Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок
Рассмотрена задача о действии локальной динамической нагрузки на тонкую пластину, лежащую на упругом основании Винклера. Методом интегральных преобразований построено фундаментальное решение динамического уравнения ортотропной пластины. Численно исследована задача о действии на тонкую пластину внеза...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124182 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок / О.С. Ветров, В.П. Шевченко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 81-88. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860061139832930304 |
|---|---|
| author | Ветров, О.С. Шевченко, В.П. |
| author_facet | Ветров, О.С. Шевченко, В.П. |
| citation_txt | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок / О.С. Ветров, В.П. Шевченко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 81-88. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Рассмотрена задача о действии локальной динамической нагрузки на тонкую пластину, лежащую на упругом основании Винклера. Методом интегральных преобразований построено фундаментальное решение динамического уравнения ортотропной пластины. Численно исследована задача о действии на тонкую пластину внезапно приложенной и импульсной нагрузок, изучено влияние упругого основания на значение прогиба пластины.
Розглянуто задачу про дiю локального динамiчного навантаження на тонку пластину, що лежить на пружнiй основi Вiнклера. Методом iнтегральних перетворень побудовано фундаментальний розв’язок динамiчного рiвняння ортотропної пластини. Чисельно дослiджено задачу про дiю на тонку пластинку раптово прикладеного й iмпульсного навантажень, вивчено вплив пружної основи на значення прогину пластини.
The fundamental solution of the dynamic equation of an orthotropic plate is constructed by using the method of integral transformations. The problems of the action on the thin plate suddenly applied dynamic and impulse loads are numerically investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:04:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 539.3
c©2013. О.С. Ветров, В.П. Шевченко
ДИНАМИКА ТОНКИХ ПЛАСТИН НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЛОКАЛЬНЫХ НАГРУЗОК
Рассмотрена задача о действии локальной динамической нагрузки на тонкую пластину, лежащую
на упругом основании Винклера. Методом интегральных преобразований построено фундамен-
тальное решение динамического уравнения ортотропной пластины. Численно исследована задача
о действии на тонкую пластину внезапно приложенной и импульсной нагрузок, изучено влияние
упругого основания на значение прогиба пластины.
Ключевые слова: фундаментальное решение, локальные нагрузки, упругое основание, орто-
тропная пластина.
1. Введение. Конструкции в виде тонкостенных пластин на упругом основании
находят широкое применение в машиностроении, строительстве и в других отраслях
техники. Конструкционные элементы в процессе эксплуатации всегда находятся под
действием изменяющихся во времени нагрузок различной природы.
В [1] представлен краткий обзор результатов исследования колебаний пластин
на упругом основании. В монографии модель бесконечной пластины представля-
ется адекватной для описания напряженно-деформированного состояния ледового
покрова.
Работ, посвященных исследованию динамики пластины в случае анизотропии
материала, значительно меньше. В частности, следует отметить работу [2]. В ней
методом Л.В. Канторовича решена задача о колебаниях анизотропной пластины на
упругом основании. Решение получено в виде рядов по полиномам специального
вида. Недостатком подхода [2] является то, что он не дает возможности для по-
дробного аналитического исследования полученного решения. Решение же задач о
сосредоточенном воздействии на пластину указанным методом затруднительно.
Одним из наименее изученных вопросов теории анизотропных пластин являются
задачи о действии на тело локальных распределенных нагрузок. Основная проблема
состоит в отсутствии соответствующих фундаментальных решений в виде, прием-
лемом для дальнейших численно-аналитических исследований.
Фундаментальное решение для тонкой ортотропной пластины на упругом осно-
вании в случае статического нагружения было получено [3]. На основании методики
[3], позже были рассмотрены частные случаи ортотропии [4], и в последствии был
развит метод граничных элементов для решения статической задачи для изотропной
пластины на сложном двупараметрическом основании [5]. Для динамики аналогич-
ные решения отсутствуют.
В работе получила дальнейшее развитие методика построения фундаментальных
решений, ранее предложенная авторами [6, 7] для исследования динамики ортотроп-
ных пластин.
