Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини
В роботi дослiджено задачу про двовiсний розтяг зусиллями на безмежностi кусково-однорiдної iзотропної пластини з ненаскрiзною трiщиною на прямолiнiйнiй межi подiлу матерiалiв. Припускаємо, що береги трiщини вiльнi вiд зовнiшнього навантаження, а по фронту на продовженнi трiщини утворюються пластичн...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , , , |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124162 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини / М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 130-138. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124162 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Николишин, М.М. Опанасович, В.К. Куротчин, Л.Р. Слободян, М.С. 2017-09-21T16:06:02Z 2017-09-21T16:06:02Z 2013 Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини / М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 130-138. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124162 539.3 В роботi дослiджено задачу про двовiсний розтяг зусиллями на безмежностi кусково-однорiдної iзотропної пластини з ненаскрiзною трiщиною на прямолiнiйнiй межi подiлу матерiалiв. Припускаємо, що береги трiщини вiльнi вiд зовнiшнього навантаження, а по фронту на продовженнi трiщини утворюються пластичнi зони, для моделювання яких використовуємо умову пластичностi Мiзеса. Розв’язок задачi розбиваємо на задачу розтягу i згину пластини, використовуючи класичну теорiю згину. З використанням комплексних потенцiалiв та методiв теорiї функцiй комплексної змiнної розв’язок задачi зведено до задач лiнiйного спряження. Побудовано їх розв’язок у класi функцiй, обмежених у вершинах трiщини, та знайдено напружений стан пластини на межi подiлу матерiалiв. Записано рiвняння для визначення довжини пластичних зон та спiввiдношення для визначення напружень. Проведено числовий аналiз задачi. В работе исследована задача о двухосном растяжении усилиями на бесконечности кусочно-однородной изотропной пластины с несквозной трещиной на прямолинейной границе раздела материалов. Предполагаем, что берега трещины свободны от внешней нагрузки, а по фронту на продолжении трещины образуются пластические зоны, для моделирования которых используем условие пластичности Мизеса. Задачу разбиваем на задачу растяжения и изгиба пластины на основе классической теории изгиба. С использованием комплексных потенциалов и методов теории функций комплексной переменной решение задачи сведено к задачам линейного сопряжения. Построено их решение в классе функций, ограниченных в вершинах трещины, и найдено напряженное состояние пластины на границе раздела материалов. Записано уравнение для определения длины пластических зон и соотношения для определения напряжений. Выполнен численный анализ задачи. The problem of biaxial tension by forces at infinity of a piecewise-homogeneous isotropic plate with a non-through crack in a rectilinear interface of materials is investigated. It is assumed that the edges of the crack are free from external load, and in front on a crack prolongation plastic zones are formed, for modeling of which the Mises plasticity condition are used. On basis the classical theory of bending the solution of the problem is divided into plane extension and plate bending problems. With the use of complex potentials and methods of the theory of complex functions the problem is reduced to the solution of problems of linear conjugation. Their solution in the class of functions bounded at the crack tip is constructed, and the stress state of the plate at the interface of materials is defined. The equation for determination of the length of the plastic zones and the relations for determination of the stresses are written down. The numerical analysis of the problem is carried out. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини Растяжение кусочно-однородной пластины с несквозной трещиной на прямолинейной границе раздела материалов и с учетом пластических зон по фронту трещины Extension of piecewise-homogeneous plate with a non-through crack in rectilinear interface of materials and taking into account plastic zones at front of the crack published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини |
| spellingShingle |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини Николишин, М.М. Опанасович, В.К. Куротчин, Л.Р. Слободян, М.С. |
| title_short |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини |
| title_full |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини |
| title_fullStr |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини |
| title_full_unstemmed |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини |
| title_sort |
розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини |
| author |
Николишин, М.М. Опанасович, В.К. Куротчин, Л.Р. Слободян, М.С. |
| author_facet |
Николишин, М.М. Опанасович, В.К. Куротчин, Л.Р. Слободян, М.С. |
| publishDate |
2013 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Труды Института прикладной математики и механики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| title_alt |
Растяжение кусочно-однородной пластины с несквозной трещиной на прямолинейной границе раздела материалов и с учетом пластических зон по фронту трещины Extension of piecewise-homogeneous plate with a non-through crack in rectilinear interface of materials and taking into account plastic zones at front of the crack |
| description |
В роботi дослiджено задачу про двовiсний розтяг зусиллями на безмежностi кусково-однорiдної iзотропної пластини з ненаскрiзною трiщиною на прямолiнiйнiй межi подiлу матерiалiв. Припускаємо, що береги трiщини вiльнi вiд зовнiшнього навантаження, а по фронту на продовженнi трiщини утворюються пластичнi зони, для моделювання яких використовуємо умову пластичностi Мiзеса. Розв’язок задачi розбиваємо на задачу розтягу i згину пластини, використовуючи класичну теорiю згину. З використанням комплексних потенцiалiв та методiв теорiї функцiй комплексної змiнної розв’язок задачi зведено до задач лiнiйного спряження. Побудовано їх розв’язок у класi функцiй, обмежених у вершинах трiщини, та знайдено напружений стан пластини на межi подiлу матерiалiв. Записано рiвняння для визначення довжини пластичних зон та спiввiдношення для визначення напружень. Проведено числовий аналiз задачi.
