О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил
Исследованы условия существования равномерных движений гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что гиростатический момент обусловлен вращением двух роторов относительно ортогональных осей, не совпадающих с осью равномерного д...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124183 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил / А.А. Возняк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 89-97. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859975301794103296 |
|---|---|
| author | Возняк, А.А. |
| author_facet | Возняк, А.А. |
| citation_txt | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил / А.А. Возняк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 89-97. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Исследованы условия существования равномерных движений гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что гиростатический момент обусловлен вращением двух роторов относительно ортогональных осей, не совпадающих с осью равномерного движения гиростата.
Дослiджено умови iснування рiвномiрних рухiв гiростата зi змiнним гiростатичним моментом пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Передбачається, що гiростатичний момент обумовлений обертанням двох роторiв вiдносно ортогональних осей, що не збiгаються з вiссю рiвномiрного руху гiростата.
The conditions for the existence of uniform motions of gyrostat with varying gyrostatic moment under the action of potential and gyroscopic forces has been studied. It is assumed that gyrostatic moment due to the rotation of the rotor relative to the two orthogonal axes which do not coincide with the axis of uniform motion of gyrostat.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:23:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 531.38
c©2013. А.А. Возняк
О РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЯХ ГИРОСТАТА, НЕСУЩЕГО
ДВА ВРАЩАЮЩИХСЯ РОТОРА, ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ
Исследованы условия существования равномерных движений гиростата с переменным гироста-
тическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что
гиростатический момент обусловлен вращением двух роторов относительно ортогональных осей,
не совпадающих с осью равномерного движения гиростата.
Ключевые слова:гиростат, равномерные движения, потенциальные и гироскопические силы.
Введение. При математическом моделировании движений современных кон-
струкций, не имеющих значительных деформаций, широко применяется система
связанных твердых тел, называемая гиростатом. Наиболее общее определение ги-
ростата дано в статье [1], оно также используется и при рассмотрении движения
твердого тела, которое содержит полости, наполненные однородной капельной жид-
костью [2]. Задача о движении гиростата в различных силовых полях изучается в
двух постановках. В первой постановке предполагается, что гиростатический мо-
мент постоянен. Поскольку в этом случае уравнения движения допускают три пер-
вых интеграла, то это позволило применить при ее использовании многие методы
динамики твердого тела. В книгах [3–5] подробно изложены результаты, посвящен-
ные исследованию задачи о движении твердого тела и гиростата с постоянным ги-
ростатическим моментом. Вторая постановка задачи о движении гиростата состоит
в том, что в ней предполагается переменность гиростатического момента. Это свой-
ство приводит к тому, что уравнения движения гиростата и под действием силы
тяжести, и под действием потенциальных и гироскопических сил не допускают ин-
теграл энергии. Результатов по построению других первых интегралов уравнений
движения в научных публикациях нет. Однако и во второй постановке получены
многочисленные результаты по построению новых решений уравнений движения.
Отметим некоторые из них [6–10]. При этом в [6] рассмотрены равномерные враще-
ния гиростата под действием силы тяжести, а в [10] – под действием потенциальных
и гироскопических сил в случае, когда гиростат несет один вращающийся маховик.
Следовательно, представляет интерес и задача об исследовании равномерных дви-
жений гиростата в предположении, что гиростат несет два вращающихся ротора.
Этой задаче посвящена данная статья.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата с перемен-
ным гиростатическим моментом [1] под действием потенциальных и гироскопиче-
ских сил [5, 11]. Уравнения гиростата запишем в виде:
A
·
ω = Aω × ω + λ(t)× ω −
·
λ(t) + ω ×Bν + s× ν + ν × Cν, (1)
89
А.А. Возняк
·
ν = ν × ω, (2)
где ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – еди-
ничный вектор оси симметрии силовых полей; s = (s1, s2, s3) – вектор, направленный
из неподвижной точки гиростата в обобщенный центр масс гиростата; λ(t) – гиро-
статический момент; A = (Aij) – тензор инерции гиростата; B = (Bij), C = (Cij)
– постоянные симметричные матрицы третьего порядка. Точка над переменными
обозначает дифференцирование по времени t. Уравнения (1), (2) имеют первые ин-
тегралы
ν · ν = 1, (Aω + λ) · ν = k, (3)
где k – произвольная постоянная.
