Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций
Изучаются искаженные сферические средние на гиперболической плоскости и их обобщения. Получены теоремы о среднем для собственных функций возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами. Вивчаються викривленi сферичнi середнi на гiперболiчнiй площинi та їх узагальнення. Отримано теореми про середнє для влас...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124155 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций / А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 58-66. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859745875954237440 |
|---|---|
| author | Делюкина, А.В. Волчков, Вит.В. |
| author_facet | Делюкина, А.В. Волчков, Вит.В. |
| citation_txt | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций / А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 58-66. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Изучаются искаженные сферические средние на гиперболической плоскости и их обобщения. Получены теоремы о среднем для собственных функций возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами.
Вивчаються викривленi сферичнi середнi на гiперболiчнiй площинi та їх узагальнення. Отримано теореми про середнє для власних функцiй оператора Лапласа-Бельтрамi.
We study distorted spherical means on the hyperbolic plane and their generalizations. We obtain the mean value theorems for eigenfunctions of the perturbed Laplace-Beltrami operator.
|
| first_indexed | 2025-12-01T21:47:28Z |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 26
УДК 517.5
c©2013. А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ НЕИНВАРИАНТНЫХ ЗАДАЧ
В ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Изучаются искаженные сферические средние на гиперболической плоскости и их обобщения. Полу-
чены теоремы о среднем для собственных функций возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами.
Ключевые слова: сферические средние, свертка, теоремы о среднем.
1. Введение. Пусть D – единичный круг |z| < 1 на комплексной плоскости C, G
– группа Мёбиуса конформных автоморфизмов D, r – фиксированное положитель-
ное число. Существует ли неголоморфная функция f : D → C, удовлетворяющая
условию ∫
|z|=th r
(f ◦ g)(z)dz = 0 для любого g ∈ G? (1)
Более общо, что можно сказать о функции f , если увеличить число радиусов r в
уравнении (1)?
Вопросы такого типа начали изучаться К.А. Беренстейном и Д. Паскуасом в ра-
боте [1]. В частности, были доказаны теоремы типа Мореры, характеризующие го-
ломорфные функции в терминах указанных интегральных средних. Отметим, что
мера dz в (1) неинвариантна относительно группы G, что существенно отличает
рассматриваемые задачи от ряда других подобных вопросов, связанных с преобра-
зованием Помпейю (см.[2-4] и имеющуюся там библиографию).
Особый интерес представляют локальные варианты уравнения (1), например,
когда функция f задана в круге BR = {z ∈ D : |z| < thR}, R > r, а (1) выполнено
при всех g ∈ G таких, что gBr ⊂ BR. Применение формулы Грина сводит (1) к
уравнению вида ∫
gBr
∂f
∂z
(z)(1− |z|2)2(1− z · g0)−2dµ(z) = 0, (2)
где g0 – образ точки 0 под действием g,
dµ(z) =
i
2
dz ∧ dz
(1− |z|2)2 .
Для изучения этого уравнения важно иметь подходящий аналог классической тео-
ремы о среднем для собственных функций лапласиана (см., например, [2, часть 1,
глава 7]). В данной работе получено решение этой задачи.
2. Формулировка основного результата. Пусть i, j ∈ {1, 2}, δi,j – символ
Кронекера,
gi,j(z) =
δi,j
(1− |z|2)2 , z ∈ D.
58
Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций
Круг D с метрическим тензором {gi,j} является моделью Пуанкаре вещественной ги-
перболической плоскости H2 постоянной секционной кривизны −4 (см.[5, введение]).
Группа G действует на D посредством отображений
g(z) =
az + b
bz + a
, где a, b ∈ C, |a|2 − |b|2 = 1. (3)
Как обычно, считаем, что мера Хаара dg на G нормирована соотношением
∫
G
f(g0)dg =
∫
D
f(z)dµ(z), f ∈ L1(D; dµ) (4)
(см.[5, введение, §4.3]).
Круг BR является геодезическим шаром на H2 радиуса R с центром в нуле, т.е.
BR = {z ∈ D : d(0, z) < R},
где d(·, ·) – функция расстояния на H2. Нам потребуются следующие классы функ-
ций и распределений в BR: L1,loc(BR) – совокупность локально интегрируемых функ-
ций в BR; RA(BR) – класс вещественно-аналитических функций; D′(BR) – простран-
ство распределений на BR; E ′(BR) – пространство распределений с компактным
носителем; E ′\(B)R – множество радиальных (т.е. инвариантных относительно пово-
ротов) распределений из E ′(BR).