В работе исследована задача о двухосном растяжении усилиями на бесконечности кусочно-однородной изотропной пластины с несквозной трещиной на прямолинейной границе раздела материалов. Предполагаем, что берега трещины свободны от внешней нагрузки, а по фронту на продолжении трещины образуются пластические зоны, для моделирования которых используем условие пластичности Мизеса. Задачу разбиваем на задачу растяжения и изгиба пластины на основе классической теории изгиба. С использованием комплексных потенциалов и методов теории функций комплексной переменной решение задачи сведено к задачам линейного сопряжения. Построено их решение в классе функций, ограниченных в вершинах трещины, и найдено напряженное состояние пластины на границе раздела материалов. Записано уравнение для определения длины пластических зон и соотношения для определения напряжений. Выполнен численный анализ задачи.
The problem of biaxial tension by forces at infinity of a piecewise-homogeneous isotropic plate with a non-through crack in a rectilinear interface of materials is investigated. It is assumed that the edges of the crack are free from external load, and in front on a crack prolongation plastic zones are formed, for modeling of which the Mises plasticity condition are used. On basis the classical theory of bending the solution of the problem is divided into plane extension and plate bending problems. With the use of complex potentials and methods of the theory of complex functions the problem is reduced to the solution of problems of linear conjugation. Their solution in the class of functions bounded at the crack tip is constructed, and the stress state of the plate at the interface of materials is defined. The equation for determination of the length of the plastic zones and the relations for determination of the stresses are written down. The numerical analysis of the problem is carried out.
|
| issn |
1683-4720 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124162 |
| citation_txt |
Розтяг кусково-однорідної пластини з ненаскрізною тріщиною на прямолінійній межі поділу матеріалів та урахуванням пластичних зон по фронту тріщини / М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 26. — С. 130-138. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT nikolišinmm roztâgkuskovoodnorídnoíplastiniznenaskríznoûtríŝinoûnaprâmolíníiníimežípodílumateríalívtaurahuvannâmplastičnihzonpofrontutríŝini AT opanasovičvk roztâgkuskovoodnorídnoíplastiniznenaskríznoûtríŝinoûnaprâmolíníiníimežípodílumateríalívtaurahuvannâmplastičnihzonpofrontutríŝini AT kurotčinlr roztâgkuskovoodnorídnoíplastiniznenaskríznoûtríŝinoûnaprâmolíníiníimežípodílumateríalívtaurahuvannâmplastičnihzonpofrontutríŝini AT slobodânms roztâgkuskovoodnorídnoíplastiniznenaskríznoûtríŝinoûnaprâmolíníiníimežípodílumateríalívtaurahuvannâmplastičnihzonpofrontutríŝini AT nikolišinmm rastâženiekusočnoodnorodnoiplastinysneskvoznoitreŝinoinaprâmolineinoigranicerazdelamaterialovisučetomplastičeskihzonpofrontutreŝiny AT opanasovičvk rastâženiekusočnoodnorodnoiplastinysneskvoznoitreŝinoinaprâmolineinoigranicerazdelamaterialovisučetomplastičeskihzonpofrontutreŝiny