Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками
Вивчаються лебегiвська структура, тополого-метричнi i фрактальнi властивостi спектра (мiнiмального замкненого носiя) розподiлу випадкової пiдсуми заданого знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками, поведiнка модуля її характеристичної функцiї на нескiнченностi. Повнiстю вивчено структуру, з...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Datum: | 2013 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124154 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками / Я.В. Гончаренко, Ю.І. Жихарєва, М.В. Працьовитий // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 46-57. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860207258538868736 |
|---|---|
| author | Гончаренко, Я.В. Жихарєва, Ю.І Працьовитий, М.В. |
| author_facet | Гончаренко, Я.В. Жихарєва, Ю.І Працьовитий, М.В. |
| citation_txt | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками / Я.В. Гончаренко, Ю.І. Жихарєва, М.В. Працьовитий // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 46-57. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Вивчаються лебегiвська структура, тополого-метричнi i фрактальнi властивостi спектра (мiнiмального замкненого носiя) розподiлу випадкової пiдсуми заданого знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками, поведiнка модуля її характеристичної функцiї на нескiнченностi. Повнiстю вивчено структуру, знайдено необхiднi та достатнi умови аномальної фрактальностi, нульвимiрностi Лебега та канторовостi спектра. Доведено, що сингулярний розподiл пiдсуми є близьким до дискретного за поведiнкою характеристичної функцiї на нескiнченностi, якщо ряд не є перiодичним.
Изучаются лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства спектра (минимального замкнутого носителя) распределения случайной подсуммы заданного знакоположительного ряда Люрота с независимыми слагаемыми, поведение модуля ее характеристической функции на бесконечности. Полностью изучена структура, найдены необходимые и достаточные условия аномальной фрактальности, ноль-мерности Лебега и канторовости спектра. Доказано, что сингулярное распределение подсуммы близко к дискретному по поведению характеристической функции на бесконечности, если ряд не периодический.
The paper is devoted to random incomplete sum of given positive L¨uroth series with independent terms. We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of spectrum (i.e., minimal closed support) of distribution of this random variable as well as behavior at infinity of absolute value of its characteristic function. Structure of distribution is studied completely. Necessary and sufficient conditions for spectrum to be anomalously fractal, of zero Lebesgue measure and of Cantor type are found.We prove that singular distribution of incomplete sum is close to discrete distribution by behaviour of characteristic function at infinity if series is not periodic.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:12:31Z |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 26
УДК 519.21+511.72
c©2013. Я.В. Гончаренко, Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
ВЛАСТИВОСТI РОЗПОДIЛУ ВИПАДКОВОЇ ПIДСУМИ ЗНАКОДО-
ДАТНОГО РЯДУ ЛЮРОТА З НЕЗАЛЕЖНИМИ ДОДАНКАМИ
Вивчаються лебегiвська структура, тополого-метричнi i фрактальнi властивостi спектра (мiнiмаль-
ного замкненого носiя) розподiлу випадкової пiдсуми заданого знакододатного ряду Люрота з
незалежними доданками, поведiнка модуля її характеристичної функцiї на нескiнченностi. По-
внiстю вивчено структуру, знайдено необхiднi та достатнi умови аномальної фрактальностi, нуль-
вимiрностi Лебега та канторовостi спектра. Доведено, що сингулярний розподiл пiдсуми є близьким
до дискретного за поведiнкою характеристичної функцiї на нескiнченностi, якщо ряд не є перiо-
дичним.
Ключовi слова: знакододатний ряд Люрота, пiдсума ряду Люрота, мнижина пiдсум ряду Лю-
рота, випадкова пiдсума ряду Люрота, сингулярний розподiл, лебегiвська структура розподiлу,
характеристична функцiя випадкової величини.
Вступ. Нагадаємо, що числовим знакододатним рядом Люрота (далi: рядом
Люрота) називається вираз вигляду
1
d1 + 1
+
1
d1(d1 + 1)(d2 + 1)
+
1
d1(d1 + 1)d2(d2 + 1)(d3 + 1)
+ ...
... +
1
d1(d1 + 1)d2(d2 + 1)...dn−1(dn−1 + 1)(dn + 1)
+ ...,
(1)
де (dn) – фiксований нескiнченний впорядкований набiр натуральних чисел.
Очевидно, що ряд (1) визначається послiдовнiстю натуральних чисел (dn). Далi
використовуватимемо скорочення Dn = d1(d1 + 1)...dn−1(dn−1 + 1)(dn + 1). Тодi
Dn+1 = Dndn(dn+1 + 1), n ∈ N. (2)
Кожен ряд Люрота є збiжним, i його сума належить пiвiнтервалу (0, 1], причому
ряду (1) – ( 1
d1+1 , 1], зокрема, 1 =
∞∑
n=1
1
2n .
Зауважимо, що залишок (хвiст) ряду Люрота (1)
rk =
∞∑
n=k+1
1
Dn
≥ 1
Dk+1
⇔ 1
rk
≤ Dk+1 (3)
не є рядом Люрота, але подається у виглядi:
rk =
1
Dkdk
· ( 1
dk+1 + 1
+
1
dk+1(dk+1 + 1)(dk+2 + 1)
+ ...) =
xk
Dkdk
,
де вираз в круглих дужках є рядом Люрота (з сумою xk).
