О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга
Доказан аналог теоремы Лузина, что любая функция на отрезке, измеримая относительно логарифмической мкости, почти всюду совпадает с производной от некоторой непрерывной функции. На этой основе установлен аналог теоремы Геринга о разрешимости задачи Дирихле для гармонических функций в единичном круге...
Saved in:
| Published in: | Труды Института прикладной математики и механики |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2014
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124209 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга / А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 54-61. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860177038111932416 |
|---|---|
| author | Ефимушкин, А.С. Рязанов, В.И. |
| author_facet | Ефимушкин, А.С. Рязанов, В.И. |
| citation_txt | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга / А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 54-61. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Труды Института прикладной математики и механики |
| description | Доказан аналог теоремы Лузина, что любая функция на отрезке, измеримая относительно логарифмической мкости, почти всюду совпадает с производной от некоторой непрерывной функции. На этой основе установлен аналог теоремы Геринга о разрешимости задачи Дирихле для гармонических функций в единичном круге с произвольными граничными данными, измеримыми относительно логарифмической мкости. Отсюда также следует соответствующая разрешимость задачи Дирихле для аналитических функций.
It is proved the analog of Lusin’s theorem that each function on a segment which is measurable with respect to logarithmic capacity coincides almost everywhere with the derivative of a continuous function. On this basis, it is established the analog of Gehring’s theorem on solvability of the Dirichlet problem for harmonic functions on the unit disk with arbitrary boundary data which are measurable with respect to logarithmic capacity. The latter implies also the corresponding solvability of the Dirichlet problem for analytic functions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:01:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28
УДК 517.5
c©2014. А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов
О НЕКОТОРЫХ АНАЛОГАХ ТЕОРЕМ ЛУЗИНА И ГЕРИНГА
Доказан аналог теоремы Лузина, что любая функция на отрезке, измеримая относительно лога-
рифмической ёмкости, почти всюду совпадает с производной от некоторой непрерывной функции.
На этой основе установлен аналог теоремы Геринга о разрешимости задачи Дирихле для гармони-
ческих функций в единичном круге с произвольными граничными данными, измеримыми относи-
тельно логарифмической ёмкости. Отсюда также следует соответствующая разрешимость задачи
Дирихле для аналитических функций.
Ключевые слова: гармонические и аналитические функции, задача Дирихле, теорема Лузина,
теорема Геринга, логарифмическая ёмкость.
1. Введение. Краевые задачи для аналитических функций f восходят к зна-
менитой диссертации Римана (1851), а также известным работам Гильберта (1904,
1912, 1924), и Пуанкаре (1910), смотри историю вопроса в монографии [1], где также
рассматривался случай обобщенных аналитических функций.
Хорошо известно, что, если аналитическая функция f задана в единичном круге
D = {z ∈ C : |z| < 1} и непрерывна в его замыкании, то по формуле Шварца
f(z) = i Im f(0) +
1
2πi
∫
|ζ|=1
Re f(ζ) · ζ + z
ζ − z
· dζ
ζ
, (1)
и, таким образом, данная функция определяется с точностью до чисто мнимой по-
стоянной ic, c = Im f(0), её реальной частью ϕ(ζ) = Re f(ζ) на границе единичного
круга, см., напр., § 8, Гл. III, часть 3 в [2], с. 346.
Известно также, что любая гармоническая функция u(z) в D имеет сопряжен-
ную функцию v(z) такую, что f(z) = u(z)+ iv(z) является аналитической функцией
в D. Заметим, что граничные значения сопряженной функции v не могут быть про-
извольно предписаны одновременно с граничными значениями u, поскольку v един-
ственным образом определяется через u с точностью до аддитивной постоянной, см.,
например, I.A в [3]. Поэтому задача Дирихле для аналитических функций сводится
к задаче для гармонических функций с заданной граничной функцией вещественной
части.
Герингом был установлен следующий результат: для любой вещественной с пе-
риодом 2π функции, которая измерима (относительно меры Лебега), существует
гармоническая в D функция, такая, что u(z) → ϕ(ϑ) для п.в. ϑ при z → eiϑ вдоль
некасательных путей, см. [4]. Здесь мы доказываем аналог результата Геринга в
терминах логарифмической ёмкости, см. теорему 2. В свою очередь, эта терема ос-
нована на соответствующем аналоге результата Лузина, см. теорему 1.