AT kurotčinlr rastâženiekusočnoodnorodnoiplastinysneskvoznoitreŝinoinaprâmolineinoigranicerazdelamaterialovisučetomplastičeskihzonpofrontutreŝiny AT slobodânms rastâženiekusočnoodnorodnoiplastinysneskvoznoitreŝinoinaprâmolineinoigranicerazdelamaterialovisučetomplastičeskihzonpofrontutreŝiny AT nikolišinmm extensionofpiecewisehomogeneousplatewithanonthroughcrackinrectilinearinterfaceofmaterialsandtakingintoaccountplasticzonesatfrontofthecrack AT opanasovičvk extensionofpiecewisehomogeneousplatewithanonthroughcrackinrectilinearinterfaceofmaterialsandtakingintoaccountplasticzonesatfrontofthecrack AT kurotčinlr extensionofpiecewisehomogeneousplatewithanonthroughcrackinrectilinearinterfaceofmaterialsandtakingintoaccountplasticzonesatfrontofthecrack AT slobodânms extensionofpiecewisehomogeneousplatewithanonthroughcrackinrectilinearinterfaceofmaterialsandtakingintoaccountplasticzonesatfrontofthecrack |
| first_indexed |
2025-11-26T01:42:48Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:42:48Z |
| _version_ |
1850605239491624960 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 26
УДК 539.3
c©2013. М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Сло-
бодян
РОЗТЯГ КУСКОВО-ОДНОРIДНОЇ ПЛАСТИНИ З НЕНАСКРIЗНОЮ
ТРIЩИНОЮ НА ПРЯМОЛIНIЙНIЙ МЕЖI ПОДIЛУ МАТЕРIАЛIВ
ТА УРАХУВАННЯМ ПЛАСТИЧНИХ ЗОН ПО ФРОНТУ ТРIЩИНИ
В роботi дослiджено задачу про двовiсний розтяг зусиллями на безмежностi кусково-однорiдної
iзотропної пластини з ненаскрiзною трiщиною на прямолiнiйнiй межi подiлу матерiалiв. Припуска-
ємо, що береги трiщини вiльнi вiд зовнiшнього навантаження, а по фронту на продовженнi трiщини
утворюються пластичнi зони, для моделювання яких використовуємо умову пластичностi Мiзеса.
Розв’язок задачi розбиваємо на задачу розтягу i згину пластини, використовуючи класичну теорiю
згину. З використанням комплексних потенцiалiв та методiв теорiї функцiй комплексної змiнної
розв’язок задачi зведено до задач лiнiйного спряження. Побудовано їх розв’язок у класi функцiй,
обмежених у вершинах трiщини, та знайдено напружений стан пластини на межi подiлу матерiалiв.
Записано рiвняння для визначення довжини пластичних зон та спiввiдношення для визначення
напружень. Проведено числовий аналiз задачi.
Ключовi слова: кусково-однорiдна пластина, ненаскрiзна трiщина, розтяг, згин, комплекснi
потенцiали, пластичнi зони.
1. Формулювання задачi. Розглянемо нескiнченну кусково-однорiдну iзотроп-
Рис. 1. Схема навантаження пластини та розмiщення трiщини i пластичних зон
ну пластину завтовшки 2h з прямолiнiйною межею подiлу матерiалiв. Нехай пла-
стина знаходиться пiд дiєю однорiдного поля зусиль на нескiнченностi. Вважаємо,
що на межi подiлу матерiалiв знаходиться ненаскрiзна трiщина завглибшки h+h1 i
завдовжки 2l, береги трiщини вiльнi вiд зовнiшнього навантаження. Виберемо в се-
рединнiй площинi пластини декартову систему координат Oxyz̃ з початком у центрi
трiщини, причому вiсь Ox направимо по лiнiї подiлу матерiалiв. Вважатимемо, що
пiд дiєю зовнiшнього навантаження на продовженнi трiщини виникають пластичнi
130
Розтяг кусково-однорiдної пластини з ненаскрiзною трiщиною ...