46
Розподiлу випадкової пiдсуми знакододатного ряду Люрота
Теорема 1. ([2]) Будь-яке число x ∈ (0, 1] єдиним чином розкладається в знако-
додатний ряд Люрота, тобто для числа x iснує єдина послiдовнiсть натуральних
чисел (dn), dn = dn(x), така, що
x =
1
d1 + 1
+
∞∑
n=2
1
d1(d1 + 1)d2(d2 + 1)...dn−1(dn−1 + 1)(dn + 1)
= ∆L
d1d2...dn.... (4)
Останнiй символiчний запис називається L-зображенням числа x.
Наслiдок. Рiзнi ряди Люрота мають рiзнi суми.
Теорема 2. ([2]) Число x ∈ (0, 1] є рацiональним тодi i тiльки тодi, коли його
L-зображення є перiодичним.
Означення 1.Пiдрядом ряду Люрота (1) називається кожен вираз виду
∞∑
n∈M⊂N
1
Dn
,
де M – фiксована пiдмножина множини натуральних чисел.
Кожен ряд Люрота має континуальну множину пiдрядiв.
Суму пiдряду Люрота називатимемо пiдсумою ряду Люрота.
Пiдсуму x ряду Люрота (1), залежну вiд множини M , можна подати у виглядi
x(M) = x =
∞∑
n=1
εn
d1(d1 + 1)d2(d2 + 1)...dn−1(dn−1 + 1)(dn + 1)
= ∆ε1ε2...εn..., (5)
де εn =
{
1, якщо n ∈ M,
0, якщо n /∈ M.
Множину всiх пiдсум заданого ряду Люрота з сумою r позначатимемо Cr, тобто
Cr =
{
x : x = x(M), M ∈ 2N
}
.
Очевидно, що жоден з пiдрядiв ряду Люрота при M 6= N, не є рядом Люрота.
Означення 2. Якщо x =
∞∑
k=1
εk
Dk
, де εk ∈ {0, 1}, то це символiчно записуватимемо
x = ∆Cr
ε1ε2...εn... i називатимемо Cr-зображенням числа x. При цьому число εk = εk(x)
називається k-тим Cr-символом числа x.
Лема 1. Якщо dn 6= 1 для нескiнченної кiлькостi значень n ∈ N i M1 6= M2, то
для пiдсум x(M1) i x(M2) виконується нерiвнiсть x(M1) 6= x(M2).
Доведення. Нехай
x(M1) =
∞∑
i=1
εi
Di
= ∆Cr
ε1ε2...εn..., x(M2) =
∞∑
i=1
ε′i
Di
= ∆Cr
ε′1ε′2...ε′n...
.
Оскiльки M1 6= M2, то iснує m таке, що εm 6= ε′m, але εi 6= ε′i при i < m. Не
порушуючи загальностi, нехай εm = 1, а ε′m = 0. Розглянемо рiзницю
x(M1)− x(M2) =
∞∑
i=1
εi
Di
−
∞∑
i=1
ε′i
Di
=
1
Dm
+
∞∑
i=m+1
εi
Di
−
∞∑
i=m+1
ε′i
Di
≥ 1
Dm
−
∞∑
i=m+1
1
Di
=
47
Я.В. Гончаренко, Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
=
1
Dm
(
1− 1
dm(dm+1 + 1)
− 1
dm(dm+1 + 1)dm+1(dm+2 + 1)
− . . .
)
> 0,
оскiльки серед членiв послiдовностi (dm+j) iснують вiдмiннi вiд одиницi.
Отже, x(M1) > x(M2). ¤
Зауваження. Окремої уваги заслуговують ряди Люрота, для яких dn = 1
при n ≥ n0. Для них ∆Cr
ε1...εm...εn1(0) = ∆Cr
ε1...εm...εn0(1).
Означення 3. Якщо (c1, . . . , cn) – фiксований набiр 0 та 1, то множину
∆Cr
c1...cm
= {x : x = ∆Cr
c1c2...cmεm+1εm+2...εm+j ... ε ∈ N}
називатимемо Cr-цилiндром рангу m з основою c1 . . . cm.
В л а с т и в о с т i Cr-цилiндрiв:
1. ∆Cr
c1...cm
= ∆Cr
c1...cm0
⋃
∆Cr
c1...cm1.
2. min∆Cr
c1...cm
=
m∑
i=1
ci
Di
= a, max∆Cr
c1...cm
= a + rm,
причому ∆Cr
c1...cm
= [a, b] ⇔ c1 = c2 = . . . = cm = 1.
3. d(∆Cr
c1...cm
) = rm → 0 (m →∞).
4. Основне метричне вiдношення:
|∆Cr
c1...cmi|
|∆Cr
c1...cm|
=
rm+1
rm
=
rm+1
1
Dm+1
+ rm+1
=
1
1 + 1
Dm+1rm+1
.
5. Мають мiсце нерiвностi:
1
1 + dm+1(dm+2 + 1)
≤ |∆Cr
c1...cmi|
|∆Cr
c1...cm|
≤ 1
1 + 1
Dm+1
.
Справдi, враховуючи (2), (3) i те, що rm+1 < 1 та 1
Dm+1
≤ rm < r0, отримуємо:
1
Dm+1
≤ 1
Dm+1rm+1
≤ Dm+2
Dm+1
=
Dm+1dm+1(dm+2 + 1)
Dm+1
= dm+1(dm+2 + 1).
Тодi 1 + 1
Dm+1
≤ 1 + 1
Dm+1rm+1
≤ 1 + dm+1(dm+2 + 1).
А отже, 1
1+dm+1(dm+2+1) ≤ 1
1+ 1
Dm+1rm+1
≤ 1
1+ 1
Dm+1
.
6.
∞⋂
m=1
∆Cr
c1...cm
= x = ∆Cr
c1...cm... для довiльної послiдовностi (cm), cm ∈ A.