Напомним, что Лузину принадлежит следующая теорема: для любой измеримой
и п.в. конечной (относительно меры Лебега) функции ϕ на интервале [a, b], суще-
ствует непрерывная функция Φ такая, что Φ′(x) = ϕ(x) п.в. на [a, b], см., например,
54
О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга
теорему VII(2.3) в [5]. Это утверждение было хорошо известно до Лузина для сум-
мируемой функции ϕ относительно ее неопределенного интеграла Φ, см., например,
теорему IV(6.3) в [5]. Однако, этот результат весьма нетривиален для несуммируе-
мой ϕ.
2. О логарифмической ёмкости. Наиболее важным для нашего исследования
является понятие логарифмической ёмкости, см., например, [6], [7] и [8]. Пусть E –
произвольное ограниченное борелевское множество плоскости C. Положительным
распределением массы на множестве E называют произвольную неотрицательную
вполне аддитивную функцию множества ν, определенную на борелевских подмно-
жествах множества E, с ν(E) = 1. Функцию
Uν(z) :=
∫
E
log
∣∣∣∣
1
z − ζ
∣∣∣∣ dν(ζ) (2)
называют логарифмическим потенциалом распределения ν. Соответственно, лога-
рифмической ёмкостью C(E) борелевского множества E называется величина
C(E) = e−V , V = inf
ν
Vν(E), Vν(E) = sup
z
Uν(z). (3)
Заметим, что здесь супремум достаточно вычислять по множеству E. Если V = ∞,
то полагают C(E) = 0. Известно, что 0 ≤ C(E) < ∞, C(E1) ≤ C(E2), если E1 ⊆ E2,
C(E) = 0, если E =
∞⋃
n=1
En с C(En) = 0, см., например, лемму III.4 в [7].
Напомним, что логарифмическая ёмкость совпадает с так называемой абсолют-
ной гармонической мерой, введенной Рольфом Неванлинной, см., например, [8], с.
123. Поэтому множество E имеет нулевую (хаусдорфову) длину, если C(E) = 0,
см., например, теорему V.6.2 в [8]. Однако, существуют множества нулевой длины,
имеющие положительную ёмкость, см., например, теорему IV.5 в [7].
Хорошо известна также следующая геометрическая характеризация логарифми-
ческой ёмкости, см. [8]:
C(E) = τ(E) := lim
n→∞ V
2
n(n−1)
n , (4)
где Vn обозначает супремум (на самом деле, максимум) величины
V (z1, . . . , zn) =
l=1,...,n∏
k<l
|zk − zl|, (5)
когда всевозможные конечные наборы точек z1, . . . , zn пробегают множество E. Сле-
дуя Фекете [9], величину τ(E) называют трансфинитным диаметром множества
E. Из указанной геометрической интерпретации логарифмической ёмкости через
трансфинитный диаметр, сразу же видим, что если C(E) = 0, то C(f(E)) = 0 для
любого отображения f , непрерывного по Гёльдеру.
Чтобы ввести множества, измеримые относительно логарифмической ёмкости,
определим, следуя [7], внутреннюю C∗ и внешнюю ёмкости C∗:
C∗(E) : = sup
F⊆E
C(E), (6)
где супремум берётся по всем компактным множествам F ⊂ C, и
55
А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов
C∗(E) : = inf
E⊆O
C(O), (7)
где инфимум берётся по всем открытым множествам O ⊆ C. Далее ограниченное
множество E ⊂ C называется измеримым относительно логарифмической ёмкости,
если
C∗(E) = C∗(E), (8)
и общее значение C∗(E) и C∗(E) по-прежнему обозначается через C(E). Отметим,
см. лемму III.5 в [7], что внешняя ёмкость полуаддитивна, т.е.
C∗
( ∞⋃
n=1
En
)
≤
∞∑
n=1
C∗(En). (9)
Функцию ϕ : E → C, заданную на ограниченном множестве E ⊂ C, будем назы-
вать измеримой относительно логарифмической ёмкости, если для любых откры-
тых множеств O ⊆ C измеримы относительно логарифмической ёмкости множества
Ω = {z ∈ E : ϕ(z) ∈ O}. (10)
Ясно, что само множество E измеримо относительно логарифмической ёмкости.