81
О.С. Ветров, В.П. Шевченко
2. Постановка задачи. Рассмотрим тонкую ортотропную пластину постоянной
толщины h. Дополнительно примем модель бесконечной пластины, что допустимо,
если считать, что компоненты перемещений стремятся к нулю при бесконечном уда-
лении от начала координат. Поэтому, из физических соображений, краевые условия
на границе пластины можно заменить нулевыми условиями на бесконечности. Так-
же, не ограничивая общности рассуждений, начальные условия задачи считаем ну-
левыми.
Совместим главные оси ортотропии с прямоугольными координатными осями
(x1, y1). Тогда, динамическое уравнение изгиба тонкой ортотропной пластины [8] в
классических предположениях будет иметь вид
D11
∂4w
∂x4
1
+ 2 (D12 + 2D66)
∂4w
∂x2
1∂y2
1
+ D22
∂4w
∂y4
1
+ ρh
∂2w
∂τ2
= Z(x1, y1, τ), (1)
где w – поперечный прогиб пластины; ρ – плотность материала; Z – интенсивность
внешней динамической нагрузки, нормальной к срединной плоскости пластины;
Dij – жесткости пластины на изгиб и кручение, определяемые соотношениями:
Dik =
h3
12
Bik, B11 =
E1
1− ν1ν2
, B22 =
E2
1− ν1ν2
,
B12 = ν2B11 = ν1B22, B66 = G12.
Здесь E1, E2 – модули Юнга; ν1, ν2 – коэффициенты Пуассона; G12 – модуль сдвига.
Считаем, что пластина лежит на сплошном деформируемом основании, причем
связь между реакцией основания и прогибом пластины удовлетворительно описы-
вается в рамках модели Винклера. Таким образом, в уравнении прогиба необходимо
учесть реакцию упругого основания qr, т.е. уравнение (1) нужно дополнить
Z(x1, y1, τ) → Z(x1, y1, τ) + qr(x1, y1, τ), (2)
где qr = −χw, χ – коэффициент постели (коэффициент жесткости упругого основа-
ния).
Для упрощения записей, дополнительно введем следующие обозначения:
µ =
E − 2G12(1 + ν)
E
, D =
Eh3
12(1− ν2)
(3)
ν =
√
ν1ν2, E =
√
E1E2, c4 = E1/E2.
Перейдем к безразмерной системе координат (x, y, t), определяемой соотношени-
ями
x1 = chx, y1 = hy, τ = cth2
√
ρhD−1. (4)
Учитывая (2)–(4), искомое уравнение (1) перепишем
∇2∇2w − 4(1− a)
∂4w
∂x2∂y2
+
∂2w
∂t2
+ p2w =
c2h4
D
Z, (5)
82
Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок
где ∇2 = ∂2
/
∂x2 + ∂2
/
∂y2, 2a = 2− µ + µν, p2 = χc2h4
/
D.
Важнейшим шагом решения задачи о действии локальной нагрузки на пластину
является построение фундаментальных решений соответствующих уравнений.
Таким образом, нам необходимо найти решение уравнения (5) при условии, что
Z(x, y, t) = δ(t)δ(x, y), (6)
где δ(·) – дельта-функция Дирака.
3. Аналитическое решение. Будем искать решение (5)–(6) методом инте-
гральных преобразований. Применим к (5)-(6) двумерное интегральное преобразо-
вание Фурье по координатам (x, y), а затем преобразование Лапласа по координате t.
Таким образом, от исходной задачи перейдем в пространство трансформант Фурье–
Лапласа FL, т.е. (x, y, t) → (ξ, η, s), соответственно. Трансформанта динамического
прогиба в новом пространстве FL запишется
wFL(ξ, η, s) =
1
2π
√
ρhD
1
(ξ2 + η2)2 − 4(1− a)ξ2η2 + p2 + s2
. (7)
В дальнейшем, с целью сокращения записей, введем в рассмотрение величину wFL
1 ,
которую определим соотношением
wFL
1 = 2π
√
ρhDwFL.