Теорема 3. ([2]) Множина Cr пiдсум ряду Люрота (1) є континуальною, дос-
коналою множиною, яка є:
1. вiдрiзком [0, 1], якщо dn = 1 для всiх n ∈ N ;
2. об’єднанням скiнченного числа цилiндрiв (вiдрiзкiв), якщо dn = 1 для всiх n,
бiльших деякого n0;
3. нiде не щiльною, досконалою множиною нульової мiри Лебега, якщо dn 6= 1
для нескiнченної множини значень n.
48
Розподiлу випадкової пiдсуми знакододатного ряду Люрота
1. Випадкова пiдсума ряду Люрота з незалежними доданками. Нехай
(dn) – задана послiдовнiсть натуральних чисел; (θn) – послiдовнiсть незалежних ви-
падкових величин, якi набувають значень 0 i 1 з ймовiрностями p0k, p1k, вiдповiдно,
причому p0k + p1k = 1. Розглядається випадкова величина
ξ =
∞∑
n=1
θn
Dn
= ∆Cr
θ1θ2...θn..., Dn = d1(d1 + 1) . . . dn−1(dn−1 + 1)(dn + 1), (6)
яка є випадковою пiдсумою ряду (1) з незалежними доданками. Згiдно з теоремою
Джессена-Вiнтнера [9] випадкова величина ξ має чистий лебегiвський тип розподiлу
(чисто дискретний, чисто сингулярний або чисто абсолютно неперервний). Наслiд-
ком вiдомої теореми П. Левi [15] є наступний критерiй дискретностi.
Лема 2. Для того, щоб випадкова величина ξ мала дискретний розподiл, необ-
хiдно i достатньо, щоб M =
∞∏
k=1
max{p0k, p1k} > 0.
Наслiдок. Для того, щоб випадкова величина ξ мала неперервний розподiл,
необхiдно i достатньо, щоб M = 0.
Теорема 4. Точковий спектр (множина атомiв) дискретно розподiленої випад-
кової величини ξ складається з точки x0 =
∞∑
k=1
ik
Dk
, де pikk = max{p0k, p1k} i всiх
точок x вигляду x =
m∑
k=1
εk
Dk
+
∞∑
k=m+1
ik
Dk
, де εk ∈ A = {0, 1}, pεkk > 0, k ∈ N .
Доведення. З незалежностi θk i єдиностi Cr-зображення числа випливає, що
P{ξ = ∆Cr
c1c2...cm...} =
∞∏
k=1
pckk, тобто P{ξ = x0} =
∞∏
k=1
pikk.
Спочатку доведемо н е о б х i д н i с т ь: якщо M > 0, то розподiл ξ є чисто
дискретним. Оскiльки P{ξ = x0} = M , то P{ξ = x0} > 0.
Якщо pεk(x)k > 0 для всiх k ∈ N i Cr-зображення точки x вiдрiзняється вiд
зображення точки x0 не бiльше, нiж першими m Cr-символами, то
P{ξ = x} =
m∏
k=1
pεkk ·
∞∏
k=m+1
pikk =
m∏
k=1
pεkk · M
m∏
k=1
pikk
.
Нехай Am – множина всiх точок x, Cr-цифри яких спiвпадають з Cr-цифрами
точки x0, починаючи з m. Тодi послiдовнiсть множин Am має властивостi:
1. {x0} = A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ Am ⊂ Am+1 ⊂ ...
2. P{ξ ∈ Am} =
∑
ε1∈A
. . .
∑
εm−1∈A
m−1∏
k=1
pεkk · M
m∏
k=1
pikk
=
M
m∏
k=1
pikk
m→∞−−−−→ 1.
49
Я.В. Гончаренко, Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
Отже, злiченна множина A = lim
m→∞Am =
∞⋃
m=1
Am є носiєм розподiлу випадкової
величини ξ, тобто розподiл ξ є дискретним.
Д о с т а т н i с т ь. Якщо ξ має дискретний розподiл, то iснує x таке, що
0 < P{ξ = x} =
∞∏
k=1
pεkk ≤
∞∏
k=1
max
i
{pik} = M, тобто M > 0. ¤
2. Спектральнi властивостi розподiлу ξ. Нагадаємо, що спектром Sξ роз-
подiлу випадкової величини ξ називається множина всiх точок росту її функцiї
розподiлу Fξ, тобто мiнiмальна замкнена множина, на якiй зосереджений розподiл
випадкової величини ξ, тобто
Sξ = {x : Fξ(x + ε)− Fξ(x− ε) > 0 ∀ε > 0} = {x : P{ξ ∈ (x− ε; x + ε)} > 0 ∀ε > 0}.
Якщо pik > 0 для всiх i ∈ {0, 1} i k ∈ N, то спектр Sξ спiвпадає з множиною всiх
пiдсум ряду Люрота.
Лема 3. Спектром розподiлу випадкової величини ξ є замикання множини
E = {x : x = ∆Cr
ε1...εk..., pεkk > 0 ∀k ∈ N}.
Доведення. 1. Покажемо, що E ⊂ Sξ. Нехай ∆Cr
ε1...εk... = x ∈ E. Тодi
P{ξ ∈ ∆Cr
ε1...εk
} =
k∏
i=1
pεii > 0 ∀k ∈ N.
Для довiльного ε > 0 iснує k таке, що ∆Cr
ε1...εk
⊂ (x− ε; x + ε). Тому
P{ξ ∈ (x− ε; x + ε) ≥ P{ξ ∈ ∆Cr
ε1...εk
} > 0,тобто x ∈ Sξ i E ⊂ Sξ.