Пространство L1,loc(BR) будет вкладываться в D′(BR) с помощью отождествле-
ния функции f ∈ L1,loc(BR) с распределением
ψ →
∫
D
f(z)ψ(z)dµ(z), ψ ∈ D(BR),
где D(BR) – пространство бесконечно-дифференцируемых финитных функций на
BR.
Пусть T ∈ E ′\(BR), s ∈ Z. Введем четную целую функцию
Fs(T )(λ) = 〈T,Bs
λ〉, λ ∈ C,
где
Bs
λ(z) = (1− |z|2)sF
(
1− s + iλ
2
,
1− s− iλ
2
; 1;
|z|2
|z|2 − 1
)
,
F (α, β; γ; z) – аналитическое продолжение на C\[1;∞) гипергеометрического ряда
∞∑
k=0
(α)k(β)k
k!(γ)k
zk, |z| < 1 ((α)k = α(α + 1)...(α + k − 1), ...).
Кроме того, положим
r(T ) = inf{r > 0 : suppT ⊂ Br},
59
А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков
где suppT – носитель распределения T . Для f ∈ C∞(BR) определим свертку
(f ×s T )(g−10) = 〈T, z → f(g−1z)(1− z · g0)s〉, g−10 ∈ BR−r(T ). (5)
Лемма 1 ниже показывает, что данное определение корректно и дает формулу для
свертки в случае, когда T – регулярное распределение.
Наконец, положим
Ls = (1− |z|2)24+ 4s(1− |z|2)z ∂
∂z
,
где 4 – оператор Лапласа на R2.
Основным результатом данной работы является
Теорема 1. Пусть T ∈ E ′\(D), R ∈ (r(T ), +∞] и
Lsf = −(λ2 + (s + 1)2)f в BR
при некотором λ ∈ C. Тогда
(f ×s T ) = Fs(T )(λ)f в BR−r(T ). (6)
Отметим, что при s = 0 утверждение теоремы 1 совпадает с известной теоремой
о среднем для собственных функций оператора Лапласа-Бельтрами на гиперболиче-
ской плоскостиH2 [5, гл.4, §2]. Относительно других результатов в этом направлении
см.[2-5].
3. Вспомогательные утверждения. Пусть SO(2) – группа вращений R2. Сле-
дующее утверждение показывает корректность определения (5).
Лемма 1. Пусть T ∈ E ′\(BR), f ∈ C∞(BR). Тогда функция
Θ(g) = 〈T, z → f(g−1z)(1− g0 · z)s〉, g ∈ G : g−10 ∈ BR−r(T )
постоянна на правых классах смежности группы G по подгруппе SO(2) и является,
таким образом, функцией от g−10. Кроме того, если T ∈ (L1,loc ∩ E ′\)(BR), то
(f ×s T )(z) =
∫
G
f(g0)T (g−1z)
(
1− |z|2
1− z · g0
)2
dg, z ∈ BR−r(T ). (7)
Доказательство. Для τ ∈ SO(2) имеем
Θ(τg) = 〈T, z → f(g−1τ−1z)(1− z · τg0)s〉 = 〈T, z → f(g−1τ−1z)(1− τ−1z · g0)s〉.
Отсюда и из радиальности T получаем Θ(τg) = Θ(g), что доказывает первое утвер-
ждение. Далее, пусть T ∈ (L1,loc ∩ E ′\)(BR). Тогда
(f ×s T )(g−10) =
∫
D
T (z)f(g−1z)(1− g0 · z)sdµ(z). (8)
60
Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций
Прямое вычисление показывает (см.(3)), что
1− |g0|2
1− g0 · z = 1− g−10 · g−1z. (9)
Используя (8), (9), инвариантность dµ относительно G и (4), получаем
(f ×s T )(g−10) =
∫
D
T (z)f(g−1z)
(
1− |g−10|2
1− g−10 · g−1z
)s
dµ(z) =
=
∫
D
T (gw)f(w)
(
1− |g−10|2
1− g−10 · w
)s
dµ(w) =
=
∫
G
T (gh0)f(h0)
(
1− |g−10|2
1− g−10 · h0
)s
dh.
Теперь учитывая, что T (gh0) = T (h−1g−10), приходим к (7). ¤
Наша дальнейшая цель – установить инвариантность Ls относительно "сдвигов"
f(z) → f(g−1z)(1− z · g0)s, g ∈ G. (10)
Для краткости положим
gz = g−1z =
az − b
a− bz
, us(z) = (1− z · g0)s,
A1 = (1− |z|2)24 = 4(1− |z|2)2 ∂2
∂z∂z
, A2 = 4s(1− |z|2)z ∂
∂z
.
