Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса
Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной. Нехай f – визначена на крузi радiуса R у...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124191 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 159-162. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859482264495194112 |
|---|---|
| author | Зарайский, Д.А. |
| author_facet | Зарайский, Д.А. |
| citation_txt | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 159-162. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной.
Нехай f – визначена на крузi радiуса R у комплекснiй площинi функцiя, що має нульовi контурнi iнтеграли по колах радiуса r < R. У роботi дослiджується наступне питання: якi додатковi умови на функцiю f гарантують її голоморфнiсть.
Let f be a function on disk of radius R in the complex plane, which has vanishing contour integrals over circles of radius r < R. The following question is investigated: under what additional conditions the function f is necessarily holomorphic.
|
| first_indexed | 2025-11-24T15:01:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2013. Том 27
УДК 517.5
c©2013. Д.А. Зарайский
ТЕОРЕМЫ ТИПА МОРЕРЫ ДЛЯ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПО ОКРУЖНОСТЯМ ФИКСИРОВАННОГО РАДИУСА
Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые
контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос:
при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной.
Ключевые слова: теоремы типа Мореры.
1. Введение. Классическая теорема Мореры утверждает, что непрерывная
функция, имеющая нулевые интегралы по произвольному замкнутому контуру,
необходимо является комплексно-аналитической. Естественно спросить, можно ли
уменьшить семейство рассматриваемых контуров в такого рода утверждениях. Как
доказывается в большинстве курсов комплексного анализа, можно ограничиться ин-
тегралами по произвольно малому треугольнику. Более сложным, однако, является
соответствующий вопрос для семейств контуров, диаметры которых не могут быть
выбраны произвольно малыми. Если контуры являются границами фигур, конгру-
энтной данной, лежащих в области определения рассматриваемой функции, то, как
впервые замечено в [1], имеется связь с тем, имеет ли фигура свойство Помпейю. По-
следнее состоит в том, что функция однозначно определяется своими интегралами
по фигурам, конгруэнтной данной. По поводу различных работ в этом направлении
см. обзоры [2, 3], монографию [4] (§ 5.4), а также статью [5].
Будем обозначать BR(x) – открытый круг радиуса R с центром в x в комплекс-
ной плоскости C, BR = BR(0). В работе рассматривается следующий вопрос: при
каких дополнительных условиях на функцию f , определённую на круге BR и голо-
морфную в круге Br, из равенства нулю контурного интеграла
∫
|z−z0|=r
f(z) dz
для всех z ∈ BR−r следует голоморфность f на всём BR. Результаты работы явля-
ются приложениями теорем единственности для функций с нулевыми интегралами
по шарам, полученных в [6, 7].
Отметим, что в требовании голоморфности функции f в круге Br радиус r явля-
ется критическим. С одной стороны, существуют не голоморфные в BR бесконечно
дифференцируемые функции f , голоморфные в круге Br−ε. С другой стороны, если
функция f голоморфна в Br+ε, по теореме 2, не требуется более никаких условий
для голоморфности f во всём BR.
2. Формулировки основных результатов. Если функция f SO(2)-финитна,
т. е. f(λz) = λkf(z) для |λ| = 1, имеет место следующая теорема.
159
Д.А. Зарайский
Теорема 1. Пусть f ∈ L1
loc(BR), R > r > 0, функция f голоморфна в круге Br,
и для почти всех z0 ∈ BR−r выполнено равенство
∫
|z−z0|=r
f(z) dz = 0. (1)
Пусть, кроме того, для некоторого k ∈ Z выполнено равенство
f(λz) = λkf(z) для λ ∈ C, |λ| = 1. (2)
Тогда:
(1) Если f ∈ Cm(BR), m > |k + 1| − 2, то f голоморфна во всём круге BR.
(2) Если m 6 |k + 1| − 3, то существует удовлетворяющая условиям теоремы
функция f ∈ Cm(BR), не голоморфная в BR.
Для функций f общего вида имеет место следующий результат.
Теорема 2. Пусть f ∈ L1
loc(BR), R > r > 0, функция f голоморфна в круге Br,
и для почти всех z0 ∈ BR−r выполнено равенство
∫
|z−z0|=r
f(z) dz = 0.
Тогда, если ограничение f на U принадлежит C∞(U) для некоторого открытого
множества U ⊂ BR такого, что U ∪ −U ⊃ {z ∈ C : |z| = r}, то f голоморфна во
всём круге BR.