зони завдовжки a, крiм того матерiал у перемичцi h1 ≤ z̃ ≤ h та −l ≤ x ≤ l пе-
рейшов у пластичний стан. На межi подiлу матерiалiв поза трiщиною виконуються
умови iдеального механiчного контакту. В серединнiй площинi пластини лiнiю спаю
матерiалiв позначимо через L′, трiщину – через L, а пластичнi зони бiля трiщини
через – L′1 i L′′1, L̃ = L ∪ L1, L1 = L′1 ∪ L′′1, L̆ = L̃ ∪ L′ (див. рис. 1). Для пружних
сталих пiвплощини, для якої y < 0 (y > 0), будемо приписувати iндекс 1 (2). Гра-
ничне значення вiдповiдних величин при y → ±0 будемо позначати знаками “+” i
“–”, а вiдповiднi пiвплощини – через S1 (y > 0) i S2 (y < 0). За рахунок наявностi
ненаскрiзної трiщини розв’язок задачi подано у виглядi розв’язкiв двох задач: плос-
кої задачi та задачi згину пластини, використовуючи теорiю Кiрхгофа-Лява. Для
плоскої задачi згiдно постановки маємо такi крайовi умови:
(σy − iτxy)+ = (σy − iτxy)−, (u + iv)+ = (u + iv)− на L′, (1)
σ±y = σT b1, τ±xy = 0 на L, (2)
σ±y = σ0, τ±xy = τ0 на L′1, (3)
σ±y = σ0, τ±xy = −τ0 на L′′1, (4)
для задачi згину:
M+
y = M−
y , H+
xy = H−
xy, N+
y = N−
y , w+ = w−, ∂yw
+ = ∂yw
− на L′, (5)
M±
y = σT b2, H±
xy = 0, N±
y = 0 на L, (6)
M±
y = M0, H±
xy = H0, N±
y = 0 на L′1, (7)
M±
y = M0, H±
xy = −H0, N±
y = 0 на L′′1, (8)
де u, v – проекцiї вектора перемiщення точки серединної площини на осi Ox i Oy,
вiдповiдно; σy, τxy – компоненти тензора напружень; σ0, τ0 – невiдоме нормальне
i дотичне напруження в пластичнiй зонi; w – прогин точки серединної поверхнi
пластини; My, Hxy, Ny – згинальний i крутний моменти та перерiзувальна сила; M0,
H0 – невiдомi згинальний i крутний моменти в пластичнiй зонi; b1 = (h − h1)/(2h),
b2 = (h2 − h2
1)/2; σT = min(σ(1)
T , σ
(2)
T ), σ
(1)
T , σ
(2)
T – границi текучостi першого та
другого матерiалiв; ∂sf – позначення часткової похiдної функцiї f по s.
2. Побудова розв’язку плоскої задачi. Введемо комплекснi потенцiали Коло-
сова-Мусхелiшвiлi Φj(z) i Ψj(z) для кожної iз пiвплощин Sj . Тодi, згiдно з [4], запи-
шемо
(σ(j)
y − iτ (j)
xy ) = Φj(z) + Φj(z) + zΦ′j(z) + Ψj(z), (9)
2µj∂x(u(j) + iv(j)) = κjΦj(z)− Φj(z)− zΦ′j(z)−Ψj(z), (10)
де z = x+ iy, i2 = −1, µj – модуль зсуву, νj – коефiцiєнт Пуассона, κj = (3−νj)/(1+
νj), тут i надалi iндекс j набуває двох значень 1 i 2.
Для великих |z| мають мiсце розвинення [4]
Φj(z) = Γj + o(1/z2), Ψj(z) = Γ′j + o(1/z2), (11)
131
М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян
де
Γj = 0, 25(Pj + q), Γ′j = 0, 5(q − Pj). (12)
Аналiтично продовжимо функцiю Φj(z) iз областi Sj у область S3−j за формулою
[4]
Φj(z) = −Φj(z)− zΦ′j(z)−Ψj(z). (13)
Тодi залежностi (9) i (10) запишемо так:
(σ(j)
y − iτ (j)
xy ) = Φj(z)− Φj(z̄) + (z − z̄)Φ′j(z), (14)
2µj∂x(u(j) + i∂xv(j)) = κjΦj(z) + Φj(z̄)− (z − z̄)Φ′j(z). (15)
На основi (11)-(13) аналiтичне продовження функцiї Φj(z) при великих |z| пода-
мо у виглядi
Φj(z) = −Γj − Γ′j + o(1/z2). (16)
Беручи до уваги (14), з крайових умов (1)-(4) отримуємо таку задачу лiнiйного
спряження
(Φ1(x) + Φ2(x))+ − (Φ1(x) + Φ2(x))− = 0, x ∈ ^
L. (17)
Розв’язавши задачу лiнiйного спряження (17), матимемо
Φ1(z) + Φ2(z) = (P1 + P2 + 2q)/4 = θ. (18)
Якщо ввести функцiю
Φ(z) = µ3−jκjΦj(z)− µjΦ3−j(z), (19)
то, як видно з другої крайової умови (1) з урахуванням (15), вона задовольняє умову
Φ+(x)− Φ−(x) = 0, x ∈ L′. (20)
Звiдки, беручи до уваги (11) i (16), при великих |x| отримаємо
µ1(1 + κ2)P2 − µ2(1 + κ1)P1 = [3(µ1 − µ2) + µ2κ1 − µ1κ2] q,
а з системи алгебраїчних рiвнянь (18), (19) матимемо
Φj(z) =
{
A−1
j (µjθ + Φ(z)), z ∈ Sj ,
A−1
3−j(µjκ3−jθ − Φ(z)), z ∈ S3−j ,
(21)
де Aj = µj + µ3−jκj .