2. Покажемо тепер, що Sξ ⊂ E. Нехай x ∈ Sξ, тобто
P{ξ ∈ (x− ε;x + ε)} > 0 ∀ε > 0. (7)
Припустимо, що iснує k таке, що pεkk = 0. Тодi P{ξ ∈ ∆Cr
ε1...εk
} =
∏k
i=1 pεii = 0.
Розглянемо довiльне ξ таке, що x = ∆Cr
ε1...εk.... Можливi випадки:
1) iснує ε > 0 таке, що (x− ε; x + ε) ⊂ ∆Cr
ε1...εk
;
2) (x− ε; x + ε) 6∈ ∆Cr
ε1...εk
для довiльного ε > 0.
У першому випадку P{ξ ∈ (x− ε; x + ε)} ≤ P{ξ ∈ ∆Cr
ε1...εk
} = 0, що суперечить (7).
У другому випадку ξ є односторонньо граничною точкою множини Cr. Для кон-
кретностi, нехай лiвосторонньою. Тодi iснує таке ε > 0, що
(x− ε;x) ⊂ ∆Cr
ε1...εk
, P{ξ ∈ ∆Cr
ε1...εk
} = 0.
I в цьому випадку P{ξ ∈ (x − ε; x + ε)} = P{ξ ∈ ∆Cr
ε1...εk
} = 0, що суперечить умовi
(7). Отримане протирiччя доводить, що pεkk > 0 для довiльного k ∈ N, тобто x ∈ E.
Отже, Sξ = E, що й вимагалось довести. ¤
3. Лебегiвська структура розподiлу випадкової величини ξ.
Теорема 5. Нехай розподiл ξ є неперервним, тобто M = 0. Тодi ξ має:
50
Розподiлу випадкової пiдсуми знакододатного ряду Люрота
1. абсолютно неперервний розподiл, коли
∞∑
k=n0+1
(1− 2p0k)
2 + (1− 2p1k)
2 < ∞, якщо dn = 1 для всiх n > n0; (8)
2. сингулярний розподiл канторiвського типу у протилежному випадку, тобто,
коли dn 6= 1 для нескiнченної множини значень n.
Доведення. Якщо M = 0, то розподiл ξ, згiдно з наслiдком з теореми , є непе-
рервним. Оскiльки
ξ = ξ1 +
1
Dn0
ξ′, де ξ1 =
θ1
D1
+ . . . +
θn0
Dn0
має дискретний розподiл, а ξ′ є випадковою величиною з незалежними двiйковими
цифрами. Тому згiдно з вiдомими фактами [16], ξ′, а отже, i ξ мають абсолютно
неперервний розподiл тодi i тiльки тодi, коли виконується (8).
Тепер розглянемо випадок, коли dn 6= 1 для нескiнченної множини значень n.
Згiдно з теоремою 3, Sξ ⊂ Cr i λ(Cr) = 0. Тодi λ(Sξ) = 0. Отже, ξ має сингулярний
розподiл канторiвського типу, що й вимагалось довести. ¤
4. Функцiя розподiлу випадкової величини ξ. Функцiю розподiлу Fξ ви-
падкової величини ξ досить визначити в точках спектра розподiлу Sξ, оскiльки в
iнших точках вона довизначається за неперервнiстю та монотоннiстю.
Лема 4. В точцi ∆Cr
ε1...εk... = x ∈ Sξ функцiя розподiлу Fξ випадкової величини
ξ виражається
Fξ(x) = βε11 +
∞∑
k=2
βεkk
k−1∏
j=1
pεjj
, (9)
де β0k = 0, β1k = p0k, тобто βεkk = εkp0k.
Доведення. Подiя {ξ < x} подається у виглядi
{ξ < x} = {θ1 < ε1}
⋃{θ1 = ε1, θ2 < ε2}
⋃
. . .
⋃
⋃{θ1 = ε1, θ2 = ε2, . . . , θk−1 = εk−1, θk < εk}
⋃
. . . .
(10)
Оскiльки подiї у (10) несумiснi, то отримуємо:
P{ξ < x} = P{θ1 < ε1}+ P{θ1 = ε1, θ2 < ε2}+ . . .+
+P{θ1 = ε1, θ2 = ε2, . . . , θk−1 = εk−1, θk < εk}+ . . . .
Враховуючи (10) i незалежнiсть подiй, маємо:
P{θ1 = ε1, . . . , θk−1 = εk−1, θk < εk} =
(
k−1∏
i=1
P{θi = εi}
)
· P{θk < εk} = βεkk
k−1∏
j=1
pεjj .
Отже, функцiя розподiлу Fξ(x) = P{ξ < x} подається у формi (9). ¤
51
Я.В. Гончаренко, Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
Теорема 6. Функцiя розподiлу Fξ випадкової величини ξ виражається Fξ(x) =
Fξ(x), де x = sup{u : u < x, u ∈ Sξ}.
Теорема 6 випливає з леми 4 i означення функцiї розподiлу.
5. Характеристична функцiя випадкової величини ξ та її властивостi.
Нагадаємо, що характеристичною функцiєю випадкової величини X називається
вираз MeitX .
Лема 5. Характеристична функцiя випадкової величини ξ, визначеної рiвнiстю
(6), має вигляд fξ(t) =
∞∏
k=1
(
p0k + p1k exp it
Dk
)
, а її модуль записується у виглядї
|fξ(t)| =
∞∏
k=1
|fk(t)|, де |fk(t)| =
√
1− 4p0kp1k sin2 t
2Dk
.