Применим к введенному выражению wFL
1 (ξ, η, s) формулу обратного преобразо-
вания Фурье. С учетом четности подынтегральной функции запишем
wL
1 (x, y, s) =
2
π
∞∫
0
∞∫
0
wFL
1 cos(ξx) cos(ηy)dξdη. (8)
В подынтегральном выражении (8) перейдем к полярным координатам. В про-
странстве трансформант (ξ, η) перейдем к координатам (R, θ) по формулам ξ =
R cos θ, η = R sin θ, а в пространстве оригиналов переход от (x, y) к (r, φ) осуществ-
ляется, соответственно, x = r cosφ, y = r sinφ. Применим к (8) формулу обратного
преобразования Лапласа, и в новых координатах получим
w1(r, φ, t) =
2
π
∞∫
0
π/2∫
0
1
2πi
γ+i∞∫
γ−i∞
estds
R4Nθ + p2 + s2
×
× cos(Rr cos θ cosφ) cos(Rr sin θ sinφ)RdRdθ,
(9)
где Nθ = 1− (1− a) sin2 2θ.
В работах [6, 7] была развита методика построения фундаментального решения
динамического изгиба ортотропных пластин. В случае учета влияния упругого осно-
вания, а именно слагаемого p2 в знаменателе (9), полученные результаты малоприме-
нимы. В данной задаче необходимо применить метод построения фундаментальных
83
О.С. Ветров, В.П. Шевченко
решений динамики тонких оболочек [9–11], с учетом ортотропии материала. Для вы-
числения интеграла Меллина в (9) воспользуемся обобщенной теоремой умножения
(теоремой Эфроса) и получим
1
2πi
γ+i∞∫
γ−i∞
estds
R4Nθ + p2 + s2
=
t∫
0
J0
(
p
√
t2 − u2
)
cos(N1/2
θ R2u), du, (10)
где J0(·) – функция Бесселя первого рода.
В (9) воспользуемся известным разложением Якоби–Ангера. Подставим (10) в
(9), и пропуская некоторые промежуточные вычисления, подробно описанные в [7],
запишем
w1 =
1
2
√
π
∞∑
n=0
(−1)nεn cos 2nφ
∞∑
m=0
(−1)mp2m
23m−1/2m!
×
×t2m
(
r2
4t
)m−1/2
π/2∫
0
cos 2nθ
N
m/2+1/4
θ
G− 1
m+1/2,2n
(
N−1
θ
r4
64t2
)
dθ.
(11)
Здесь ε0 = 1, и εn = 2 при любом натуральном n; функция Gγ
α,β(z) – функция
гипергеометрического типа [6, 7, 9–11], используемая в задачах динамики пластин
и оболочек. Существует несколько способов задания функции Gγ
α,β(z) [6, 7], мы же
в дальнейшем будем пользоваться представлением
Gγ
α,β(z) = G2,1
2,4
(
z|1−
α
2
,1+α
2
−α+γ
2
+β
4
,−α+γ−1
2
+β
4
,−α+γ−1
2
−β
4
,−α+γ
2
−β
4
)
,
где G – функция Мейера.
С целью разделения переменных в (11) для новой функции была получена «фор-
мула умножения» [9]. После некоторых преобразований [9, 10] в итоге получим
w1 =
√
π
∞∑
n=0
∞∑
m=0
(−1)n+mεn
p2mt2m
22m+1m!
∞∑
k=0
(1− a)k
22k+1k!
(
2k
k − n
)
×
×ϑm−k−1/2G− 1−2k
m+k+1/2,4n
(
ϑ2
)
cos 4nφ,
(12)
где ϑ = r2
/
(8t).
В случае изотропии материала мы должны принять в (12) a = 1, и тогда выра-
жение фундаментального решения существенно упростится
w1 =
√
π
2
∞∑
m=0
(−1)m p2mt2m
22m+1m!
ϑm−1/2G− 1
m+1/2,0
(
ϑ2
)
. (13)
Отметим интересный момент: в случае p = 1 выражение (13) совпадет с форму-
лой для соответствующей компоненты фундаментального решения тонкой сфериче-
ской изотропной оболочки.
84
Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок
Для более полного исследования напряженно-деформированного состояния тон-
ких пластин, помимо фундаментальных решений, необходимо определить также
компоненты моментов, возникающих под действием сосредоточенных внезапно при-
ложенных сил. Ограничившись случаем изотропии материала, запишем
M1,2 =
1 + ν
(2h)2
√
D
πρh
∞∑
m=0
(−1)mp2m
22m+1m!