В статьях [6, 10] предполагается, что гиростатический момент λ(t) = λ(t)α, где
α – постоянный вектор. То есть гиростат несет один вращающийся ротор. Здесь
положим
λ(t) = λ1(t)α + λ2(t)β, (4)
где α · β = 0, |α| = 1, |β| = 1.
Задачу (1), (2) в случае (4) будем рассматривать для равномерных вращений
гиростата. Без ограничения общности, положим
ω = ω0a. (5)
Здесь ω0 – постоянная, отличная от нуля; a – единичный вектор, неизменно связан-
ный с телом-носителем. Так как
.
a = 0, и вектор a коллинеарен вектору угловой
скорости ω, то
da
dt
= 0. Это значит, что вектор a неизменен в неподвижном про-
странстве. Будем считать, что он не совпадает с вектором ν. Тогда из уравнения (2)
в силу (5) вытекает
.
ν = ω0(ν × a). (6)
Если умножим левую и правую части уравнения (6) скалярно на a, то получим
a · ν = a0 (a0 = (â,ν) = const). (7)
Как показано в [5], инвариантному соотношению (7), геометрическому интегралу из
(3) и уравнению (6) удовлетворяет следующая вектор-функция:
ν(t) = (a′0 sinω0t, a
′
0 cosω0t, a0), (8)
где a′0 = sin θ0. Функцию (8) можно рассматривать, как общее решение уравнения
(6).
Подставим выражения (4), (5) в уравнение (1)
·
λ1(t)α +
·
λ1(t)β = ω0 [λ1(t)(α× a) + λ2(t)(β × a)]+
+ω2
0(Aa× a) + ω0(a×Bν) + s× ν + ν × Cν.
(9)
90
О равномерных движениях гиростата, несущего два вращающихся ротора
Здесь ν = ν(t), где ν(t) определяется равенством (8).
Обозначим через γ = α× β = (γ1, γ2, γ3), где
γ1 = α2β3 − α3β2, γ2 = α3β1 − α1β3, γ3 = α1β2 − α2β1. (10)
В силу α·β = 0 векторы α,β, γ составляют ортогональный базис. Поэтому рассмот-
рим уравнения, которые получаются при проектировании левой и правой частей (9)
на эти векторы:
·
λ1(t) = ω0γ3λ2(t) + A0 + A1 sinω0t + A2 cosω0t + A3 sin 2ω0t + A4 cos 2ω0t, (11)
·
λ2(t) = −ω0γ3λ1(t) + B0 + B1 sinω0t + B2 cosω0t + B3 sin 2ω0t + B4 cos 2ω0t, (12)
ω0(β3λ1(t)−α3λ2(t))+C0 +C1 sinω0t+C2 cosω0t+C3 sin 2ω0t+C4 cos 2ω0t = 0. (13)
В уравнениях (11)–(13) введены обозначения:
A0 = α1c2 − α2c1, B0 = β1c2 − β2c1, C0 = γ1c2 − γ2c1,
A1 = a′0(α2b1 − α1b0 − α3b2), A2 = a′0(α2b0 − α1b
′
1 − α3b
′
2),
A3 =
1
2
a
′2
0 [α1C13 − α2C23 + α3(C22 − C11)],
A4 =
1
2
a
′2
0 [α1C23 + α2C13 − 2α3C12),
B1 = a′0(β2b1 − β1b0 − β3b2), B2 = a′0(β2b0 − β1b
′
1 + β3b
′
2),
B3 =
1
2
a
′2
0 [β1C13 − β2C23 + β3(C22 − C11)],
B4 =
1
2
a
′2
0 (β1C23 + β2C13 − 2β3C12),
C1 = a′0(γ2b1 − γ1b0 − γ3b2), C2 = a′0(γ2b0 − γ1b
′
1 + γ3b
′
2),
C3 =
1
2
a
′2
0 [γ1C13 − γ2C23 + γ3(C22 − C11)],
C4 =
1
2
a
′2
0 (γ1C23 + γ2C13 − 2γ3C12),
c1 = ω2
0A13 − a0ω0B13 + a0s1 +
C13
2
(a
′2
0 − 2a2
0),
c2 = ω2
0A23 − a0ω0B23 + a0s2 +
C23
2
(a
′2
0 − 2a2
0),
b0 = ω0B12 + a0C12, b1 = s3 + ω0B11 + a0(C11 − C33), b2 = s1 − a0C23,
b′1 = s3 + ω0B22 + a0(C22 − C33), b′2 = s2 − a0C13.