3. Доказательства результатов. Доказательству теорем предпошлём две лем-
мы
Лемма 1. Для f ∈ Lloc(BR) выполнение равенства
∫
|z−z0|=r
f(z) dz = 0
для п. в. z эквивалентно тому, что свёртка распределений ∂χBr
∂z ∗ f равна нулю на
своей области определения BR−r.
Доказательство. Как легко следует из теоремы Фубини, для комплекснозначной
меры µ ограниченной вариации с компактным носителем (т.е. распределения µ ∈
E ′(Rn) порядка 0) и функции f ∈ Lloc(U) их свёртка как распределений, µ ∗ f ,
является локально интегрируемой на открытом множестве
{x ∈ Rn : x− suppµ ⊂ U}
функцией, и
(µ ∗ f)(x) =
∫
supp µ
f(x− y) dµ(y) для п. в. x.
По формуле Стокса для пробной функции g ∈ D(C) имеем
160
Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса
〈
∂χBr
∂z
, g
〉
= −
〈
χBr ,
∂g
∂z
〉
= −
∫
Br
∂g
∂z
(x + iy) dx dy =
=
i
2
∫
Br
∂g
∂z
(z) dz ∧ dz =
1
2i
∫
Br
d(g(z) dz) =
1
2i
∫
∂Br
g(z) dz.
Таким образом,
∂χBr
∂z
(z) =
z
2r
ωr(z),
где ωr – поверхностная мера евклидова на окружности |z| = 1. Поэтому ∂χBr
∂z явля-
ется мерой ограниченной вариации, что и доказывает лемму. ¤
Лемма 2. Распределение f ∈ D ′(BR \ {0}) удовлетворяет (2) тогда и только
тогда, когда она имеет вид
f(z) = (z/|z|)kF (|z|), F ∈ D ′(0, R), (3)
где F (|z|) понимается как обратный образ ρ∗F распределения F при отображении
ρ(z) = |z|, причём F определяется по f однозначно. Отображение
f 7→ ∂f
∂z
задаёт взаимно-однозначное линейное отображение пространства распределений
f ∈ D ′(BR), удовлетворяющих (2) и равных нулю в круге Br, на пространство
распределений f ∈ D ′(BR), также равных нулю на Br и таких, что для λ ∈ C,
|λ| = 1, f(λz) = λk+1f(z).
Доказательство. Очевидно, f ∈ D ′(BR \ {0}) удовлетворяет (2) с k = l тогда и
только тогда, когда (z/|z|)m удовлетворяет (2) с k = l + m, поэтому первое утвер-
ждение леммы вытекает из частного случая k = 0, где оно соответствует общему
виду радиальных распределений.
В полярных координатах z = ρeiϕ имеем
∂
∂z
f(z) =
∂
∂z
(
F (|z|)(z/|z|)k
)
=
∂
∂z
(
zk|z|−kF (|z|)
)
= zk ∂
∂z
(
|z|−kF (|z|)
)
=
= ρkeikϕ ∂
∂z
(
ρ−kF (ρ)
)
= ρkeikϕ
(
1
2
∂
∂ρ
(
ρ−kF (ρ)
))
eiϕ =
=
1
2
ρk
(
ρ−kF (ρ)
)′
ei(k+1)ϕ. (4)
Поэтому второе утверждение леммы вытекает из того факта, что распределение
u ∈ D ′(0, R) имеет определённую однозначно с точностью до аддитивной константы
первообразную U ∈ D ′(0, R), U ′ = u. ¤
Доказательство теоремы 1. Заметим прежде всего, что из разложения функ-
ции f в ряд Тейлора в Br и его единственности следует, что f = czk на Br при
k ∈ Z+ и f = 0 на Br при k < 0. Заменяя, если нужно, f на f − czk, что не нарушит
выполнимости условий теоремы, будем считать далее, что f = 0 на Br и в случае
k ∈ Z+.
161
Д.А. Зарайский
Рассмотрим распределение g = ∂f/∂z.
Имеем
χBr ∗ g = χBr ∗
∂f
∂z
=
∂χBr
∂z
∗ f.
Таким образом, (1) выполнено для п. в. z ∈ BR−r тогда и только тогда, когда χBr∗g =
0 (если g ∈ Lloc(BR), это эквивалентно тому, что g имеет нулевые интегралы по
кругам радиуса r).