Нетрудно видеть, что для f1, f2 ∈ C2(D)
A1(f1f2) = f1A1f2 + f2A1f1 + 4(1− |z|2)2
(
∂f1
∂z
∂f2
∂z
+
∂f1
∂z
∂f2
∂z
)
. (11)
Кроме того, очевидно, что
A1us = 0, A2us = 0. (12)
Лемма 2. Пусть Φ(z) = f(gz)us(z). Тогда
∂Φ
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
us(z)
(a− bz)2
− sb
a
f(gz)us−1(z), (13)
∂Φ
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
us(z)
(a− bz)2
. (14)
61
А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков
Доказательство. Поскольку g - голоморфное отображение,
∂
∂z
(f ◦ g) =
∂f
∂z
(gz)
∂g
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
1
(a− bz)2
, (15)
∂
∂z
(f ◦ g) =
∂f
∂z
(gz)
∂g
∂z
=
∂f
∂z
(gz)
1
(a− bz)2
. (16)
Учитывая, что
∂us
∂z
= −sb
a
us−1,
∂us
∂z
= 0, (17)
из (15), (16) получаем (13) и (14). ¤
Лемма 3. Оператор Ls инвариантен относительно "сдвигов"(10), т.е.
Ls(f(gz)us(z)) = (Lsf)(gz)us(z). (18)
Доказательство. Согласно (11) и (17),
A1((f ◦ g)us) = (f ◦ g)A1(us) + usA1(f ◦ g)− 4sb
a
· (1− |z|2)2 ∂
∂z
(f ◦ g)us−1.
Поскольку g является движением гиперболической плоскости H2, а оператор A1
совпадает с оператором Лапласа-Бельтрами на H2 (см.[5, введение]), то
A1(f ◦ g) = (A1f) ◦ g.
Тогда (см.(16) и (12))
A1((f ◦ g)us) = us(A1f) ◦ g − 4sb
a
(1− |z|2)2
(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)us−1.
Далее,
A2((f ◦ g)us) =
4s(1− |z|2)zus(z)
(a− bz)2
∂f
∂z
(gz),
т.е.
Ls(f(gz)us(z)) = us(A1f) ◦ g +
4s(1− |z|2)
(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)(zus(z)− b
a
us−1(z)(1− |z|2)) =
= us(A1f) ◦ g +
4s
a
(1− |z|2)
(a− bz)2
∂f
∂z
(gz)us−1(z)(az − b).
(19)
С другой стороны,
(Lsf)(gz)us(z) = (A1f)(gz)us(z) + 4s(1− |gz|2)gzus(z)
∂f
∂z
(gz). (20)
62
Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций
Сравнивая (19) и (20) с использованием равенства
1− |gz|2 =
1− |z|2
|a− bz|2 ,
получаем (18). ¤
Лемма 4. Пусть λ ∈ C и радиальная функция f ∈ C2(D) удовлетворяет урав-
нению
Lsf = −(λ2 + (s + 1)2)f. (21)
Тогда
f(z) = f(0)Bs
λ(z). (22)
Доказательство. Полагая f(z) = ϕ(ρ), где ρ = |z|, имеем
∂f
∂z
=
1
2
ϕ′(ρ)
ρ
z,
∂f
∂z
=
1
2
ϕ′(ρ)
ρ
z,
(A1f)(z) = (1− ρ2)2
(
ϕ′′(ρ) +
ϕ′(ρ)
ρ
)
.
Отсюда
(Lsf)(z) = (1− ρ2)2
(
ϕ′′(ρ) +
ϕ′(ρ)
ρ
)
+ 2sρ(1− ρ2)ϕ′(ρ).
Поэтому уравнение (21) можно переписать в виде
(1− ρ2)2ϕ′′(ρ) +
1− ρ2
ρ
ϕ′(ρ)(1 + (2s− 1)ρ2) + (λ2 + (s + 1)2)ϕ(ρ) = 0. (23)
Обозначим ν = 1+s+iλ
2 . Из (23) для функции ψ(ρ) = (1 − ρ2)−νϕ(ρ) получаем урав-
нение
ρ(1− ρ2)ψ′′(ρ) + ψ′(ρ)(1− ρ2(4ν − 2s + 1)) + 4ν(s− ν)ψ(ρ)ρ = 0. (24)
С другой стороны, гипергеометрическая функция h(ρ) = F (α, β; γ; ρ2) удовлетворя-
ет уравнению
ρ(1− ρ2)h′′(ρ) + h′(ρ)(2γ − 1− (2α + 2β + 1)ρ2)− 4αβρh(ρ) = 0 (25)
(см.[6, глава 2, формула 2.1(1)]). Сравнивая (24) с (25) и учитывая гладкость ψ в
нуле, заключаем, что
f(z) = f(0)(1− ρ2)νF (ν − s, ν; 1; ρ2).