Замечание 1. Известно, что борелевские множества и, в частности, компакт-
ные и открытые множества измеримы относительно логарифмической ёмкости, см.
[7], с. 9 и 31. Кроме того, как это следует прямо из определения, любое множество
E ⊂ C конечной логарифмической ёмкости, представимо в виде объединения сигма-
компакта (объединения счётного числа компактов) и множества логарифмической
ёмкости нуль. Известно также, что борелевские множества, например, компакты
измеримы относительно всех хаусдорфовых мер и, в частности, относительно меры
длины, см., например, теорему II(7.4) в [5]. Поэтому любое множество E ⊂ C конеч-
ной логарифмической ёмкости измеримо относительно меры длины. Таким образом,
на таком множестве любая функция ϕ : E → C, измеримая относительно логариф-
мической ёмкости, будет также измеримой относительно меры длины на E. Однако,
существуют функции, измеримые относительно меры длины, которые не являются
измеримыми относительно логарифмической ёмкости, см., например, теорему IV.5
в [7].
Нас особо будут интересовать функции ϕ : ∂D → C, заданные на единичной
окружности ∂D = {z ∈ C : |z| = 1}. Однако, ввиду (7), нам достаточно будет
изучить соответствующие вопросы на отрезках вещественной оси, поскольку любая
замкнутая дуга на ∂D допускает билипшицево (даже бесконечно гладкое, так назы-
ваемое стереографическое) отображение g на такой отрезок, а g и g−1 по теореме
Кирсбрауна допускают продолжение до липшицевых отображений C на себя, см.,
например, теорему 2.10.43 в [10].
В связи с этим, напомним, что отображение g : X → X ′ между метрическими
пространствами (X, d) и (X ′, d′) называется липшицевым, если d′(g(x1), g(x2)) 6
C · d(x1, x2) для любых x1, x2 ∈ X и для некоторой конечной постоянной C. Если
в дополнение к этому d(x1, x2) 6 c · d′(g(x1), g(x2)) для любых x1, x2 ∈ X и для
некоторой конечной постоянной c, то отображение g называется билипшицевым.
56
О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга
Напомним также, см., например, [5], с. 195, что точка x0 ∈ R называется точкой
плотности для измеримого (относительно длины, т.е. по Лебегу) множества E ⊂ R,
если x0 ∈ E и
lim
ε→0
| (x0 − ε, x0 + ε) \E |
2ε
= 0. (11)
Аналогично говорим, что точка x0 ∈ R является точкой плотности относи-
тельно логарифмической ёмкости для измеримого (относительно C) множества
E ⊂ R, если x0 ∈ E и
lim
ε→0
C([x0 − ε, x0 + ε] \ E)
C([x0 − ε, x0 + ε])
= 0. (12)
Напомним, наконец, что функция ϕ : [a, b] → C аппроксимативно непрерывна
(относительно логарифмической ёмкости) в точке x0 ∈ (a, b), если она непрерывна
на некотором множестве E ⊆ [a, b], для которого x0 является точкой плотности
(относительно логарифмической ёмкости), см., например, [5], с. 199, и [10], с. 176,
соответственно.
Для дальнейших рассуждений используем следующий аналог теоремы А. Дан-
жуа, см., например, теорему 2.9.13 в [10], сравни теорему IV(10.6) в [5].
Предложение 1. Функция ϕ : [a, b] → C измерима относительно логарифмиче-
ской ёмкости тогда и только тогда, когда она аппроксимативно непрерывна для п.в.
x ∈ (a, b) также относительно логарифмической ёмкости.
Замечание 2. Как известно, C([a, b]) ' 1/(log 1
δ ) при δ = b − a → 0, где запись
u ' v означает, что для достаточно малых δ найдется постоянная c ∈ (0,∞) такая,
что v/c ≤ u ≤ c · v, см., например, [11], с. 131. Кроме того, C(E) ≥ A/ log(1/|E|)
при малых длинах |E|, см., например, лемму 1 в [12]. Таким образом, если x0 явля-
ется точкой плотности для множества E относительно логарифмической ёмкости,
то x0 – также точка плотности для множества E относительно меры длины. Сле-
довательно, любая точка аппроксимативной непрерывности функции ϕ : [a, b] → R
относительно логарифмической ёмкости, является также точкой аппроксимативной
непрерывности функции ϕ относительно меры Лебега на вещественной оси.