Теорема вытекает теперь из общего вида SO(2)-финитных решений уравнения
свёртки χBr ∗ g = 0, установленного в [6], и тождества (4). ¤
Аналогичным образом, с учётом леммы 1, теорема 2 получается применением
теоремы 1 работы [7] к функции g = ∂f/∂z.
1. Zalcman L. Analyticity and the Pompeiu problem // Arch. Ration. Mech. and Anal. – 1972. –
Vol. 47. – P. 237–254.
2. Zalcman L. A bibliographic survey of the Pompeiu problem // Fuglede B., et al. (eds.) Approx-
imation by Solutions of Partial Differential Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic, 1992. –
P. 185–194.
3. Zalcman L. Supplementary bibliography to “A bibliographic survey of the Pompeiu problem” //
Radon Transforms and Tomography. Contemp. Math. – Providence: Am. Math. Soc., 2001. –
Vol. 278. – P. 69–74.
4. Volchkov V.V. Integral geometry and convolution equations. – Dordrecht: Kluwer Academic, 2003.
– 454 p.
5. Волчков В.В. Теоремы типа Мореры в областях со слабым условием конуса. // Изв. вузов.
Математика. – 1993. – № 10. – С. 15–20.
6. Зарайский Д.А. Уточнение теоремы единственности для решений уравнения свёртки // Труды
ИПММ НАН Украины. – 2006. – Т. 12. – С. 69–75.
7. Зарайский Д.А. Теорема единственности для функций с нулевыми интегралами по шарам //
Труды ИПММ НАН Украины. – 2012. – Т. 25. – C.77–83.
8. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.
Том 1. – М.: Мир, 1986. – 464 с.
D.A. Zaraisky
Morera type theorems for contour integrals over circles of fixed radius.
Let f be a function on disk of radius R in the complex plane, which has vanishing contour integrals
over circles of radius r < R. The following question is investigated: under what additional conditions the
function f is necessarily holomorphic.
Keywords: Morea type theorems.
Д.А. Зарайський
Теореми типу Морери для контурних iнтегралiв по колах фiксованого радiуса.
Нехай f – визначена на крузi радiуса R у комплекснiй площинi функцiя, що має нульовi контурнi
iнтеграли по колах радiуса r < R. У роботi дослiджується наступне питання: якi додатковi умови
на функцiю f гарантують її голоморфнiсть.
Ключовi слова: теореми типу Морери.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
d.zaraisky@gmail.com
Получено 17.12.13
162
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124191 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T15:01:58Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зарайский, Д.А. 2017-09-22T10:54:05Z 2017-09-22T10:54:05Z 2013 Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса / Д.А. Зарайский // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2013. — Т. 27. — С. 159-162. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124191 Пусть f – определённая на круге радиуса R в комплексной плоскости функция, имеющая нулевые контурные интегралы по окружностям радиуса r < R. В работе исследуется следующий вопрос: при каких дополнительных условиях на функцию f последняя будет голоморфной. Нехай f – визначена на крузi радiуса R у комплекснiй площинi функцiя, що має нульовi контурнi iнтеграли по колах радiуса r < R. У роботi дослiджується наступне питання: якi додатковi умови на функцiю f гарантують її голоморфнiсть. Let f be a function on disk of radius R in the complex plane, which has vanishing contour integrals over circles of radius r < R. The following question is investigated: under what additional conditions the function f is necessarily holomorphic. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса Теореми типу Морери для контурних iнтегралiв по колах фiксованого радiуса Morera type theorems for contour integrals over circles of fixed radius Article published earlier |
| spellingShingle | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса Зарайский, Д.А. |
| title | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_alt | Теореми типу Морери для контурних iнтегралiв по колах фiксованого радiуса Morera type theorems for contour integrals over circles of fixed radius |
| title_full | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_fullStr | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_full_unstemmed | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_short | Теоремы типа Мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| title_sort | теоремы типа мореры для контурных интегралов по окружностям фиксированного радиуса |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124191 |
| work_keys_str_mv | AT zaraiskiida teoremytipamorerydlâkonturnyhintegralovpookružnostâmfiksirovannogoradiusa AT zaraiskiida teoremitipumoreridlâkonturnihintegralivpokolahfiksovanogoradiusa AT zaraiskiida moreratypetheoremsforcontourintegralsovercirclesoffixedradius |