(14)
Таким образом, задача об исследовании условий существования равномерных
движений гиростата сведена к анализу решений уравнений (11), (12) при наличии
у них инвариантного соотношения (13).
91
А.А. Возняк
2. Исследование уравнений (11)–(13). Согласно методу инвариантных со-
отношений [12] вычислим первую и вторую производные от инвариантного соотно-
шения (13) в силу уравнений (11), (12):
γ3ω0(β3λ2(t) + α3λ1(t)) + (β3A0 − α3B0) + (β3A1 − α3B1 − C2) sin ω0t+
+ (β3A2 − α3B2 + C1) cos ω0t + (β3A3 − α3B3 − 2C4) sin 2ω0t+
+ (β3A4 − α3B4 + 2C3) cos 2ω0t = 0,
(15)
γ2
3ω0(α3λ2(t)− β3λ1(t)) + γ3(α3A0 + β3B0)+
+ (γ3β3B1 + γ3α3A1 − β3A2 + α3B2 − C1) sin ω0t+
+ (γ3β3B2 + γ3α3A2 − β3A1 − α3B1 − C2) cos ω0t+
+ (γ3β3B3 + γ3α3A3 − 2β3A4 + 2α3B4 − 4C3) sin 2ω0t+
+ (γ3β3B4 + γ3α3A4 + 2β3A3 − 2α3B3 − 4C4) cos 2ω0t.
(16)
Вид соотношений (13), (15), (16) показывает, что вычисление производных от
(13) более высокого порядка нецелесообразно.
Рассмотрение инвариантных соотношений (13), (15), (16) будем производить в
следующих трех вариантах:
1. α3 = 0, β3 = 0; 2. γ3 = 0, α2
3 + β2
3 6= 0; 3. γ3 6= 0, α2
3 + β2
3 6= 0. (17)
Изучим первый вариант из (17). Положим в уравнениях (11), (12), соотношении
(13) и в обозначениях (14): α3 = 0, β3 = 0. Равенство (13) должно быть тождеством
по t. То есть должны выполняться условия Ci = 0 (i = 0, 4). На основании (14) из
них получим (систему координат, без ограничения общности, можно выбрать так,
чтобы выполнялись равенства α2 = 0, β1 = 0)
C12 = 0, C22 = C11, s1 = a0C13, s2 = a0C23. (18)
Для интегрирования уравнений (11), (12) исключим в уравнении (11) функцию
λ2(t) с помощью уравнения (12). Используя условия (18), получим
. .
λ1(t) + ω2
0λ1(t) = ω0B0 + D1 sinω0t + D3 sin 2ω0t + D4 cos 2ω0t, (19)
где
D1 = a′0ω0[2s3 + ω0(B11 + B22) + 2a0(C11 − C33)],
D3 = −3
2
a
′2
0 ω0C23, D4 =
3
2
a
′2
0 ω0C13.