Отсюда, в частности, получаем следующую полезную лемму.
Лемма 1. Пусть функция ϕ : [a, b] → R ограничена и измерима относительно
логарифмической ёмкости и пусть Φ(x) =
x∫
a
ϕ(t) dt – её неопределенный интеграл
Лебега. Тогда Φ′(x) = ϕ(x) п.в. на (a, b) относительно логарифмической ёмкости.
Доказательство. Действительно, пусть x0 ∈ (a, b) – точка аппроксимативной
непрерывности для функции ϕ. Тогда найдется множество E ⊆ [a, b], для которо-
го x0 является точкой плотности, и на котором функция ϕ непрерывна. Так как
|ϕ(x)| ≤ C < ∞ для всех x ∈ [a, b], получаем, что при малых h
∣∣∣∣
Φ(x0 + h)− Φ(x0)
h
− ϕ(x0)
∣∣∣∣ ≤ max
x∈E∩[x0,x0+h]
| ϕ(x)−ϕ(x0) | + 2C
| (x0, x0 + h) \ E |
|h| ,
т.е. Φ′(x0) = ϕ(x0). Таким образом, заключение леммы следует из предложения 1,
см. также замечание 2. ¤
57
А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов
3. Об одном аналоге теоремы Лузина. При доказательстве аналога теоремы
Лузина в терминах логарифмической ёмкости ключевую роль будет играть следу-
ющая лемма о сингулярных функциях канторовского типа.
Лемма 2. Существует непрерывная неубывающая функция Ψ : [0, 1] → [0, 1]
такая, что Ψ(0) = 0, Ψ(1) = 1 и Ψ′(t) = 0 п.в. относительно логарифмической
ёмкости.
Доказательство. Для доказательства этого факта воспользуемся конструкци-
ей множеств канторовского типа логарифмической ёмкости нуль, принадлежащей
Рольфу Неванлинне. Именно, рассмотрим произвольную последовательность чисел
pk > 1, k = 1, 2, . . ., и определим соответствующую последовательность множеств
E(p1, . . . , pn), n = 1, 2, . . ., по индукции следующим образом. Пусть E(p1) – множе-
ство, состоящее из 2-х равных по длине отрезков, которое получается из единичного
отрезка [0, 1] выбрасыванием центрального интервала длины 1 − 1/p1; E(p1, p2) –
множество, состоящее из 2−x равных по длине отрезков, которое получается выбра-
сыванием из каждого отрезка предыдущего множества E(p1) центрального интер-
вала, который составляет 1− 1/p2 долю от его длины и так далее. Обозначим через
E(p1, p2, . . .) пересечение всех множеств E(p1, . . . , pn), n = 1, 2, . . .. По теореме V.6.3
в [8] множество E(p1, p2, . . .) имеет логарифмическую ёмкость нуль тогда и только
тогда, когда ряд
∑
2−k log pk расходится. Например, это условие выполняется, если
pk = e2k .
Как известно, все множества канторовского типа гомеоморфны. Более того, най-
дется гомеоморфизм h : [0, 1] → [0, 1], h(0) = 0 и h(1) = 1, при котором E(p1, p2, . . .)
перейдёт в классическое канторово множество, см., например, конструкцию 8.23 в
[13]. Таким образом, если κ – классическая канторова функция, см., например, кон-
струкцию 8.15 в [13], то Ψ = κ ◦ h – искомая функция. ¤
Лемма 3. Пусть функция g : [a, b] → R ограничена и измерима относительно
логарифмической ёмкости. Тогда для любого ε > 0 найдется непрерывная функция
G : [a, b] → R такая, что |G(x)| ≤ ε для всех x ∈ [a, b], G(a) = G(b) = 0, и
G′(x) = g(x) п.в. на [a, b] относительно логарифмической ёмкости.
Доказательство. Пусть H(x) =
x∫
a
g(t) dt – неопределенный интеграл Лебега
функции g. Выберем на [a, b] конечный набор точек a = a0 < a1 < . . . < an = b та-
ких, что колебание H меньше ε/2 на каждом из отрезков [ak, ak+1], k = 0, 1, . . . , n−1.