Доведення. Використовуючи означення характеристичної функцiї та властивостi
математичного сподiвання, отримуємо
fξ(t) = Meitξ = M exp
(
it
∞∑
k=1
εk
Dk
)
= M
(
exp itε1
D1
· exp itε2
D2
· . . . · exp itεk
Dk
· . . .
)
=
=
∞∏
k=1
M exp itεk
Dk
=
∞∏
k=1
(
p0k + p1k exp it
Dk
)
=
=
∞∏
k=1
[(
p0k + p1k cos t
Dk
)
+ ip1k sin t
Dk
]
=
∞∏
k=1
fk(t)
i
|fk(t)| =
√
p2
0k + 2p0kp1k cos
t
Dk
+ p2
1k =
√
1− 4p0kp1k sin2 t
2Dk
,
що й доводить лему. ¤
Дослiдимо асимптотичну поведiнку модуля характеристичної функцiї випадко-
вої величини ξ на нескiнченностi, а саме: величину Lξ = lim
|t|→∞
sup |fξ(t)|. Вiдомо, що
коли розподiл є дискретним (тобто, коли M > 0), то Lξ = 1. Тому розглядатимемо
лише випадок, коли M = 0.
Теорема 7. Якщо dn = 1 при n > n0, то Lξ = 0 ⇔ lim
k→∞
p0k = 1
2 .
Доведення. Подамо випадкову величину ξ у виглядi
ξ =
(
θ1
D1
+ . . . +
θn0
Dn0
)
+
1
Dn0dn0
X = ξ1 +
1
Dn0dn0
X = ξ1 + ξ2.
Тодi з незалежностi ξ1 i ξ2 отримуємо fξ(t) = fξ1(t)fξ2(t).
Оскiльки випадкова величина ξ1 має дискретний розподiл, то Lξ1 = 1. Тому
поведiнка модуля характеристичної функцii ξ на нескiнченностi визначається по-
ведiнкою ξ2, а отже, X. Тому асимптотична поведiнка модуля характеристичної
функцiї на нескiнченностi визначається випадковою величиною X, яка є випадко-
вою величиною з незалежними двiйковими цифрами. Тому, не порушуючи загаль-
ностi,вважатимемо n0 = 0 (в цьому випадку X = ξ).
52
Розподiлу випадкової пiдсуми знакододатного ряду Люрота
Н е о б х i д н i с т ь. Оскiльки Lξ = 0, то для кожної послiдовностi (tn) такої,
що tn →∞ (n →∞), має мiсце
lim
n→∞ |fξ(tn)| = 0. (11)
Припустимо, що при цьому p0k не прямує до 1
2 при k →∞. Тодi iснує послiдовнiсть
km : p0km 9 1
2 (m →∞).
Розглянемо tn = 2n+1π. Тодi матимемо sin2 tn
2k+1 = sin2 (2n−kπ) = 0, |fk(t)| =
1 при k ≤ n
|fξ(tk)| =
√
1− 4p0(n+1)p1(n+1)
∞∏
k=n+2
√
1− 4p0kp1k sin2 2n−kπ. (12)
Розглянемо послiдовнiсть tnm таку, що p0(nm + 1) 6= 1
2 i p0(nm + 1) 9 1
2 . Тодi
|fξ(tnm)| не прямує до 0. Бiльше того, |fξ(tnm)| = |fnm+1(t)|Snm , де
Snm =
∞∏
k=nm+2
√
1− 4p0kp1k sin2 2nm−kπ.
Останнiй добуток, очевидно, збiгається, причому
Snm ≥
∞∏
m=2
√
1− 2 sin2 π
2m
=
∞∏
m=2
cos
π
2m
= a > 0.
Отже, 0 < a < |fξ(tnm)| для всiх m = 1, 2, . . ., що суперечить рiвностi (11). Необхiд-
нiсть доведено.
Д о с т а т н i с т ь. Нехай tn — довiльна послiдовнiсть, яка прямує до нескiнченно-
стi, коли n →∞. Покажемо, що при умовi p0k → 1
2 (k →∞) |fξ(tn)| → 0 (n →∞).
Послiдовнiсть an = tn
2mn+1 , mn = mn(tn) = [log2
tn
π ] + 1, є обмеженою, злiва числом
π
4 , справа — π
2 .
Можливi випадки:
1. Iснує границя послiдовностi {an}, коли n →∞.
2. Послiдовнiсть {an} границi не має.
Розглянемо їх окремо.
1. Нехай lim
n→∞ an = q. Тодi q ∈ [
π
4 ; π
2
]
.
a) Якщо q = π
4 , то
tn
2mn → π
2 n → ∞ i Btn =
√
1− 4p0(mn−1)p1(mn−1)sin2 1
2mn →
0 (n →∞). Оскiльки |fξ(tn)| ≤ Btn , то |fξ(tn)| → 0(n →∞).
б) Якщо q = π
2 , то Ctn =
√
1− 4p0mnp1mnsin2 1
2mn+1 → 0 (n → ∞) i з |fξ(tn)| ≤
Ctn маємо lim
n→∞ |fξ(tn)| = 0.
в) Нехай тепер π
4 < q < π
2 . Тодi q = Aπ, де 1
4 < q < 1
2 , i двiйковий розклад числа
A
A =
∞∑
k=1
αk(A)
2k
= 0, α1(A) . . . αk(A) . . .
53
Я.В. Гончаренко, Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
має першу двiйкову цифру α1(A) = 0, а другу α1(A) = 1.