Это равенство и формула
F (α, β; γ; z) = (1− z)−αF
(
α, γ − β; γ;
z
z − 1
)
63
А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков
(см.[6, глава 2, формула 2.9(3)]) влекут (22). ¤
4. Доказательство теоремы 1. Поскольку Ls является эллиптическим опера-
тором, то f ∈ RA(BR). Возьмем g ∈ G такое, что gBr(T ) ⊂ BR. Пусть ε0 = sup{ε >
0 : gBr(T ) ⊂ BR−ε}. Для z ∈ Br(T )+ε0
положим
fg(z) =
∫
SO(2)
f(g−1τz)(1− τz · g0)sdτ, (26)
где dτ – мера Хаара на SO(2), нормированная соотношением
∫
SO(2)
dτ = 1.
Определение fg показывает, что
fg ∈ RA\(Br(T )+ε0
) и fg(0) = f(g−10). (27)
Кроме того,
fg(z) =
∫
SO(2)
f(g−1τz)(1− z · τ−1g0)sdτ.
Отсюда и из леммы (3) имеем
(Lsfg)(z) = −(λ2 + (s + 1)2)fg(z).
Тогда (см. (27) и лемму (4)) fg(z) = f(g−10)Bs
λ(z) и 〈T, fg〉 = f(g−10)Fs(T )(λ). Теперь
из (26), (5) и радиальности T следует утверждение теоремы 1.
5. Случай шаровых и сферических средних. Положим
Sr(w) = {z ∈ D : d(z, w) = r}, Br(w) = {z ∈ D : d(z, w) < r},
dµ0(z) =
|dz|
1− |z|2 .
Теорема 2. Пусть f ∈ C(D) и Lsf = −(λ2 + (s + 1)2)f при некотором λ ∈ C.
Тогда ∫
Sr(w)
f(z)
(
1− |w|2
1− zw
)s
dµ0(z) = π sh(2r)Bs
λ(th r)f(w). (28)
Доказательство. Обозначим через σr радиальное распределение на H2, действу-
ющее по правилу
〈σr, ψ〉 =
∫
Sr
ψ(z)dµ0(z), ψ ∈ D(D),
64
Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций
где Sr = Sr(0). Тогда (см. (9))
(f ×s σr)(g0) = 〈σr, f(gz)(1− z · g−10)s〉 =
∫
Sr
f(gz)(1− z · g−10)sdµ0(z) =
=
∫
Sr(g0)
f(ς)(1− g−1ς · g−10)sdµ0(ς) =
=
∫
Sr(g0)
f(ς)
(
1− |g0|2
1− ς · g0
)s
dµ0(ς).
Кроме того,
Fs(σr)(λ) = 〈σr,Bs
λ〉 =
∫
|z|=th r
Bs
λ(z)dµ0(z) = π sh(2r)Bs
λ(th r).
Отсюда и из (6) получаем (28). ¤
Для изучения случая шаровых средних нам потребуется функция Якоби первого
рода:
ϕ
(α,β)
λ (t) = F
(
α + β + 1 + iλ
2
,
α + β + 1− iλ
2
; α + 1;− sh2 t
)
.
Отметим следующую формулу дифференцирования (см. [3, предложение 7.2]):
1
Γ(α + 2)
d
dt
(
1
sh 2t
4α+1,β+1(t)ϕ
(α+1,β+1)
λ (t)
)
=
16
Γ(α + 1)
4α,β(t)ϕ(α,β)
λ (t), (29)
где 4α,β(t) = 22α+2β+2(sh t)2α+1(ch t)2β+1, Γ – гамма-функция.
Теорема 3. Пусть f ∈ C(D) и Lsf = −(λ2 + (s + 1)2)f при некотором λ ∈ C.
Тогда ∫
Br(w)
f(z)
(
1− |w|2
1− zw
)s
dµ(z) = π(sh r)2(ch r)2−2sϕ
(1,1−s)
λ (r)f(w).