Применяя линейные преобразования независимой и зависимой переменной в функ-
ции Ψ : [0, 1] → [0, 1] из леммы 2, получаем на каждом из отрезков [ak, ak+1],
k = 0, 1, . . . , n − 1, функцию Fk, которая имеет нулевую производную п.в. отно-
сительно логарифмической ёмкости и совпадает с функцией H в концах отрезка.
Пусть F – функция на [a, b], склеенная из функций Fk. Тогда G = H − F даёт нам
искомую функцию по леммам 1 и 2. ¤
Лемма 4. Пусть функция g : [a, b] → R ограничена и измерима относительно
логарифмической ёмкости и пусть P – замкнутое подмножество отрезка [a, b].
Тогда для любого ε > 0 найдется непрерывная функция G : [a, b] → R такая, что
58
О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга
|G(x + h)| ≤ ε|h| для всех x ∈ P и всех h таких, что x + h ∈ [a, b], G(x) = G′(x) = 0
для всех x ∈ P , и G′(x) = g(x) п.в. на [a, b] \ P относительно логарифмической
ёмкости.
Доказательство. Пусть I = (a, b). Тогда множество I \ P является открытым и
представимо в виде объединения счётного числа попарно непересекающихся интер-
валов Ik = (ak, bk). Выберем в каждом интервале Ik возрастающую последователь-
ность чисел c
(j)
k , j = 0,±1,±2, . . . такую, что c
(j)
k → ak при j → −∞ и c
(j)
k → bk
при j → ∞. Обозначим через ε
(j)
k меньшее из 2-х чисел ε(c(j)
k − ak)/(k + |j|) и
ε(bk− c
(j)
k )/(k + |j|). Тогда по лемме 3 в каждом интервале Ik найдется непрерывная
функция Gk такая, что |G(x)| ≤ ε
(j)
k для всех x ∈ [c(j)
k , c
(j+1)
k ], G(c(j)
k ) = 0 для всех
j = 0,±1,±2, . . . и G′(x) = g(x) п.в. на Ik относительно логарифмической ёмкости.
Таким образом, полагая G(x) = Gk(x) на каждом интервале Ik и G(x) = 0 на мно-
жестве P , получаем искомую функцию. ¤
Наконец, докажем следующий аналог теоремы Лузина, сформулированной во
введении.
Теорема 1. Пусть функция ϕ : [a, b] → R измерима относительно логарифми-
ческой ёмкости. Тогда найдется непрерывная функция Φ : [a, b] → R такая, что
Φ′(x) = ϕ(x) п.в. на (a, b) также относительно логарифмической ёмкости. Более
того, функцию Φ можно выбрать так, что Φ(a) = Φ(b) = 0 и |Φ(x)| ≤ ε при всех
x ∈ [a, b] для любого заранее предписанного ε > 0.
Доказательство. Определим по индукции последовательность замкнутых мно-
жеств Pn ⊆ [a, b], n = 0, 1, . . . и последовательность непрерывных функций Gn :
[a, b] → R, n = 0, 1, . . . , чьи производные существуют п.в. и измеримы относительно
логарифмической ёмкости, такие, что при обозначениях Qn =
n⋃
k=0
Pk и Φn =
n∑
k=0
Gk
выполняются следующие условия: (a) Φ′n(x) = ϕ(x) при x ∈ Qn, (b) Gn(x) =
0 при x ∈ Qn−1, (c) |Gn(x + h)| ≤ |h|/2n для всех x ∈ Qn−1 и всех h таких, что
x + h ∈ [a, b], (d) C(I \Qn) < 1/n, где I = [a, b].
Итак, пусть G0 ≡ 0 и P0 = ∅ и пусть Gn и Pn с указанными свойствами уже
построены для всех n = 1, 2, . . . ,m. Тогда найдется компакт Em ⊂ I \Qm такой, что
C(I \ (Qm ∪ Em)) < 1/(m + 1), (13)
а функции Φ′m и ϕ непрерывны на Em, см., например, теорему 2.3.5 в [10].