Можливi випадки:
1. A — число двiйково-рацiональне, тобто його двiйковий розклад мiстить пе-
рiод (0) або (1);
2. A — число двiйково-iррацiональне.
Розглянемо цi випадки окремо.
1) Нехай A — число двiйково-рацiональне. A = 0, 01α3 . . . αl−11(0) = 0, 01α3 . . .
αl−10(1). Проаналiзуємо двiйковi розклади чисел αn.
Нехай αn прямує до A злiва. Розглянемо двiйковий розклад A, що мiстить перiод
(1).
Якщо αn 6= A, то iснує j = j(n) таке, що
{
αi(an) = αi(A), i = 1, j − 1,
αi(an) = αi(A),
причому αn → A (n →∞) рiвносильна умовi j →∞.
Для досить великих n iснує s = s(n):
an = 0, 01α3 . . . αl−10 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸
s
αl+s+1αl+s+2 . . . ,
2l−1an = 1α3 . . . αl−1, 0 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸
s
αl+s+1αl+s+2 . . . ,
причому з n →∞ випливає s →∞.
Оскiльки tn
2k+ = tn2mn+1
2k+12mn+1 = 2mn−kan, то при k = mn − l + 1
tn
2k+
= (1α3 . . . αl−1, 0 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸
s
αl+s+1αl+s+2 . . .)π i
sin2 tn
2k+
= (0, 0 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸
s
αl+s+1αl+s+2 . . .)π.
З ростом s аргумент синуса прямує до π
2 .
Оскiльки |fξ(tn)| =
√
1− 4p0mn−l+1p1mn−l+1sin2(0, 0 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸
s
αl+s+1αl+s+2 . . .)π →
0, то lim
n→∞ |fξ(tn)| = 0.
Якщо an прямує до A справа, то розглянемо двiйковий розклад числа A, який мi-
стить перiод (0), тобто A = 0, 01α3 . . . αl−11(0). Аналогiчними мiркуваннями можна
показати, що i в цьому випадку lim
n→∞ |fξ(tn)| = 0.
Якщо число A є двiйково-iррацiональним, то воно має єдине двiйкове зображен-
ня, яке мiстить нескiнченну кiлькiсть i нулiв, i одиниць. Оскiльки p0k → 1
2 (k →∞),
то iснує k0 таке, що для всiх k > k0
1
5 < p0kp1k ≤ 1
4 .
Для таких k i для π
4 < γ < π
2
√
1− 4p0kp1ksin2γ <
√
3
5 .
54
Розподiлу випадкової пiдсуми знакододатного ряду Люрота
Нехай ks – номер мiсця s-го 0 у двiйковому розкладi A, пiсля якого йде 1, тобто
αks(A) = 0 i αks+1(A) = 1.
З an → A (k →∞) випливає, що l(an) номер першої двiйкової цифри an, вiдмiн-
ної вiд цифри A, прямує до нескiнченностi, тобто l(an) → ∞. Тобто, для достатньо
великих n i k = mn − ks + 1 > k0 маємо
1
2
= sin2 π
4
< sin2 tn
2k+1
= sin2 (0, 01β3β4 . . .)π < 1, βi ∈ {0; 1} i
Atn =
l(an)−1∏
k=k0+1
√
1− 4p0kp1ksin2
tn
2k+1
≤
(√
3
5
)jl
,
де jl – це кiлькiсть пар (01) у двiйковому розкладi A на мiсцях вiд k0 +1 до l(an)−1
включно.
Оскiльки з n →∞ випливає l(an) →∞ i jl →∞, то lim
n→∞ |fξ(tn)| = 0.
2. Розглянемо тепер випадок, коли послiiдовнiсть {an} не має границi. Припу-
стимо, що Lξ = c0 > 0. Тодi iснує послiдовнiсть {tn} така, що lim
n→∞ |fξ(tn)| = c0.
Оскiльки послiдовнiсть an = tn
2mn+1 обмежена (знизу числом π
4 , а зверху – π
2 ), то з
неї можна видiлити збiжну пiдпослiдовнiсть {ans}. Тодi lim
s→∞ |fξ(tns)| = lim
n→∞ |fξ(tn)| =
c0. але, як доведено у випадку 1, lim
n→∞ |fξ(tn)| = 0.
Отримане протирiччя доводить достатнiсть i всю теорему. ¤
Наслiдок. Якщо dn = 1 при n > n0, то 0 < Lξ ≤ 1 ⇔ lim
k→∞
p0k 6= 1
2 .
Теорема 8. Якщо dn 6= 1 для всiх n > n0, то Lξ > 1, а при dn+1 > dn для всiх
n > n0 має мiсце рiвнiсть Lξ = 1.
Доведення. Розглянемо випадок, коли dn 6= 1 нескiнченну кiлькiсть разiв.
Розглянемо послiдовнiсть tn = 2πDn. Оцiнимо
∞∏
k=1
|fk(t)| =
∞∏
k=1
√
1− 4p0kp1k sin2 t
2Dk
≥
∞∏
k=1
√
1− sin2 t
2Dk
=
∞∏
k=1
∣∣∣∣cos
t
2Dk
∣∣∣∣ .
Отже, маємо Lξ ≥ lim
n→∞ |fξ(tn)| = lim
n→∞
∞∏
k=1
|fk(tn)| ≥ lim
n→∞
∞∏
k=1
∣∣∣cos tn
2Dk
∣∣∣.
Виразимо
∣∣∣∣cos
tn
2Dk
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣cos
πDn
Dk
∣∣∣∣ =
{
1, якщо k ≤ n,
cos tn
2Dk
, якщо k > n.