×
×t2m−1ϑm−3/2
(
G−2
m+1/2,0
(
ϑ2
)∓ 1− ν
1 + ν
G−2
m+1/2,2
(
ϑ2
)
cos 2φ
)
,
(14)
H = −1− ν
(2h)2
√
D
πρh
∞∑
m=0
(−1)mp2m
22m+1m!
t2m−1ϑm−3/2G−2
m+1/2,2
(
ϑ2
)
sin 2φ, (15)
где M1, M2 – изгибные моменты, H – крутящий момент.
Формулы (14) и (15) записаны уже для исходного значения динамического про-
гиба w. Проверкой на корректность полученных выражений (12) и (13) может быть
их сравнение со случаем прогиба пластины без учета упругого основания, т.е. при
p = 0. В этом случае выражение (12) совпадет с результатом [7], полученным ранее.
В изотропном случае (13) совпадет с известным фундаментальным решением ди-
намики тонкой пластины [12], которое традиционно записывается через выражение
интегрального синуса.
4. Анализ численных данных. Полученное решение (12) позволяет нам без
труда получать в численно-аналитическом виде значения прогиба w при действии
на пластину различных динамических локальных нагрузок. Для этого достаточно
найти свертку соответствующего фундаментального решения с функцией, описыва-
ющей силовое воздействие.
Отметим также, что фундаментальные решения (12)–(13) определяются с точ-
ностью до однородного решения (1). Таким образом, для различных нагрузок фун-
даментальное решение нужно выбирать так, чтобы свёртка существовала.
Рассмотрим случай, когда на пластину действует локальная внезапно прило-
женная нагрузка единичной интенсивности, равномерно распределенная по обла-
сти Ω, ограниченной окружностью радиуса r = R0 [6, 9], т.е. нагрузка имеет вид
Z(r, t) = −δ(t)(πR2
0)
−1 при r2 6 R2
0 , и равна нулю вне границ указанной области.
Обозначим σ = R2
0
/
(8t). Значение прогиба в центре загруженной области будет
w(0, 0, t) =
√
D−1
πρh
∞∑
m=0
(−1)m+1p2m
22m+2m!
t2m
∞∑
k=0
(
2k
k
)
(1− a)k
22k+2k!
×
×σm−k−1/2G
−1/2−2k
k+m+1/2,1
(
σ2
)
.
(16)
Чтобы получить решение указанной задачи в случае действия на пластину им-
пульсной нагрузки, достаточно проинтегрировать (16) по t.
В качестве примера исследуем более наглядный случай изотропный пластины
(a = 1). Будем пользоваться соотношениями в приведенном виде.
85
О.С. Ветров, В.П. Шевченко
Изучим влияние на пластину упругого основания (рис. 1). Положим в (16) R0 =
1. Кривой 1 соответствует случай p = 0.75, соответственно, кривой 2 – p = 0.5,
кривой 3 – p = 0.25, кривой 4 – p = 0.1.
Рис. 1.
Из рис. 1 видно, что существенное влияние упругое основание начинает ока-
зывать только с течением времени. С увеличением значения p величина прогиба
пластины значительно уменьшается. При этом, в моменты времени, близкие к на-
чальным, влияние параметра p на прогиб практически отсутствует. Определение
границ значений параметра p, при которых влияние упругого основания можно не
учитывать и производить расчеты по точным формулам, требует дополнительных
исследований с учетом асимптотического поведения функции прогиба.
Исследуем влияние радиуса R0 области Ω на характер прогиба пластины. На
рис. 2 кривой 1 соответствует R0 = 5, кривой 2 – R0 = 2, кривой 3 – R0 = 1. Во
всех трех случаях принято p = 0.5. Полученные данные позволяют утверждать,
что с уменьшением параметра R0 значение прогиба увеличивается по абсолютной
величине, что соотносится с представлением о действии нагрузки.