(20)
Из структуры уравнения (5) следует, что в общем случае (D1 6= 0) общее решение
уравнения (19) будет содержать вековой член. Этот вариант не представляет инте-
реса для приложений. Поэтому в (19) положим D1 = 0, или в силу (20) получим
условие на параметры
2s3 + ω0(B11 + B22) + 2a0(C11 − C33) = 0. (21)
92
О равномерных движениях гиростата, несущего два вращающихся ротора
Решение уравнения (19) при наличии ограничения (21) таково:
λ1(t) = C∗
1 sinω0t + C∗
2 cosω0t +
B0
ω0
− D3
3ω2
0
sin 2ω0t− D4
3ω2
0
cos 2ω0t. (22)
Функцию λ2(t) найдем, подставив выражение (22) в уравнение (11)
λ2(t) =
1
γ3ω0
[
−A0(ω0C
∗
1 −A2) cos ω0t− (ω0C
∗
2 + A1) sin ω0t+
+
(
2D4
3ω0
−A3
)
sin 2ω0t−
(
2D3
3ω0
+ A4
)
cos 2ω0t
]
.
(23)
Таким образом, в первом случае из (17) вектор γ совпадает с вектором a, параметры
задачи удовлетворяют условиям (18), (21), решение уравнений (11), (12) имеют вид
(22), (23).
Изучим случай 2 из (17). В силу (10) параметры α1, α2, β1, β2 удовлетворяют
равенству α1β2 − α2β1 = 0. Очевидно, что тогда α2
3 + β2
3 = 1. Равенство (13) будет
содержать функции λ1(t), λ2(t) (либо одну из них), а первая производная из (15)
будет функцией переменной t. Поэтому должны выполняться равенства:
β3A0 − α3B0 = 0, β3A1 − α3B1 − C2 = 0, β3A2 − α3B2 + C1 = 0,
β3A3 − α3B3 − 2C4 = 0, β3A4 − α3B4 + 2C3 = 0.
(24)
Внесем значения Ai, Bi, Ci (i = 0, 4) из (14) в систему (24). Тогда получим:
γ1µ0 = 0, γ2µ0 = 0, C13γ2 + C23γ1 = 0, C23γ2 − C13γ1 = 0, (25)
γ1(ω2
0A13 − ω0a0B13 + a0s1) + γ2(ω2
0A23 − ω0a0B23 + a0s2) = 0, (26)
где
µ0 = 2s3 + ω0(B11 + B22) + a0(C11 + C22 − 2C33). (27)
Так как γ3 = 0, γ2
1 + γ2
2 = 1, то из уравнений (25) следует, что параметр µ0 равен
нулю и величины C13, C23 удовлетворяют равенствам
C13 = 0, C23 = 0. (28)
Из (27) вытекает
2s3 + ω0(B11 + B22) + a0(C11 + C22 − 2C33) = 0. (29)
Следовательно, условиями существования равномерных вращений гиростата в слу-
чае γ3 = 0 являются равенства (26), (28), (29). При этом равенство (29) может слу-
жить условием на значение ω0–скорости вращения в предположении B11 + B22 6= 0.
Если B11 +B22 = 0, C11 +C22−2C33 6= 0, то из (29) можно определить значение угла
θ0. Условие (26) можно трактовать при определенных ограничениях, как условие на
93
А.А. Возняк
параметры ω0, a0. При этом ось равномерного вращения может быть и главной, то
есть могут выполняться равенства: A23 = 0, A13 = 0. Она в неподвижном простран-
стве может занимать и горизонтальное положение.
Функции λ1(t), λ2(t) определим из уравнений (11), (12):
λ1(t) =
1
ω0
(
A2 sinω0t−A1 cosω0t +
A4
2
sin 2ω0t− A3
2
cos 2ω0t
)
+ µ1,
λ2(t) =
1
ω0
(
B2 sinω0t−B1 cosω0t +
B4
2
sin 2ω0t− B3
2
cos 2ω0t
)
+ µ2.
(30)
В формулах (30) произвольные постоянные µ1, µ2 удовлетворяют условию
(µ1β3 − µ2α3)ω0 + C0 = 0.