Тому
∞∏
k=1
|fk(t)| =
∞∏
k=n+1
cos π
dndn+1(dn+1+1)...dk(dk+1)(dk+1+1) .
Але для k > n
cos
π
dndn+1(dn+1 + 1) . . . dk(dk + 1)(dk+1 + 1)
≥ cos
π
2k−n
= 1− 2 sin2 π
2k−n+1
>
55
Я.В. Гончаренко, Ю. I. Жихарєва, М.В. Працьовитий
> 1− 2
( π
2k−n+1
)2
.
Тодi
∞∏
k=n+1
cos π
dndn+1(dn+1+1)...dk(dk+1)(dk+1+1) ≥
∞∏
k=n+1
(
1−
(
π2
22(k−n)+1
))
.
Згiдно з ознакою збiжностi нескiнченних добуткiв останнiй нескiнченний добуток
є збiжним, бо ряд
∞∑
k=n+1
(
π2
22(k−n)+1
)
є збiжним. А отже, Lξ > 0 i
∞∏
k=m
cos
π
dndn+1(dn+1 + 1) . . . dk(dk + 1)(dk+1 + 1)
→ 1,
коли dn+1 > dn для будь-якого n ∈ N . ¤
Зауваження.Ця теорема свiдчить про близкiсть сингулярного неперервного роз-
подiлу випадкової величини ξ до дискретного.
1. Барановський О.М., Працьовитий М.В., Торбiн Г.М. Тополого-метричнi властивостi множин
дiйсних чисел з умовами на їх розклади в ряди Остроградського // Укр. мат. журн. – 2007. –
59, № 9. – С. 1155-1168.
2. Жихарєва Ю.I., Працьовитий М.В. Зображення чисел знакододатними рядами Люрота: ос-
нови тополого-метричної, фрактальної i ймовiрнiсної теорiй // Наук. часопис НПУ iм. М.П.
Драгоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки. – 2008. – № 9. – С. 200-211.
3. Жихарєва Ю.I., Працьовитий М.В. Властивостi розподiлу випадкової величини, елементи
зображення якої знакододатним рядом Люрота утворюють однорiдний ланцюг Маркова //
Наук. часопис НПУ iм. М.П. Драгоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки. – 2009. – № 10. – С. 100-
107.
4. Жихарєва Ю.I., Працьовитий М.В. Властивостi розподiлу випадкової величини, L-символи
якої в зображеннi знакододатним рядом Люрота, є незалежними // Труды ИПММ НАН Укра-
ины. – 2011. – Том 23. – С. 71-83.
5. Zhykharyeva Yu., Pratsiovytyi M. Expansions of numbers in positive Lüroth series and their applica-
tions to metric, probabilistic and fractal theories of numbers // Algebra and Discrete Mathematics.
– Volume 14. – 2012. – Number 1. – P. 145-160.
6. Працьовита I.М. Ряди Остроградського 2-го виду i розподiли їх випадкових неповних сум //
Наук. часопис НПУ iм. М.П. Драгоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки. – 2006. – № 7. – С. 174-189.
7. Працьовитий М.В., Гетьман Б.I. Ряди Енгеля та їх застосування // Наук. часопис НПУ iм.
М.П. Драгоманова. Сер. 1, Фiз.-мат. науки. – 2006. – № 7. – С. 105-116.
8. Працьовитий М.В., Лещинський О.Л. Властивостi випадкових величин, заданих розподiлами
елементiв свого Q̃∞-зображення // Теорiя ймовiрн. та мат. стат. – 1997. – № 57. – С.134-139.
9. Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: Вид-
во НПУ iм. М.П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
10. Працьовитий М.В. Розподiли суми випадкових степеневих рядiв // Доп. НАН України. – 1996.
– № 5. – С. 32-37.
11. Гончаренко Я.В. Асимптотичнi властивостi характеристичної функцiї випадкової величини з
незалежними двiйковими цифрами та згортки сингулярних розподiлiв ймовiрностей // Наук.
записки НПУ iм. М.П. Драгоманова. Фiзико-математичнi науки. – 2002. – № 3. – С. 376-390.
12. Albeverio S., Goncharenko Y., Pratsiovyti M., Torbin G. Convolutions of distributions of random
variables with independent binary digits// Random Oper. Stohastic Equations, 2007. – 15, № 1. –
P. 89-97.
13. Lüroth J. Uber eine eindeutige Entwickelung von Zahlen in eine unendliche Reihe // Math. Ann. –
1883. – 21. – P. 411-423.
14. Sylvester J.J. On a point in the theory of vulgar fractions // Amer. J. Math. – 1880. – 3, № 4. –
P. 332-335. – Postscript, ibid 388-389.
56
Розподiлу випадкової пiдсуми знакододатного ряду Люрота
15. Levy P. Sur les series dont les termes sont des variables eventuelles indepedantes // Studia Math.
– 1931. – Vol. 3. – P. 119-155.
16. Salem R. On some singular monotonic function which are stricly increasing // Trans. Amer. Math.
Soc. – 1943. – 53. – P. 423-439.
Y. Goncharenko, Yu. Zhykharyeva, M. Pratsiovytyi
Properties of distribution of random incomplete sum of given positive Lüroth series with
independent terms.
The paper is devoted to random incomplete sum of given positive Lüroth series with independent terms.
We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of spectrum (i.e., minimal closed
support) of distribution of this random variable as well as behavior at infinity of absolute value of its
characteristic function. Structure of distribution is studied completely. Necessary and sufficient conditions
for spectrum to be anomalously fractal, of zero Lebesgue measure and of Cantor type are found. We prove
that singular distribution of incomplete sum is close to discrete distribution by behaviour of characteristic
function at infinity if series is not periodic.
