Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора

При использовании простейшей модели синхронного электромотора его динамика описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка относительно угловой переменной разности углов поворота магнитных полей статора и ротора. Это уравнение имеет два счетных набора стационарных точек, соответс...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2014
Автори:	Коносевич, Б.И., Коносевич, Ю.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2014
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124216
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 120-125. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-124216
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1242162025-02-23T17:42:04Z Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора Approximation of the critical value of the damping parameter for a synchronous electric motor Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. При использовании простейшей модели синхронного электромотора его динамика описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка относительно угловой переменной разности углов поворота магнитных полей статора и ротора. Это уравнение имеет два счетных набора стационарных точек, соответствующих устойчивым и неустойчивым режимам равномерного вращения ротора. Глобальное поведение фазовых траекторий данного уравнения зависит от того, будет ли входящий в него параметр демпфирования больше или меньше некоторого критического значения. Путем расчета на компьютере построен график кривой, изображающей критическое значение параметра демпфирования для синхронного электромотора в зависимости от стационарного значения угловой переменной. Получены линейная и синусоидальная аппроксимации данной кривой, позволяющие вычислять критические значения с высокой точностью. The simplest model of a synchronous electric motor can be described by a second order nonlinear differential equation with respect to the variable θ = ωt - φ, where ωt is the rotational angle of the magnetic field in the stator, and ' is the rotational angle of the rotor. This equation includes two parameters, namely, the damping parameter a and the value θ₀ ∊ (0, π/2) of θ in the asymptotically stable rotation of the rotor. F.Tricomi proved that there exists a critical value acr(θ₀) of the damping parameter such that the set of steady rotations of the motor is globally attracting in the case a > acr(θ₀) only. In the paper, using computer calculation, the graph of the function acr(θ₀) is obtained and simple high accuracy approximations of this functions are given. 2014 Article Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 120-125. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124216 517.925.4; 531.537 ru Труды Института прикладной математики и механики application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	При использовании простейшей модели синхронного электромотора его динамика описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка относительно угловой переменной разности углов поворота магнитных полей статора и ротора. Это уравнение имеет два счетных набора стационарных точек, соответствующих устойчивым и неустойчивым режимам равномерного вращения ротора. Глобальное поведение фазовых траекторий данного уравнения зависит от того, будет ли входящий в него параметр демпфирования больше или меньше некоторого критического значения. Путем расчета на компьютере построен график кривой, изображающей критическое значение параметра демпфирования для синхронного электромотора в зависимости от стационарного значения угловой переменной. Получены линейная и синусоидальная аппроксимации данной кривой, позволяющие вычислять критические значения с высокой точностью.
format	Article
author	Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б.
spellingShingle	Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б. Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Коносевич, Б.И. Коносевич, Ю.Б.
author_sort	Коносевич, Б.И.
title	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора
title_short	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора
title_full	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора
title_fullStr	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора
title_full_unstemmed	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора
title_sort	аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2014
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/124216
citation_txt	Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора / Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2014. — Т. 28. — С. 120-125. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT konosevičbi approksimaciâkritičeskogoznačeniâparametradempfirovaniâdlâsinhronnogoélektromotora AT konosevičûb approksimaciâkritičeskogoznačeniâparametradempfirovaniâdlâsinhronnogoélektromotora AT konosevičbi approximationofthecriticalvalueofthedampingparameterforasynchronouselectricmotor AT konosevičûb approximationofthecriticalvalueofthedampingparameterforasynchronouselectricmotor
first_indexed	2025-11-24T04:24:50Z
last_indexed	2025-11-24T04:24:50Z
_version_	1849644328210661376