З крайових умов (2)-(4), врахувавши (14) i (21), отримуємо
Φ+(x)− gΦ−(x) = −Aθ(x) + A1f(x), x ∈ L̃, (22)
де
f(x) = σT b1, x ∈ L, f(x) = σ0 − iτ0, x ∈ L′1, f(x) = σ0 + iτ0, x ∈ L′′1,
A = µ1µ2(1− κ1κ2)A−1
2 , g = −A1A
−1
2 .
132
Розтяг кусково-однорiдної пластини з ненаскрiзною трiщиною ...
Якщо ввести функцiю
Φ0(z) = Φ(z) + Aθ/(1− g), (23)
то вона, як випливає з (22) i (20), є розв’язком такої крайової задачi:
Φ+
0 (x)− Φ−0 (x) = 0, x ∈ L′, Φ+
0 (x)− gΦ−0 (x) = A1f(x), x ∈ L̃. (24)
Розв’язавши задачу лiнiйного спряження (24), отримуємо
Φ0(z) = A1X0(z)[σT b1g(L, z) + σ0 + iτ0{g(L′′1, z)− g(L′1, z)}], (25)
де
g(L, z) =
1
2πi
∫
L
dt
X+
0 (t)(t− z)
, X0(z) =
(z − a)0,5+iβ
(z + a)0,5−iβ
, β = − ln |g|
2π
. (26)
Як видно з (23), прийнявши до уваги (11), (16), (18), (19), для функцiї Φ0(z) має
мiсце розвинення
Φ0(z) = A1q/(1− g) + O(1/z2). (27)
З другої сторони, виходячи з (25), при великих |z| отримуємо
Φ0(z) = A1(a1 + (a2 − 2iβa1)/z + ...). (28)
На основi (27) i (28) запишемо
a1 = q/(1− g), a2 = 2iβa1a, (29)
де
a1 = γ
[
σT b1I
0
c + σ0Ic − τ0Is
]
, a2 = −iγ
[
σT b1I
0
st + σ0Ist + τ0Ict
]
,
Is =
∫ a
l
gs(t)dt, Ic =
∫ a
l
gc(t)dt, I0
c =
∫ l
0
gc(t)dt, (30)
Ist =
∫ a
l
gs(t)tdt, Ict =
∫ a
l
gc(t)tdt, I0
st =
∫ l
0
gs(t)tdt,
b(t) = β ln
a− t
a + t
, gc(t) =
cos b (t)√
a2 − t2
, gs(t) =
sin b (t)√
a2 − t2
, γ =
eβπ
π
.
З системи алгебраїчних рiвнянь (29) отримуємо
σ0 = [−σT b1(I0
c Ict + IsI
0
st) + qπe−βπ(Ict − 2aβIs)/(1− g)]/(IcIct + IsIst),
τ0 = [σT b1(I0
c Ist + IcI
0
st)− qπe−βπ(Ist + 2aβIc)/(1− g)]/(IcIct + IsIst).
Зауважимо, що компоненти тензора напружень на осi Ox знайдемо за формула-
ми:
σ±y − iτ±xy = A−1
1
[
Φ+
0 (x)− gΦ−0 (x)
]
,
σ+
x = A−1
1 Re
[
3Φ+
0 (x) + gΦ−0 (x)
]
+ P1 − q(3 + g)/(1− g),
133
М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян
σ+
x + σ−x − 2σ±y = P1 + P2 − 2q, −∞ < x < ∞,
явнi вирази для яких не наводимо в силу обмеженостi об’єму статтi.