Доказательство. Обозначим через χr индикатор шара Br. Как и в доказатель-
стве теоремы 2, получаем
(f ×s χr)(w) =
∫
Br(w)
f(z)
(
1− |w|2
1− zw
)s
dµ(z). (30)
65
А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков
Далее, учитывая, что Bs
λ(th t) = (ch t)−2sϕ
(0,−s)
λ (t) и используя (29), имеем
Fs(χr)(λ) =
∫
Br
Bs
λ(z)dµ(z) = 2π
th r∫
0
ρ
(1− ρ2)2
Bs
λ(ρ)dρ =
= π
r∫
0
sh(2t)Bs
λ(th t)dt = 22s−1π
r∫
0
40,−s(t)ϕ
(0,−s)
λ (t)dt =
= π
r∫
0
d
dt
(
(sh t)2(cht)2−2sϕ
(1,1−s)
λ (t)
)
dt =
= π(sh r)2(chr)2−2sϕ
(1,1−s)
λ (r).
Теперь требуемое утверждение следует из (30) и теоремы 1. ¤
1. Berenstein C.A., Pascuas D. Morera and mean-value type theorems in the hyberbolic disc. //
Israel.J.Math, 1994. – Vol. 86, 61-106 p.
2. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equastion. – Dordrecht: Kluwer, 2003. – 454 p.
3. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group. – London: Springer, 2009. – 671p.
4. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Offbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces. – Birkhäuser:
Basel. – 2013. – 592 p.
5. Хелгасон С. Группы и геометрический анализ. – М.: Мир, 1987. – 735 с.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М.: Наука, 1973. – Т.1. – 294 с.
A.V. Delukina, Vit. V. Volchkov
The mean value theorem for non-problems in the theory of analytic functions.
We study distorted spherical means on the hyperbolic plane and their generalizations. We obtain the
mean value theorems for eigenfunctions of the perturbed Laplace-Beltrami operator.
Keywords: spherical means, convolution, mean value theorems .
А.В. Делюкiна, Вiт. В. Волчков
Теореми про середнє для неiнварiантних задач у теорiї аналiтичних функцiй.
Вивчаються викривленi сферичнi середнi на гiперболiчнiй площинi та їх узагальнення. Отримано
теореми про середнє для власних функцiй оператора Лапласа-Бельтрамi.
Ключовi слова: сферичнi середнi, згортка, теореми про середнє.
Донецкий национальный ун-т
delux_math89@mail.ru
Получено 14.05.13
66
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124155 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T21:47:28Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Делюкина, А.В. Волчков, Вит.В. 2017-09-21T15:56:00Z 2017-09-21T15:56:00Z 2013 Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций / А.В. Делюкина, Вит.В. Волчков // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 58-66. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124155 517.5 Изучаются искаженные сферические средние на гиперболической плоскости и их обобщения. Получены теоремы о среднем для собственных функций возмущенного оператора Лапласа-Бельтрами. Вивчаються викривленi сферичнi середнi на гiперболiчнiй площинi та їх узагальнення. Отримано теореми про середнє для власних функцiй оператора Лапласа-Бельтрамi. We study distorted spherical means on the hyperbolic plane and their generalizations. We obtain the mean value theorems for eigenfunctions of the perturbed Laplace-Beltrami operator. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций Теореми про середнє для неiнварiантних задач у теорiї аналiтичних функцiй The mean value theorem for non-problems in the theory of analytic functions published earlier |
| spellingShingle | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций Делюкина, А.В. Волчков, Вит.В. |
| title | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций |
| title_alt | Теореми про середнє для неiнварiантних задач у теорiї аналiтичних функцiй The mean value theorem for non-problems in the theory of analytic functions |
| title_full | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций |
| title_fullStr | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций |
| title_full_unstemmed | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций |
| title_short | Теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций |
| title_sort | теоремы о среднем для неинвариантных задач в теории аналитических функций |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124155 |
| work_keys_str_mv | AT delûkinaav teoremyosrednemdlâneinvariantnyhzadačvteoriianalitičeskihfunkcii AT volčkovvitv teoremyosrednemdlâneinvariantnyhzadačvteoriianalitičeskihfunkcii AT delûkinaav teoremiproserednêdlâneinvariantnihzadačuteoriíanalitičnihfunkcii AT volčkovvitv teoremiproserednêdlâneinvariantnihzadačuteoriíanalitičnihfunkcii AT delûkinaav themeanvaluetheoremfornonproblemsinthetheoryofanalyticfunctions AT volčkovvitv themeanvaluetheoremfornonproblemsinthetheoryofanalyticfunctions |