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2014. Том 28 УДК 517.925.4; 531.537 c©2014. Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич АППРОКСИМАЦИЯ КРИТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРА ДЕМПФИРОВАНИЯ ДЛЯ СИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОМОТОРА При использовании простейшей модели синхронного электромотора его динамика описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка относительно угловой переменной – разности углов поворота магнитных полей статора и ротора. Это уравнение имеет два счетных на- бора стационарных точек, соответствующих устойчивым и неустойчивым режимам равномерного вращения ротора. Глобальное поведение фазовых траекторий данного уравнения зависит от того, будет ли входящий в него параметр демпфирования больше или меньше некоторого критическо- го значения. Путем расчета на компьютере построен график кривой, изображающей критическое значение параметра демпфирования для синхронного электромотора в зависимости от стационар- ного значения угловой переменной. Получены линейная и синусоидальная аппроксимации данной кривой, позволяющие вычислять критические значения с высокой точностью. Ключевые слова: синхронный электромотор, критическое значение, глобальное притяжение. 1. Математическая модель синхронного электромотора. Детальная мо- дель синхронного электромотора описывается системой обыкновенных дифферен- циальных уравнений высокого порядка относительно токов в обмотках ротора и угловой переменной, определяющей положение ротора (см. [1, 2]). Простейшая мо- дель синхронного электромотора описывается одним нелинейным дифференциаль- ным уравнением второго порядка относительно переменной θ = ωt − ϕ, где ω > 0 – постоянная угловая скорость вращения магнитного поля в статоре электромото- ра, ϕ – угол поворота ротора относительно статора. Путем введения безразмерного времени и двух безразмерных параметров a, c > 0 это уравнение приводится к виду [3, 4] θ̈ = −aθ̇ − sin θ + c. (1) Равномерным вращениям ротора электромотора с угловой скоростью ω соответ- ствуют стационарные решения этого уравнения, в которых значения угла θ опре- деляются равенством sin θ = c. При c > 1 стационарные решения не существуют. Отбрасывая особый случай, когда c = 1, будем предполагать, что c < 1. Тогда урав- нение электромотора имеет два семейства стационарных решений при значениях угла θ равных θ0 + 2πn, θ1 + 2πn (n = 0,±1,±2, . . . ). Здесь θ0 = arcsin c ∈ (0, π/2), θ1 = −π − θ0 ∈ (−3π/2,−π). (2) С помощью локального анализа по линейному приближению нетрудно показать, что решениям первого семейства соответствуют асимптотически устойчивые стаци- онарные решения уравнения (1) – устойчивый фокус или устойчивый узел, а ре- 120 Аппроксимация критического значения параметра демпфирования Рис. 1. Фазовые портреты синхронного электромотора. шениям второго семейства соответствуют неустойчивые стационарные решения – седловые точки. Нелокальный анализ уравнения электромотора, проведенный Ф. Трикоми [5, 3], показывает, что для этого уравнения возможны три качественно различных типа фазовых портретов, изображенных на рис. 1. А именно, существует критическое значение параметра a, которое является монотонной функцией acr = acr(c) парамет- ра c ∈ (0, 1), обращающейся в нуль при c = 0, и обладает следующими свойствами. • В случае a > acr сепаратрисы неустойчивых седловых точек разбивают всю фазовую плоскость на области притяжения асимптотически устойчивых стационар- ных точек (рис. 1, а). В этом случае множество стационарных точек уравнения электромотора (1) является глобально притягивающим, т. е. каждое решение этого уравнения стремится к одной из стационарных точек при t → +∞. 121 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич • При a ≤ acr существуют решения, вдоль которых угол θ неограниченно воз- растает с течением времени. Поэтому при a ≤ acr множество стационарных точек уравнения электромотора уже не является глобально притягивающим (рис. 1, б, в). Режимы работы электромотора, на которых угол θ неограниченно возрастает, являются нежелательными. При a = acr существуют сепаратрисы, соединяющие соседние седловые точки (рис. 1, б ). Так как θ0 = arcsin c, то c = sin θ0, и величину acr(c) можно рассматривать как функцию acr(θ0) угла θ0 ∈ (0, π/2). Для этой функции не существует явного выражения, но разными авторами найдены ее теоретические оценки сверху и снизу [3]. В настоящей работе с помощью компьютера построен график функции acr = = acr(θ0), и для нее получены две простые аппроксимации. 2. Вычисление критических значений параметра демпфирования. Се- паратриса седловой точки уравнения (1) есть фазовая траектория этого уравнения, вдоль которой его решение стремится к данной седловой точке при t → +∞ или при t → −∞. На плоскости (θ, θ̇) стационарная точка (θ0, 0) лежит на оси абсцисс между седловыми точками (θ1, 0) и (θ2, 0). Здесь θ2 = θ1 + 2π, θ0 и θ1 определены в (2). Пусть θ̇ = F1(θ, a, θ0) – уравнение той из четырех сепаратрис седловой точки (θ1, 0), которая выходит из этой точки в верхнюю полуплоскость при возрастании θ, а θ̇ = F2(θ, a, θ0) – уравнение той из сепаратрис седловой точки (θ2, 0), которая выходит из этой точки в верхнюю полуплоскость при убывании θ (см. рис. 1). Об- ласть определения F1 всегда содержит отрезок [θ1, θ0], а область определения F2 всегда содержит отрезок [θ0, θ2]. При a = acr(θ0) эти две сепаратрисы совпадают, и поэтому для определения acr(θ0) при заданном θ0 имеем уравнение D(a, θ0) = 0, где функция D(a, θ0) = F1(θ0, a, θ0) − F2(θ0, a, θ0) определена при всех a > 0, θ0 ∈ ∈ (0, π/2). Для численного решения этого уравнения при каждом заданном θ0 достаточно воспользоваться методом половинного деления. При этом значения F1, F2(θ0, a, θ0), входящие в определение функции D(a, θ0), определяются путем численного инте- грирования уравнения интегральных кривых dθ̇/dθ = −a− (sin θ − sin θ0)/θ̇ (3) при начальных данных, соответствующих седловым точкам (θ1, 0), (θ2, 0). В этих точках числитель и знаменатель дроби в (3) обращаются в нуль. С учетом этого при проведении расчетов в малой окрестности седловых точек сепаратрисы F1, F2 аппроксимируются касательными к ним в этих точках: θ̇ = k1(θ−θ1), θ̇ = k2(θ−θ2). Их угловые коэффициенты равны k1 = −a 2 + √ a2 4 − cos θ1, k2 = −a 2 − √ a2 4 − cos θ1. Поскольку cos θ1 < 0, имеем k1 > 0, k2 < 0. 