3. Задача згину пластини. Введемо комплекснi потенцiали Φ3j(z) i Ψ3j(z) для
кожної iз пiвплощин Sj та аналiтичне продовження функцiї Φ3j(z) iз областi Sj у
область S3−j . Тодi, згiдно [9], можемо записати:
∂x(∂xw(j) + i∂yw
(j)) = Φ3j(z)− Φ3j(z̄) + (z − z̄)Φ′3j(z), z ∈ Sj , (31)
2µ̃
(j)
j (M (j)
y + i(H(j)
xy +
x∫
−a
N (j)
y dx)) = κ̃jΦ3j(z) + Φ3j(z̄)− (z − z̄)Φ′3j(z) z ∈ Sj , (32)
де Ψ3j(z) = −Φ̄3j(z) − Φ3j(z) − zΦ′3j(z), µ̃j = −0, 75(1 + νj)/(Ejh
3) – модуль зсуву,
κ̃j = (3 + νj)/(1− νj), Ej – модуль Юнга.
Для комплексного потенцiалу Φ3j(z) має мiсце розвинення
Φ3j(z) = O(1/z2), |z| → ∞. (33)
Якщо ввести функцiю
θ3(z) = Φ31(z) + Φ32(z), z ∈ Sj , (34)
то з крайових умов (5), врахувавши (31), одержуємо
θ+
3 − θ−3 = 0, x ∈ L′. (35)
Врахувавши (32), з перших трьох крайових умов (5) та (6)-(8) отримуємо
µ̃2κ̃1Φ+
31(x)− µ̃1Φ+
32(x) = µ̃1κ̃2Φ−32(x)− µ̃2Φ−31(x). (36)
Введемо функцiю
Φ3(z) = µ̃3−j κ̃jΦ3j(z)− µ̃jΦ33−j(z), z ∈ Sj , (37)
тодi (36) матиме вигляд
Φ+
3 (x)− Φ−3 (x) = 0, x ∈ L̆. (38)
Запишемо розв’язок задачi лiнiйного спряження (38)
Φ3(x) = 0. (39)
Врахувавши (37) i (39), одержимо взаємозв’язок мiж функцiями Φ3j(z) i Φ3−j(z)
Φ3j(z) = µ̃j/(µ̃3−j κ̃j)Φ33−j(z).
Виходячи з (34) i (37) та враховуючи (39), знайдемо вирази для функцiї Φ3j(z)
через введену функцiю θ3(z)
Φ3j(z) =
{
Ã−1
j µ̃jθ3(z), z ∈ Sj ,
Ã−1
3−jµ̃j κ̃3−jθ3(z), z ∈ S3−j ,
(40)
134
Розтяг кусково-однорiдної пластини з ненаскрiзною трiщиною ...
де Ãj = µ̃j + µ̃3−j κ̃j .
Беручи до уваги крайовi умови (6), (7) та залежнiсть (32), на основi (40) отри-
маємо таку задачу лiнiйного спряження
θ+
3 (x)− g̃θ−3 (x) = Ãf̃(x), x ∈ L̃, (41)
де
f̃(x) = σT b2, x ∈ L, f̃(x) = M0 + iH0, x ∈ L′1, f̃(x) = M0 − iH0, x ∈ L′′1,
g̃ = κ̃2Ã1/(Ã2κ̃1), Ã = κ̃1/(2Ã1).
Розв’язок задачi лiнiйного спряження (35), (41) має вигляд
θ3(z) = ÃX̃0(z)[σT b2g̃(L, z) + M0g̃(L1, z) + iH0{g̃(L′1, z)− g̃(L′′1, z)}], (42)
де g̃(L, z) = 1
2πi
∫
L
dt
X̃+
0 (t)(t−z)
, X̃0(z) = (z−a)0,5+iβ̃
(z+a)0,5−iβ̃
, β̃ = − ln|g̃|
2π .
Виходячи з (33), (34), знайдемо розвинення функцiї θ3(z) при |z| → ∞
θ3(z) = O(1/z2). (43)
Крiм того, iз (42) при великих |z| можемо записати такi розвинення:
θ3(z) = Ã
(
ã1 + (ã2 − 2iaβ̃ã1)/z + ...
)
, (44)
де
ã1 = γ̃
[
σT b2Ĩ
0
c + M0Ĩc + H0Ĩs
]
, ã2 = −iγ̃
[
σT b2Ĩ
0
st + M0Ĩst −H0Ĩct
]
,
вирази для γ̃, Ĩ0
c , Ĩρ, Ĩρt, Ĩ0
st отримуємо iз вiдповiдних залежностей (31) замiною
β → β̃, наприклад γ̃ = eβ̃π/π.