На рис. 3 исследуется влияние параметров R0 и p на прогиб пластины в случае
импульсного нагружения. Для кривых 1 и 2 принято p = 0.75, причем кривой 1
соответствует R0 = 2, кривой 2 – R0 = 1. Аналогично при p = 0.5 кривая 3 отобра-
жает случай R0 = 2, кривая 4 – R0 = 1. Анализ результатов показывает, что рост
значений параметров R0 и p уменьшает по абсолютной величине значение прогиба.
При этом влияние параметра R0 более существенно в моменты времени, близкие
к начальным, т.к. значения кривых 1 и 3 (соответственно 2 и 4) до момента t = 1
отличаются крайне незначительно. Сравнивая результаты, отображеные на рис. 2
и рис. 3, отметим также, что в начальные моменты времени прогиб пластины при
внезапном локальном нагружении более существенен, чем при импульсном для со-
ответствующих R0 и p. С течением времени картина меняется.
5. Выводы. Построено фундаментальное решение динамических уравнений тео-
рии тонких пластин, лежащих на упругом основании Винклера. Было проведено
численное исследование влияния коэффициента жесткости упругого основания на
величину прогиба пластины в случаях мгновенного и импульсного нагружений.
86
Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок
Рис. 2. Рис. 3.
Установлено, что наиболее сложный характер влияния рассматриваемых парамет-
ров нагружения и основания наблюдается при начальных моментах времени, что
требует проведения асимптотических исследований полученных решений.
Перспективным представляется продолжение исследований по двум направле-
ниям. Во-первых, это расширение методики получения фундаментальных решений
динамики пластин на случай более сложных моделей основания, в частности, слож-
ного двухпараметрического упругого основания в модели П.Л. Пастернака.
Во-вторых, необходимо развитие соответствующей методики для задач теории
тонких оболочек, а на ее основании уже решение ряда актуальных практических
задач о действии локальных распределенных нагрузок. В этом случае важным яв-
ляется исследование взаимного влияния упругого основания, геометрических ха-
рактеристик и анизотропии материала на напряженно-деформированное состояние
тонких оболочек.
1. Козин В.М. Прикладные задачи динамики ледяного покрова / Козин В.М., Жесткая В.Д.,
Погорелова А.В., Чижиумов С.Д. и др. – М.: Академия Естествознания, 2008. – 329 с.
2. Голоскоков Д.П. Применение полиномов специального вида для расчета колебаний прямо-
угольной пластины // Журнал университета водных коммуникаций. – 2009. – № 1. – С. 185–
188.
3. Хижняк В.К., Шевченко В.П. Ортотропная пластинка на упругом основании под действием
сосредоточенной силы // Теоретическая и прикладная механика. – 1978. – Вып. 9. – С. 57–61.
4. Артюхин Ю.П., Великанов П.Г. Фундаментальное решение задачи изгиба ортотропной пла-
стины, лежащей на упругом основании типа Винклера // Труды Третьей Всероссийской на-
учной конференции. Часть 3, Дифференциальные уравнения и краевые задачи, Матем. моде-
лирование и краев. задачи. – 2006. – С. 51–54.
5. Великанов П.Г.Метод граничных интегральных уравнений для решения задач изгиба изотроп-
ных пластин, лежащих на сложном двухпараметрическом упругом основании // Изв. Сарат.
ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2008. – № 8 (1). – С. 36–42.
6. Шевченко В.П., Ветров О.С. Динамика ортотропной пластины под действием локальных вне-
запно приложенных нагрузок // Труды ИПММ НАН Украины. – 2011. – Т. 22. – С. 207–215.
7. Ветров О.С. Асимптотические представления в динамических задачах теории тонких пластин
// Актуальные проблемы современной математики, механики и информатики. – Харьков: Апо-
строф, 2011. – С. 67–73.
8. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. – М.: Машиностроение,
1988. – 272 с.
87
О.С. Ветров, В.П. Шевченко
9. Ветров О.С. Динамическое деформирование пологих ортотропных оболочек под действием
локальных нагрузок // Проблеми обчислювальної механiки i мiцностi конструкцiй. – 2012. –
Вип. 20. – С. 89–96.