122 Аппроксимация критического значения параметра демпфирования Рис. 2. График вычисленной зависимости acr(θ0) (прерывистая кривая) и графики правых частей ее теоретических оценок (непрерывные кривые). На рис. 2 прерывистой линией изображен график функции acr = acr(θ0) на про- межутке от 0 до 89 градусов, полученный путем вычисления ее значений с мелким шагом по θ0. Выше этой расчетной кривой лежат графики правых частей верхних теоретических оценок величины acr, найденных 1) Трикоми, 2) Табуевой, 3) Зай- фертом, 4) Бёмом, а ниже – графики правых частей нижних теоретических оценок, найденных 5) Бёмом, 6) Хейзом, 7) Трикоми (см. [3, с. 122–123]). 3. Аппроксимация критических значений. Рис. 2 показывает, что вычис- ленная кривая acr = acr(θ0) близка к прямой. Проводя хорду через концы вычислен- ной кривой, получим для acr линейную аппроксимацию acr L = 0,76 · θ0. (4) На рис. 3 представлен график разности вычисленной функции acr(θ0) и ее линейной аппроксимации. Из него видно, что абсолютная погрешность линейной аппроксима- ции (4) не больше, чем 1,5 · 10−2. Рис. 3 позволяет предположить, что более точную аппроксимацию критиче- ских значений можно получить в классе синусоидальных функций вида acr S = = A sin(Ω θ0), где A, Ω – некоторые числа. Чтобы определить эти числа, заметим, что при заданном значении Ω величина A однозначно определяется из условия, что на правом конце рассматриваемого интервала изменения θ0, т. е. при θ0 = 90◦, значение A sin(Ω θ0) равно вычисленному значению acr(θ0). Для вычисления наилучшего значения величины Ω задается диапазон изменения этой величины и затем с мелким шагом перебираются все значения Ω из этого диа- 123 Б.И. Коносевич, Ю.Б. Коносевич Рис. 3. График разности функции acr(θ0) Рис. 4. График зависимости критического и ее линейной аппроксимации acr L(θ0). значения величины c = sin θ0 от 1/a2. пазона. Для каждого из них вычисляется максимальная абсолютная погрешность синусоидальной аппроксимации, то есть максимум \|A sin(Ω θ0)−acr(θ0)\| на рассмат- риваемом интервале изменения θ0. В качестве наилучшего выбирается то значение Ω, для которого эта погрешность минимальна. Такие вычисления показывают, что оптимальная аппроксимация получается при A = 2,766222 и Ω = 0,2838860. Таким образом, получаем приближенную формулу acr S = 2,766222 · sin(0,2838860 · θ0). Она обеспечивает вычисление критического значения с абсолютной погрешностью не больше, чем 3,4 · 10−5. Вопрос о вычислении критических значений для уравнения (1) рассматривался в литературе. При этом вместо функции acr(c) вычислялась обратная к ней функция ccr(a). На рис. 4 показан график функции ccr(1/a2), приведенный в [1, с. 268]. Для нее трудно подобрать простую аппроксимацию. 1. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. – 400 с. 2. Леонов Г.А., Зарецкий А.М. Глобальная устойчивость и колебания динамических систем, опи- сывающих синхронные электрические машины // Вестник Санкт-Петербургского университе- та. Серия 1. Математика, механика, астрономия. – № 4. – 2012. – С. 18–27. ( Leonov G.A., Zaretskiy A.M.Global stability and oscillations of dynamical systems describing synchronous electrical machines // Vestnik St. Petersburg University. Mathematics. – 45, no. 4. – 2012. – P. 157–163. c© Allerton Press, Inc., 2012.) 3. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым простран- ством. – М.: Наука, 1969. – 300 с. 4. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телемеханика. – 2006. – № 10. – С. 47–85. 5. Tricomi F. Integrazione di unequazione differenziale presentasi in electrotechnica // Annal. della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa. – 1933. – 2, no. 2. – P. 1–20. 124 Аппроксимация критического значения параметра демпфирования B. I. Konosevich, Yu.B. Konosevich Approximation of the critical value of the damping parameter for a synchronous electric motor. The simplest model of a synchronous electric motor can be described by a second order nonlinear differential equation with respect to the variable θ = ωt − ϕ, where ωt is the rotational angle of the magnetic field in the stator, and ϕ is the rotational angle of the rotor. This equation includes two parameters, namely, the damping parameter a and the value θ0 ∈ (0, π/2) of θ in the asymptotically stable rotation of the rotor. F.Tricomi proved that there exists a critical value acr(θ0) of the damping parameter such that the set of steady rotations of the motor is globally attracting in the case a > acr(θ0) only. In the paper, using computer calculation, the graph of the function acr(θ0) is obtained and simple high accuracy approximations of this functions are given. Keywords: synchronous electric motor, critical value, global attraction. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк konos@iamm.ac.donetsk.ua Получено 22.05.14 125

Аппроксимация критического значения параметра демпфирования для синхронного электромотора

Репозитарії

Схожі ресурси