На основi (43) i (44)
ã1 = 0, ã2 = 0. (45)
Розв’язавши систему алгебраїчних рiвнянь (45), одержимо
M0 = (Ĩ0
c Ĩct + ĨsĨ
0
st)∆̃, H0 = (Ĩ0
c Ĩst − ĨcĨ
0
st)∆̃, ∆̃ = −σT b2/(ĨcĨct + ĨsĨst).
Для знаходження моментiв на дiйснiй осi маємо формули:
M±
y + iH±
xy = Ã−1
[
θ+(x)− g̃θ−(x)
]
, dj = (κ̃j − 2)/κ̃j ,
M+
x = ÃRe
[
d1θ
+
3 (x) + g̃θ−3 (x)
]
, M−
x = −ÃRe
[
θ+
3 (x) + g̃d2θ
−
3 (x)
]
, (46)
а якщо врахувати (42), то на основi (46) знайдемо їх явний вираз, а за вiдомими
формулами – напруження, обумовленi згином.
135
М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян
4. Числовий аналiз задачi. Для знаходження довжини a пластичної зони на
продовженнi трiщини використаємо умову пластичностi Мiзеса [1] у виглядi умови
пластичностi поверхневого шару [2, 3]
σ2
T = σ2
x + σ2
y − σxσy + 3τ2
xy,
де компоненти тензора напружень у пластинi є комбiнацiєю напруженого стану плос-
кої задачi i задачi згину.
Розкриття трiщини δ на верхнiй основi пластини у вершинi x = l знайдемо за
формулою
δ = g−1
2πg
l∫
a
√
a2 − x2
{
A1
2µ1µ2
[(σ0 − σT b1){sin b(x)Isl(x) + cos b(x)Icl(x)}+
+τ0({sin b(x)Icl(x)− cos b(x)Isl(x)} − 2{cos b(x)Isp(x) + sin b(x)Icp(x)})]+
+hÃ[(M0 − σT b2){sin b(x)Isl(x) + cos b(x)Icl(x)} −H0({sin b(x)Icl(x)−
− cos b(x)Isl(x)}+ 2{cos b(x)Isp(x) + sin b(x)Icp(x)})]} dx.
Числовий аналiз задачi проведено для нитесилу σ1
T = 278 МПа, E1 = 1, 38 ·
105 МПа та технiчно чистого залiза σ2
T = 130 МПа, E2 = 2, 08 · 105 МПа. При обчис-
ленi iнтегралiв використано вiдповiднi квадратурнi формули Гаусса [8]. Результати
приведено для верхньої основи пластини (z = −h) за P1/σ2
T = 0, 4.
На рис. 2, 4 показано графiчнi залежностi вiдносної довжини пластичної зони
a/l i вiдносного розкриття трiщини δ∗/l (δ∗ = δ(l,−h)E2/σ2
T ) вiд обезрозмiреного
розподiленого навантаження q/σ2
T . Кривi 1 побудовано для h1/h = 1 (випадок на-
скрiзної трiщини), кривi 2 – для h1/h = 0, 8, кривi 3 – для h1/h = 0, 6. Як бачимо з
цих рисункiв зi збiльшенням параметра розподiленого навантаження q/σ2
T величини
a/l i δ∗/l збiльшуються, а при h1/h → 1 зменшуються.
На рис. 3, 5 побудовано графiчнi залежностi вiдносної довжини пластичної зони
a/l i вiдносного розкриття трiщини δ∗/l вiд вiдносної глибини ненаскрiзної трiщини
h1/h. Кривi 1 побудовано для q/σ2
T = 0, 4, кривi 2 – для q/σ2
T = 0, 5 i крива 3 –
для q/σ2
T = 0, 6. Бачимо, що зi збiльшенням вiдношення h1/h величини a/l i δ∗/l
зменшуються, а при збiльшеннi параметра q/σ2
T їх величини зростають.
Для випадку, коли h1/h = 1, отримаємо розв’язок задачi з наскрiзною трiщиною,
який наведено в роботi [6].
1. Божидарник В.В. Елементи теорiї пластичностi та мiцностi // Львiв: Свiт. – 1999. – Т. 1. –
531 с.
2. Кир’ян В.I. Механiка руйнування зварних з’єднань металоконструкцiй // Львiв: СПОЛОМ. –
2007. – 320 с.
3. Кушнiр Р.М. Пружний та пружно-пластичний граничний стан оболонок з дефектами // Львiв:
СПОЛОМ. – 2003. – 320 с.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории пружности // М.:
Наука. – 1966. – 708 с.