Рассмотрим третий случай из (17). Подставим выражение β3λ1(t) − α3λ2(t) из
уравнения (13) в уравнение (16) и потребуем, чтобы полученное уравнение было
тождеством по t. Тогда получим:
γ3C0 + α3A0 + β3B0 = 0,
C1(γ2
3 − 1) + γ3(β3B1 + α3A1) + α3B2 − β3A2 = 0,
C2(γ2
3 − 1) + γ3(β3B2 + α3A2) + β3A1 − α3B1 = 0,
C3(γ2
3 − 4) + γ3(β3B3 + α3A3)− 2β3A4 + 2α3B4 = 0,
C4(γ2
3 − 4) + γ3(β3B4 + α3A4) + 2β3A3 − 2α3B3 = 0.
(31)
На основании равенств |α| = 1, |β| = 1, |γ| = 1, α ·β = 0, α ·γ = 0, β ·γ = 0 нетрудно
доказать справедливость равенств
α2
3 + β2
3 + γ2
3 = 1, γ1γ3 + β1β3 + α1α3 = 0, α2α3 + β2β3 + γ2γ3 = 0.
Используя эти равенства, подставим выражения (14) в систему (31). После несколь-
ких преобразований имеем первые два равенства из (25), в которых µ0 имеет значе-
ние (27) и условия
γ3C12 − γ2C13 − γ1C23 = 0, γ3(C22 − C11)− 2γ2C23 + 2γ1C13 = 0. (32)
Если в равенствах γ1µ0 = 0, γ2µ0 = 0 положить γ1 = 0, γ2 = 0, то γ3 = 1, и вектор γ
будет сонаправлен с вектором a. В этом случае должны выполняться условия α3 = 0,
β3 = 0, которые приводят к уже рассмотренному выше первому варианту из (17).
Поэтому необходимо считать, что µ0 = 0. В параметрах задачи это условие приводит
к равенству (29). Таким образом, уравнение (16) является следствием уравнения (13)
при выполнении условий (29), (32). Функции λ1(t) и λ2(t) найдем из уравнений (13),
(15):
λ1(t) =
1
ω0γ3(α2
3 + β2
3)
{
[α2
3B0 − β3(γ3C0 + α3A0)] + [α2
3B1 − β3(γ3C1+
+α3A1)− α3C2] sinω0t + [α2
3B2 − β3(γ3C2 + α3A2)− α3C1] cosω0t+
+[α2
3B3 − β3(γ3C3 + α3A3) + 2α3C4] sin 2ω0t+
+[α2
3B4 − β3(γ3C4 + α3A4)− 2α3C3] cos 2ω0t
}
,
(33)
94
О равномерных движениях гиростата, несущего два вращающихся ротора
λ2(t) =
1
ω0γ3(α2
3 + β2
3)
{
[−β2
3A0 + α3(γ3C0 + β3B0)] + [−β2
3A1 + α3(γ3C1+
+β3B1) + β3C2] sin ω0t + [−β2
3A2 + α3(γ3C2 + β3B2)− β3C1] cos ω0t+
+[−β2
3A3 + α3(γ3C3 + β3B3) + 2β3C4] sin 2ω0t+
+[−β2
3A4 + α3(γ3C4 + β3B4)− 2β3C3] cos 2ω0t
}
.
(34)
Из (33), (34) вытекает, что компоненты гиростатического момента λ(t) являются
периодическими функциями времени с периодом
2π
ω0
.
Проведем анализ условий существования (29), (32). Если в исходных уравнениях
(1), (2) отсутствует матрица C, т.е. C = 0, то равенства (32) становятся тождествами,
а условие (29) примет вид
2s3 + ω0(B11 + B22) = 0. (35)
Если B11 + B22 6= 0, то из (35) имеем ω0 = − 2s3
B11 + B22
. Полученный результат
можно трактовать следующим образом. Так как нет условий на параметры αi, βi,
то векторы α и β могут занимать произвольное положение в теле-носителе. Ско-
рость равномерного вращения гиростата фиксирована и зависит от параметров s3
и B11, B22. Угол θ0 не входит в обсуждаемые условия, поэтому ось равномерного
вращения гиростата может занимать произвольное положение в неподвижном про-
странстве. Если в равенстве (35) B11 + B22 = 0 , то s3 = 0. В этом случае скорость
равномерного вращения гиростата может быть произвольной, но барицентрическая
ось ортогональна оси равномерного вращения. Параметр θ0, как и в предыдущем
случае, остается произвольным.