По лемме 4 с множеством P = Qm и функцией g : I → R, равной ϕ(x) − Φ′m(x)
на Em и нулю на I \ Em, найдется непрерывная функция Gm+1 : I → R такая, что
(i) G′
m+1(x) = ϕ(x)−Φ′m(x) п.в. на I \Qm относительно логарифмической ёмкости,
(ii) Gm+1(x) = G′
m+1(x) = 0 для всех x ∈ Qm, и (iii) |Gm+1(x + h)| ≤ |h|/2m+1 для
всех x ∈ Qm и всех h таких, что x + h ∈ I.
По определению логарифмической ёмкости, условиям (i) и (13), найдется ком-
пакт Pm+1 ⊆ Em, такой, что
C(I \ (Qm ∪ Pm+1)) < 1/(m + 1), (14)
59
А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов
G′
m+1(x) = ϕ(x)− Φ′m(x) ∀ x ∈ Pm+1. (15)
Как видно из (14) и (15), а также (ii) и (iii), условия (a), (b), (c) и (d) сохраняются
и для n = m + 1.
Положим теперь на основе приведённой конструкции последовательностей Gn и
Pn:
Φ(x) = lim
k→∞
Φk(x) =
∞∑
k=1
Gk(x), Q = lim
k→∞
Qk =
∞⋃
k=1
Pk. (16)
Заметим, что Φk → Φ равномерно на отрезке I ввиду условия (c) и, следовательно,
функция Φ является непрерывной. По построению, для любого x0 ∈ Q имеем, что
x0 ∈ Qn при всех достаточно больших n и, т.к.
Φ(x0 + h)− Φ(x0)
h
=
Φn(x0 + h)− Φn(x0)
h
+
∞∑
k=n+1
Gk(x0 + h)−Gk(x0)
h
,
мы получаем из условий (a), (b) и (c), что
lim sup
h→0
∣∣∣∣
Φ(x0 + h)− Φ(x0)
h
− ϕ(x0)
∣∣∣∣ <
1
2n
,
т.е. Φ′(x0) = ϕ(x0). Кроме того, по условию (d) видим, что C(I \ Q) = 0. Таким
образом, Φ′(x) = ϕ(x) п.в. на [a, b] относительно логарифмической ёмкости.
Наконец, применяя конструкцию доказательства леммы 3 к найденной нами
функции Φ вместо неопределенного интеграла, находим новую функцию Φ∗ та-
кую, что Φ′∗(x) = ϕ(x) п.в. на [a, b] также относительно логарифмической ёмкости c
Φ∗(a) = Φ∗(b) = 0 и |Φ∗(x)| ≤ ε при всех x ∈ [a, b] для любого заранее предписанного
ε > 0. ¤
4. О задаче Дирихле для гармонических функций в единичном круге.
Центральным результатом работы является следующий аналог теоремы Геринга.
Теорема 2. Пусть ϕ : R → R – 2π-периодическая функция, которая изме-
рима относительно логарифмической ёмкости. Тогда существует гармоническая
функция u(z), z ∈ D такая, что u(z) → ϕ(ϑ) при z → eiϑ вдоль некасательных
путей для всех ϑ ∈ R за исключением быть может множества логарифмической
ёмкости нуль.
Доказательство. По теореме 1 найдется непрерывная 2π-периодическая функ-
ция Φ : R → R такая, что Φ′(ϑ) = ϕ(ϑ) для п.в. ϑ относительно логарифмической
ёмкости. Пусть
U(reiϑ) =
1
2π
2π∫
0
1− r2
1− 2r cos(ϑ− t) + r2
Φ(t) dt (17)
для r < 1. Далее, по хорошо известному результату, восходящему к Фату, ∂
∂ϑ U(z) →
Φ′(ϑ) при z → eiϑ вдоль любых некасательных путей всюду, где существует Φ′(ϑ),
60
О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга
см., например, 3.441 в [14], с. 53, см. также теорему IX.1.2 в [15]. Следовательно,
заключение следует для функции u(z) = ∂
∂ϑ U(z). ¤
Следствие 1. При условиях теоремы 2, существует аналитическая функция
f в D, такая, что Re f(z) → ϕ(ϑ) при z → eiϑ вдоль любых некасательных путей
для п.в. ϑ относительно логарифмической ёмкости.