5. Николишин М.М. Двовiсний розтяг однорiдної iзотропної пластини з двома рiвними спiввiс-
ними трiщинами з урахуванням пластичних зон бiля їх вершин // Мат. методи та фiз. мех.
поля. – 2009. – Т. 52, № 1. – С. 115-121.
136
Розтяг кусково-однорiдної пластини з ненаскрiзною трiщиною ...
Рис. 2. Рис. 3.
Рис. 4. Рис. 5.
6. Николишин М.М. Двовiсний розтяг кусково-однорiдної iзотропної пластини з трiщиною на
прямолiнiйнiй межi подiлу матерiалiв з урахуванням пластичних зон бiля їх вершин // Прикл.
проблеми мех. i мат. – 2006. – Вип. 4 – С. 101-108.
7. Николишин М.М. Раскрытие несквозных трещин в пластине // Мат. методи та фiз. мех. поля.
– 1987. – № 26. – С. 29-31.
8. Панасюк В.В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках // К.: Наук.
думка. – 1976. – 443 c.
9. Прусов И.А. Метод сопряжения в теории плит // Минск: Изд-во Белорус. ун-та. – 1975. – 256 с.
10. Castro et alii J.T.P. Characterizationof crack tip stress fields // Forni di Sopra (UD). – 2011. –
P. 58-65.
11. Dong Y. F. Computational modeling f elastic and plastic multiple cracks by the fundamental
solutions //Finite elements in analysis and design. – 1996. – 23. – P. 115-132.
12. Jong-Min Kim Crack interaction ffects of in-plane surface cracks using elastic and elastic-plastic
137
М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, М.С. Слободян
finite element analyses // Nuclear engineering and technology. – 2010. – Vol. 42, No. 6. – P. 680-689.
M.M. Nykolyshyn, V.K. Opanasovych, L.R. Kurotchyn, M. S. Slobodyan
Extension of piecewise-homogeneous plate with a non-through crack in rectilinear interface
of materials and taking into account plastic zones at front of the crack.
The problem of biaxial tension by forces at infinity of a piecewise-homogeneous isotropic plate with a
non-through crack in a rectilinear interface of materials is investigated. It is assumed that the edges of
the crack are free from external load, and in front on a crack prolongation plastic zones are formed,
for modeling of which the Mises plasticity condition are used. On basis the classical theory of bending
the solution of the problem is divided into plane extension and plate bending problems. With the use
of complex potentials and methods of the theory of complex functions the problem is reduced to the
solution of problems of linear conjugation. Their solution in the class of functions bounded at the crack
tip is constructed, and the stress state of the plate at the interface of materials is defined. The equation
for determination of the length of the plastic zones and the relations for determination of the stresses
are written down. The numerical analysis of the problem is carried out.
Keywords: piecewise-homogeneous plate, non-through crack, tension, bending, complex potentials, plastic
zone.
М.М. Николишин, В.К. Опанасович, Л.Р. Куротчин, Н.С. Слободян
Растяжение кусочно-однородной пластины с несквозной трещиной на прямолинейной
границе раздела материалов и с учетом пластических зон по фронту трещины.
В работе исследована задача о двухосном растяжении усилиями на бесконечности кусочно-однород-
ной изотропной пластины с несквозной трещиной на прямолинейной границе раздела материалов.
Предполагаем, что берега трещины свободны от внешней нагрузки, а по фронту на продолжении
трещины образуются пластические зоны, для моделирования которых используем условие пластич-
ности Мизеса. Задачу разбиваем на задачу растяжения и изгиба пластины на основе классической
теории изгиба. С использованием комплексных потенциалов и методов теории функций комплекс-
ной переменной решение задачи сведено к задачам линейного сопряжения. Построено их решение в
классе функций, ограниченных в вершинах трещины, и найдено напряженное состояние пластины
на границе раздела материалов. Записано уравнение для определения длины пластических зон и
соотношения для определения напряжений. Выполнен численный анализ задачи.
Ключевые слова: кусочно-однородная пластина, несквозная трещина, растяжение, изгиб, ком-
плексные потенциалы, пластические зоны.
Iн-т прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiд-
стригача НАН України, Львiв
Львiвський нацiональний ун-т iм. Iвана Франка
nyk@iapmm.lviv.ua
klesi@i.ua
kafmeh@franko.lviv.ua
Получено 01.06.12
138
|