Keywords: positive Lüroth series, incomplete sum of Lüroth series, set of incomplete sum of Lüroth
series, random incomplete sum of Lüroth series, singular distribution, Lebesgue structure of probability
distribution, characteristic function of random variable.
Я.В. Гончаренко, Ю.И. Жихарева, М.В. Працевитый
Cвойства распределения случайной подсуммы знакоположительного ряда Люрота с
независимыми слагаемыми.
Изучаются лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства спектра (мини-
мального замкнутого носителя) распределения случайной подсуммы заданного знакоположитель-
ного ряда Люрота с независимыми слагаемыми, поведение модуля ее характеристической функции
на бесконечности. Полностью изучена структура, найдены необходимые и достаточные условия
аномальной фрактальности, ноль-мерности Лебега и канторовости спектра. Доказано, что сингу-
лярное распределение подсуммы близко к дискретному по поведению характеристической функции
на бесконечности, если ряд не периодический.
Ключевые слова: знакоположительный ряд Люрота, подсумма ряда Люрота, множество под-
сумм ряда Люрота, случайная подсумма ряда Люрота, сингулярное распределение, лебеговская
структура распределения, характеристическая функция случайной величины.
Нацiональний педагогiчний ун-т iм. М.П. Драгоманова
yan_a@ukr.net
july2105@mail.ru
prats4@yandex.ru
Получено 07.05.13
57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124154 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:12:31Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гончаренко, Я.В. Жихарєва, Ю.І Працьовитий, М.В. 2017-09-21T15:54:39Z 2017-09-21T15:54:39Z 2013 Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками / Я.В. Гончаренко, Ю.І. Жихарєва, М.В. Працьовитий // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 46-57. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124154 519.21+511.72 Вивчаються лебегiвська структура, тополого-метричнi i фрактальнi властивостi спектра (мiнiмального замкненого носiя) розподiлу випадкової пiдсуми заданого знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками, поведiнка модуля її характеристичної функцiї на нескiнченностi. Повнiстю вивчено структуру, знайдено необхiднi та достатнi умови аномальної фрактальностi, нульвимiрностi Лебега та канторовостi спектра. Доведено, що сингулярний розподiл пiдсуми є близьким до дискретного за поведiнкою характеристичної функцiї на нескiнченностi, якщо ряд не є перiодичним. Изучаются лебеговская структура, тополого-метрические и фрактальные свойства спектра (минимального замкнутого носителя) распределения случайной подсуммы заданного знакоположительного ряда Люрота с независимыми слагаемыми, поведение модуля ее характеристической функции на бесконечности. Полностью изучена структура, найдены необходимые и достаточные условия аномальной фрактальности, ноль-мерности Лебега и канторовости спектра. Доказано, что сингулярное распределение подсуммы близко к дискретному по поведению характеристической функции на бесконечности, если ряд не периодический. The paper is devoted to random incomplete sum of given positive L¨uroth series with independent terms. We study Lebesgue structure, topological, metric and fractal properties of spectrum (i.e., minimal closed support) of distribution of this random variable as well as behavior at infinity of absolute value of its characteristic function. Structure of distribution is studied completely. Necessary and sufficient conditions for spectrum to be anomalously fractal, of zero Lebesgue measure and of Cantor type are found.We prove that singular distribution of incomplete sum is close to discrete distribution by behaviour of characteristic function at infinity if series is not periodic. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками Cвойства распределения случайной подсуммы знакоположительного ряда Люрота с независимыми слагаемыми Properties of distribution of random incomplete sum of given positive L¨uroth series with independent terms published earlier |
| spellingShingle | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками Гончаренко, Я.В. Жихарєва, Ю.І Працьовитий, М.В. |
| title | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками |
| title_alt | Cвойства распределения случайной подсуммы знакоположительного ряда Люрота с независимыми слагаемыми Properties of distribution of random incomplete sum of given positive L¨uroth series with independent terms |
| title_full | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками |
| title_fullStr | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками |
| title_full_unstemmed | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками |
| title_short | Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками |
| title_sort | властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду люрота з незалежними доданками |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124154 |
| work_keys_str_mv | AT gončarenkoâv vlastivostírozpodíluvipadkovoípídsumiznakododatnogorâdulûrotaznezaležnimidodankami AT žiharêvaûí vlastivostírozpodíluvipadkovoípídsumiznakododatnogorâdulûrotaznezaležnimidodankami AT pracʹovitiimv vlastivostírozpodíluvipadkovoípídsumiznakododatnogorâdulûrotaznezaležnimidodankami AT gončarenkoâv cvoistvaraspredeleniâslučainoipodsummyznakopoložitelʹnogorâdalûrotasnezavisimymislagaemymi AT žiharêvaûí cvoistvaraspredeleniâslučainoipodsummyznakopoložitelʹnogorâdalûrotasnezavisimymislagaemymi AT pracʹovitiimv cvoistvaraspredeleniâslučainoipodsummyznakopoložitelʹnogorâdalûrotasnezavisimymislagaemymi AT gončarenkoâv propertiesofdistributionofrandomincompletesumofgivenpositivelurothserieswithindependentterms AT žiharêvaûí propertiesofdistributionofrandomincompletesumofgivenpositivelurothserieswithindependentterms AT pracʹovitiimv propertiesofdistributionofrandomincompletesumofgivenpositivelurothserieswithindependentterms |