Заметим, что наши результаты можно распространить на случай квазидисков
(областей, ограниченных квазиконформными кривыми) и, в частности, на области
с гладкими границами. Отметим также, что полученные результаты могут быть
использованы для решения другой известной задачи Римана–Гильберта для анали-
тических функций через редукцию последней задачи к решению соответствующих
двух задач Дирихле. Наконец, разработанные нами методы позволяют распростра-
нить эти результаты на соответствующие задачи для уравнений Бельтрами.
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Физматгиз, 1959.
2. Гурвиц А. Курант Р. Теория функций. – Москва: Наука, 1968.
3. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp. – М.: Мир, 1984.
4. Gehring F.W. On the Dirichlet problem // Michigan Math. J. – 1955–1956. – 3. – P. 201.
5. Сакс С. Теория интеграла. – М.: ИЛ, 1949.
6. Носиро К. Предельные множества. – М.: ИЛ, 1963.
7. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. – М.: Мир, 1971.
8. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. – ОГИЗ, Москва, 1941.
9. Fékete M. Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen
Koeffizienten // Math. Z. – 1923. – 17. – P. 228–249.
10. Федерер Г. Геометрическая теория меры. – М.: Наука, 1987.
11. Adams D.R., Hedberg L.I. Function spaces and potential theory. – Springer–Verlag, Berlin, 1996.
12. Twomey J.B. The Hilbert transformation and fine continuity // Irish Math. Soc. Bulletin. – 2006.
– 58. – P. 81–91.
13. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.
14. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М.: НКТП, 1939.
15. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966.
A. S. Yefimushkin, V. I. Ryazanov
On some analogs of theorems of Lusin and Gehring.
It is proved the analog of Lusin’s theorem that each function on a segment which is measurable with
respect to logarithmic capacity coincides almost everywhere with the derivative of a continuous function.
On this basis, it is established the analog of Gehring’s theorem on solvability of the Dirichlet problem
for harmonic functions on the unit disk with arbitrary boundary data which are measurable with respect
to logarithmic capacity. The latter implies also the corresponding solvability of the Dirichlet problem for
analytic functions.
Keywords: harmonic and analytic functions, Dirichlet problem, Lusin’s theorem, Gehring’s theorem,
logarithmic capacity.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
art.89@bk.ru
vl.ryazanov1@gmail.com
Получено 17.06.14
61
содержание
Том 28
Донецк, 2014
Основан в 1997г.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124209 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1683-4720 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:01:17Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Ефимушкин, А.С. Рязанов, В.И. 2017-09-22T13:53:20Z 2017-09-22T13:53:20Z 2014 О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга / А.С. Ефимушкин, В.И. Рязанов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 54-61. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124209 517.5 Доказан аналог теоремы Лузина, что любая функция на отрезке, измеримая относительно логарифмической мкости, почти всюду совпадает с производной от некоторой непрерывной функции. На этой основе установлен аналог теоремы Геринга о разрешимости задачи Дирихле для гармонических функций в единичном круге с произвольными граничными данными, измеримыми относительно логарифмической мкости. Отсюда также следует соответствующая разрешимость задачи Дирихле для аналитических функций. It is proved the analog of Lusin’s theorem that each function on a segment which is measurable with respect to logarithmic capacity coincides almost everywhere with the derivative of a continuous function. On this basis, it is established the analog of Gehring’s theorem on solvability of the Dirichlet problem for harmonic functions on the unit disk with arbitrary boundary data which are measurable with respect to logarithmic capacity. The latter implies also the corresponding solvability of the Dirichlet problem for analytic functions. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Труды Института прикладной математики и механики О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга On some analogs of theorems of Lusin and Gehring Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга Ефимушкин, А.С. Рязанов, В.И. |
| title | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга |
| title_alt | On some analogs of theorems of Lusin and Gehring |
| title_full | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга |
| title_fullStr | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга |
| title_full_unstemmed | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга |
| title_short | О некоторых аналогах теорем Лузина и Геринга |
| title_sort | о некоторых аналогах теорем лузина и геринга |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124209 |
| work_keys_str_mv | AT efimuškinas onekotoryhanalogahteoremluzinaigeringa AT râzanovvi onekotoryhanalogahteoremluzinaigeringa AT efimuškinas onsomeanalogsoftheoremsoflusinandgehring AT râzanovvi onsomeanalogsoftheoremsoflusinandgehring |