses and displacements at the border is zero, and distributed in a circular area of the load does not depend on the angular coordinate. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей Осесиметрична задача про дiю розподiленого навантаження на iзотропний пiвпростiр з пружно закрiпленою границею Axisymmetric deformation of an isotropic half-space at elastic fixing of boundary outside domain of application normal load Article published earlier |
| spellingShingle | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей Хапилова, Н.С. Залётов, В.В. Залётов, С.В. |
| title | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей |
| title_alt | Осесиметрична задача про дiю розподiленого навантаження на iзотропний пiвпростiр з пружно закрiпленою границею Axisymmetric deformation of an isotropic half-space at elastic fixing of boundary outside domain of application normal load |
| title_full | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей |
| title_fullStr | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей |
| title_full_unstemmed | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей |
| title_short | Осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей |
| title_sort | осесимметричная задача о действии распределенной нагрузки на изотропное полупространство с упруго закрепленной границей |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124136 |
| work_keys_str_mv | AT hapilovans osesimmetričnaâzadačaodeistviiraspredelennoinagruzkinaizotropnoepoluprostranstvosuprugozakreplennoigranicei AT zaletovvv osesimmetričnaâzadačaodeistviiraspredelennoinagruzkinaizotropnoepoluprostranstvosuprugozakreplennoigranicei AT zaletovsv osesimmetričnaâzadačaodeistviiraspredelennoinagruzkinaizotropnoepoluprostranstvosuprugozakreplennoigranicei AT hapilovans osesimetričnazadačaprodiûrozpodilenogonavantažennânaizotropniipivprostirzpružnozakriplenoûgraniceû AT zaletovvv osesimetričnazadačaprodiûrozpodilenogonavantažennânaizotropniipivprostirzpružnozakriplenoûgraniceû AT zaletovsv osesimetričnazadačaprodiûrozpodilenogonavantažennânaizotropniipivprostirzpružnozakriplenoûgraniceû AT hapilovans axisymmetricdeformationofanisotropichalfspaceatelasticfixingofboundaryoutsidedomainofapplicationnormalload AT zaletovvv axisymmetricdeformationofanisotropichalfspaceatelasticfixingofboundaryoutsidedomainofapplicationnormalload AT zaletovsv axisymmetricdeformationofanisotropichalfspaceatelasticfixingofboundaryoutsidedomainofapplicationnormalload |