Пусть матрица C 6= 0. Из равенств (32) в силу γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = 1, имеем
γ1 =
2C12C23 + C13(C11 − C22)
2(C2
13 + C2
23)
γ3, γ2 =
2C12C13 − C23(C11 − C22)
2(C2
13 + C2
23)
γ3,
γ3 = 2
√
C2
13 + C2
23
4(C2
12 + C2
13 + C2
23) + (C11 − C22)2
.
(36)
Компоненты вектора γ из (36) определяют в теле-носителе некоторую ось. В силу
постановки задачи необходимо потребовать, чтобы вектор гиростатического момен-
та находился в плоскости, ортогональной указанной оси. Это свойство ограничивает
общность положения векторов α, β.
Рассмотрим равенство (29). Если в нем положить B11+B22 = 0, C11+C22−2C33 =
0, то в решении (33), (34) параметры ω0 и a0 могут принимать произвольные значе-
ния (|a0| < 1). Так как s3 = 0, то ось, несущая обобщенный центр масс, ортогональна
оси равномерного вращения.
При выполнении условия B11 + B22 6= 0 из равенства (29) следует, что рав-
номерное вращение гиростата может происходить с фиксированным значением ω0.
Условия на положение барицентрической оси в теле-носителе нет.
95
А.А. Возняк
Когда B11 + B22 = 0, C11 + C22 − 2C33 6= 0, из равенства (29) можно определить
значение
a0 =
2s3
2C33 − C11 − C22
. (37)
То есть равномерное вращение будет происходить вокруг фиксированной оси в непо-
движном пространстве. При этом необходимо потребовать, чтобы правая часть вы-
ражения (37) не превосходила по модулю единицы.
В общем случае условие (29) может служить ограничением на скорость равно-
мерного вращения и угол между векторами a и ν.
Заключение. В статье получены условия существования равномерных враще-
ний гиростата, несущего два вращающихся ротора. Исследование этих условий уда-
лось разбить на изучение трех вариантов (17). Первый вариант соответствует слу-
чаю, когда гиростатический момент находится в плоскости, ортогональной оси рав-
номерного вращения. Для него должны выполняться условия (18), (21), а решение
редуцированных уравнений имеет вид (22), (23). Во втором варианте векторы a, α,
β компланарны, а параметры задачи должны удовлетворять равенствам (28), (29),
которые отличаются от условий (18), (21). Третий вариант характеризуется общим
расположением векторов α и β только в случае, когда в уравнение (1) не входит
матрица C. Если же C 6= 0, то векторы α и β, определяющие вектор гиростатиче-
ского момента, лежат в некоторой плоскости, ортогональной оси с направляющим
вектором (36). Общее свойство решений: (22), (23); (30); (33), (34) состоит в том,
что при выполнении условия B11 + B22 = 0 равномерное вращение гиростата может
происходить с произвольной угловой скоростью.
1. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. –
1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
2. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной ка-
пельной жидкостью // Собр. соч. М.; Л.: ОГИЗ, 1949. – Т. 2. – С. 152–309.
3. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. –
Киев: Наук, думка. – 1978. – С. 296.
4. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого тела. – К.:
Наук. думка, 2012. – 401 с.
5. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: ДонНУ.
– 2012. – С. 364.
6. Ковалев А.М., Позднякова А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела
с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. – С. 100–105.
7. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата с неподвижной
точкой // Современные проблемы математики, механики и информатики. – Харьков: Вид-во
ФОП. – 2011. – С. 74–84.
8. Мазнев А.В. Прецесионные движения гиростата с переменным гиростатическим моментом под
действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40.
– С. 91–104.