10. Vetrov O.S., Shevchenko V.P. Study of the stress-strain state of orthotropic shells under the action
of dynamical impulse loads // Journal of Mathematical Sciences. – 2012. – Vol. 183, No. 2. –
P. 231–240.
11. Нагорная Р.М., Цванг В.А., Шевченко В.П. Фундаментальные решения динамических урав-
нений теории пологих оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. – 1994. – № 3. – С. 173–180.
12. Шувалова Ю.С. Моделирование динамики тонкой упругой пластины со смешанными услови-
ями // Вестник ХНТУ. – 2012. – № 2 (45). – С. 416–419.
O. S. Vetrov, V. P. Shevchenko
The dynamics of thin plates on elastic foundation under the action of local loads.
The fundamental solution of the dynamic equation of an orthotropic plate is constructed by using the
method of integral transformations. The problems of the action on the thin plate suddenly applied
dynamic and impulse loads are numerically investigated.
Keywords: fundamental solution, local loads, orthotropic plate.
О.С. Вєтров, В.П. Шевченко
Динамiка тонких пластин на пружнiй основi пiд дiєю локальних навантажень.
Розглянуто задачу про дiю локального динамiчного навантаження на тонку пластину, що лежить
на пружнiй основi Вiнклера. Методом iнтегральних перетворень побудовано фундаментальний
розв’язок динамiчного рiвняння ортотропної пластини. Чисельно дослiджено задачу про дiю на
тонку пластинку раптово прикладеного й iмпульсного навантажень, вивчено вплив пружної осно-
ви на значення прогину пластини.
Ключовi слова: фундаментальний розв’язок, локальнi навантаження, пружна основа, орто-
тропна пластина.
Донецкий национальный ун-т
o.s.vetrov@gmail.com
Получено 31.05.13
88
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124182 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:04:21Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ветров, О.С. Шевченко, В.П. 2017-09-22T10:37:08Z 2017-09-22T10:37:08Z 2013 Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок / О.С. Ветров, В.П. Шевченко // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 81-88. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124182 539.3 Рассмотрена задача о действии локальной динамической нагрузки на тонкую пластину, лежащую на упругом основании Винклера. Методом интегральных преобразований построено фундаментальное решение динамического уравнения ортотропной пластины. Численно исследована задача о действии на тонкую пластину внезапно приложенной и импульсной нагрузок, изучено влияние упругого основания на значение прогиба пластины. Розглянуто задачу про дiю локального динамiчного навантаження на тонку пластину, що лежить на пружнiй основi Вiнклера. Методом iнтегральних перетворень побудовано фундаментальний розв’язок динамiчного рiвняння ортотропної пластини. Чисельно дослiджено задачу про дiю на тонку пластинку раптово прикладеного й iмпульсного навантажень, вивчено вплив пружної основи на значення прогину пластини. The fundamental solution of the dynamic equation of an orthotropic plate is constructed by using the method of integral transformations. The problems of the action on the thin plate suddenly applied dynamic and impulse loads are numerically investigated. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок Динамiка тонких пластин на пружнiй основi пiд дiєю локальних навантажень The dynamics of thin plates on elastic foundation under the action of local loads Article published earlier |
| spellingShingle | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок Ветров, О.С. Шевченко, В.П. |
| title | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок |
| title_alt | Динамiка тонких пластин на пружнiй основi пiд дiєю локальних навантажень The dynamics of thin plates on elastic foundation under the action of local loads |
| title_full | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок |
| title_fullStr | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок |
| title_full_unstemmed | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок |
| title_short | Динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок |
| title_sort | динамика тонких пластин на упругом основании под действием локальных нагрузок |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124182 |
| work_keys_str_mv | AT vetrovos dinamikatonkihplastinnauprugomosnovaniipoddeistviemlokalʹnyhnagruzok AT ševčenkovp dinamikatonkihplastinnauprugomosnovaniipoddeistviemlokalʹnyhnagruzok AT vetrovos dinamikatonkihplastinnapružniiosnovipiddiêûlokalʹnihnavantaženʹ AT ševčenkovp dinamikatonkihplastinnapružniiosnovipiddiêûlokalʹnihnavantaženʹ AT vetrovos thedynamicsofthinplatesonelasticfoundationundertheactionoflocalloads AT ševčenkovp thedynamicsofthinplatesonelasticfoundationundertheactionoflocalloads |