9. Горр Г.В., Мазнев А.В. О движении симметричного гиростата с переменным гиростатическим
моментом в двух задачах динамики // Нелинейная динамика. – Ижевск, 2012. – 8, № 2. –
С. 369–376.
10. Возняк А.А., Миронова Е.В.О равномерных вращениях относительно наклонной оси гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических
сил // Вiсник Донецького нацiонального ун-ту. – 2012. – № 2. – С. 15–18.
96
О равномерных движениях гиростата, несущего два вращающихся ротора
11. Jehia H.M. On the motion a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forges. I: The
equations of motion and their transformations // J. Még. Théor. Appl. – 1986. – 5, No. 5. – P. 747–
754.
12. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений //
Механика твердого тела. – 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
A.A. Voznyak
Uniform motion of gyrostat carrying two rotating rotor under the action of potential and
gyroscopic forces.
The conditions for the existence of uniform motions of gyrostat with varying gyrostatic moment under
the action of potential and gyroscopic forces has been studied. It is assumed that gyrostatic moment due
to the rotation of the rotor relative to the two orthogonal axes which do not coincide with the axis of
uniform motion of gyrostat.
Keywords: gyrostat, uniform motion, potential and gyroscopic forces.
А.О. Возняк
Про рiвномiрнi рухи гiростата, що несе два обертових ротора, пiд дiєю потенцiальних
i гiроскопiчних сил.
Дослiджено умови iснування рiвномiрних рухiв гiростата зi змiнним гiростатичним моментом пiд
дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Передбачається, що гiростатичний момент обумовлений
обертанням двох роторiв вiдносно ортогональних осей, що не збiгаються з вiссю рiвномiрного руху
гiростата.
Ключовi слова: гiростат, рiвномiрнi рухи, потенцiальнi i гiроскопiчнi сили.
Донецкий национальный ун-т экономики
и торговли им. Туган–Барановского
alina_voznyak@mail.ru
Получено 26.09.13
97
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124183 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:23:10Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Возняк, А.А. 2017-09-22T10:38:24Z 2017-09-22T10:38:24Z 2013 О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил / А.А. Возняк // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 89-97. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124183 531.38 Исследованы условия существования равномерных движений гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что гиростатический момент обусловлен вращением двух роторов относительно ортогональных осей, не совпадающих с осью равномерного движения гиростата. Дослiджено умови iснування рiвномiрних рухiв гiростата зi змiнним гiростатичним моментом пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Передбачається, що гiростатичний момент обумовлений обертанням двох роторiв вiдносно ортогональних осей, що не збiгаються з вiссю рiвномiрного руху гiростата. The conditions for the existence of uniform motions of gyrostat with varying gyrostatic moment under the action of potential and gyroscopic forces has been studied. It is assumed that gyrostatic moment due to the rotation of the rotor relative to the two orthogonal axes which do not coincide with the axis of uniform motion of gyrostat. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил Про рiвномiрнi рухи гiростата, що несе два обертових ротора, пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил Uniform motion of gyrostat carrying two rotating rotor under the action of potential and gyroscopic forces Article published earlier |
| spellingShingle | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил Возняк, А.А. |
| title | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_alt | Про рiвномiрнi рухи гiростата, що несе два обертових ротора, пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил Uniform motion of gyrostat carrying two rotating rotor under the action of potential and gyroscopic forces |
| title_full | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_fullStr | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_full_unstemmed | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_short | О равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил |
| title_sort | о равномерных вращениях гиростата, несущего два вращающихся ротора, под действием потенциальных и гироскопических сил |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124183 |
| work_keys_str_mv | AT voznâkaa oravnomernyhvraŝeniâhgirostatanesuŝegodvavraŝaûŝihsârotorapoddeistviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsil AT voznâkaa prorivnomirniruhigirostataŝonesedvaobertovihrotorapiddiêûpotencialʹnihigiroskopičnihsil AT voznâkaa uniformmotionofgyrostatcarryingtworotatingrotorundertheactionofpotentialandgyroscopicforces |